第一講多項(xiàng)式理論

第一講多項(xiàng)式理論第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日知識(shí)脈絡(luò)圖解重因式一元多項(xiàng)式概念最大公因式多項(xiàng)式的相等及運(yùn)算帶余除法綜合除法余數(shù)定理多項(xiàng)式恒等及多項(xiàng)式函數(shù)的運(yùn)算整除性因式分解方程的根不可約多項(xiàng)式因式分解唯一性定理數(shù)域多項(xiàng)式函數(shù)多元多項(xiàng)式概念多元多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)稱多項(xiàng)式對(duì)稱多項(xiàng)式基本性質(zhì)復(fù)數(shù)域上的因式分解實(shí)數(shù)域上的因式分解有理多項(xiàng)式不可約判定本原多項(xiàng)式求有理根實(shí)多項(xiàng)式根的性質(zhì)代數(shù)學(xué)基本定理根與系數(shù)的關(guān)系第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀這部分內(nèi)容對(duì)多項(xiàng)式理論作了較深入、系統(tǒng)、全面地論述，內(nèi)容可分為一元多項(xiàng)式與多元多項(xiàng)式兩大部分，以一元多項(xiàng)式理論為主。一元多項(xiàng)式可歸納為以下四個(gè)方面：（1）一般理論：包括一元多項(xiàng)式的概念、運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)及基本性質(zhì)。（2）整除理論：包括整除、最大公因式、互素的概念與性質(zhì)。（3）因式分解理論：包括不可約多項(xiàng)式、因式分解、重因式、實(shí)系數(shù)與復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定等。第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日（4）根的理論：包括多項(xiàng)式函數(shù)、多項(xiàng)式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根求法、根與系數(shù)的關(guān)系等。一元多項(xiàng)式的內(nèi)容十分豐富，重點(diǎn)是整除與因式分解的理論，最基本的結(jié)論是帶余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在學(xué)習(xí)的過程中，如能把握這兩個(gè)重點(diǎn)和三大基本定理，就能夠整體把握一元多項(xiàng)式的理論。對(duì)于多元多項(xiàng)式，則要理解元多項(xiàng)式、對(duì)稱多項(xiàng)式等有關(guān)概念，掌握對(duì)稱多項(xiàng)式表成初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的方法。第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、數(shù)域的判定設(shè)P是至少含有兩個(gè)數(shù)（或包含0與1）的數(shù)集，如果P中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍是P中的數(shù)，則稱P為一個(gè)數(shù)域。1、數(shù)域的概念2、數(shù)域的有關(guān)結(jié)論（1）所有的數(shù)域都包含有理數(shù)域，即有理數(shù)域是最小的數(shù)域。（2）在有理數(shù)域與實(shí)數(shù)域之間存在無窮多個(gè)數(shù)域；在實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域之間不存在其他的數(shù)域。例1、設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，有非零數(shù)，且P關(guān)于減法、除法（除數(shù)不為零）封閉，證明P是一個(gè)數(shù)域。證因?yàn)?，所以第五頁，共六十八頁?022年，8月28日有即P對(duì)加法封閉。若中有一個(gè)為零，則若，則從而P對(duì)乘法封閉。綜上所述，P關(guān)于加法、減法、乘法、除法都封閉，所以P是一個(gè)數(shù)域。例2、證明：實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域之間不存在其他的數(shù)域。證設(shè)P是任意一個(gè)包含R且不同于R的數(shù)域，且P還包含至少一個(gè)復(fù)數(shù)。由于P是一個(gè)數(shù)域，所以但從而對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，即P包含了全體復(fù)數(shù)。故P=C。第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、一元多項(xiàng)式的概念1、一元多項(xiàng)式的概念形式表達(dá)式稱為數(shù)域P上文字的一元多項(xiàng)式，其中是非負(fù)整數(shù)。當(dāng)時(shí)，稱多項(xiàng)式的次數(shù)為記為2、多項(xiàng)式的相等關(guān)系設(shè)則第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日3、次數(shù)公式（1）（2）4、一元多項(xiàng)式環(huán)所有系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項(xiàng)式全體稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)，記為，稱P為的系數(shù)域。5、一元多項(xiàng)式環(huán)的有關(guān)結(jié)論多項(xiàng)式的加、減、乘運(yùn)算對(duì)封閉，且多項(xiàng)式的加法、乘法均滿足交換律與結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配率，乘法還滿足消去律。