人教版初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)史上歸納

七年級(jí)

第一章有理數(shù)

1、有理數(shù):整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。有理數(shù)包括有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)。

整數(shù):正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù):正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。

2、數(shù)軸:⑴四要素:直線、原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度。⑵正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊，數(shù)軸上右

邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)。

3、相反數(shù):只有符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。⑴如果a、b互為相反數(shù)，那么a+b=0。⑵互為相反

數(shù)的兩數(shù)位于數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。

4、絕對(duì)值:表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫數(shù)a的絕對(duì)值。⑴正數(shù)的絕對(duì)值就是它本身;負(fù)數(shù)的絕對(duì)值就是

它的相反數(shù);0的絕對(duì)值就是0。(2)兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小。

5、有理數(shù)的加法法則:①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?；?/p>

為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加與為0o③一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

④運(yùn)算律:交換律a+b=b+a。結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)。

6、有理數(shù)的減法法則:減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

7、化簡(jiǎn)規(guī)則:①同號(hào)結(jié)合;②同分母的結(jié)合;③互為相反數(shù)的結(jié)合;④湊整結(jié)合。

8、乘法法則:①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

②任何數(shù)同0相乘，都得0o③乘積就是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

④幾個(gè)不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)就是偶數(shù)時(shí)，積就是正數(shù);負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)就是奇數(shù)時(shí),積就是負(fù)數(shù)。

⑤運(yùn)算律:交換律ab=ba;結(jié)合律(ab)c=a(bc);分配律a(b+c)=ab+aco

9、除法法則：①除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。②兩數(shù)相除洞號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并

把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。

10、有理數(shù)的乘方:屋中,a叫底數(shù),n叫指數(shù)，整個(gè)結(jié)果叫痔。

①負(fù)數(shù)的奇次塞就是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕就是正數(shù)。

②正數(shù)的任何次塞都就是正數(shù),0的任何正整數(shù)次幕都就是0、

11、運(yùn)算順序：①先乘方,再乘除，最后加減。②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行。

③有括號(hào)，先算括號(hào)里的，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

12、科學(xué)計(jì)數(shù)法:axl0"」Wa<10,n就是整數(shù)。如果大于10再比整數(shù)位小一;如果就是小于1的小數(shù)，從左

數(shù)第一個(gè)不為零的數(shù)前面有幾個(gè)零,n就就是負(fù)幾次方。

13、有效數(shù)字:從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到末尾數(shù)字止,所有的數(shù)字都就是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)

字。

第二章整式加減

1、整式:⑴單項(xiàng)式:只含有數(shù)或字母的積的式子叫單項(xiàng)式。（單獨(dú)一個(gè)字母或數(shù)字也就是單項(xiàng)式）；系數(shù):

單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)；次數(shù):單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)與。

⑵多項(xiàng)式:①項(xiàng):每一個(gè)單項(xiàng)式（注意帶符號(hào)）。②次數(shù):多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)。

2、同類(lèi)項(xiàng):所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)。

3、合并同類(lèi)項(xiàng):系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變。

第三章一元一次方程

1、等式的性質(zhì)一:等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子）,結(jié)果仍相等。

等式的性質(zhì)二:等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等。

2、一元一次方程的解法:去分母T去括號(hào)T移項(xiàng)T合并同類(lèi)項(xiàng)一系數(shù)化為一。

注意:①去分母:兩邊同乘分母的最小公倍時(shí),每一項(xiàng)都不能漏乘。

②去括號(hào)：“去正不變,去負(fù)全變”。

③移項(xiàng):就是從等號(hào)一端移到另一端，移項(xiàng)要變號(hào)。

④合并同類(lèi)項(xiàng):系數(shù)相加減做系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變。

⑤系數(shù)化為一

3、一元一次方程的解的討論:ax=b①當(dāng)ar0時(shí)，方程有唯一解為x=-

a

②當(dāng)a=0而b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解。③當(dāng)a=0而brO時(shí),方程沒(méi)有解。

第四章圖形的認(rèn)識(shí)

1、直線、射線、線段:

①兩點(diǎn)確定一條直線。②兩點(diǎn)之間線段最短。③線段的比較:度量法與疊合法。

④兩點(diǎn)間的距離:連接兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度。⑤線段中點(diǎn):將線段平均分成兩部分

2、2、角:①有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫角。

②角的換算：1周角=360。；1平角=90°;1°=60';1'=60"。③角的比較:度量法與疊合法。

④角的運(yùn)算:加減乘除;度與度相運(yùn)算，分與分相運(yùn)算，秒與秒相運(yùn)算。

⑤余角與補(bǔ)角:A、B互余一A+B=90°;A、B互補(bǔ)-A+B=180°。等角的補(bǔ)角相等，等角的余角相等。

⑥角平分線:將角平均分成兩份,畫(huà)法:尺規(guī)作圖或量角器。

第五章相交線與平行線

1、三線八角:對(duì)頂角（相等）,鄰補(bǔ)角（互補(bǔ)），同位角,內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角。

