高等代數(shù)教案第四章線性方程組

放心做自己想做的放心做自己想做的放心做自己想做的放心做自己想做的---（10…0c…cd）1r+11n100…1c…cdrr+1rnr00…00…0dr+1、00…000d,A作同樣的初等變換可化為B=，從而方程組（1）與B所對(duì)應(yīng)my+cy+…+cy11r+1r+1'y+c21nny++cy=d2r+1r+12nn2+cy++cy=drr+1r+1rnnr0=dr+1（2）在某種意義上同解（此y,y，…，y是x,x，…,x12n120=dm一個(gè)重新排序）.下面討論（2）的解的情況：情形1：當(dāng)r<m且d，…,d不全為零時(shí)，因有矛盾式（2）無(wú)解，故（1）無(wú)解.r+1m情形2：當(dāng)r=m或r<m且d=…=d=0時(shí)，（2）直觀上無(wú)矛盾式，且與（3）r+1my+cy++cy=d11r+1r+1Inn1y+cy++cy=d22r+1r+12nn2同解.y+cy++cy=drrr+1r+1rnnry=d11y=d當(dāng)r=n時(shí)，（3）即為122有唯一解;y=dnn當(dāng)r=<n時(shí)，（3）即為y=d-cy111r+1r+1y=d-cy222r+1r+1…-cy1nnW，于是任給y，…，y一組值k，…,k，可得（3）的一個(gè)解:r+1nr+1ny=d一cycyrrrr+1r+1rnny=dck—…—ck111r+1r+11nny=dck—…—ck222r+1r+12nn1y=d—ck—…—ck,這也是（1）rrrr+1r+1rnny=kr+1r+1y=knn的解，由k，…,k的任意性（1）有無(wú)窮多解.r+1nx+2x+3x+x=512341解線性方程組12x+4x—x=—31解線性方程組1124—x—2x+5x+2x=81234x+2x—9x—5x=—211234r1224301—15、—3A=—1—2528<12—9—5一21丿解：對(duì)增廣矩陣作行初等變換：r1201_213、_21300120000<00000丿x+2x1——x=12124113x+—x=—3246所原方程組與方程組同解，故原方程組的一般解為31-———2x+x2224131x=—x6244.2矩陣的秩線性方程組可解判別法一教學(xué)思考1．本節(jié)在上節(jié)消元法對(duì)線性方程組的解的討論的基礎(chǔ)上，引入了矩陣的秩的概念，以此來(lái)表述有解判定定理，在有解時(shí)從系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)的個(gè)數(shù)間的關(guān)系可討論解的個(gè)數(shù)，其中在有無(wú)數(shù)解時(shí)引入了一般解與通解的概念.2．矩陣的秩的概念是一個(gè)重要的概念，學(xué)生易出問(wèn)題.定義的表述不易理解，應(yīng)指出秩是一個(gè)數(shù)（非負(fù)整數(shù)）r,其含義是至少有一個(gè)r階非零子式，所有大于r階（若有時(shí)）子式全為0?重要的是“秩”的性質(zhì)——初等變換下不變，提供了求秩的另一方法——初等變換法.3．本節(jié)內(nèi)容與上一節(jié)和下一節(jié)互有聯(lián)系,結(jié)論具體,方法規(guī)范,注意引導(dǎo)總結(jié)歸納.二內(nèi)容要求1．內(nèi)容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理2．要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理二教學(xué)過(guò)程1．矩陣的秩（1）定義

1）在矩陣A中，任取k行k列（k<s,t）位于這些行列交點(diǎn)處的元素構(gòu)成的k階行列式叫作矩sxt陣A的一個(gè)k階子式.2）矩陣A中，不等于零的子式的最大階數(shù)叫做矩陣A的秩；若A沒有不等于零的子式，認(rèn)為其秩sxt為零.A的秩記為秩（A）或r（A）.2．矩陣的秩的初等變換不變性TH4.2.1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.3．一般線性方程組解的理論ax111ax<211ax對(duì)線性方程組：+axm2+ax+.+ax1221nn+axax111ax<211ax對(duì)線性方程組：+axm2+ax+.+ax1221nn+ax+.+ax2222nn1)由上節(jié)知，對(duì)（1）的系數(shù)矩陣A=+.+ax=bmnnmaaa11121naa.a21222n??aaam1m2mn.°c1r+1.°c2r+1...?.1c?rr+1.°°..(…°.°(°°2、丿°2可經(jīng)過(guò)行初等變換和列換法變換化為c、1nc2ncrn°...0?0丿1°c1r+1c1ncrr+1°=dmcrn°則對(duì)其增廣矩陣A作同樣的初等變換可化為B=相應(yīng)的方程組同解；由上節(jié)討論知：當(dāng)r=m或r有解；當(dāng)r<m且d，…，d不全為零時(shí)，即r（A）r+1m_I°°….°°°―d/且在（1）有解時(shí)：當(dāng)r=n，即r（A）=r（A）=n時(shí)有唯一解；當(dāng)r<n，即r（A）=r（A）mn時(shí)有無(wú)窮解.°<m且d???_?r+1llor(A時(shí).則（1）與B=°時(shí)，即r(A)=r(A)時(shí)(1)r(A)=r(A)，,（1°無(wú)解.總之：（1）有解O此即TH4.2.2-3線性方程組(1)有解Or(A)=r(A)(=r)；當(dāng)r=n，即r(A)=r(A)=n時(shí)有唯一解;當(dāng)r<n，即r(A)=r(A)<n時(shí)有無(wú)窮解.例1判斷方程組有無(wú)解？有解時(shí)，求一般解.x+x+x+x+x=1TOC\o"1-5"\h\z123453x+2x+x+x—3x=—3<12345x+2x+2x+6x=623455x+4x+3x+3x—x=—112345例2對(duì)九進(jìn)行討論，何時(shí)方程組有解,無(wú)解；有解時(shí)求一般解.

