1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)教案

1.3.1函數(shù)的調(diào)與導(dǎo)數(shù)案谷城一中

楊超教學(xué)目1.正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法教學(xué)重：索函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求單調(diào)區(qū)間教學(xué)難：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)過(guò)一．回與思考1、函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？2、判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？比如判y=x2的單調(diào)性，如何進(jìn)行（分別用定義法、圖像法完成）3、函數(shù)yx

x怎么判斷單調(diào)性呢？還有其他方法嗎？二．新探究函數(shù)單調(diào)性導(dǎo)數(shù)之間的系【情景入】函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過(guò)研究函數(shù)的這些性質(zhì)我們可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的那么函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否有著某種內(nèi)在的聯(lián)系呢?【思考如（1表示跳水運(yùn)動(dòng)中高隨時(shí)t變化函(t)t

2

t的圖像，圖（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速隨時(shí)t變化的函vt)t)t6.5圖像．運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？【引導(dǎo)隨著時(shí)間的變化運(yùn)動(dòng)員離水面的高度的變化有什么趨勢(shì)？是逐漸增大還是逐步減??？【探究過(guò)觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)離水面的高h(yuǎn)隨時(shí)t的增加而增加t)是增函數(shù)．相應(yīng)地vt)'(t)．（2）從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的h隨時(shí)t增加而減少，ht)是函數(shù)．相應(yīng)vt)'t)，【思考導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)處的切線的斜率都是變化的，那么函數(shù)的單調(diào)性與

導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？【探究察下面函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．（1）函數(shù)x的定義域?yàn)镽，并且在定義域上是增函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)

大于零；（2）函數(shù)yx

的定義域?yàn)镽，(單調(diào)遞減，(單調(diào)遞增；而y

)x時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零0時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零x0時(shí)，其導(dǎo)數(shù)為零。（3）函數(shù)yx

3

的定義域?yàn)镽，在定義域上為增函數(shù)；而y

3

)

2

，若x，則其導(dǎo)數(shù)大于零，時(shí)，其導(dǎo)數(shù)為零；（4函數(shù)的定義域((0,(上單調(diào)遞減,單調(diào)遞減而

)，因0，顯然x

【總結(jié)上四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系說(shuō)明，在區(qū)(a內(nèi)，如果函數(shù)yf()這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，那么遞減，那么f'.

數(shù)yf)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)【思考數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)在該點(diǎn)處的單調(diào)性是怎樣的關(guān)系？知識(shí)歸函數(shù)的調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系:某個(gè)區(qū)(,)內(nèi)，如果f(x，那函數(shù)fx)在個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增如果f

()那么函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減特別的如果f三．典分析

()，那函數(shù)f(x)在個(gè)區(qū)間是常函數(shù)．例1知導(dǎo)函數(shù)f'(x)下列信息：當(dāng)1時(shí)，f

()當(dāng)x，x時(shí)，

()；當(dāng)x，時(shí)，f'(x)試畫出函數(shù)yf()圖像的大致形狀．解：當(dāng)時(shí)，f

()，知f(x在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)x，x時(shí)，(x；知f(x在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)減；當(dāng)x，時(shí)，f

()，這兩點(diǎn)比較特殊，我們它稱為“臨界點(diǎn)綜上，函數(shù)yf()圖像的大致形狀如上所示．例．?dāng)嘞铝泻瘮?shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．（1）fx)x3（2）f()2x（3）()x(0,

（4）f(x)x

3

x

2

x解）因?yàn)閒x)x

3

x，所以，f')x2因此，fx)x

3

x在R

上單調(diào)遞增，如圖1.3-5（1）所示．（2）因?yàn)?x)x，所以，f'x)x當(dāng)f')，時(shí)，函數(shù)f(x)x單調(diào)遞增；當(dāng)f')，x時(shí)，函數(shù)f(x)2x單調(diào)遞減；函數(shù)(x)x

2

x的圖像如圖1.3-52）所示．（3）因?yàn)?)x(0,

所以，f

(因此，函數(shù)f(x)x(0,如圖1.3-5（3）所示．

)單調(diào)遞減，（4）因?yàn)閒(x)

3

x

2

，所以．當(dāng)f

()，即

時(shí)，函數(shù)f(x)

2

x

；當(dāng)f')，

時(shí)，函數(shù)f(x)

；函數(shù)f()x

3

x

2

的圖像如圖所示．練習(xí)：

(2)yx的調(diào)區(qū)間x已知函數(shù)

f()alnax

3(aR)求f()的單間。

求解函f(x單調(diào)區(qū)間的步：（）確定函數(shù)f()定義域；（）求導(dǎo)數(shù)

f

()；（）解不等式f'()，到函數(shù)單調(diào)增區(qū)間（）解不等式f

()，得函數(shù)的調(diào)遞減區(qū)間．例3．如圖，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高與時(shí)t的函數(shù)關(guān)系圖像．解思考例3明通過(guò)函圖像不可以看函數(shù)的增減還以看其變化快慢結(jié)合圖像你能從導(dǎo)數(shù)角度解變化快慢的況嗎？一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