2、垂直的性質(zhì):過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

3、垂線段最短。

4、點(diǎn)到直線的距離:直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度。

5、平行公理:經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論:如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。

6、平行線的判定：

①同位角相等，兩直線平行。②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。③同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線平行。

推論:垂直于同一直線的兩直線互相平行。

7、平行線的性質(zhì)：

①兩直線平行，同位角相等;②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。

8、平移:①平移前后的兩個(gè)圖形形狀大小不變，位置改變。②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。

9、命題分為題設(shè)與結(jié)論兩部分;題設(shè)就是如果后面的，結(jié)論就是那么后面的。

命題分為真命題與假命題兩種;定理就是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的真命題。

第六章平面直角坐標(biāo)系

1、對(duì)應(yīng)關(guān)系:平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。

2、平面內(nèi)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合組成的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。

水平的數(shù)軸稱(chēng)為X軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向;

豎直的數(shù)軸為y軸或縱軸，取向上為正方向;

兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

3、各象限點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)：(注意:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限)

Q4、特征坐標(biāo)：

:x軸上一縱坐標(biāo)為0;y軸上一橫坐標(biāo)為0;

第二象限，一第二象限，〉一三象限夾角平分線上一橫縱坐標(biāo)相等;

0?X

(一,+)(+,+).二四象限夾角平分線上一橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

-5、對(duì)稱(chēng)規(guī)律：

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)一橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù);

第三象限第四象限關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)一橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變;

(+—)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)一橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

6、平移規(guī)律:左右平移一縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)左減右加;上下平移一橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減。

第七章三角形

1、三邊關(guān)系:兩邊之與大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

2、三條重要的線段：

高:過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)應(yīng)邊的垂線段

中線:連接頂點(diǎn)與對(duì)應(yīng)底邊中點(diǎn)的線段

角平分線:角的平分線與對(duì)應(yīng)邊相交所得的線段

3、三角形的內(nèi)角與等于180°,外角與等于360°、

4、三角形的外角:三角形的一個(gè)外角等于與她不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的與。

三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。

5、多邊形的內(nèi)角與等于5-2)x180。,多邊形的外角與就是360°。

n(n-3)

6、多邊形的對(duì)角線:過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)可作(n—3)條，共有——條。

7、平面鑲嵌:在一個(gè)頂點(diǎn)處的各角與為360度。

單獨(dú)可鑲:正三角形,正方形，正六邊形。

兩種組合鑲嵌:邊數(shù)成倍數(shù)關(guān)系

第八章二元一次方程組

1、二元一次方程:兩個(gè)未知數(shù)，所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都就是1

2、二元一次方程組:兩個(gè)未知數(shù)相同的二元一次方程組合在一起

3、二元一次方程組的解法：

①代入消元法:由二元一次方程組中一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代

入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。

②加減消元法:兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相

減，就能消去這個(gè)未知數(shù)得到一個(gè)一元一次方程，再求解。

③消常數(shù)法:當(dāng)兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)相同或相反時(shí)，把這兩個(gè)方程相減或相加，消去常數(shù)彳導(dǎo)出兩個(gè)未知數(shù)間

的關(guān)系，再代入其中一個(gè)方程求解。

4、二元一次方程組的解:同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程的一組未知數(shù)的值。

5、實(shí)際應(yīng)用:審題一設(shè)未知數(shù)T列方程組一解方程組T檢驗(yàn)T作答。

第九章不等式與不等式組

1、不等式:含有">"、“<”、“2"、“W”、“的式子

2、一元一次不等式:一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)就是1的不等式

3、不等式的性質(zhì)：

①不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子）,不等號(hào)的方向改變。

②不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。

③不等式兩邊乘（或除以）同一負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。

4、不等式的解法:同一元一次方程一樣，注意符號(hào)與不等號(hào)方向。

5、不等式組的解：“大大取大”，“小小取小”，“大小小大取中間”，“大大小小就是無(wú)解”。

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

1、數(shù)據(jù)處理一般包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)與分析數(shù)據(jù)等過(guò)程。

⑴通過(guò)調(diào)查收集數(shù)據(jù)的一般步驟：

①明確調(diào)查問(wèn)題②確定調(diào)查對(duì)象③選擇調(diào)查方法④展開(kāi)調(diào)查⑤記錄結(jié)果⑥得出結(jié)論

⑵收集數(shù)據(jù)常用的方法:①民意調(diào)查:如投票選舉②實(shí)地調(diào)查:如現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行觀察、收集、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)③媒

體調(diào)查:報(bào)紙、電視、電話、網(wǎng)絡(luò)等調(diào)查都就是媒體調(diào)查。

2、數(shù)據(jù)的表示方法：

⑴統(tǒng)計(jì)表:直觀地反映數(shù)據(jù)的分布規(guī)律(2)折線圖:反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)