第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、令求的奇次項(xiàng)系數(shù)之和。解法1由于兩式相乘得由于與無奇次項(xiàng)，從而不可能有奇次項(xiàng)，故其奇次項(xiàng)系數(shù)之和等于零。法2因?yàn)?，所以是偶函?shù)，于是的奇次項(xiàng)系數(shù)全為零。故其奇次項(xiàng)系數(shù)之和等于零。第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2、設(shè)為一多項(xiàng)式，若則或證若，則證畢。若，由于所以只能是零次多項(xiàng)式。令，又因?yàn)樗?，此即第十頁，共六十八頁?022年，8月28日三、多項(xiàng)式的帶余除法及整除1、帶余除法定理（帶余除法）設(shè)則存在唯一的多項(xiàng)式使其中或2、整除的概念設(shè)，如果存在多項(xiàng)式使，則稱整除。3、整除的充分必要條件如果，則的充分必要條件是用除所得的余式第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日注多項(xiàng)式的整除性是中元素間的一種關(guān)系，不是多項(xiàng)式的運(yùn)算。整除概念與帶余除法有密切的聯(lián)系，我們不能用帶余除法來定義整除，因?yàn)檫@樣定義整除，將會(huì)遺漏零多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式的情形。4、整除的性質(zhì)（1）任一多項(xiàng)式一定整除它自身，即（2）（3）零次多項(xiàng)式能整除任一多項(xiàng)式；（4）零次多項(xiàng)式只能被零次多項(xiàng)式整除；（5）零多項(xiàng)式只能整除零多項(xiàng)式；（6）如果，則，其中為非零常數(shù)，為常數(shù)；（7）如果，且，則第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日（8）如果，又為任意多項(xiàng)式，則（9）如果，且，則其中為任意常數(shù)。（10）多項(xiàng)式有相同的因式與倍式；（11）兩個(gè)多項(xiàng)式之間的整除關(guān)系不因系數(shù)域的擴(kuò)大而改變。5、綜合除法設(shè)以除所得的商，及余式則比較兩端同次冪的系數(shù)得第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日6、判定整除的方法為證明一個(gè)多項(xiàng)式整除一個(gè)多項(xiàng)式，如果其系數(shù)已具體給出時(shí)，通常采用帶余除法和待定系數(shù)法。如果的系數(shù)未具體給出時(shí)，可采用以下方法：現(xiàn)設(shè)出的全部復(fù)根，并假設(shè)無重根，即其中互異。再證則有從而這是因?yàn)閮蓛苫ニ兀实谑捻?，共六十八頁?022年，8月28日例1、將多項(xiàng)式按的方冪展開。解法1應(yīng)用綜合除法，即對(duì)于次多項(xiàng)式，用逐次除所得的商，得法2應(yīng)用泰勒公式，由泰勒公式得從而第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2、若，問是否必有？若不成立，舉出反例。若成立，請(qǐng)說明理由。解成立。法1因?yàn)椋裕磸亩?，故存在，使得于是，此即?有個(gè)不同的復(fù)根，設(shè)為則有，于是這表明都是的根，故第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日例3、證明（是三個(gè)任意的正整數(shù)）。分析用帶余除法及待定系數(shù)法不易證明時(shí)，可以考慮采用因式定理來證明，即的充分必要條件是證可求得的根為所以，又由知，從而設(shè)則有第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日故由因式定理知且，又因?yàn)榍一ニ?，從而即注本例證明中，是指在復(fù)數(shù)域C上，而命題本身可理解為在一般數(shù)域P上討論整除問題。這是因?yàn)檎母拍钍窃趲в喑ɑA(chǔ)上定義的，而帶余除法所得的商及余式不隨系數(shù)域的擴(kuò)大而改變，因此，上述多項(xiàng)式在P上與在C上整除是一致的。四、最大公因式的計(jì)算與證明1、最大公因式的概念設(shè)，如果滿足且，則稱為與的一個(gè)公因式；又如果與的任一公因式都能整除，則稱為與的一個(gè)最大公因式。第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、最大公因式的性質(zhì)（1）中任意兩個(gè)多項(xiàng)式與一定有最大公因式。兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式是零多項(xiàng)式，它是唯一確定的。兩個(gè)不全為零的多項(xiàng)式的最大公因式總是非零多項(xiàng)式，它們之間只有常數(shù)因子的差別；最高次項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式是唯一確定的。（2）設(shè)如果有則與的最大公因式一定是與的最大公因式，而與的最大公因式也一定是與的最大公因式。特別地，有。（這也是用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式的根據(jù)）第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日（3）設(shè)，如果是與的最大公因式，則必有，使（4）最大公因式不因數(shù)域P的擴(kuò)大而改變。