2022屆福建省三明高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=2+i,z-z,=5,貝

A.1B.75

C.5D.5有

2.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里，其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公

里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程（單位：萬公里）的折線圖，以

下結(jié)論不正確的是（）

使，年份代1-3分期時81年勖2014-2011

A.每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著

B.從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程與年價正相關(guān)

C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上

D.從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列

r2v2

3.已知點尸在橢圓r：—+2L=i（fl>i，>0）±,點P在第一象限，點尸關(guān)于原點。的對稱點為A,點尸關(guān)于x軸的對

ab

―-3—

稱點為。，設(shè)PD=-PQ,直線AZ）與橢圓r的另一個交點為8,若則橢圓T的離心率e=（）

4

A.-LB.也C.2D.B

2223

4.若(l-2i)z=5i(i是虛數(shù)單位)，則目的值為()

A.3B.5C.y/3D.V5

5.已知等差數(shù)列{a。},貝！I“a2>ai”是“數(shù)列{aj為單調(diào)遞增數(shù)歹爐的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

6.在A4BC中，。為中點，且通=g及j,若屁=4通+〃/,貝!)/!+〃=()

213

A.1B.-----C.—D.-----

334

7.在平行四邊形A3CD中，AB=3,A￡)=2,衣=：4及加=(才0若回.西=12,則NADC=()

543TC-247i

A.—B?—C.—D.—

6432

8.已知集合A={x|f<i},B={x|lnx<l},則

A.ADB={x|O<x<e}B.Ap|B={x|x<e}

C.A|JB={x|O<x<e}D.A|J5={x|-1<x<e}

9.已知函數(shù)y=loga（x+c）（。，c是常數(shù)，其中。＞0且的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于a,c的表述正確

的是（）

()<c<l

C.0<a<l,olD.0<a<l,0<c<l

x>y,

10.已知實數(shù)X，y滿足<x+y-1KO,則z=x+2y的最大值為()

y2-1,

3

A.2B.-C.1D.0

2

11.已知雙曲線4一《=13>0,3>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px,(p>0)的準(zhǔn)線分別交于點d、B，。為

ab

坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為若，則p=().

3

A.1B.-C.2D.3

2

12.已知函數(shù)/(?=忙2,+?—2)e*—x(?>0),若函數(shù)f(x)在xeR上有唯一零點，貝打的值為()

A.1B.,或0C.1或0D.2或0

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則正視圖的x的值________.

俯視圖

14.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐P-ABC。為

陽馬，側(cè)棱底面ABC。，且抬=3,3C=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為「，則

R

15.已知四棱錐尸-ABC。的底面48。是邊長為2的正方形，且=90°.若四棱錐P-48CO的五個頂點在以4

為半徑的同一球面上，當(dāng)最長時，則NPD4=;四棱錐尸-ABC。的體積為.

16.在四棱錐中，2鉆是邊長為的正三角形，A3CD為矩形，4D=2,PC=PQ=后.若四棱

錐P—ABCD的頂點均在球。的球面上，則球。的表面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列(/GN*),q=2,且2q,%，34成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)設(shè)〃,=log?a“，S"為數(shù)列｛a｝的前〃項和，記(=(+=+[+....+],證明：L,＜2.

J]D2o3

18.(12分)已知正實數(shù)a,b滿足a+b=4.

14

(1)求一+二的最小值.

ab

(1丫(1V25

(2)證明：a+-+b+-

Vaj｛h｝2

22

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:二+2=1(。＞0,。＞0)的短軸長為2,直線/與橢圓C相交

ab~

于AB兩點，線段AB的中點為當(dāng)"與。連線的斜率為時，直線/的傾斜角為4

24

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若卜2,P是以A3為直徑的圓上的任意一點，求證：|0日《君

20.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張

明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個人擊中鼓則得積分100分，沒有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計分.

已知張明每次擊中鼓的概率為士，王慧每次擊中鼓的概率為一；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設(shè)張明

43

和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.

(1)若家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全

自動洗衣機的概率是多少？

(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和J的分布列和數(shù)學(xué)期望E?).