(3)條形圖:反映每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)據(jù)(4)扇形圖:反映各部分在總體中所占的百分比

(5)頻數(shù)分布直方圖:直觀形象地反映頻數(shù)分布情況6)頻數(shù)分布折線圖:在頻數(shù)分布直方圖的基礎(chǔ)上，取

每一個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn),與左右頻數(shù)為零與直方圖相距半個(gè)組距的兩個(gè)點(diǎn)

3、調(diào)查方式:⑴全面調(diào)查，優(yōu)點(diǎn)就是可靠,、真實(shí);⑵抽樣調(diào)查，優(yōu)點(diǎn)就是省時(shí)、省力,減少破壞性;隨機(jī)抽樣調(diào)

查具有廣泛性與代表性。。

4、總體與樣本:⑴總體:要考察的所有對(duì)象⑵個(gè)體:組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象

(3)樣本:從總體中抽出的所有實(shí)際被調(diào)查的對(duì)象組成一個(gè)樣本。

⑷樣本容量:樣本中給個(gè)體的數(shù)目

5、組距:每個(gè)小組兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離

6、畫(huà)直方圖的一般步驟：

⑴計(jì)算最大值與最小值的差；

⑵決定組距與組數(shù)，先根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)確定組距，再計(jì)算組數(shù)，

注意無(wú)論整除與否，組數(shù)總就是比商的整數(shù)位數(shù)多1；

(3)確定分點(diǎn)，并分組；

⑷列頻數(shù)分布表；⑸繪制頻數(shù)分布直方圖

八年級(jí)

第十一章全等三角形

1.全等三角形的性質(zhì):全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。

2.全等三角形的判定:三邊相等(SSS)、兩邊與它們的夾角相等(SAS)、兩角與它們的夾邊(ASA)、兩角與其

中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)、斜邊與直角邊相等的兩直角三角形(HL)。

3.角平分線的性質(zhì):角平分線平分這個(gè)角，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

4.角平分線推論:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在叫的平分線上。

5.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟:①、確定已知條件(包括隱含條件,

如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系)，②、回顧三角

形判定，搞清我們還需要什么，③、正確地書(shū)寫(xiě)證明格式(順序與對(duì)應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問(wèn)題)、

第十二章軸對(duì)稱(chēng)

1.如果一個(gè)圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形;這條直

線叫做對(duì)稱(chēng)軸。

2.軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

3.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。

4.線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

5.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

6.軸對(duì)稱(chēng)圖形上對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。

7.畫(huà)一圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形的步驟:找到關(guān)鍵點(diǎn),畫(huà)出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，按照原圖順序依次連接

各點(diǎn)。

8?點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y)

點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y)

點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y)

9.等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩個(gè)底角相等,(等邊對(duì)等角)

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合,簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線合一工

10.等腰三角形的判定:等角對(duì)等邊。

1L等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，等于60°,

12等.邊三角形的判定：三個(gè)角都相等的三角形就是等腰三角形。

有一個(gè)角就是60°的等腰三角形就是等邊三角形

有兩個(gè)角就是60°的三角形就是等邊三角形。

13.直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

14.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

第十三章實(shí)數(shù)

※算術(shù)平方根:一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a，那么正數(shù)x叫做a的算術(shù)乎方根，記作，?。0

的算術(shù)平方根為0;從定義可知,只有當(dāng)a>0時(shí),a才有算術(shù)平方根。

※平方根:一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方根等于a,即x2=a,那么數(shù)x就叫做a的平方根。

※正數(shù)有兩個(gè)平方根（一正一負(fù)）它們互為相反數(shù);0只有一個(gè)平方根，就就是它本身;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

※正數(shù)的立方根就是正數(shù);0的立方根就是0；負(fù)數(shù)的立方根就是負(fù)數(shù)。

整數(shù)J鬻°L2,3…)

［負(fù)整數(shù)(一1,—2,一3…)

數(shù)有理數(shù)正分?jǐn)?shù)（L2…）（整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)）a的相反數(shù)就是-a,一個(gè)

分?jǐn)?shù)（小數(shù)>23

實(shí)數(shù)■負(fù)分?jǐn)?shù)（_；,正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值就是它的

相反數(shù),0的絕對(duì)值就是0

正有理數(shù)

無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小麴

負(fù)有理數(shù)

=4ab（a>Q,b>6）^(a>0,b>Q)

第十四章一次函數(shù)

1.畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟:一、列表（一次函數(shù)只用列出兩個(gè)點(diǎn)即可，其她函數(shù)一般需要列出5個(gè)以上的點(diǎn),

所列點(diǎn)就是自變量與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值），二、描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)函數(shù)的值為

縱坐標(biāo)，描出表格中的個(gè)點(diǎn)，一般畫(huà)一次函數(shù)只用兩點(diǎn)），三、連線（依次用平滑曲線連接各點(diǎn)）。

