2022年天津某中學(xué)高考模擬數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022年天津二中高考模擬數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共9個(gè)小題，每小題5分，共45分）

1.（5分）已知集合[/={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={-1,1},B={0,2,4},則

(CuA)08=()

A.{2}B.[0,2)C.[0,2]D.{0,2}

2.（5分）已知命題p：3x>l,加那么命題〃的否定是（)

A.lnx<0B.三%<1,Inx^OC.Vx>1,/nxVOD.1,Inx^O

3.（5分）已知x,（0,+8）,則“孫》1”是且成立的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

4.（5分）函數(shù)f（x）=xlnx-1的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

（X2-1）陰的圖象大致是（)

B.D.

6.（5分）在△ABC中，已知c=2acosB,

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

7.（5分）設(shè)實(shí)數(shù)a>h>\,且工=-ab,y=log血z=logba,則x,y,z的大小關(guān)系為（）

A.y<x<zB.x<z<yC.x<y<zD.y<z<x

x2y2

8.（5分）已知橢圓和+77=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸I,尸2,過Fi的直線與橢

圓交于A,8兩點(diǎn)，若而18岳，則橢圓離心率e的取值范圍為（)

B.成，多俘，1）

A.g,+oo)C.,+8)D.

<o

9.（5分）已知函數(shù)f（x）=-，則函數(shù)g(x)=/(x)-a\x\-b(abWO)不

，x>0

同的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（）

A.1B.2C.3D.4

第1頁(yè)共14頁(yè)

二、填空題(共7個(gè)小題，每小題5分，共35分)

10.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足蘢=半(i為虛數(shù)單位)，則團(tuán)=.

11.(5分)已知/(x)=sin(3X+@)+V5cos(a)x+s)(|w|V5)是奇函數(shù)，則(p

12.(5分)已知過點(diǎn)P(l,2)的直線與圓/+尸=1相交于4,8兩點(diǎn)，若|A8|=2,則該

直線方程為.

13.(5分)若函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)且/(2)=2,當(dāng)獷>也?1時(shí)，［/(Xi)-f(x2)1(Xi

-X2)>0恒成立，則不等式/(x)的解集為.

14.(5分)邊長(zhǎng)為2的正四面體內(nèi)有一個(gè)球，當(dāng)球與正四面體的棱均相切時(shí)，球的體積

為.

15.(5分)已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足/+y2+z2=2魚，則xy+yz的最大值為.

16.(5分)已知邊長(zhǎng)為4於的正△ABC,內(nèi)切圓的圓心為O,過B點(diǎn)的直線/與圓相交于M,

N兩點(diǎn)，

(1)若圓心。到直線/的距離為1,則|疝V|=;

(2)若贏=4易+nBC(X,〃e(0,+8)),則A+H的取值范圍為.

三、解答題(共4個(gè)大題，第1,2每題15分，第3,4每題20分，共70分)

/y2@

17.(15分)己知橢圓E：我+公=l(a>b>0)的離心率6=竽，左焦點(diǎn)尸(-1,0),

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過左焦點(diǎn)F的直線/與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)，若|4B|=竽，求直線/的一般

式方程.

18.(15分)已知△A8C中，a,b,c分別為角A,B,。的對(duì)邊，若?n=(bQ,b),n=

T—>

(sinA,cosB),且m||n.

(1)求B的大?。?/p>

(2)若SMBC=3V3,a+c—1(a<c),

①求b的值；

②求sin(2B-C)的值.

19.(20分)如圖，在四棱錐P-ABC￡>中，底面ABCD為正方形,/54=AB=2,布_1_面ABCD,

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E、尸分別為外、AB的中點(diǎn)，直線AC與。F相交于。點(diǎn).

(1)證明：P8〃平面。EF；

(2)求直線PC與平面。Ef■所成角的正弦值;

(3)求二面角A-EO-力的余弦值.

XV

20.(20分)橢圓氏—+77=l(a>fa>0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4c,左頂點(diǎn)為4,過點(diǎn)A作直線八

與橢圓E交于另一個(gè)點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限)，P、。兩點(diǎn)均在橢圓上且關(guān)于x軸對(duì)稱，

點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為3近，直線/2與△APQ的外接圓C(C為圓心)相

切于P點(diǎn)，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)T,且町=||&

(1)求橢圓E的離心率；

(2)求直線/I與直線/2的斜率；

(3)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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2022年天津二中高考模擬數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單選題(共9個(gè)小題，每小題5分，共45分)

1.(5分)已知集合。={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={-1,1},8={0,2,4},則

(CuA)CB=()

A.{2}B.[0,2)C.[0,21D.{012}

【解答】解：：U={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={-1,1},

；.CuA={-3,-2,0,2,3},

VB={0,2,4),

:.(CuA)AB={0,2},

故選：D.

