第十三章113.4留數(shù)與定理

113.4

留數(shù)與留數(shù)定理

13.4.1

孤立奇點(diǎn)及其類(lèi)型

13.4.2

留數(shù)與留數(shù)定理

213.4.1孤立奇點(diǎn)及其類(lèi)型13.4.1

設(shè)在不解析，而在的去心鄰域內(nèi)解析，則稱(chēng)為的孤立奇點(diǎn)．

定義3例如，是的孤立奇點(diǎn)．是的奇點(diǎn)，而非孤立奇點(diǎn)，因?yàn)槎际撬钠纥c(diǎn)．當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，在不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)總有的奇點(diǎn)存在．4設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，那么的某去心鄰域內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù)，其中正冪次項(xiàng)部分是在以為中心圓域內(nèi)解析函數(shù)(稱(chēng)為解析部分)，所以點(diǎn)的奇異性完全體現(xiàn)在負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù)部分(稱(chēng)為主要部分)．下面就洛朗級(jí)數(shù)負(fù)冪次項(xiàng)部分的情況對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)．

513.4.2

設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，且在的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式有如下三種情況：（1）若沒(méi)有負(fù)冪次項(xiàng)，則稱(chēng)為的可去奇點(diǎn)；（2）若關(guān)于的最高次冪項(xiàng)為，即

則稱(chēng)為的m級(jí)極點(diǎn)；（3）若有無(wú)窮個(gè)的負(fù)冪次項(xiàng)，則稱(chēng)為的本性奇點(diǎn)．定義6例１已知

展式中沒(méi)有負(fù)冪次項(xiàng)，故為的可去奇點(diǎn)．例２已知

展式中的最高次冪項(xiàng)為，故為的二級(jí)極點(diǎn)．7例３已知，展式中有無(wú)窮多負(fù)冪次項(xiàng)，故為的本性奇點(diǎn)．關(guān)于孤立奇點(diǎn)類(lèi)型的判別，我們有如下結(jié)論：813.4.1

設(shè)在內(nèi)解析，則(1)為的可去奇點(diǎn)的充要條件是存在極限，其中為一復(fù)常數(shù)；(2)為的極點(diǎn)的充要條件是；(3)為的本性奇點(diǎn)的充要條件是不存在且不為無(wú)窮．證明：略。定理9

現(xiàn)在研究極點(diǎn)的特征．設(shè)在內(nèi)解析，且是的級(jí)極點(diǎn)，則在內(nèi)，有洛朗展式

其中．于是在內(nèi)，

(13.6)其中在內(nèi)是解析的函數(shù)，且．反之，如果在內(nèi)可表示成(13.6)，而在內(nèi)解析且，那么不難推出是的m級(jí)極點(diǎn)，10結(jié)論：是的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是

其中在解析且．于是有：11例４

判斷函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型．

解：

和為的孤立奇點(diǎn)．因?yàn)?/p>

其中在解析且，故是

的三級(jí)極點(diǎn)．類(lèi)似地，分別是的一級(jí)極點(diǎn)．1213.4.3

設(shè)，其中在解析且，則稱(chēng)是的m級(jí)零點(diǎn)．例如，則和分別是的一級(jí)與三級(jí)零點(diǎn)．由定義3可得結(jié)論：設(shè)在解析，則為的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是．(13.7)定義13事實(shí)上，若為的m級(jí)零點(diǎn)，則可寫(xiě)為，設(shè)在的泰勒展開(kāi)式為，其中，從而在的泰勒展開(kāi)式為

由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，，

．這就證明了上述結(jié)論的必要性，充分性請(qǐng)讀者自己證明．14例５

問(wèn)為的幾級(jí)零點(diǎn)？

解：

因?yàn)?，，，故是的三?jí)零點(diǎn)．零點(diǎn)與極點(diǎn)有如下關(guān)系：1513.4.2

若是的m級(jí)零點(diǎn)，則是的m級(jí)極點(diǎn)，反之也成立．證明：

若是的m級(jí)零點(diǎn)，則有，其中在解析且．由此，當(dāng)時(shí)，

其中在解析且，所以是的m級(jí)極點(diǎn)．定理16

反之，如果是的m級(jí)極點(diǎn)，則有

這里在解析且，于是有，其中也在解析且，由定義3可知是的m級(jí)零點(diǎn)．

定理2為判斷函數(shù)的極點(diǎn)及其類(lèi)型提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法．

17例６

函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它們?yōu)閹准?jí)極點(diǎn)．

解：

凡是使的點(diǎn)都是的奇點(diǎn)，這些奇點(diǎn)是，且均為孤立奇點(diǎn)。又由于，所以都是的一級(jí)零點(diǎn)，也就是的一級(jí)極點(diǎn)．1813.4.2留數(shù)與留數(shù)定理

定義13.4.4

設(shè)是的孤立奇點(diǎn)，在去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)稱(chēng)為在的留數(shù)，記作，即．(13.8)19

設(shè),是的孤立奇點(diǎn)，曲線C是函數(shù)解析域內(nèi)圍繞的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，等式兩邊逐項(xiàng)積分得

于是有

(13.9)關(guān)于留數(shù)，我們有下面的重要定理：20定理13.4.3

設(shè)曲線C是一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，在C內(nèi)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，除此以外，在C內(nèi)及C上解析，則

(13.10)證：

如圖13.3，在曲線C內(nèi)用互不包含且互不相交的正向簡(jiǎn)單閉曲線將各孤立奇點(diǎn)圍繞起來(lái)，圖13-321由復(fù)合閉路定理

,進(jìn)而

故

利用這個(gè)定理，求沿封閉曲線C的積分，就可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)．22例７求，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)和,下面分別求.

在內(nèi)

故23

在內(nèi)

故由留數(shù)定理得原式

24求函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，如果先知道奇點(diǎn)為何種類(lèi)型，一般來(lái)說(shuō)會(huì)更方便，因?yàn)椋?）若為的可去奇點(diǎn)，則（2）若為的本性奇點(diǎn)，則將在解析域內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù)，其中負(fù)一次冪項(xiàng)系數(shù)即為所求留數(shù)；（3）若為的極點(diǎn)，則可用下列計(jì)算規(guī)則求留數(shù)．25規(guī)則１若為的一級(jí)極點(diǎn)，則

．證：

由于為的一級(jí)極點(diǎn)，故有，上式兩邊同乘以，得

兩端取極限，得．26規(guī)則２若為的m級(jí)極點(diǎn)，則

證：

由于為的m級(jí)極點(diǎn)，所以

上式兩邊同乘以，得

兩邊對(duì)z求m-1階導(dǎo)數(shù)，得

令，兩端取極限得結(jié)論成立．27規(guī)則３設(shè)，及在都解析，若則是的一級(jí)極點(diǎn)，且．證：

因?yàn)榈囊患?jí)極點(diǎn)，由規(guī)則１，

已知在解析，且，于是

28

例8

求，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)和一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)．由規(guī)則１，．由規(guī)則２，

由留數(shù)定理，原式29例９計(jì)算積分，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)．由規(guī)則３，．同理求，，由留數(shù)定理，原式

30例10

計(jì)算積分，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)和．因?yàn)?，所以是的可去奇點(diǎn)，從而另外由規(guī)則１，

由留數(shù)定理，原式31例11

計(jì)算定積分，其中．

解：32其中在圓內(nèi)，且為的一級(jí)極點(diǎn)．由規(guī)則３得

根據(jù)留數(shù)定理，得．33