線性代數(shù)課件-向量空間與線性變換

2023/2/171線性代數(shù)第11講向量空間與線性變換2023/2/1724.1Rn的基與向量關(guān)于基的坐標(biāo)2023/2/173Rn中的n個(gè)單位向量

e1=[1,0,0,...,0]

e2=[0,1,0,...,0]

...

en=[0,0,0,...,1]

是線性無(wú)關(guān)的

一個(gè)n階實(shí)矩陣A=[aij]nn,如果|A|0,則A的n個(gè)行向量和n個(gè)列向量也都是線性無(wú)關(guān)的.此外,Rn中任何n+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的,因此Rn中任一向量a都可用Rn中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量來(lái)表示,且表示法唯一.由此給出基和坐標(biāo)的概念.2023/2/174定義1設(shè)有序向量組B={b1,b2,...,bn}Rn,如果B線性無(wú)關(guān),則任給aRn有

a=a1b1+a2b2+...+anbn, (4.1)

就稱B是Rn的一組基(或基底),有序數(shù)組(a1,a2,...,an)是向量a關(guān)于基B(或說(shuō)在基B下)的坐標(biāo),記作

aB=[a1,a2,...,an]或aB=[a1,a2,...,an]T,

并稱之為a的坐標(biāo)向量.

顯然Rn的基不是唯一的,而a關(guān)于給定的基的坐標(biāo)是唯一的.以后把n個(gè)單位向量組成的基稱為自然基或標(biāo)準(zhǔn)基.2023/2/175在三維幾何向量空間R3中,i,j,k是一組標(biāo)準(zhǔn)基,R3中任一向量a可唯一地表示為

a=xi+yj+zk,

這里有序數(shù)組(x,y,z)稱為a在基i,j,k下的坐標(biāo).如果a的起點(diǎn)在原點(diǎn),(x,y,z)就是a的終點(diǎn)P的直角坐標(biāo).(以后常用R3中向量a與空間點(diǎn)P的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)Rn中的一些問(wèn)題及其結(jié)論在R3中作幾何解釋).2023/2/176為討論方便,對(duì)向量及其坐標(biāo)常采用列向量的形式[a1,a2,...,an]T,則式子

a=a1b1+a2b2+...+anbn, (4.1)

可表示為分塊矩陣相乘的形式2023/2/177設(shè)B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}是Rn的兩組基,則h1,h2,...,hn也都能被B1唯一地表示可用分塊矩陣表示為2023/2/178定義2設(shè)Rn的兩組基B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}滿足矩陣A稱為舊基B1到新基B2的過(guò)渡矩陣.過(guò)渡矩陣一定是可逆的.2023/2/179定理2設(shè)向量a在兩組基B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}下的坐標(biāo)向量分別為

x=[x1,x2,...,xn]T和y=[y1,y2,...,yn]T.

基B1到基B2的過(guò)渡矩陣為A,則

Ay=x

或 y=A-1x.

證由已知條件,有(4.6)式成立,且

a=x1a1+x2a2+...+xnan

=y1h1+y2h2+...+ynhn,

故2023/2/1710由于a在基a1,a2,...,an下的坐標(biāo)是唯一的,所以

Ay=x

或y=A-1x.2023/2/1711在R2中,任意兩個(gè)不在一條直線上(線性無(wú)關(guān))的向量a1,a2都可以構(gòu)成一斜角坐標(biāo)系:a1a22023/2/1712但是在實(shí)際應(yīng)用中更希望獲得直角的坐標(biāo)系,即希望a1,a2相互垂直,且a1和a2的長(zhǎng)度都是1.a1a22023/2/17134.2Rn中向量的內(nèi)積標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交矩陣4.2.1n維實(shí)向量的內(nèi)積,歐氏空間2023/2/1714前面討論n維實(shí)向量空間中只定義了向量的線性運(yùn)算,它不能描述向量的度量性質(zhì),如長(zhǎng)度,夾角等.在三維幾何空間中,向量的內(nèi)積(即點(diǎn)積或數(shù)量積)描述了內(nèi)積與向量的長(zhǎng)度及夾角間的關(guān)系.由內(nèi)積定義可以得到2023/2/1715若a=a1i+a2j+a3k,簡(jiǎn)記為a=(a1,a2,a3),

b=b1i+b2j+b3k,簡(jiǎn)記為b=(b1,b2,b3).

由內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)和內(nèi)積的定義,可得

a

b=a1b1+a2b2+a3b3.

現(xiàn)在把三維向量的內(nèi)積推廣到n維實(shí)向量,在n維實(shí)向量空間中定義內(nèi)積運(yùn)算,進(jìn)而定義向量的長(zhǎng)度和夾角,使n維實(shí)向量具有度量性.2023/2/1716定義1設(shè)a=[a1,a2,...,an]T和b=[b1,b2,...,bn]TRn,規(guī)定a與b的內(nèi)積為:

(a,b)=a1b1+a2b2+...+anbn

當(dāng)a,b為列向量時(shí),(a,b)=aTb=bTa.

根據(jù)定義,容易證明內(nèi)積具有以下的運(yùn)算性質(zhì):

(i)(a,b)=(b,a)

(ii)(a+b,g)=(a,g)+(b,g) (4.8)

(iii)(ka,b)=k(a,b);

(iv)(a,a)0,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=0

其中a,b,gRn,kR

由于性質(zhì)(iv),可用內(nèi)積定義n維向量a的長(zhǎng)度.2023/2/1717定義2向量a的長(zhǎng)度定理1

向量的內(nèi)積滿足

|(a,b)||a||b|. (4.10)(4.10)式稱為Couchy-Schwarz(柯西-許瓦茲)不等式.2023/2/1718證當(dāng)b=0時(shí),(a,b)=0,|b|=0,(4.10)式顯然成立.