21.(12分)已知三棱錐P-ABC中，AABC為等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=5設(shè)點E為小中點,

點。為AC中點，點F為PB上一點,且PF=2FB.

(1)證明：BD//平面CEF；

(2)若Q4LAC,求直線CE與平面P8C所成角的正弦值.

22.(10分)已知函數(shù)/(工)=7?+￡1-，-(。€尺),g(x)=@二.

(1)當(dāng)。為何值時，X軸為曲線y=/(x)的切線；

(2)用max｛機〃｝表示“、〃中的最大值，設(shè)函數(shù)可力=!!^(^^),^^)｝^〉。)，當(dāng)0<”3時，討論〃(x)

零點的個數(shù).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由zy=5可得z=￡,所以⑶*=島=。=石，故選B.

2.D

【解析】

由折線圖逐項分析即可求解

【詳解】

選項A,8顯然正確；

對于C,29~16>0.8,選項C正確；

1.6

1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故。錯.

故選：D

【點睛】

本題考查統(tǒng)計的知識，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識，是基礎(chǔ)題

3.C

【解析】

設(shè)p（%，x）,則A（F，-yj,。（不，一乂），。卜設(shè)Ww，%），根據(jù)QA'PB化簡得到3/=4cz,得到

答案.

【詳解】

設(shè)尸（5，X）,則A（fPD=^PQ,則小I，—?,設(shè)g,%），

2城

務(wù)

+一

［兩式相減得到：（…）”2）=一（…）"）,

^戶

7芋2

+%.a2b2

一

戶

b2x+xk-k心=』+為k一y—4（，+%）

"9=x2

2，2%，即仁'+々’i2，

%一%ay+%

PAA.PB,故kpA-kpB=-\，即一4%=-1,故3a2=4C?,^E=—.

a-2

故選：C.

【點睛】

本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

4.D

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.

【詳解】

（l-2z）z=5/（i是虛數(shù)單位）

可得|（1-2小4=慟

解得回=石

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力.

5.C

【解析】

試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

解：在等差數(shù)列｛an｝中，若a2>a”則d>0,即數(shù)列｛a-｝為單調(diào)遞增數(shù)歹（］,

若數(shù)列｛a0｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2>a”成立，

即“a2>ai”是“數(shù)列｛a”｝為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，

故選C.

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

6.B

【解析】

選取向量通，/為基底，由向量線性運算，求出而，即可求得結(jié)果.

【詳解】

BE=AE-AB=-AD-AB,AD=-（AB+AC）,

32

BE=-^AB+^AC=AAB+^iAC,

,=512

..7t9〃-9.?■/€+〃=?

663

故選：B.

【點睛】

本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

由蘇=麗+而=-AD-^AB,CQ=Cl5+DQ=-AB-^AD，利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得NBAD=

利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】

D,..................-C

Q

如圖所示,

B

平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=2,

AP=-AB,AQ^-Ab,

32

_________9___

：.CP^CB+BP=-AD——AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因為麗?西=12,

所以方.詼=卜通_|而一通而）

2--21----24—------

=-AB+-AD+-ABAO

323

214

=—x32+—x2?+—x3x2xcosZBAD=12,

323

1,71

cos/BAD=—,/BAD——,

23

所以乙4￡）。=萬一二，故選C.

33

【點睛】

本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（1）平行四邊

形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是

和）.

8.D

【解析】

因為A={尤,B={x|lnx<l}={A-|O<x<e},

所以An8={x[0<x<l},AUB={x|—l<x<e},故選D.

9.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.

【詳解】

從題設(shè)中提供的圖像可以看出0<a<1,log”c>0,log“（1+c）>0,

故得()<C<1,O<(7<1,

故選:D.

【點睛】

本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線即可求解.