2.(5分)已知命題p：3x>l,歷x20,那么命題p的否定是()

A.3x>1,lnx<0B.mxWl,Inx^OC.Vx>l,lnx<0D.VxWl,/nx20

【解答】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，

命題p：3x>\,比x20,那么命題p的否定是：Vx>l,/nr<0.

故選：C.

3.(5分)已知x,(0,+8),則“孫》1”是且成立的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【解答】解：當(dāng)x=-2,y=-2時(shí)，xy>\,但x與l且不成立，

故“孫故1”不是“X力且y2l”的充分條件，

當(dāng)且時(shí)，xy^l成立，

故“孫21”是“xel且yel”的必要條件，

故“孫21”是“xel且成立的必要非充分條件，

故選：B.

4.(5分)函數(shù)f(x)=xlnx-1的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

4

【解答】解：(1)=-1<0,f(2)=2/〃2-l=/w-X),

e

函數(shù)/(x)=x/"x-1的零點(diǎn)所在區(qū)間是(1,2).

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故選：B.

5.（5分）函數(shù)y=（7-1）陰的圖象大致是（）

【解答】解：因?yàn)?x）=（%2-1）

所以/（x）為偶函數(shù)，

所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除8,

當(dāng)Xf+8時(shí)，）一+8,故排除A

當(dāng)時(shí)，y<0,故排除。

故選：C.

6.（5分）在△ABC中，已知c=2acosB,則△ABC為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【解答】解：在△ABC中，已知c=2acosB,山正弦定理可得sinC=2sinAcosB,

即2sin(A+B)=2sinAcosB,

由兩角和的正弦公式可得sinAcosB+cosAsinfi=2sinAcosB.

Asin(A-B)=0,X-n<A-B<n,-8=0,

故△ABC的形狀為等腰三角形，

故選：C.

7.(5分)設(shè)實(shí)數(shù)a>b>l,且x=-ey—\ogab,z—\ogba,則x,y,z的大小關(guān)系為()

A.y<x<zB.x<z<yC.x<y<zD.y<z<x

【解答】解：

.".X=-ab<0,logo1<logaZ><logufi!,z=log〃a>log防=1,

即xVO,OCyVl,Z>1,

故x<y<z,

故選：C.

x2y2

8.(5分)已知橢圓丁+匕=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)i,過Fi的直線與橢

圓交于A,8兩點(diǎn)，若第1而占則橢圓離心率e的取值范圍為()

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A.g,+oo)B.g,孝］C.［孝，+8)D.［手，1)

【解答】解：因?yàn)橹本€A3過左焦點(diǎn)，

若&_1_晶2，

即焦點(diǎn)三角形尸18F2為直角三角形，且NA8尸2=90°,

根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，

當(dāng)8為短軸頂點(diǎn)(設(shè)為M)時(shí)，//山上有最大值，

所以若有NF出產(chǎn)2=90°,

則/為加五2190°,

1

所以一NFIMF2》45°,

2

1萬

即sin-ZFiMF2^sin45°=

22

c\［2

也即一>一，

a2

所以離心率e>孝，

又因?yàn)闄E圓離心率OVeVl,

V2

所以1),

故選：D.

9.(5分)已知函數(shù)/(x)=j''一°,則函數(shù)g(x)=f(x)-a\x\-b(abWO)不

Ivx+a,x>0

同的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()

A.1B.2C.3D.4

■5不、.,,、(x2-］rax-b,x<0

【解答】解：由已知Z得Rg(x)={,

1―QX+VX+Q—b,x>0

令7+々/4=0,xWO①，

—ax+Vx4-a—b=0/%>0②,

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/-a<0

-b>0

a2+4&>0

(1)若①和②均有兩個(gè)不等根，則1、八，得〃>0,b<0,a<b,此不等

a

厘>0

—a

\1+4a(a—h)>0

式組無解；

'一QVOa>0

-b>0b<0

(2)若①有兩個(gè)不等根，②有一個(gè)根，則<得

a"+4b>0a2+4b>0'

小<0

、a〉b

v-a

此不等式組有解，如。=3,。=-1,

故函數(shù)g(x)=f(x)-xi\x\-b(abWO)不同的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為3個(gè).

故選：C.