當(dāng)b0時(shí),作向量a+tb(tR),由性質(zhì)(iv)得

(a+tb,a+tb)0.

再由性質(zhì)(i),(ii),(iii)得:

(a,a)+2(a,b)t+(b,b)t20.

上式左端是t的二次三項(xiàng)式,且t2系數(shù)(b,b)>0,因此4(a,b)2-4(a,a)(b,b)0,

即 (a,b)2(a,a)(b,b)=|a|2|b|2,

故 |(a,b)||a||b|.

不難證明(4.10)式等號(hào)成立的充分必要條件為a與b線性相關(guān).2023/2/1719當(dāng)a=[a1,a2,...,an]T,b=[b1,b2,...,bn]T時(shí),利用定理1可得由于內(nèi)積滿足Cauchy-Schwarz不等式,于是可以利用內(nèi)積定義向量之間的夾角.定義3

向量a,b之間的夾角2023/2/1720定理2非零向量a,b正交(或垂直)的充分必要條件是(a,b)=0.

由于零向量與任何向量的內(nèi)積為0,因此,也說(shuō)零向量與任何向量正交.

在三維幾何空間中,向量a,b,a+b構(gòu)成三角形,三個(gè)向量的長(zhǎng)度滿足三角形不等式

|a+b||a|+|b|. (4.13)

當(dāng)ab時(shí),滿足勾股定理

|a+b|2=|a|2+|b|2. (4.14)2023/2/1721下面證明,在定義了內(nèi)積運(yùn)算的n維向量空間中,三角形不等式和勾股定理仍然成立.下面給出它們的證明:

|a+b|2=(a+b,a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b) (1)

|a|2+2|a||b|+|b|2 (2)

=(|a|+|b|)2,

故 |a+b||a|+|b|

上面的(1)到(2)利用了Cauchy-Schwarz不等式.

當(dāng)ab時(shí),(1)式中的(a,b)=0,于是就有

|a+b|2=|a|2+|b|2.2023/2/1722定義4定義了內(nèi)積運(yùn)算的n維實(shí)向量空間稱為n維歐氏空間,仍記作Rn.2023/2/17234.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基

在n維歐氏空間Rn中,長(zhǎng)度為1的單位向量組

e1=[1,0,0,...,0]T,e2=[0,1,0,...,0]T,...,en=[0,0,0,...,1]T.

顯然是兩兩正交的線性無(wú)關(guān)的向量組,稱它為Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.然而,n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基不是唯一的,為了說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題,首先證明兩兩正交不含零向量的向量組線性無(wú)關(guān),再給出標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義,最后給出由Rn中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量構(gòu)造成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的施密特正交化方法.2023/2/1724定理3Rn中兩兩正交且不含零向量的向量組(稱為非零正交向量組)a1,a2,...,as是線性無(wú)關(guān)的.

證設(shè) k1a1+k2a2+...+ksas=0,

則由于(ai,ai)>0,故ki=0,i=1,2,...,s.因此,a1,a2,...,as線性無(wú)關(guān).2023/2/1725定義5設(shè)a1,a2,...,anRn,若則稱{a1,a2,...,an}是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.2023/2/1726例1設(shè)B={a1,a2,...,an}是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,求Rn中向量b在基B下的坐標(biāo).

解設(shè)b=x1a1+x2a2+...+xnan,

將上式兩邊對(duì)aj(j=1,2,...,n)分別求內(nèi)積,得故b在標(biāo)準(zhǔn)正交基a1,a2,...,an下的坐標(biāo)向量的第j個(gè)分量為

xj=(b,aj),j=1,2,...,n.2023/2/1727在R3中取i,j,k為標(biāo)準(zhǔn)正交基,例1中的x1,x2,x3就是a在i,j,k上的投影.

4.2.3施密特(Schmidt)正交化方法

施密特正交化方法是將Rn中一組線性無(wú)關(guān)的向量a1,a2,...,an,作一種特定的線性運(yùn)算,構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的方法.

先從R3的一組基a1,a2,a3構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,以揭示施密特正交化方法的思路和過(guò)程.2023/2/1728令b1=a1,將a2在b1上的投影向量記作g12=k12b1再取b2=a2-g12=a2-k12b1,則b2b1Og12a1=b1a2b2=a2-g122023/2/1729由于a3與a1,a2不共面,所以a3與b1,b2不共面,如果記a3在b1,b2平面上的投影向量為g3,即

g3=g13+g23=k13b1+k23b2.

并取 b3=a3-g3=a3-k13b1-k23b2,

則b3b1,b3b2.a3b2b1b3=a3-g3g13g23g32023/2/1730如此求得的b1,b2,b3是兩兩正交的非零向量組.再將b1,b2,b3單位化,即取則h1,h2,h3就是R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.2023/2/1731由Rn中線性無(wú)關(guān)向量組a1,a2,...,am也可類似地構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組h1,h2,...,hm,步驟為:取

b1=a1,

b2=a2+k12b1,

由于b1,a2線性無(wú)關(guān),所以b2O,為使b1,b2正交,即

(b2,b1)=(a2+k12b1,b1)

=(a2,b1)+k12(b1,b1)=0,

便得2023/2/1732再取b3=a3+k23b2+k13b1,

使(b3,b1)=(b3,b2)=0,又得假定已求出兩兩正交的非零向量b1,b2,...,bj-1,再取bj=aj+kj-1,jbj-1+...+k2jb2+k1jb1,為使bj與bi(i=1,2,...,j-1)正交,即

(bj,bi)=(aj,bi)+kij(bi,bi)=0,即得2023/2/1733因此,令