【詳解】

由圖形知，y=-^-x+^-z

經(jīng)過點時，其截距最大，此z時最大

22

1

X--

y=x2

得C

x+y-l=O1

1

x=—

23

當(dāng)J時HJ，Z=-—+2X-=—

?*max222

y=-

1.2

故選：B

【點睛】

考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

試題分析：拋物線)，2=2〃x,(p>0)的準(zhǔn)線為x=一《，雙曲線的離心率為2,貝(1/=1+4,

2aa

漸近線方程為y=±瓜，求出交點A(-g孚)，B(-合一字)，SM。B=；X&X

—=—―p2=\/3，則P=2；選C

24

考點：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；

12.C

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)1>0時，只需./?(—hv)=O,即lnr-'+l=O,令ga)=lnf—工+1,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,

tt

即可求出參數(shù)f的值，當(dāng)t=0時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷；

【詳解】

解：?：f(x)=te2x+(t-2)ex-x(Z>0),

:.f\x)=2te2x+(f—2)ev-1=(fe'—1)(2e'+1),.?.當(dāng)f>0時，由/'(x)=0得x=—Inr,

則/(X)在(T>o,-lnf)上單調(diào)遞減，在(-Inf,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(—Inf)是極小值，.?.只需/(-lnf)=0,

即In/—!+1=0.令g(f)=lnf—1+1,則8'。)=1+二>0,.\函數(shù)8(力在(0,+8)上單

tttt

調(diào)遞增.???g(l)=0,

當(dāng)f=0時,f(x)=-2ex-x,函數(shù)F(X)在R上單調(diào)遞減，V/(l)=-2e-l<0,/(-2)=2-2e-2>0,函數(shù)f(x)

在R上有且只有一個零點，.?〃的值是1或0.

故選：C

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3

【解析】

由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面，梯形上下邊長為1和2,高為2，

如圖所示，AD=1,BC=2,SB=x,AD//BC,SB，平面ABCD,AD±AB,

所以底面積為S==x(l+2)x2=3,

2

幾何體的高為X,所以其體積為V=；x3xx=3nx=3.

點睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見

輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視

圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以

及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.

14.叵

2

【解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，由此能求出內(nèi)切球a在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是

2

AE4D的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為丁?1，由此能求出g.

【詳解】

?.■四棱錐尸一ABC。為陽馬，側(cè)棱底面ABC。，

且PA=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，

.-.（2/?）2=/lB2+AC>2+AP2=16+16+9=41,

：.R=叵,

2

???側(cè)棱B4_L底面ABC。，且底面為正方形，

內(nèi)切球。|在側(cè)面尸AO內(nèi)的正視圖是APAD的內(nèi)切圓，

二內(nèi)切球半徑為「=予儂'二1,

4.7?"I

故一二----

r2

故答案為苧.

【點睛】

本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題，補形法的運用，以及數(shù)學(xué)文化，考查了空間想象能力，是中檔題.解

決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有

很多，主要有兩種：（1）補形法（構(gòu)造法），通過補形為長方體（正方體），球心位置即為體對角線的中點；（2）外心

垂線法，先找出幾何體中不共線三點構(gòu)成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線，則

球心一定在垂線上.

15.90°

3

【解析】

易得AB，平面PAD,P點在與BA垂直的圓面。|內(nèi)運動，顯然，PA是圓O,的直徑時，PA最長；將四棱錐P-ABCD

補形為長方體A4GP-ABCO,易得心為球的直徑即可得到尸。，從而求得四棱錐的體積.

【詳解】

如圖，由NPAB=90"及MLAD，得平面R1O,

即P點在與BA垂直的圓面0｝內(nèi)運動，

易知，當(dāng)尸、A三點共線時，出達(dá)到最長，

此時，R4是圓。?的直徑，貝！lNPD4=9（r；

又所以尸。_1_平面48C。，

此時可將四棱錐P-ABCD補形為長方體AgCP-ABCD,

其體對角線為9=2火=8,底面邊長為2的正方形，

易求出，高PD=2jiZ，

故四棱錐體積V=1x4x2舊=8叵.

33

故答案為：（1）90。；（2）"二.

3

【點睛】

本題四棱錐外接球有關(guān)的問題，考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.