\o"CurrentDocument"\o"CurrentDocument"九X+X+x=1123<X+九X+X二九\o"CurrentDocument"123X+X+九X二九21234.3線性方程組的公式解教學(xué)思考1．本節(jié)在理論上解決了當(dāng)線性方程組有解時(shí),用原方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)將解表示出來(lái)——即公式解，結(jié)論的實(shí)質(zhì)是克拉默法則的應(yīng)用.其中過(guò)程是在有解判定的基礎(chǔ)上選擇R個(gè)適當(dāng)方程而得，可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇）,內(nèi)容規(guī)范完整,理論作用較大,實(shí)用性較小.2．作為特殊的線性方程組——齊次線性方程組的解的理論有特殊的結(jié)果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區(qū)別,解的存在性、解的個(gè)數(shù)等）.內(nèi)容要求1．內(nèi)容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解2．要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結(jié)論三教學(xué)過(guò)程1．線性方程組的公式解Iax+AxIax+Ax+…-+AX=b1111221nn1AX+Ax+??+Ax=b12112222nn2AX+Ax+?+Ax=bm11m22mnn本節(jié)討論當(dāng)方程組m1）有解時(shí),用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)把解表示出來(lái)的問(wèn)題——公式解.處理這個(gè)問(wèn)題用前面的方法——消元法是不行的,因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程使得系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)發(fā)生了改變,但其思想即化簡(jiǎn)得同解線性方程組的思想是重要的,所以現(xiàn)今能否用其它方法把（1）化簡(jiǎn)得同解方程組且系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)不變,才可能尋求公式解.x+2x一x=2,（G）TOC\o"1-5"\h\z12312）為此看例，考察＜2x一3x+x—3,（G）2）12324x+x一x=7,（G）1233顯然G,G,G間有關(guān)系G=2G+G，此時(shí)稱G是G,G的結(jié)果（即可用G,G線性表示）.則方程組12331231212二2(G)1二3(G)2同解.Ix+2x一x⑵與12X一二2(G)1二3(G)2同解.123同樣地，把（1）中的m個(gè)方程依次用G,G,,G表示,若在這m個(gè)方程中，某個(gè)方程G是其它若12mi干個(gè)方程的結(jié)果，則可把（1）中的G舍去,從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的?即現(xiàn)在又得到化簡(jiǎn)（1）的方法：不考i慮（1）中那些是其它若干個(gè)方程的結(jié)果，而剩下的方程構(gòu)成與（1）同解的方程組.現(xiàn)在的問(wèn)題是這樣化簡(jiǎn)到何種程度為止，或曰這樣化簡(jiǎn)的方程組最少要保留原方程組中多少個(gè)方程.由初等變換法，若（1）的R（A）=R,則可把（1）歸結(jié)為解一個(gè)含有廠個(gè)方程的線性方程組.同樣TH4.3?1設(shè)方程組（1）有解,R（A）二R（A）二R&0）,則可以在（1）中的M個(gè)方程中選取廠個(gè)方程,使得剩下的M-廠個(gè)方程是這廠個(gè)方程的結(jié)果.因而解（1）歸結(jié)為解由這廠個(gè)方程組成的方程組.下看如何解方程組：

ax+ax+?…+ax+ax+?…+ax1111221rr1r+1r+11nn此時(shí)原方程組與<ax+ax+ax++axr11r22rrr+ax++axrr+1r+1rnn當(dāng)r=n時(shí)有唯一解,且上述方程組的系數(shù)行列式不等于0,由克拉姆法則可得其解（公式解）.當(dāng)r<n時(shí)有無(wú)窮多解,取x,x，…,x為自由未知量,將這些項(xiàng)移至等號(hào)右端得:r+1r+2nax+ax+…+ax—b—ax—-…—ax1111221rr11r+1r+11nn<>ax+ax+■-+ax—b—ax—?…一axr11r22rrrrrr+1r+1rnn視x,x，…,x為任意數(shù)，由克拉姆法則可得r+1r+2nDDx—1,?…,x—r；1DrDa11…b—ax—…—ax?…a1r11r+1r+11nn（其中D—)Ja…b—ax—…—ax?…ar1rrr+1r+1rnnrr其展開為x,x，…,x的表達(dá)式，且為用原方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)表示的，因而是公式表示的一般解的r+1r+