河南省洛陽市寶山陵園2021年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

河南省洛陽市寶山陵園2021年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合中的元素是△的三邊長，則△一定不是（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形參考答案：D略2.已知為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，集合，，映射：表示把集合中的元素映射到集合中仍為，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D3.（5分）如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則=（） A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +參考答案：C考點(diǎn)： 向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 根據(jù)向量的幾何意義即可求出解答： 在△BCD中，=+=+，故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了向量的加減混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題4.設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)為

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D5.下列哪組中的兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)（

）A.

B.C.

D.參考答案：D6.設(shè)，則的大小關(guān)系是

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B7.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若，則△ABC的形狀是（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形參考答案：D【分析】先根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式以及二倍角公式化簡得角的關(guān)系，最后根據(jù)角的關(guān)系確定三角形形狀.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，從?因?yàn)椋?所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形.選D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、兩角和正弦公式以及二倍角公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.8.下列函數(shù)中，在區(qū)間為增函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.若是方程的解，則屬于區(qū)間 （

） A． B． C． D．參考答案：C10.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為，若,則角=(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了解某地高一年級(jí)男生的身高情況，從其中的一個(gè)學(xué)校選取容量為60的樣本(60名男生的身高，單位：cm)，分組情況如下：分組151.5～158.5158.5～165.5165.5～172.5172.5～179.5頻數(shù)62l

m頻率

a0.1則表中的m=

，a=

參考答案：6；0.45【詳解】故答案為m=6,a=0.45.

12.函數(shù)(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn).

參考答案：(1,2)13.（1）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）曲線：

與曲線：

，的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為____________.參考答案：（1）（0，0），，14.已知函數(shù)y=log2（ax﹣1）在（1，2）單調(diào)遞增，則a的取值范圍為．參考答案：[1，+∞）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】由題意可得a＞0且a×1﹣1≥0，由此解得a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)y=log2（ax﹣1）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴a＞0且a×1﹣1≥0，解得a≥1，故a的取值范圍為[1，+∞），故答案為[1，+∞）．15.己知函數(shù)，有以下結(jié)論：①f(x)的圖象關(guān)于直線y軸對(duì)稱

②f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減③f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是

④f(x)的最大值為則上述說法正確的序號(hào)為__________（請(qǐng)?zhí)钌纤姓_序號(hào)）.參考答案：②④【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)得到答案.【詳解】，根據(jù)圖像知：①f(x)的圖象關(guān)于直線y軸對(duì)稱，錯(cuò)誤②f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確③f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是

，錯(cuò)誤④f(x)的最大值為，正確故答案為②④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖像，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)的綜合理解和應(yīng)用.

16.在△ABC中，已知，，，則=

.參考答案：4略17.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是，若將數(shù)列{an}中的項(xiàng)從小到大按如下方式分組：第一組：(2,4)，第二組：(6,8,10,12)，第三組：(14,16,18,20,22,24)，…，則2018位于第________組.參考答案：32【分析】根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中數(shù)的個(gè)數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律使問題得到解決．【詳解】根據(jù)題意:第一組有2＝1×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為4；第二組有4＝2×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為12，即2×（2+4）；第三組有6＝2×3個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為24，即2×（2+4+6）；…∴第n組有2n個(gè)數(shù)，其中最后一個(gè)數(shù)為2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴當(dāng)n＝31時(shí)，第31組的最后一個(gè)數(shù)為2×31×32＝1984，∴當(dāng)n＝32時(shí)，第32組的最后一個(gè)數(shù)為2×32×33＝2112，∴2018位于第32組．故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查觀察與分析問題的能力，考查歸納法的應(yīng)用，從有限項(xiàng)得到一般規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（1）計(jì)算f（f（））的值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+c，若函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】（1）求出f（）的值，再求出f（f（））的值即可；（2）通過討論x的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出c的范圍即可．【解答】解：（1）由已知得f（）=f（﹣2）=﹣2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+1=1．∴f（f（））=f（1）=1+1=2…（2）當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣2x2﹣4x+1=﹣2（x+1）2+3．根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間[﹣1，0]上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+1，顯然f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．綜上，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，﹣1）和（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是[﹣1，0]…（3）作出f（x）的圖象，如圖：函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）+c=0有三個(gè)不同實(shí)根，又方程f（x）+c=0等價(jià)于方程f（x）=﹣c，∴當(dāng)f（x）的圖象與直線y=﹣c有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)．?dāng)?shù)形結(jié)合得，c滿足，1＜﹣c＜3，即﹣3＜c＜﹣1．因此，函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)c的取值范圍是（﹣3，﹣1）…19.（本小題滿分14分）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個(gè)上界.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，即，得，而當(dāng)時(shí)不合題意，故.

