高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)的運算法則

3.2.2數(shù)的運算則情景引入Qingjingru如何求得下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？1．＝5

＋3－2

＋；2．＝x－x＋ln；xx3．＝－2.22新知導(dǎo)學(xué)Xinzhidaoxue導(dǎo)數(shù)的運算法則和差的導(dǎo)數(shù)積的導(dǎo)數(shù)商的導(dǎo)數(shù)

[f(xgx)]′′xg′)[f(xgx′f′xgx＋(x)·g′x)ff[′gx≠ggY

預(yù)習(xí)自測uxizice1．已知函數(shù)fx＝＋，f′＝，則a值(A)A．C－[解析]f(xaxcf′x)2ax′2aa1.

B2D．2已fx＝x

ln，則f′x＝)eA．x

1Be＋xeC

x＋x

1D．＋xxe[解析]′(x(e)′lnex′exlnxx

ex1.x3函y＝4

＋的導(dǎo)數(shù)為)A．′43

B′cosxC′4x3＋

D．′＝x3

＋x1

[解析]y′(4sinx)(x4)′(sinx′4x3

cosx14曲fx＝3－25在x＝處切線的傾斜角為_135°__.3[解析]′(x22xx112×1135°.5求列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x－2

；(2)y＝x

＋－2)；e(3)y＝.cosx[解析]′(sin22)′(sin)′x)′cos4x(2)y′(2x3)(32)(22

3)(3′4x3(223)12x

862

918x

8(3)y′

ecosx

′

xcos2x

e

sinxcos2x互動探究解疑Hudongtanjiujieyi命題方向1

導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的應(yīng)用典例1求列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x＋2－1)；(2)y＝2sinx；12(3)y＝＋＋；xxx32(4)y＝tan－.cos[解析]′x1)2]′x1)x1)x1)′2(x1)((1)23x22

x2x3(4)y′′x2x3(4)y′′y(x21)(1)3x2x1y′(x

x21)′32

2x1.(2)y′(xsinx′(x′sinxx(sinx′2xsinxcosx.12314(3)y′′(2·x23·x3′x2x39x4.x3x42xsinxcos

′

x2x2cos2xxxcosxxxsin22sincos2xsinxcosxx2sinxx2tanxtan.cos2xcos2xcosx『規(guī)律方法』1.符導(dǎo)數(shù)運算法則形式特點的函數(shù)求導(dǎo)可直接用公式，注意不要記錯用混積商的導(dǎo)數(shù)運算法則．f′①fxgx′≠′x)′；②′.gg′2．公式[(xgx′＝f′x)gx＋xg′x)的推廣為[()·f()·f(x…x′＝123nf′x)()()…x＋fx)f′x)f(x)(x)…f(x＋…＋)x…′x)123n1234n12n3．較為復(fù)雜的求導(dǎo)運算，一般先將函數(shù)化簡，再求導(dǎo)．〔跟蹤練習(xí)1〕求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x；(2)y＝x＋＋x＋；x－(3)y＝.x＋[解析]′(·tan′

xxcosx

′

xxcos2xcosxsin2xcos2xxcosxx.cos2x(2)1y′1)(x2)(′[(xx2)](x3)(x3)[(x1)′x2)x1)(x2)′x(x1)(x2)2x1)(3)(x3

21′x21′x2)(2xx233x2

122(1)(x2)(3)(xx2)(xx36x2x6y′[(x2)(′(3

62

x6)3212x(3)1y′

′

x12x1x1222y1x1x1xy′

x

2′.命題方向2

利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)典例2(2019·云南昆明高二調(diào)研已知函數(shù)fx＝3＋2函數(shù)＝′x)圖象如圖所示，求fx)解析式．

＋過(1,5)，導(dǎo)[思路分析本主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)問題察＝′x)的圖象可知y＝′x)過點1,0)、(2,0)，f′＝，′＝[解析]f′x)ax

bxc′′0f(1)5

c0b05

.yf(xx23x12.『規(guī)律方法』1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中求導(dǎo)數(shù)是一個基本解題環(huán)節(jié)，應(yīng)仔細分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及運法則求導(dǎo)數(shù)具備導(dǎo)數(shù)運算法則的結(jié)構(gòu)形式時先恒等變形，然后分析題目特點，探尋條件與結(jié)論的聯(lián)系，選擇解題途徑．2．求參數(shù)的問題一般依據(jù)條件立參數(shù)的方程求解．〔跟蹤練習(xí)2〕偶函數(shù)fx)＝4

＋3＋＋＋的象點P(0,1)，在x＝處切線方為＝x－，y＝(x的解析式．4

＝x1a＝x1a[解析]f(xPe1.(xf)(x)ax3

cxax4

bx

cx2eb0df(xaxcx

1.(xx1yx2(1.′x)|424a21.5a，c259yf(xxx22命題方向3

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用x2典例3已曲線＝(x＝－1(>0)在＝處的切線為l，求l兩坐標軸所a圍成的三角形的面積的最小值．11[解析]f(1)－1(－1)aax2xf′x)(′a2′(1)，a12y(xaaaya10.a1y02a1x0.a11a1××2a1111a)≥×24a4

11a×1a21a，11.1.『規(guī)律方法』求線的切線方要注意分清點是否是切點已知點是切點則可通過點斜式直接寫方程，若已知點不是切點，則需設(shè)出切點．〔跟蹤練習(xí)3〕5

00000000000000函數(shù)fx＝－2－＋的象上有兩點和B，在區(qū)(0,1)內(nèi)求實數(shù)a，使得函數(shù)f(x的圖象在x＝處切線平行于直線AB.[解析]ABABf′x)3x2