2、求最大公因式的方法（1）輾轉(zhuǎn)相除法；（2）因式分解法如果求得與的典型分解式其中是首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，為常數(shù)，為非零整數(shù)，令，則第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、證明：若，則證令由于所以若由于所以從而故由于的首項(xiàng)系數(shù)為1，故第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2、設(shè)不全為0，求證：（為正整數(shù)）證法1令，即證因?yàn)樗郧尧儆谑谴思丛儆墒舰儆袕亩嬖?，使得兩邊乘得由上式知故第二十二頁，共六十八頁?022年，8月28日法2令，則且從而故有五、互素多項(xiàng)式的判定與證明1、互素多項(xiàng)式的概念如果的最大公因式為非零常數(shù)，或，則稱與互素。注①零多項(xiàng)式與任一多項(xiàng)式都不互素。②若多項(xiàng)式互素，并不要求其中任意兩個(gè)多項(xiàng)式都互素。第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、互素多項(xiàng)式的性質(zhì)（1）設(shè)，則與互素的充分必要條件是，存在，使（2）如果，且，則（3）如果，且，則（4）如果，則3、判定互素多項(xiàng)式的方法主要利用互素的充分必要條件，即第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、設(shè)都是中的非零多項(xiàng)式，且這里，又若且。證明：不存在，且使①②證用反證法。若存在使式①成立，則用乘式①兩端，得因?yàn)?，由式②有但，所以，這與矛盾。第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日證必要性設(shè)，則例2、設(shè)與是數(shù)域P上兩個(gè)一元多項(xiàng)式，為給定的正整數(shù)。求證：的充分必要條件是其中，兩邊次方得故充分性設(shè)（1）若，則（2）若不全為零，，則令有，且于是第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于所以存在，使得將上式代入得兩邊消去，得由上式得，但，故這樣繼續(xù)下去有，由于所以，其中為非零常數(shù)。故從而也是與的一個(gè)最大公因式。則有第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日六、不可約多項(xiàng)式的判定與證明1、不可約多項(xiàng)式的概念如果數(shù)域P上次數(shù)大于零的多項(xiàng)式不能表示成數(shù)域P上兩個(gè)次數(shù)比它低的多項(xiàng)式的乘積，則稱是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式。注①零多項(xiàng)式與零次多項(xiàng)式既不能說是可約的，也不能說是不可約的。②多項(xiàng)式的可約性與多項(xiàng)式所在的數(shù)域密切相關(guān)。③互素多項(xiàng)式指的是上的兩個(gè)多項(xiàng)式之間的一種關(guān)系，而不可約多項(xiàng)式是某個(gè)多項(xiàng)式本身的一種特性，這是完全不同的兩個(gè)概念，但在討論問題時(shí)，互素多項(xiàng)式與不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)又是互相利用的，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)（1）如果是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式，則也是P上的不可約多項(xiàng)式，其中是P中的非零數(shù)。（2）如果是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式，則對(duì)P上的任一多項(xiàng)式，必有或（3）如果是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式，是P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，若，則必有或（4）如果不可約多項(xiàng)式整除其中，則至少可以整除這些多項(xiàng)式中的某一個(gè)。3、不同數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上，不可約多項(xiàng)式只能是一次式；在實(shí)數(shù)域上，不可約多項(xiàng)式只能是一次式或判別式小于零的二次式；在有理數(shù)域上，存在任意次的不可約多項(xiàng)式。第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日4、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有關(guān)結(jié)論（1）愛森斯坦判別法設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果存在素?cái)?shù)，使則在有理數(shù)域上不可約。（2）有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分必要條件是，對(duì)任意有理數(shù)和，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。5、判斷有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的方法（1）愛森斯坦判別法；（2）用反證法；（3）討論有理根。判定2次和3次有理多項(xiàng)式不可約時(shí)，只需證明它沒有有理根。但當(dāng)次數(shù)大于3時(shí)，結(jié)論不再成立。如沒有有理根，但它在有理數(shù)域上是可約的。第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、證明：有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分必要條件是，對(duì)任意有理數(shù)和，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。