二、填空題(共7個(gè)小題，每小題5分，共35分)

10.(5分)若復(fù)數(shù)Z滿足,2=半(i為虛數(shù)單位)，則|z[=_&_.

【解答】解：：iz=畢，，|iz|=|-|,|z|=?=&,

II1

故答案為：V2.

11.(5分)已知/(x)=sin(<ox+<p)+百cos(a)x+w)(l<PlV?)是奇函數(shù)，則隼=—T一?

【解答】解：因?yàn)?'(x)=sin(3X+w)+>/5cos(3X+9)=2sin(3x+(p+g)是奇函數(shù)，

所以5+號(hào)=內(nèi)1,keZ,解得隼=ATT-*keZ,

又即l0,

所以當(dāng)k=0時(shí)，可得少=一半

故答案為：—全

12.(5分)已知過點(diǎn)P(l,2)的直線與圓/+y2=l相交于A,B兩點(diǎn),若|A8|=2,則該

直線方程為y=2x.

【解答】解：圓/+尸=1的圓心(0,0),半徑為1,

過點(diǎn)P(l,2)的直線與圓7+夕=1相交于4,8兩點(diǎn)，\AB\=2,

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所以直線過圓的圓心，所以直線的斜率為2,

所求直線方程為y=2x.

故答案為：y=2x.

13.(5分)若函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)且f(2)=2,當(dāng)xi>x2^1時(shí)，1/(x1)-f(JQ)J(X1

-X2)>0恒成立，則不等式/(x)22的解集為(-8,0M2,+8)

【解答】解：因?yàn)楫?dāng)X1>X221時(shí)，-fCx2)](xi-A2)>0恒成立,

0n/(Xl)-7(X2)

即>0在[1,+8)上恒成立,

x±-x2

所以/(X)在[1,+8)上單調(diào)遞增,

又函數(shù)/(X+1)為偶函數(shù),

即/(I-x)=/(x+l),

所以函數(shù)/(X)關(guān)于X=1對(duì)稱，

則函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?(2)=2,

則/(0)=2,

所以不等式f(x)22,解得x<0或x22,

所以不等式/(x)22的解集為(-8,0]U[2,+8).

故答案為：(-8,O]U12,+8).

14.(5分)邊長(zhǎng)為2的正四面體內(nèi)有一個(gè)球，當(dāng)球與正四面體的棱均相切時(shí)，球的體積為

V2

-TC?

3—

【解答】解：將棱長(zhǎng)均為2的正四面體放入棱長(zhǎng)為近的正方體中，如圖，

???球與正四面體的各條棱都相切，

該球是正方體的內(nèi)切球，切正方體的各個(gè)面于中心,

第8頁(yè)共14頁(yè)

由此可得該球的直徑為或，半徑R=孝,

,該球的體積為V=扣?3=等x哈3=浮.

>j27i

故答案為：——.

3

15.(5分)已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足/+y2+/=2魚，則xy+yz的最大值為2?

【解答】解：由于2&=/+)2+z2=(/+#)+(p'2+z2),

oyj2oy[2

=*+(yy)2]+[(—y)02+z02],

>也xy+4iyz,當(dāng)且僅當(dāng)x=z=竽y時(shí)取等號(hào)，

???盯+yzW2,

可得xy+yz的最大值為2.

故答案為：2.

16.(5分)已知邊長(zhǎng)為46的正△43C,內(nèi)切圓的圓心為。，過5點(diǎn)的直線/與圓相交于M,

N兩點(diǎn)，

(1)若圓心。到直線/的距離為1,則|疝V|=_2遮_；

(2)若8M=ABA+”BC(4,〃6(0,+00)),則入+p的取值范圍為11

【解答】解：(1)根據(jù)題意，如圖，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，2c為x軸建立坐標(biāo)系，

正△ABC的邊長(zhǎng)為4百，則C(4V3,0),A(273,6),

故其內(nèi)切圓的圓心。(2V3,2),

內(nèi)切圓的半徑r=2,

若圓心O到直線I的距離為1,則|MN|=2xV4^1=2V3；

(2)圓。的方程為(x-2V3)2+(y-2)2=4,

設(shè)M的坐標(biāo)為(2V3+2cos0,2+2sin6),

則易=(2A/3+2cos6,2+2sin。)，BC=(4百，0),BA=(2A/3,6),

若扇=入或+\iBC,則有伊8+2cos。=4V加+2回，

(2+2sin9=64

(.1,1.ZJ

X=5+QSITIO

變形可得：1%-

〃=WH--g-cos9-gsin0

r-111V311Jr7

貝!1有人+口=(-+-sin0)+(-+—cos0—gSinO)=@sin(。+可)+可

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11

又由-l<sin(0+J)Wl,則mW入+亭1,即入+n的取值范圍為勺1J.