16.28〃

【解析】

做AO中點尸，8c的中點G,連接PfPGfU,由已知條件可求出PE=3,PG=M，運用余弦定理可求

NPFG=120，從而在平面PfG中建立坐標(biāo)系，則P,￡G以及八曰/）的外接圓圓心為。和長方形A8C。的外接

圓圓心為2在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求，通過球心。滿足。&_LPE,OO2，F(xiàn)G,即可求出。的坐標(biāo)，從而可求球

的半徑，進(jìn)而能求出球的表面積.

【詳解】

解：如圖做A。中點F，BC的中點G,連接PF,PG,FG,由題意知

PF±AD,PG±BC,則PF=2舟sin60=3,PG=422-3=V19

2

設(shè)APAD的外接圓圓心為。，則0］在直線PF上且PO,=-PF

設(shè)長方形ABCD的外接圓圓心為02,則02在FG上且FO2=GO2.設(shè)外接球的球心為。

32+?2-19I

在APFG中，由余弦定理可知cos/PEG=---------=--，ZPFG=\20.

2x3x22

在平面PFG中，以尸為坐標(biāo)原點，以FG所在直線為x軸，以過戶點垂直于x軸的直

線為y軸，如圖建立坐標(biāo)系，由題意知，。在平面PFG中且。Q,尸色。。？L/G

6373

/33⑥y-----------

設(shè)O（l,y）,則。,因為OOi上PF,所以：—卜=告

解得y=26.則|P0|=

所以球的表面積為4萬x

故答案為：28乃.

【點睛】

本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補充到長

方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的

球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設(shè)半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)%=2",nwN*；(H)見解析

【解析】

(I)由4=2,且2%,%,3%成等差數(shù)列，可求得從而可得本題答案；

1

(U)化簡求得2,然后求得廢，再用裂項相消法求即可得到本題答案.

【詳解】

(I)因為數(shù)列｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列q=2,可設(shè)公比為q,9>(),

又24，%,34成等差數(shù)列，

所以2%=冽+3a2,即2x2q2=4+3x2q,

解得q=2或4=一^(舍去)，則a“=%q"T=2",〃eN*;

(II)證明：bn=log2an-log,2"=〃，

1122-

Sn=-?(?+!)?不=<，.

2Sn〃(〃+1)\n〃+1

.111+!=2(1-！+!-！+...+，---=2(1-------!—),

貝!1善=v+T+T+

,I”?3Sn223nn+\n+l

因為0<.為所以”21-?卜

即147；<2.

【點睛】

本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項相消法求和并證明不等式，考查學(xué)生的運算求解能力和推理證明

能力.

9

18.(1)-；(2)見解析

4

【解析】

(1)利用乘T”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.

(2)直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.

【詳解】

14

(1)因為。+〃=4，所以一+7=

ab

因為a>0,b>0,所以2b+」4a..4(當(dāng)且僅當(dāng)b巳4=a空，即力4=82時等號成立),

abab33

lfb4a)1.八9

所以T5c+一+丁...-x(5+4)=-

4^ab)A4

【點睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.

19.(1)+/=1；(2)詳見解析.

【解析】

（1）由短軸長可知b=i,設(shè)A（M，X）,8（馬,則），由設(shè)而不求法作差即可求得2a=-4?土玉，將相應(yīng)值

%一%"y+%

代入即求得a=&,橢圓方程可求；

（2）考慮特殊位置，即直線/與x軸垂直時候，|OP|=lwg成立，當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)出直線/方程>=丘+〃?,

與橢圓聯(lián)立，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，弦長公式，得到加與攵的關(guān)系，將表示出來，結(jié)合基本不等式求最值，證

明最后的結(jié)果

【詳解】

解：（1）由已知，得人=1

（22

玉-1

”爐

由，，，兩式相減，得

工+二=1

。一）'「片

-2e

王一9a必+%

根據(jù)已知條件有，

當(dāng)上玉=—2時，入二&7

X+%與一工2

—>即a=y/2

a22

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+/=l

（2）當(dāng)直線/斜率不存在時，|oR=i<6,不等式成立.