2.根據(jù)題意寫(xiě)出函數(shù)解析式:關(guān)鍵找到函數(shù)與自變量之間的等量關(guān)系，列出等式，既函數(shù)解析式。

3.若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（kr0）的形式，則稱(chēng)y就是x的一次函數(shù)（x為自變量,y為因

變量）。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱(chēng)y就是x的正比例函數(shù)。

^（2）p->0（1）

k>3）k<0,6=0（2）

4正唯盲象就是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。（1）幡。條置或。

5.正比列函數(shù)y=kx（kr0）的圖象就是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，當(dāng)k>0時(shí)直線y=kx經(jīng)過(guò)第一、三象限,y隨x

的增大而增大，當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)第二、四象限,y隨x的增大而減小，在一次函數(shù)y=kx+b中：當(dāng)

k>0時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小。

6.已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)解析式（待定系數(shù)法求函數(shù)解析式）：

把兩點(diǎn)帶入函數(shù)一般式列出方程組

求出待定系數(shù)

把待定系數(shù)值再帶入函數(shù)一般式猾到函數(shù)解析式

7.會(huì)從函數(shù)圖象上找到一元一次方程的解（既與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo)值），一元一次不等式的解集,二元一

次方程組的解（既兩函數(shù)直線交點(diǎn)坐標(biāo)值）

第十五章整式的乘除與因式分解

1.同底數(shù)得的乘法

※同底數(shù)哥的乘法法則：都就是正數(shù)）就是基的運(yùn)算中最基本的法則,在應(yīng)用法則運(yùn)算時(shí),

要注意以下幾點(diǎn)：

①法則使用的前提條件就是:募的底數(shù)相同而且就是相乘時(shí)，底數(shù)a可以就是一個(gè)具體的數(shù)字式字母，也可

以就是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式；

②指數(shù)就是1時(shí)，不要誤以為沒(méi)有指數(shù)；

③不要將同底數(shù)哥的乘法與整式的加法相混淆,對(duì)乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加;而對(duì)于加法,不僅底

數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加；

④當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)募相乘時(shí),法則可推廣為優(yōu),（其中m、n、p均為正數(shù)）；

⑤公式還可以逆用:優(yōu)"+"=a?a"（m、n均為正整數(shù)）

2.塞的乘方與積的乘方

※入幕的乘方法則：3'"）"="""（m,n都就是正數(shù)）就是幕的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的，但兩者不能混淆、

2=3"）"'="""（加，〃都為正數(shù)）、

派3、底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí)，運(yùn)算時(shí)要注意，底數(shù)就是a與（㈤時(shí)不就是同底，但可以利用乘方法則化成同底，

如將Gap化成-a3

優(yōu)（當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)），

一般地,(—a)"=<

-a"（當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)）.

派4.底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同。

派5.要注意區(qū)別（ab1與（a+b）■'意義就是不同的，不要誤以為（a+b）”=an+b"（a、b均不為零）。

派6.積的乘方法則:積的乘方，等于把積每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的福相乘，即（"）"="*"（n為正整

數(shù)）。

※彳.騫的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。

3、整式的乘法

※⑴、單項(xiàng)式乘法法則:單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字

母,連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的就是，將系數(shù)相乘與指

數(shù)相加混淆；

②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；

③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；

④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；

⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍就是一個(gè)單項(xiàng)式。

※⑵.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是通過(guò)乘法對(duì)加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,

就就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積就是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；

②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)；

③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序。

※⑶.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法就是:在沒(méi)有合并同類(lèi)項(xiàng)之前,積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)

式項(xiàng)數(shù)的積；

②多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類(lèi)項(xiàng)；

③對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)就是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘（》+編出+加=/+（。+勿》+外,其二次

項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的與，常數(shù)項(xiàng)就是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積。對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)

不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式（mx+a）與（nx+b）相乘可以得（如+減心+份=32+。泌+/m）x+"

4.平方差公式

.平方差公式:兩數(shù)與與這兩數(shù)差的積,等于它們的平方差，

gp（a+h^a-b）=cr-b'。

。其結(jié)構(gòu)特征就是：

①公式左邊就是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù)；

②公式右邊就是兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方之差。

5.完全平方公式

01.完全平方公式:兩數(shù)與（或差）的平方，等于它們的平方與，加上（或減去）它們的積的2倍,

Qgp（a±Z?）2=a~±2ab+b2.