證必要性已知不可約，假設(shè)在有理數(shù)域上可約，即其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，且次數(shù)小于的有理系數(shù)多項(xiàng)式，次數(shù)不變，且有次數(shù)，在上式中用代，所得各多項(xiàng)式仍為這說明在有理數(shù)域上可約，矛盾。故在有理數(shù)域上不可約。第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日其中是有理數(shù)域上次數(shù)小于的多項(xiàng)式，由此可得這與不可約矛盾。故在有理數(shù)域上不可約。例2、設(shè)，其中是兩兩不同的整數(shù)。證明：在有理數(shù)域上不可約。證假設(shè)在有理數(shù)域上可約，則可以分解為兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式之積，即充分性已知不可約。假設(shè)可約，設(shè)第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日其中是整系數(shù)多項(xiàng)式，且由題設(shè)可得此時(shí)有或即總有可見多項(xiàng)式有個(gè)互異的根。但這與多項(xiàng)式在任一數(shù)域中的根的個(gè)數(shù)不超過多項(xiàng)式的次數(shù)相矛盾，所以在有理數(shù)域上不可約。第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日例3、設(shè)是素?cái)?shù)，為整數(shù)，而且，證明：沒有有理根。證令，則其中⑴⑵因?yàn)?，即，則。且由，得將代入整理得矛盾。故第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日⑶否則，即，利用，得，矛盾。由艾森斯坦因判別法知在Q上不可約，由于與在Q上有相同的可約性，故在有理數(shù)域上不可約。七、重因式的判定與證明1、因式分解唯一性定理（1）令f(x)是F[x]的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，并且即，如果不計(jì)零次因式的差異，多項(xiàng)式f(x)分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的.其中為F上不可約多項(xiàng)式，是F的不為零的數(shù)，則，且適當(dāng)調(diào)整的位置可使第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）數(shù)域F上任一次數(shù)大于零的多項(xiàng)式都有唯一的典型分解式其中為的首項(xiàng)系數(shù)，是數(shù)域F上首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式且兩兩互異，而都是正整數(shù)。（3）如果已知和的典型分解式，則和的最大公因式就是那些同時(shí)在和的典型分解式中出現(xiàn)的不可約多項(xiàng)式方冪的乘積，方冪的指數(shù)等于它在和中所帶的方冪指數(shù)中較小的一個(gè)。2、重因式的概念設(shè)是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式，為非負(fù)整數(shù)，如果且，則稱是的重因式。第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日3、重因式的有關(guān)結(jié)論（1）如果不可約多項(xiàng)式是的重因式，則它是的重因式。（2）如果不可約多項(xiàng)式是的重因式，則它是的因式，但不是的因式。（3）不可約多項(xiàng)式是的重因式的充分必要條件是，是與的公因式，即（4）多項(xiàng)式?jīng)]有重因式的充分必要條件是與互素。即第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日4、判斷多項(xiàng)式有無重因式的方法第一步由求，利用輾轉(zhuǎn)相除法求出第二步如果，則無重因式；如果，則的每一個(gè)不可約因式都是的重因式。如果要求出的所有互異不可約因式，先計(jì)算則比次數(shù)低且較簡單的的所有不可約因式即是的所有互異不可約因式。第三步為確定的不可約因式的重?cái)?shù)只需累次（次）用帶余除法以除及其商式，直至不能整除，便知重?cái)?shù)了。第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、設(shè)復(fù)系數(shù)非零多項(xiàng)式?jīng)]有重因式，證明：證因?yàn)闊o重因式，所以任取與的公因式，則且于是即即是與的公因式，從而。故第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2、證明：數(shù)域P上一個(gè)次多項(xiàng)式能被它的導(dǎo)數(shù)整除的充分必要條件是其中證充分性因?yàn)樗员匾苑?利用典型分解式，設(shè)的典型分解式為其中是P上首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，是的首項(xiàng)系數(shù)，是正整數(shù)且則此處不能被任何整除。第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日因?yàn)?，所以可見可能的因式為非零常?shù)及但故設(shè)，則有即得從而這只有，且，于是設(shè)，則有法2待定系數(shù)法設(shè)則第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日由及知，存在多項(xiàng)式使比較系數(shù)可得，此時(shí)其中，于是，即為首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式，故第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日所以的不可約因式只能是及它的非零常數(shù)倍。