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)/：y="+加

y=kx+m

得（2^+1）/+4

,%2+2/=2Azm

-4km2m1-2

…=赤？否"FT?△=16攵2—8>+8>0

-2kmm4&2+]

?M-?nv

2&2+1'2/+1（2左2+1）

11r2>/2*\J\+2Zs"—m

由AB=Jl+公r_.......=2

112k2+\

23+1

化簡，得病

2k2+2

2k2+\

?/1（2/2公+2

4公+1

(2%2+1)(2廿+2)

令4-+1=年1，則

4

1（，+皿+3）-

?Z+-+4

t

當(dāng)且僅當(dāng)「=由時取等號

:.\0M\<“-2百=G-1

?：\OP\<\OM\+i

：.\OP\<y/3

當(dāng)且僅當(dāng)甘=走二!■時取等號

4

綜上，|0產(chǎn)區(qū)指

【點睛】

本題為直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓方程的求法，點差法處理多未知量問題，能夠利用一元二次方程的知識轉(zhuǎn)

化處理復(fù)雜的計算形式，要求學(xué)生計算能力過關(guān)，為較難題

2

20.(1)-(2)詳見解析

【解析】

(D要積分超過200分，則需兩人共擊中4次，或者擊中3次，由此利用相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概

率.

(2)求得J的所有可能取值，根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)由題意，當(dāng)家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，所以要想領(lǐng)取一臺全自動洗衣

機，則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件A,為“張明第i次擊中”，事件均為“王慧第i次擊中”,

i=l,2,由事件的獨立性和互斥性可得P（張明和王慧家庭至少擊中三次鼓）

=「（44與52）+尸（不4452）+2（4%與52）+2（44瓦52）+P（444瓦）

3322/13223312、2

=TXTXTX-+2X-X-X-X-+-X-X-X-所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概

4433144334433；3

2

率是記

（2）4的所有可能的取值為一200,-50,100,250,400.

P(^=-200)=-xlxlxl=—,

74433144

D"W。C112,311D5

P(c=-50)=2x—x—x—x—+—x—x—x—|=——，

(44334433)72

D"""C312)3311112237

-100)--4x—x—x—x—+—x—x—x—+—x—x—x—=---,

(4433144334433144

…"3312312215

P(J=250)=2x]—x—x—x—+—x—x—x—=——，

(443344312

……、3322361

P(占=400)=-x—x—x—=---=—.

744331444

???€的分布列為

-200-50100250400

15375

P

153751

E(a=-200x——+(-50)x—+100x——+250x—+400x—=225(分)

【點睛】

本小題考查概率，分布列，數(shù)學(xué)期望等概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)據(jù)處理，應(yīng)用

意識.

21.（1）證明見解析；（2）—

6

【解析】

（1）連接PD交CE于G點，連接尸G,通過證8D//FG,并說明FGu平面CEF,來證明B。//平面CEV

（2）采用建系法以A3、AC、AP所在直線分別為工、》、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-wz,分別表示出對應(yīng)的

點B,C,P,E坐標(biāo)，設(shè)平面PBC的一個法向量為萬=(x,y,z),結(jié)合直線對應(yīng)的屋和法向量萬，利用向量夾角的余

弦公式進(jìn)行求解即可

【詳解】

(1)證明：如圖，

連接PO交CE于G點，連接FG,???點E為姑的中點，點。為AC的中點，

，點G為的重心，則PG=2G￡>,\PF=2FB,:.FG//BD,

又?./Gu平面CE產(chǎn)，BDB平面CEF,,BD//平面CEF；

(2)-.-AB=AC,PB=PC,PA=PA,:.APAB=APAC,

\PA1AC,:.PA±AB,可得弘=2,又?.?A3J_AC,

則以A3、AC.AP所在直線分別為x、,、二軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一移z,

則A(0,0,0),5(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),E(0,0,l)

BC=(-1,1,0),BP=(-1,0,2),CE=(O,-1,1).

=—r+v=0

設(shè)平面PBC的一個法向量為萬=(x,y,z),由)

n-BP=-x+2z^0

取z=l,得"=(2,2,1).設(shè)直線CE與平面PBC所成角為凡

則sin0^cos<n,CE>\=畢」=—.A直