0口決:首平方，尾平方,2倍乘積在中央;

Q2.結(jié)構(gòu)特征:

①公式左邊就是二項(xiàng)式的完全平方;

②公式右邊共有三項(xiàng)，就是二項(xiàng)式中二項(xiàng)的平方與,再加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍。

。3.在運(yùn)用完全平方公式時(shí)，要注意公式右邊中間項(xiàng)的符號(hào),以及避免出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤。

添括號(hào)法則:添正不變號(hào),添負(fù)各項(xiàng)變號(hào)，去括號(hào)法則同樣

6、同底數(shù)騫的除法

※人同底數(shù)得的除法法則:同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即廢；=優(yōu)"一"（aWO,m、n都就是正數(shù),

且m>n）、

派2、在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn):

①法則使用的前提條件就是“同底數(shù)幕相除”而且0不能做除數(shù)，所以法則中a*0、

②任何不等于0的數(shù)的0次鬲等于1,即“。=1（"①加10°=1,（-2、5。=1）,則0。無(wú)意義、

ap=—

③任何不等于0的數(shù)的一p次鬲（p就是正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)的p的次痔的倒數(shù)，即ap（aW0,p就是正整

數(shù)），而0」O,都就是無(wú)意義的;當(dāng)a>0時(shí),武的值一定就是正的；當(dāng)a<0時(shí),爐的值可能就是正也可能就是負(fù)的,

,1,1

（-2尸=了（—2）-3

如4,8

④運(yùn)算要注意運(yùn)算順序、

7.整式的除法

Q1.單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)福分別相除,作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作

為商的一個(gè)因式；

。2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加，其特點(diǎn)就是把多項(xiàng)式除以單

項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，另外還要特別注意符號(hào)。

8、分解因式

※又把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解國(guó)式、

派2、因式分解與整式乘法就是互逆關(guān)系、

因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系：

⑴整式乘法就是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；

⑵因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘、

分解因式的一般方法：

1、提公共因式法

※人如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式

乘積的形式、這種分解因式的方法叫做提公國(guó)式法、

如：ab+ac-a(b+c)

派2、概念內(nèi)涵：

⑴因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)就是“積”；

⑵公因式可能就是單項(xiàng)式,也可能就是多項(xiàng)式；

(3)提公因式法的理論依據(jù)就是乘法對(duì)加法的分配律，即：ma+mb-mc=m(a+b-c)

派3、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

⑴注意項(xiàng)的符號(hào)與籍指數(shù)就是否搞錯(cuò)；

⑵公因式就是否提“干凈”；

(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式，提出后，括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉、

2、運(yùn)用公式法

XI、如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式、這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法、

派2、主要公式：

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵完全平方公式：?2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

?3、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

因式分解要分解到底、如--V=(/+y2MV_y2)就沒(méi)有分解到底、

XT運(yùn)用公式法：

⑴平方差公式：

①應(yīng)就是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式；

②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都就是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方；

③二項(xiàng)就是異號(hào)、

⑵完全平方公式：

①應(yīng)就是三項(xiàng)式；

②其中兩項(xiàng)同號(hào)，且各為一整式的平方；

③還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它就是前兩項(xiàng)籍的底數(shù)乘積的2倍、

3、因式分解的思路與解題步驟：

⑴先瞧各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，則先提取公因式；

⑵再瞧能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須就是幾個(gè)整式的乘積，否則不就是因式分解；

⑸因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止、

4.分組分解法：

※八分組分解法:利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法、

如:am+an+bm+hn-a(m+/?)+b(m+〃)=(〃+Z?)(m+n)

派2、概念內(nèi)涵：

分組分解法的關(guān)鍵就是如何分組，要嘗試通過(guò)分組后就是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分解,分組后就是否

可利用公式法繼續(xù)分解因式、

冰3、注意：分組時(shí)要注意符號(hào)的變化、

5、十字相乘法：

※人對(duì)于二次三項(xiàng)式+將a與c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積,a=且滿(mǎn)足

。=〃臼+生6,往往寫(xiě)成電的形式，將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解、

1

如：ax+bx+c=(atx+ct)(a2x+c2)

派2、二次三項(xiàng)式f+px+4的分解：

p-a+hq—ah1\/ax~+px+q-(x+?)(x+A>)

1人b

派3、規(guī)律內(nèi)涵：

⑴理解:把f+px+q分解因式時(shí)，如果常數(shù)項(xiàng)q就是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一

次項(xiàng)系數(shù)P的符號(hào)相同、

⑵如果常數(shù)項(xiàng)q就是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)

相同,對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要瞧它們的與就是不就是等于一次項(xiàng)系數(shù)P、

※爾易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

⑴十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)；

⑵分解的結(jié)果與原式不等，這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的就是否正確、

AAC

第十六章分式B=FC

A

1.分式的定義:如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式。

B

AA—C

分式有意義的條件就是分母不為零，分式值為零的條件分子為零且分母不為零弓=片

BB+C

2、分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

ac_acac_ad_ad

(CwO)bdbdbdbehe

3、分式的通分與約分:關(guān)鍵先就是分解因式

4、分式的運(yùn)算：

分式乘法法則:分式乘分式用分子的積作為積的分子,分母的積作為分母。

分式除法法則:分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。旦±2=55±5=普±*=竺宇

cccbabababa

分式的加減法則:同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜?/p>

分式，然后再加減

混合運(yùn)算:運(yùn)算順序與以前一樣。能用運(yùn)算率簡(jiǎn)算的可用運(yùn)算率簡(jiǎn)算。

5、任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零次哥等于1,即a。=l(aNO);當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),"-"=口(。#0)

a

6、正整數(shù)指數(shù)羯運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)哥.(m,n就是整數(shù))