由于包括了的全部不可約因式，考慮到的次數(shù)是，所以具有形式（）八、多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根1、多項(xiàng)式函數(shù)的概念數(shù)域P上的兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充分必要條件是在它們所定義的數(shù)域上的多項(xiàng)式函數(shù)相等。設(shè)若由多項(xiàng)式確定P中唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為P上的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日注在討論多項(xiàng)式時(shí)，無論采用形式觀點(diǎn)，還是函數(shù)觀點(diǎn)是統(tǒng)一的。采用形式觀點(diǎn)對(duì)統(tǒng)一處理多項(xiàng)式比較方便；采用函數(shù)觀點(diǎn)對(duì)研究多項(xiàng)式的根和方程理論比較直觀。2、多項(xiàng)式的根設(shè)，如果，則稱為的一個(gè)根。如果是的重因式，則稱是的重根。注①多項(xiàng)式的根是用函數(shù)觀點(diǎn)來定義的。②根據(jù)多項(xiàng)式根的定義，數(shù)域P上的每一個(gè)數(shù)都是零多項(xiàng)式的根，而零次多項(xiàng)式?jīng)]有根。3、多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)（1）余數(shù)定理設(shè)，用一次多項(xiàng)式去除所得的余式是一個(gè)常數(shù)，并等于函數(shù)值第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日注余數(shù)定理表明可以采用綜合除法確定多項(xiàng)式在時(shí)的值或驗(yàn)證是的單根或重根，這比直接將代入計(jì)算要方便得多。（2）因式定理設(shè)的充分必要條件是（3）中次多項(xiàng)式在數(shù)域P的根不可能多于個(gè)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。4、代數(shù)基本定理（1）定理每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根。（4）設(shè)，且次數(shù)都不超過。如果對(duì)于個(gè)不同的數(shù)有則第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日5、根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)是一元次多項(xiàng)式（）的個(gè)根，則根與多項(xiàng)式的系數(shù)之間有關(guān)系……………（2）次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰有個(gè)復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日6、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根如果是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)非實(shí)復(fù)數(shù)根，則它的共軛數(shù)也是的根，并且與有同一重?cái)?shù)。由此可知，奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必有實(shí)根。7、有理系數(shù)多項(xiàng)式的根設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而是它的一個(gè)有理根，其中互素，則必有。特別地，如果的首項(xiàng)系數(shù)則的有理根都是整數(shù)，而且是的因子。注①當(dāng)有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約，且時(shí)，沒有有理根。這里是必須的，如有有理根，但且不可約。第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日②“有理系數(shù)多項(xiàng)式?jīng)]有有理根，則在有理數(shù)域上不可約?！边@一命題當(dāng)時(shí)是成立的，但當(dāng)時(shí)，命題不再成立，如沒有有理根，但它在有理數(shù)域上可約。8、關(guān)于單位根（1）若是方程的解，即滿足，則稱為一個(gè)次單位根。（2）由于與它的微商互素，所以無重根，故對(duì)任意自然數(shù)，恰有個(gè)不同的次單位根（3）利用復(fù)數(shù)的開方易知，個(gè)次單位根為第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、當(dāng)正整數(shù)取何值時(shí)，有重因式。解，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要條件是與不互素，即與有公共根，于是即從而可得這表明與都是次單位根。令，則由得所以。于是，即是3次單位根，故第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2、設(shè)其中是整數(shù)，試求出使有公共有理根的全部，并求出相應(yīng)的有理根。解令由于與具有相同的根，從而可求與的公共有理根可能的有理根為：可能的有理根為：因此，它們可能的公共有理根的范圍是第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日（1）當(dāng)時(shí)，得解得由于不是整數(shù)，所以1不是與的公共有理根。（2）當(dāng)時(shí)，得解得由于不是整數(shù)，所以-1也不是與的公共有理根。第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日（3）當(dāng)時(shí)，得解得由于不是整數(shù)，所以也不是與的公共有理根。（4）當(dāng)時(shí)，得解得故僅有是與的公共有理根。