第三講 較復雜的行程問題（講義）人教版六年級上冊數(shù)學

第3講行程（3）較復雜的行程問題2（電梯、接送、走走停停）思維啟航一、訓練目標知識傳遞：熟悉路程、速度、時間之間的關(guān)系，掌握行程問題中幾個相關(guān)知識點，熟練應(yīng)用解答行程問題中的集中技巧。能力強化：理解能力，分析能力、作圖能力，綜合能力。思想方法：作圖思想、假設(shè)思想、方程思想，統(tǒng)籌思想。二、知識與方法歸納1.電梯問題:電梯問題是一種較復雜的行程問題。有兩點需要注意：注意1：總路程=電梯可見部分級數(shù)±電梯運行級數(shù)；注意2：同一個人上下往返的情況時，符合流水行程的速度關(guān)系。2.接送問題:接送問題是一種較復雜的行程問題。解決此類問題需要抓住兩點：要點1：時間相同前提下，人車速度比，對應(yīng)人車路程比；要點2：畫圖分析，找出對應(yīng)份數(shù)；3.走走停停問題:走走停停問題是一種較復雜的行程問題。解決此類問題的關(guān)鍵在于“假設(shè)不停走，本來應(yīng)需要多少時間”，從而解決問題。思維進階例1.小明站著不動乘電動扶梯上樓需30秒，如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需12秒，那么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【答案】20秒【解析】解法1：設(shè)數(shù)法。[12，30]=60，設(shè)電梯共有60級；電梯自動速度：60÷30=2（級/秒）；人梯速度和：60÷12=5（級/秒）；所以，人速：5–2=3（級/秒）；小明徒步上樓時間：60÷3=20（秒）解法2：分率思想。設(shè)電梯露在外面的級數(shù)為單位“1”。小明徒步上樓時間：1÷（-）=20（秒）解法3：比例。T明：T梯=12：（30-12）=2：3；小明徒步上樓時間：30×=20（秒）；答：電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需20秒。例2.在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯。小強想逆行從上到下，如果每秒向下邁2級臺階，那么他走過100級臺階后到達站臺；如果每秒向下邁3級臺階，那么走過75級臺階到達站臺。自動扶梯有多少級臺階？【答案】50級【解析】類型：扶梯問題。解：T1=100÷2=50（秒）；T2=75÷3=25（秒）；即T1：T2=50：25=2：1；設(shè)1份時間內(nèi)扶梯自動向上x級，得100-2x=75-x解得x=25自動扶梯：75–25=50（級），或100-2×25=50（級）答：自動扶梯有50級臺階。思維訓練1小淘氣乘正在下降的自動扶梯下樓，如果他一級一級的走下去，從扶梯的上端走到下端需要走36級。如果小淘氣沿原自動扶梯從下端走到上端，需要用下樓時5倍的速度走60級才能走到上端。這個自動扶梯在靜止不動時有多少級？【答案】54級【解析】T下：T上=36：（60÷5）=（36×5）：60=3：1；設(shè)下樓的時間內(nèi)電梯電梯自動向下x級，由題意得36+3x=60-x4x=24x=6電梯級數(shù)為：60–6=54（級），或36+3×6=54（級）答：這個自動扶梯在靜止不動時有54級。例3.某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班。有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一小時出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進，進入工廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，小汽車的速度是專家的幾倍？（設(shè)人和汽車都作勻速運動，他上車及調(diào)頭時間不記）【答案】11倍【解析】類型：接送問題。→方法：畫圖法。設(shè)數(shù)法。比例法。解：①設(shè)專家的家為A點，工廠為B點，相遇處為M點。設(shè)平時小汽車7：00出發(fā)，到專家的家為8：00，專家就8：00出發(fā)，到達工廠為9：00；②根據(jù)題意。