⑴同底數(shù)的鬲的乘法:

(2)募的乘方：(/)"=4;

(3)積的乘方：(4)"=anbn-

⑷同底數(shù)的鬲的除法:優(yōu)"十優(yōu)=a"'-"(aW0);

(5)商的乘方：G)"=20；(brO)

bb

7、分式方程:含分式,并且分母中含未知數(shù)的方程一一分式方程。

解分式方程的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是將方程兩邊同乘以一個(gè)整式(最簡(jiǎn)公分母)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí),最簡(jiǎn)公分母有可能為0，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一

定要驗(yàn)根。

解分式方程的步驟：

⑴能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)⑵方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程;(3)解整式方程;(4)驗(yàn)根.

增根應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件:一就是其值應(yīng)使最簡(jiǎn)公分母為0,二就是其值應(yīng)就是去分母后所的整式方程的根。

分式方程檢驗(yàn)方法:將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解就是原

分式方程的解;否則，這個(gè)解不就是原分式方程的解。

列方程應(yīng)用題的步驟就是什么？⑴審;(2)設(shè);(3)列;(4)解;(5)答.

應(yīng)用題有幾種類(lèi)型;基本公式就是什么？基本上有五種:⑴行程問(wèn)題:基本公式:路程=速度X時(shí)間而行程問(wèn)

題中又分相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題.(2)數(shù)字問(wèn)題在數(shù)字問(wèn)題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.(3)工程問(wèn)題基本公

式:工作量=工時(shí)X工效.(4)順?biāo)嫠畣?wèn)題v順?biāo)?v靜水+v水.V逆水二V靜水水.

8、科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)數(shù)表示成axlO"的形式(其中l(wèi)<a<10,n就是整數(shù))的記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法.

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于10的n位整數(shù)時(shí)，其中10的指數(shù)就是〃-1

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的正小數(shù)時(shí)，其中10的指數(shù)就是第一個(gè)非0數(shù)字前面0的彳、數(shù)(包括勺數(shù)

點(diǎn)前面的一個(gè)0)在冷

第十七章反比例函數(shù)1J。

k1

1、定義形如y=￡(k為常數(shù),kro)的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。其她形式xy=ky=kx'y^k-

XX

2、圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既就是軸對(duì)稱(chēng)圖形又就是中心對(duì)稱(chēng)圖形。有

兩條對(duì)稱(chēng)軸:直線y=x與y=-x。對(duì)稱(chēng)中心就是:原點(diǎn)

3、性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增2M示；

當(dāng)kVO時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大贏落二

4、|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。

5、反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正k落在一三限,x增大y在減，圖象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變,

對(duì)稱(chēng)軸就是角分線x、y的順序可交換。

1、反比例函數(shù)的概念

k

一般地，函數(shù)y=￡(k就是常數(shù),kw0)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成y=kx'的形式。

X

自變量X的取值范圍就是XH0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也就是一切非零實(shí)數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線，它有兩個(gè)分支,這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。由于反比例函數(shù)中自變量XRO,函數(shù)y00,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線

的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例卜

,=_（心0）

函數(shù)x

k的符

k>0k<0

①x的取值范圍就是xXO,①x的取值范圍就是xHO,

y的取值范圍就是yHO;y的取值范圍就是y#0;

性質(zhì)②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別

在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi),y在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi),y

隨X的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及談就是的方法仍就是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y--中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)

X

對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值,從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過(guò)反比例函數(shù)y=人伙w0）圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM,PN廁所得的矩形PMON的面

X

積S=PM?PN=N?N=Ml。

y=xy=k,S=\k\Q

第十七章反比例函數(shù)

kI

1、定義:形如y=—（k為常數(shù),krO）的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。其她形式xy=ky=kx'y=k-

xx

2、圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既就是軸對(duì)稱(chēng)圖形又就是中心對(duì)稱(chēng)圖形。有

兩條對(duì)稱(chēng)軸:直線y=x與y=-x。對(duì)稱(chēng)中心就是:原點(diǎn)

3、性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小;

當(dāng)kVO時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。

4、|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。

二次根式知識(shí)點(diǎn)歸納

定義：一般的，式子?（a注0）叫做二次根式。其中“V”叫做一次根號(hào)，

二次根號(hào)卜.的a叫做被開(kāi)方數(shù).

性質(zhì)：1、|《（a.0）是一個(gè)羋負(fù)數(shù).即G蜜

2、|G~=|a|即］aNO,等于a;a<0.等于-a

3'（G=a（a>0）?