21′a)1a2a112a.3學(xué)科核心素養(yǎng)Xuekehesuyang

綜合應(yīng)用問題靈活運用導(dǎo)數(shù)的運算法則求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其他知識結(jié)合解決相關(guān)問題利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離積關(guān)的幾何問題與實際問題．典例已曲線fx)＝＋ax＋在點，－處切線方程是13－－32＝(1)求a，的值；1(2)如果曲線y＝(x)的某一切線與直線l：＝－x＋垂，求切點坐標與切線的方程．4[思路分析由fx在點處的切線方程可知′(2)及6得的程組，解方程組可求出a、；(2)由曲線＝(x的切線與l垂，可得切線斜率＝′)從而解出，得切點坐00標和k[解析](xax′x32af′13,(2)8a6a1b16.x(2)y＋34yf′214x±1.f(xx3y11161411618.4(x144(x18.y418y414.處與切線有關(guān)參數(shù)問題時，一般利用曲線、切線的三個關(guān)系列方程求解．〔跟蹤練習(xí)4〕(2017·天卷已∈，設(shè)函數(shù)f(x＝－x的象在點，處切為，l6

在上的截距__1__.1[解析]f′xa，′a1.xaa1(ayax1)x01Y

易混易錯警示iyicuoshi

準確應(yīng)用公式cosx典例5若fx＝，求f′(．xcosxxsinxcos[錯解]f(xf′xxx2xπsincos1′π)π22[解分析]

“分”“”cosx－sinx－[正解]∵(x＝，f(＝＝，xx2x－πsin－π1∴′π)＝＝.π2π2課堂達標驗收Ketangdashou1．(x＝4＋xA．C－

＋，若f′＝則值等于)B0D．2．曲線y＝xA．Ce

在點A(0,1)處切斜率(A)B21D．e13．若函數(shù)fx＝x3f′－1)·x＋＋，則′＝34．河區(qū)一模)知函數(shù)fx)＝x

，′x為(x)的函數(shù)，則f′＝[解析](xxx

′xxxexxx′0)e07

f′＝.tf′＝.t5設(shè)x)＝ax

π1－sinx，且′(0)＝，′＝，，的．32[解析]′x)2bcosxab1322一、選擇題1－1．曲線運動方程為＝＋tt2A．C10

A級基鞏固，則＝時速度為B)B8D．[解析]′

1t2

t2′(22′4tt32s′

228.82函y＝·lnx的數(shù)是C)A．′C′ln＋

1B′xD．′lnx＋1[解析]y′xxxx)′lnxln1.x3已fx＝3＋3x＋，若′－＝，則a的是D)19A．313C3

16B310D．3[解析]′x3ax

610′36364a.34邵陽三模已函數(shù)fx)＝′－x

－2，則f′－＝(D)e2A．e2－

4Bee2－C4e

D．

4ee2－8

[解析]′xf′2)ex

2′′2)·e2·(4e′2).e21D.5揭一模已()＝x－實數(shù)足f′α＝f(α)＝A)4A．33C4

3B－44D．3[解析]′xcosxx′αcossin′α3(α)cosαα3sin2cosαα22×4.1223A6若數(shù)fx＝′(1)x3－x＋，則′的(D)A．C1

B－D．[解析]f′x3′x24′3′4f′2.二、填空題7．全Ⅱ文，曲線＝x點1,0)處切線方程__＝2－2__.[解析]2′，y′x

x1

02x2.π8．若曲線fx＝sin1在x＝處的切線與直線＋＋＝互相垂直則實數(shù)＝2__2__.[解析]f′x)(sinx′′xx·(sinx′sinxxcosxππππ′)sincos1.2229

a2y102a1×)a2三、解答題9．已知函數(shù)()＝3

＋2＋＋的象過點P，在點M(－，f(－處切線方程為－＋＝，函數(shù)f(x的解析式．[解析]fxP(0,2)d2()x2bxcM(1f(1))x6(1)70f(1)1′1)3.()xx2x2.B級素養(yǎng)提升一、選擇題11．不可能以直線＝＋作切線的曲線(C2A．＝xB＝x1C＝D．＝xx

bxcxf′x3x

111[解析]，y′<0y上k<0xx2x1b22若數(shù)fx＝πA．2C鈍角

x

sinx，則此函數(shù)圖象在點，處切線的傾斜角()B0D．角[解析]y′(exx4

sinxex

cosxx

4πe(sincos4)2e4sin(44x3曲y＝在(0f處切線方程為A)x＋A．－＝C－＝

B2x＝0D．x＝0

＝2x0000000000000000＝2x0000000000000000x′[解析]y′1k′|f(0)01yx2y0.2x214．滁分校下學(xué)期檢)已知曲線y＝－x的條切線的斜率為，切點的42橫坐標為)A．C3

B－D．2或3[解析]xx1(xy)(xfx－′x2x602x2x20x)175．已知fx＝，(＝x2＋＋(m<0)，線與數(shù)fxgx的圖象都相切，且22與f(x圖象的切點(，(1))，的值為)A．1C－

B－D．21[解析]f′x)，xk′1f(1)0y1.g′xlgxy001xmyxy2mx，<022.D.二、填空題6天津文知函數(shù)fx)＝eln′x為(的導(dǎo)函數(shù)′值__e__.[解析]xe

lnxex′xxlnxf′e.x7．設(shè)∈，數(shù)f(x＝3＋2＋a－x的函數(shù)是f(，f′x是函數(shù)，則曲線y＝(x在原點處的切線方程_＝－3__.[解析]′x3x2(

0000000000000000000000000000000000000000000000000′xf′(x)x22((axRa0′x)3x2

′3fx3.三、解答題8．已知函數(shù)fx＝3

＋－(1)求曲線＝f(x在(，－處的切線的方程；(2)直線為線y＝x的切線，且經(jīng)過原點，