正常接送：B→A→B，現(xiàn)在接送：B→M→B，提前10分鐘到達；得小汽車從M→A→M需10分鐘；所以，小汽車從M→A需5分鐘；即小汽車7：55到達M點；所以，專家走A→M需55分鐘③速度倍數(shù)關(guān)系：55÷5=11倍。答：小汽車的速度是專家的11倍。例4.兩個班去距學校30千米的博物館參觀。但學校只有一輛接送車，車速每小時45千米，同學們步行每小時5千米。為了使兩班盡快到達，他們于上午8點從學校出發(fā)。到達博物館是幾時幾分幾秒？【答案】9時33分20秒【解析】A為學校，B為博物館。為了使兩個班同時到達，且所用時間最少。必須使兩個班步行距離一樣。車速與步行速度比為：45:5=9:1，所行路程比也為9:1；那么DC之間距離為：（9-1）÷2=4，所以，AD:DC:CB=1:4:1；步行距離：30÷（1+4+1）=5（千米），乘車距離：30–5=25（千米）；所需時間：5÷5+25÷45=1（時）=1時33分20秒到達時刻：8時+1時33分20秒=9時33分20秒。答：到達博物館是9時33分20秒。思維訓練2.用一輛可以乘坐50人的大客車將200名學生送至33千米外的展覽館。汽車每小時行55千米，學生步行每小時行5千米。如何合理安排，才能使這些學生在最短時間內(nèi)同時到達展覽館？整個途中需要用多少時間？（汽車調(diào)頭和學生上、下車的時間不計）【答案】小時【解析】V車：V步=55：5=11：1；全程：1++3=9（份）；其中乘車6份；步行3份；時間：+=（小時）答：整個途中需要用小時。例5.龜兔進行10000米賽跑，兔子的速度是烏龜?shù)乃俣鹊?倍。當它們從起點一起出發(fā)后，烏龜不停地跑，兔子跑到某一地點開始睡覺，兔子醒來時烏龜已經(jīng)領(lǐng)先它5000米；兔子奮起直追，但烏龜?shù)竭_終點時，兔子仍落后100米。那么兔子睡覺期間，烏龜跑了多少米？【答案】8020米【解析】假設(shè)兔子途中不睡覺，而是跑到距終點100處才開始睡覺。算出此時龜行路程，則龜后面行的路程就是在兔子睡覺期間完成的。通過轉(zhuǎn)化思想，使問題變得簡單化。兔跑路程：10000–100=9900（米）龜跑路程：9900÷5=1980（米）兔子睡覺期間，龜行路程：10000–1980=8020（米）答：兔子睡覺期間，烏龜跑了8020米。例6.騎車人以每分鐘300米的速度，從8路汽車站的始發(fā)站出發(fā)，沿8路車路線前進。騎車人離開出發(fā)地2100米時一輛8路汽車開出了始發(fā)站，這輛汽車每分鐘行500米，行5分鐘達到一站并停1分鐘，那么要用多少分鐘汽車才能追上騎車人？【答案】15.5分鐘【解析】如果不停，汽車要追：2100÷（500－300）=10.5（分鐘）（2）10.5分鐘，汽車要停：[EQ\F(10.5,5)]=2（次），騎車人又前行了：300×2=600（米）（3）汽車再追：600÷（500－300）=3（分鐘），因為0.5＋3＜5，所以本次汽車停站，直接追上。（4）共用時：10.5＋2＋3=15.5（分鐘）。答：要用15.5分鐘汽車才能追上騎車人。思維深化（訓練時間：滿分：120分，訓練得分：）1.計算題。（每小題5分，共20分）（1）10×EQ\F(3,4)+17×75%-7×0.75解：=10×0.75+17×0.75-7×0.75=（10+17-7）×0.75=20×0.75=15（2）（4EQ\F(2,3)-EQ\F(21,50)×0.3×16EQ\F(2,3)）÷1EQ\F(2,5)=（4EQ\F(2,3)-EQ\F(21,10)）×EQ\F(5,7)=EQ\F(77,30)×EQ\F(5,7)=EQ\F(11,6)2.填空題。（每小題10分，共60分）（1）一架飛機所帶的燃料最多可以用6個小時。飛機去時是順風的，時速為1500千米，回來的時候是逆風，時速為1200千米。這架飛機最多飛出()千米就需要往回飛?！敬鸢浮?000千米【解析】順風和逆風的飛行時間比是：1200:1500=4:5，順風路程為6÷（4+5）×4×1500=4000（千米）（2）小名從家到學校要用30分，若要縮短6分，則每分鐘要多行25米。家距離學校()米。【答案】3000米【解析】少6分鐘則前24分鐘多行（30-6）×25=600(米)家距離學校的距離600÷6×30=3000(米)（3）小雪下午2:00從家出發(fā)去學校，同時她的父親從家騎摩托車出發(fā)去學校。