4>|&?-IL=?/HE.b》0)|

反過(guò)來(lái)：|〃(a》O,b》0)|

5、%=聆<a>0,b>0)

第十八章勾股定理

1、勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2o

2、勾股定理逆定理:如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2。，那么這個(gè)三角形就是直角三角形。

3、經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。

我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的

逆命題。（例:勾股定理與勾股定理逆定理）同------------7?AB皿皿，BC

1\/AB=CD;AD=BC

4、直角三角形的性質(zhì)J、\"含F(xiàn)公"

⑴、直角三角形的兩個(gè)銳角互余?？杀硎救缦?NC=90°=>ZA+ZB=90o

（2）、在直角三角形中,30,角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

NA=30°

可表示如下：=>BC=-AB

2

ZC=90°

（3）、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°]

可表示如下：J=CD=；AB=BD=AD

D為AB的中點(diǎn)

5、攝影定理

在直角三角形中,斜邊上的高線就是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊就是它們?cè)谛边吷?/p>

的攝影與斜邊的比例中項(xiàng)

ZACB=90"]「CD2=AD*BD

AY

NAC2=AD?ABJ1

CD1ABBC2=BD?AB

6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得:AB?CD=AC?BC

7、直角三角形的判定

1、有一個(gè)角就是直角的三角形就是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形就是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系標(biāo)+從=02,那么這個(gè)三角形就是直角三角

形。

8、命題、定理、證明

1、命題的概念

判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。

理解:命題的定義包括兩層含義：

⑴命題必須就是個(gè)完整的句子；

⑵這個(gè)句子必須對(duì)某件事情做出判斷。

2、命題的分類(lèi)（按正確、錯(cuò)誤與否分）

真命題（正確的命題）

命題

假命題(錯(cuò)誤的命題)

所謂正確的命題就就是:如果題設(shè)成立,那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯(cuò)誤的命題就就是:如果題設(shè)成立,不能證明結(jié)論總就是成立的命題。

3、公理

人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個(gè)命題的正確性的推理過(guò)程叫做證明。

6、證明的一般步驟

⑴根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。

⑵根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證。

(3)經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程。

9、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

⑴三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

⑵要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系:可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系:可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論:任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。

結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4:三角形一條中線與與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。

10數(shù)學(xué)口訣、

平方差公式:平方差公式有兩項(xiàng)，符號(hào)相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三項(xiàng)，首尾符號(hào)就是同鄉(xiāng)，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首土尾括號(hào)帶平方,

尾項(xiàng)符號(hào)隨中央。

第十九章四邊形

平行四邊形定義：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對(duì)邊相等;平行四邊形的對(duì)角相等。平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

平行四邊形的判定1、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形就是平行四邊形

2、對(duì)角線互相平分的四邊形就是平行四邊形；A

3、兩組對(duì)角分別相等的四邊形就是平行四邊形；

4、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形就是平行四邊形。B/7c

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

矩形的定義:有一個(gè)角就是直角的平行四邊形。

矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都就是直角;矩形的對(duì)角線平分且相等。AC=BDA/T-

矩形判定定理：1、有一個(gè)角就是直角的平行四邊形叫做矩形。2、對(duì)角線相等的平行四邊形就是阿步乙依/

3、有三個(gè)角就是直角的四邊形就是矩形。

菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

菱形的性質(zhì):菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

菱形的判定定理：1、一組鄰邊相等的平行四邊形就是菱形。2、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形就是存脛一-,D

3、四條邊相等的四邊形就是菱形。S菱形=l/2Xab（a、b為兩條對(duì)角線）\/

正方形定義:一個(gè)角就是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。J/\lc

正方形的性質(zhì):四條邊都相等,四個(gè)角都就是直角。正方形既就是矩形,又就是菱形。

正方形判定定理：1、鄰邊相等的矩形就是正方形。2、有一個(gè)角就是直角的菱形就辭正方形。

梯形的定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯胱—

直角梯形的定義:有一個(gè)角就是直角的梯形

等腰梯形的定義:兩腰相等的梯形。

等腰梯形的性質(zhì):等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等;等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。

等腰梯形判定定理:同一底上兩個(gè)角相等的梯形就是等腰梯形。

解梯形問(wèn)題常用的輔助線:如圖

線段的重心就就是線段的中點(diǎn)。平行四邊形的重心就是它的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。三角形的三條中線交于疑點(diǎn)，這一點(diǎn)

就就是三角形的重心。寬與長(zhǎng)的比就是七一(約為0、618)的矩形叫做黃金矩形。

第二十章數(shù)據(jù)的分析

1、加權(quán)平均數(shù):加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式。權(quán)的理解:反映了某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的重要程度。

學(xué)會(huì)權(quán)沒(méi)有直接給出數(shù)量，而就是以比的或百分比的形式出現(xiàn)及頻數(shù)分布表求加權(quán)平均數(shù)的方法。

2、中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)就是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就就是這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median);如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)就是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3、眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(mode)。

4、極差:一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差(range)。

5、方差:方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大;方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，就越穩(wěn)定。

6、平均數(shù):平均數(shù)受極端值的影響眾數(shù)不受極端值的影響，這就是一個(gè)優(yōu)勢(shì)，中位數(shù)的計(jì)算很少不受極端值的影響。