……4分（2）由（1）得：，下面證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明略.

………6分所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以，故函?shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為.……8分（3）由題意知，在上恒成立.

，.在上恒成立. ……10分設(shè)，，，由得,設(shè)，，,所以在上遞減，在上遞增，

………………12分在上的最大值為，在上的最小值為.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

…14分20.函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在它的某一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間是[，]．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）將y=f（x）的圖象先向右平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為g（x），若對(duì)于任意的x∈[，]，不等式m＜g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】（I）根據(jù)周期公式計(jì)算ω，根據(jù)f（）=1計(jì)算φ，從而得出f（x）的解析式；（II）利用函數(shù)圖象變換得出g（x）解析式，求出g（x）的最小值即可得出m的范圍．【解答】解：（I）由已知得，=﹣=，即T=π，∴=π，∴ω=2，又f（）=sin（+φ）=1，∴+φ=+2kπ，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z．又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）的解析式為f（x）=sin（2x﹣）．（II）將y=f（x）圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin（2x﹣）的圖象，∴g（x）=sin（4x﹣），∵x∈[，]，∴4x﹣∈[﹣，]，∴當(dāng)4x﹣=﹣時(shí)，函數(shù)g（x）在[，]上的最小值為﹣．∴m．21.定義：已知函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質(zhì)．例如函數(shù)在[1，9]上就具有“DK”性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)f（x）=x2﹣2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性質(zhì)？說明理由；（2）若g（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）直接根據(jù)新定義進(jìn)行判斷即可．（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出對(duì)稱軸，對(duì)其進(jìn)行討論，根據(jù)新定義求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+2，x∈[1，2]，對(duì)稱軸x=1，開口向上．當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值為f（1）=1，∴f（x）min=f（1）=1≤1，∴函數(shù)f（x）在[1，2]上具有“DK”性質(zhì)．（2）g（x）=x2﹣ax+2，x∈[a，a+1]，其圖象的對(duì)稱軸方程為．①當(dāng)，即a≥0時(shí)，．若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有2≤a總成立，即a≥2．②當(dāng)，即﹣2＜a＜0時(shí)，．若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有總成立，解得a無解．③當(dāng)，即a≤﹣2時(shí)，g（x）min=g（a+1）=a+3．若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有a+3≤a，解得a無解．綜上所述，若g（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，則a≥2．22.（10分）（2015秋?益陽校級(jí)期中）某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛，租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)300元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)100元，又該租賃公司每個(gè)月的固定管理費(fèi)為4200元．（1）當(dāng)每輛車的月租金為3600元時(shí)，能租出多少輛？（2）當(dāng)每輛車的月租金為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？（注：公司每月收益=汽車每月租金﹣車輛月維護(hù)費(fèi)﹣公司每月固定管理費(fèi)）參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）依題意，未租出的車輛數(shù)為=12，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）通過設(shè)每輛車的月租金為x元，配方、計(jì)算可知租賃公司的月收益y=﹣（x﹣4100）2+29×104，進(jìn)而可得結(jié)論．解：（1）當(dāng)每輛車的月租金為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)