父親在2:40到了學校，立刻調(diào)轉(zhuǎn)車頭，在距離家6千米的地方迎面遇上了小雪，然后，他帶上了小雪駛向?qū)W校，在3:00時到了學校。那么，小雪的家距離學校有()千米。（調(diào)頭級小雪上車的時間不計）【答案】8千米【解析】父親騎摩托車從家到學校需要10分鐘，調(diào)頭接到小雪到學校用20分鐘，所以從接到小雪至到達學校父親共用10分鐘，占全程的＝，全程為6÷（1－）＝8（千米）。（4）如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需12秒到達樓上，如果在乘電動扶梯的同時小明逆著向下走需秒到達樓下（千萬別模仿?。?，那么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需()秒?！敬鸢浮?6秒【解析】小明徒步走的速度是，所以小明徒步上樓需(秒).（5）自動扶梯勻速向上運行，甲、乙兩人都從頂部逆行走到底部。甲每秒走3級，用100秒；乙每秒走2級，用200秒。如果甲仍用原來的速度從底部走到頂部，需要()秒?！敬鸢浮?0【解析】扶梯的速度（2×200－3×100）÷（200－100）＝1（級/秒），扶梯的長度2×200－1×200＝200（級），甲用原來的速度從底部走到頂部需要時間200÷（1＋3）＝50（秒）。（6）哥哥沿著向上移動的自動扶梯從頂向下走到底，共走了80級。在相同的時間里，妹妹沿著自動扶梯從底向上走到底，共走了40級。如果哥哥單位時間內(nèi)走的級數(shù)是妹妹的2倍，那么當自動扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分有()級。【答案】60級【解析】由已知條件可得，哥哥和妹妹所用時間相同，設(shè)自動扶梯在這段時間內(nèi)移動了x級，那么可以得到如下式子：80－x＝40＋x。解得：x＝20.所以自動扶梯靜止時可以看到80－20＝60（級）。3.解答題。（每小題10分，共40分）（1）自動扶梯以均勻的速度向上行駛，一個男孩與一個女孩同時從自動扶梯底部向上走，男孩速度是女孩速度的2倍，已知男孩走了27級到達扶梯的頂部，女孩走了18級到達扶梯的頂部。扶梯露在外面的部分共有多少級？【答案】54級【解析】扶梯露在外面的部分的級數(shù)＝人走的級數(shù)＋扶梯自動上升的級數(shù)。女孩走18級的時間，男孩應(yīng)該走18×2=36（級）男孩走了27級，所以男孩到達頂部時，扶梯上升的級數(shù)是女孩到達頂部時扶梯上升級數(shù)的,扶梯自動上升級數(shù)相差27-18=9（級）女孩在相同時間內(nèi)上升了外面的部分是36+18=54（級）答：梯露在外面的部分是54級.（2）每天父親下班后剛好可以在學校放學時趕到學校接女兒回家。一天，學校提前放學，女兒自己回家，走10分鐘后碰到父親來接，坐父親摩托車回家，到家時比平時遲到1分鐘，原因是父親下班推遲了7分鐘，那么學校提前放學多少分鐘？【答案】6分鐘【解析】父親騎摩托車比平時少用7－1＝6（分鐘），6÷2＝3（分鐘），即父親接到女兒時再向前3分鐘就可以到達學校，所以父親3分鐘與女兒10分鐘所行路程相同；女兒放學比平時早10－（7－3）＝6（分鐘）。答：學校提前放學6分鐘.（3）甲乙兩人同時從一條800米環(huán)形跑道同向行駛，甲每分鐘跑100米，乙每分鐘跑80米，兩人每跑200米休息1分鐘，甲需多久第一次追上乙？【答案】77分鐘【解析】①這樣的題有三種情況：在乙休息結(jié)束時被追上、在休息過程中被追上和在行進中被追上。很顯然首先考慮在休息結(jié)束時的時間最少，如果不行再考慮在休息過程中被追上，最后考慮行進中被追上。其中在休息結(jié)束時或者休息過程中被追上的情況必須考慮是否是在休息點追上的。

②由此首先考慮休息800÷200－1＝3分鐘的情況。甲就要比乙多休息3分鐘，就相當于甲要追乙：800＋80×3＝1040（米）③需要1040÷（100－80）＝52（分鐘），52分鐘甲行了52×100＝5200（米），剛好在休息點追上的滿足條件。行5200米要休息5200÷200－1＝25（分鐘）

④因此甲需要52＋25＝77（分鐘）第一次追上乙。答：甲需要77