7、數(shù)據(jù)的收集與整理的步驟：1、收集數(shù)據(jù)2、整理數(shù)據(jù)3、描述數(shù)據(jù)4、分析數(shù)據(jù)5、撰寫(xiě)調(diào)查報(bào)告6、交流

九年級(jí)

第二十一章二次根式

1.二次根式:式子店(a>0)叫做二次根式。

2、最簡(jiǎn)二次根式:滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的二次根式,叫做最簡(jiǎn)二次根式；

⑴被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)就是整數(shù)，因式就是整式；

⑵被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。如癡不就是最簡(jiǎn)二次根式，因被開(kāi)方數(shù)中含有4就是可開(kāi)

g___I--------走

得盡方的因數(shù)，又如心，愿，J2(x+y)...........都不就是最簡(jiǎn)二次根式，而伍,5a，V

都就是最簡(jiǎn)二次根式。

3、同類(lèi)二次根式:幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二

次根式。如癡，凡炳就就是同類(lèi)二次根式，因?yàn)榘V=272,曬=3日它們與世的被開(kāi)方數(shù)均

為2。

4、有理化因式:兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有

理化因式。如癡與癡,a+而與a-而，癡-而與出+而，互為有理化因式。

二次根式的性質(zhì)：

1、癡(a>0)就是一個(gè)非負(fù)數(shù),即店>0;

2、非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：(&)2=a(a>0);

Ja(a>0)

3、某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即存=伊尸l-a(a<0)

4、非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即如=圖?布(a>0,b>0)

{a6

5、非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即Vb=而Q>0,b>0)。

21、2二次根式的乘除

1、二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘,把被開(kāi)方數(shù)相乘根指數(shù)不變，即歷口=斑9>O,b>0)o

說(shuō)明:⑴法則中“、力可以就是單項(xiàng)式，也可以就是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍,a、&都就是非負(fù)數(shù)；

(2)石?柩=40b(a>O,i>0)可以推廣為幽Gn-4b=mnjab(a>0,b>0);石-/?點(diǎn)=Jabcd(a

>Q,b>0,c>0,d>0)o

⑶等式血而=疑(。)0,5>0)也可以倒過(guò)來(lái)使用，即而=指?必(a>0,8>0)。也稱(chēng)“積的算術(shù)平方

根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

2、二次根式的除法

y/a_(a

兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即萬(wàn)一(a>0,b>0)o

說(shuō)明:⑴法則中a、8可以就是單項(xiàng)式，也可以就是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍,。>0,8在分母中，因此5

>0;

⑵柩也(a>0,5>0)可以推廣為萬(wàn)柩?(a>0,b>0,n^0);

■yJa_lala_'Ja

(3)等式右一(a>0力>0)也可以倒過(guò)來(lái)使用，即N彳一為(a>0,b>0)o也稱(chēng)"商的算術(shù)平方根”。它

與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

3、最簡(jiǎn)二次根式

⑴被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因式；

⑵被開(kāi)方數(shù)中不含分母。

21、3二次根式的加減

1、同類(lèi)二次根式

注:判斷幾個(gè)二次根式就是否為同類(lèi)二次根式,關(guān)鍵就是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡(jiǎn)二次根式，再觀

察它們的被開(kāi)方數(shù)就是否相同。

(2)合并同類(lèi)二次根式:合并同類(lèi)二次根式的方法與合并同類(lèi)項(xiàng)的方法類(lèi)似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被

開(kāi)方數(shù)不變。

2、二次根式的加減

⑴二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類(lèi)二次根式分別合并。

(2)二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，首先就是化簡(jiǎn),在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)再合并同類(lèi)二次根

式，同類(lèi)二次根式相當(dāng)于同類(lèi)項(xiàng)。

一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：

i)將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式

ii)判斷哪些二次根式就是同類(lèi)二次根式,把同類(lèi)二次根式結(jié)合成一組

畝)合并同類(lèi)二次根式

3、二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算可以說(shuō)就是二次根式乘法、除法、力口、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混

合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

⑴觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣冼乘方，后乘除，

最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。

(2)在運(yùn)算過(guò)程中，每個(gè)根式可以瞧作就是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的與可以瞧作就是“多

項(xiàng)式”。

⑶觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律與運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)與整式中的運(yùn)算律與運(yùn)算性質(zhì)，在二

次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。

4、分母有理化

⑴我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中研究了分母形如。指形式的分式的分母有理化

綜合起來(lái)，常見(jiàn)的有理化因式有:①而的有理化因式為而，②a而的有理化因式為存，③a土存的

有理化因式為a干的，④G士振的有理化因式為而干照，⑤士方方的有理化因式為。五千九夕

⑵分母有理化就就是通過(guò)分子與分母同乘以分母的有理化因式川各分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，混合運(yùn)算

中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都就是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。

第二十二章一