此時(shí)，第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日例3、試求以為根的有理系數(shù)的不可約多項(xiàng)式。解設(shè)，且以為根，則也一定是的根，這時(shí)令下證在上不可約。由于如果有有理根，必為，但都不是的根。這就是說不可能分解為一個(gè)一次式與三次式之積。其次，如果在上分解為兩個(gè)二次式之積，則必可在上分解為兩個(gè)二次式之積，即其中，比較兩邊系數(shù)得第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日②①③④由式④知或。當(dāng)時(shí)，由式①得，再由式②得即，但是整數(shù)，矛盾。當(dāng)時(shí)，得，所以也不可能。因此不可能分解為兩個(gè)二次式之積。綜上所述，在不可約，即為所求。第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日例4、設(shè)R是實(shí)數(shù)域，并且證明：與有相同的解集。證因?yàn)椋试O(shè)于是，這表明的根一定是都是的根。反之，任取的一個(gè)根，即，則有若不是的根，則由上式有此即這與矛盾。故也是的根，綜上兩步即證結(jié)論。第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日九、重要數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解1、復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解（1）復(fù)系數(shù)次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一分解成一次因式的乘積。換句話說，復(fù)數(shù)域上任一次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都是可約的。（2）復(fù)數(shù)域上次多項(xiàng)式具有典型分解式其中是的首項(xiàng)系數(shù)，是不同的復(fù)數(shù)，是正整數(shù)且2、實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解（1）實(shí)系數(shù)次多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一分解成一次因式與二次不可約因式的乘積。換句話說，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上不可約的充分必要條件是或且第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）實(shí)數(shù)域上次多項(xiàng)式具有典型分解式其中是的首項(xiàng)系數(shù)，是不同的實(shí)數(shù)，是互異的實(shí)數(shù)對(duì)，且滿足都是正整數(shù)，且滿足3、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解（1）如果一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)互素，則稱是一個(gè)本原多項(xiàng)式。（2）設(shè)是任一有理系數(shù)多項(xiàng)式，則存在有理數(shù)及本原多項(xiàng)式使且這種表法除了相差一個(gè)正負(fù)號(hào)是唯一的。第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日（3）高斯引理兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式。（4）如果一個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，則它一定能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。（5）設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，為本原多項(xiàng)式，如果，其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，則一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。（6）在有理數(shù)域上存在任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式。例1、設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若為奇數(shù)且中至少有一個(gè)是奇數(shù)或和都不能被3除盡，則多項(xiàng)式無有理根。證若有有理根，其中與互素，則第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日因?yàn)閟與t互素，是本原多項(xiàng)式。因此是整系數(shù)多項(xiàng)式。設(shè)是任意整數(shù)，則是整數(shù)，取則有都是整數(shù)。又因?yàn)榕c都是奇數(shù)，從而s與t也都為奇數(shù)。這樣都是偶數(shù)。從而和是偶數(shù)，與假設(shè)矛盾。若都不能被3除盡，則也不能被3除盡。于是至少有一個(gè)能被3除盡。由前面的證明知和至少有一個(gè)能被3除盡，這也與假設(shè)矛盾。因此，在兩種情況下，都沒有有理根。第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2、設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。證明如果存在一個(gè)偶數(shù)及一個(gè)奇數(shù)，使與都是奇數(shù)，則沒有整數(shù)根。證設(shè)，其中是整數(shù)，由于是偶數(shù)，而是奇數(shù)，從而為奇數(shù)。這樣，對(duì)任意偶數(shù)，都有是奇數(shù)。又為奇數(shù)，也是奇數(shù)。對(duì)任意奇數(shù)，有是偶數(shù)，