1

故答案為：(1)2V3；(2)[-,1].

三、解答題(共4個(gè)大題，第1,2每題15分，第3,4每題20分，共70分)

久2y2萬

17.(15分)已知橢圓E：/+l(a>b>0)的離心率6=華，左焦點(diǎn)尸(-1,0),

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過左焦點(diǎn)尸的直線/與橢圓E相交于4,8兩點(diǎn)，若[48|=警，求直線/的一般

式方程.

【解答】解：(l)e=g=￥，c=\,所以a=/,所以b=l,

x2y2

所以橢圓方程為+1;

21

,2

(2)當(dāng)“不存在時(shí)，通徑|48|=卓?-=或(舍)；

當(dāng)％存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k(x+1),

與橢圓方程聯(lián)立，得(2嚴(yán)+1)7+4底計(jì)2斤-2=0,A=8(必+1),

所以|4B|過至至=藥孥由=琴，解得上=±1,

2/+12fcz+l3

故直線方程為x土y+l=0.

18.(15分)己知△A8C中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，若m=(遮Q,b),n=

—>—>

(sinAfcosB),且？n||n.

(1)求B的大??；

(2)若SMBC=3V3,a+c—7(a<c),

第10頁(yè)共14頁(yè)

①求b的值；

②求sin(23-C)的值.

【解答】解：(1)Vm||n,

/.VSacosB=bsinA,即3sincossinsinABBA=,

tanB=百，所以B=.

(2)ShABC=^acsinB=乎QC=3A/3,

ac=\2且a+c=7,

??Ci=39Z?=4.

t：b1=a1+c2-2accosB=25-12=13,

b=V13

..「。2+力2―。29+13—161

?cosC=^^=-^^=無'

所以si?i(2B—C)=sin2BcosC-COS2BSITIC=,y==+**.

19.(20分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，出=AB=2,%，面ABCD,

E、尸分別為孫、48的中點(diǎn)，直線4c與。尸相交于。點(diǎn).

(1)證明：PB〃平面QEF；

(2)求直線PC與平面。EF所成角的正弦值；

(3)求二面角A-EO-D的余弦值.

【解答】(1)證明：設(shè)平面DE尸的法向量為￡=(x,y,z),薪=(1,0,-1),DF=(1,

-2,0),

一(

???EcFurJ_?Zl,rDwFr_?L71,.?X?i~Z=n0八,

(x—2y=0

第11頁(yè)共14頁(yè)

取言=(2,1,2)；

又而=(2,0,-2),

APB-n=4-4=0,

：.PB1n,PBC面DEF,所以PB〃平面QEF.

(2)解："：PC=(2,2,-2),：.cos<PC,￡>=￡嗎=9,

\PC\-\n\

->_>F5

設(shè)直線PC與平面￡>E尸所成角為e,則sin。=\cos<PC,n>\=

(3)解:面AEO的法向量為8。=(—2,2,0),(若用到O點(diǎn)，則。的坐標(biāo)為。停，5,0))；

面。E。的法向量為￡=(2,1,2),：.cos<BD,1>=￥三=一塔;

\BD\-\n\

設(shè)二面角A-EO-。所成角為p,由圖所示,0為銳角，則cos/?=\cos<BD,n>\=恪.

x2y2

20.(20分)橢圓E：—+77=l(a>h>0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4c,左頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作直線/i

azb￡

與橢圓E交于另一個(gè)點(diǎn)尸(點(diǎn)P在第一象限)，P、。兩點(diǎn)均在橢圓上且關(guān)于x軸對(duì)稱，

點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為3位，直線/2與△APQ的外接圓C(C為圓心)相

切于P點(diǎn)，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)T,且|P7|=1|&.

(1)求橢圓E的離心率；

(2)求直線人與直線/2的斜率；

(3)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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【解答】解：(1)???長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4c,.?.離心率e=^=4；

、x2y2、

(2)法一：設(shè)橢圓方程為4-—3-=1,直線/i的方程為y=k(x+2c),

4cz3cz

聯(lián)立方程，可得(4乒+3)x2+16M2%+16c2F-12c2=0,

26c-8ck'

則/=—7--,VXA=-2c,.,.Xp

4k，+34/C2+3'

2

代入y=A(x+2c),得yp=」|晅，即點(diǎn)P(6c—8ck12ck、

7’7)；

4/c+3