高級宏觀經濟學-第四版-中文-羅默課后題答案

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第2章無限期模型與世代交疊模型2.1考慮N個廠商，每個廠商均有規(guī)模報酬不變的生產函數心F(K/厶)，y“(K,肛)，或者采用緊湊形式心皿/W。假設/(*)>°，廠(?)<°。假設所有廠商都能以工資刪雇用勞動，以成本尸租賃資本，并且所有廠商的&值都相同?？紤]廠商生產F單位產出的成本最小化問題。證明使成本最小化的&值唯一確定并獨立于乙并由此證明所有廠商都選擇相同的&值?？紤]某單個廠商，若其具有相同生產函數，并且其勞動和資本的投入是上述N個廠商的總和，證明其產出也等于述N個廠商成本最小化的總產出。證明：(a)題目的要廠商選擇資本《和有效勞動血以最小化成本w血+廠K,同時廠商受到生產函數丫=ALg的約束。這是一個典型的最優(yōu)化問題。minwAL+rKs.t.Y=ALf(k)構造拉格朗日函數：F(K,AL,X)=wAL+rK+X\Y-ALf\k)]求一階導數：dFr..—=r-X[ALf=0()K將=w_X[f(K/AL)-4厶f(K/SL)(k/(力厶)2)]=0得到：r=A[ALf\K/AL')il/AL)]=A/'(Ar)w=X[f(K/AL)-A"'(K/血)&/(血)2)]=X[/(/c)-

上式潛在地決定了最佳資本&的選擇。很明顯，&的選擇獨立于點上式表明，資本和有效勞動的邊際產品之比必須等于兩種要素的價格之比,這便是成本最小化條件。（b）因為每個廠商擁有同樣的斤和兒則川個成本最小化廠商的總產量為:N’L嚴N’L嚴ALf(k)1=1&=丫弘張)=町(Qz=11=1丫為N個廠商總的雇傭人數，單一廠商擁有同樣的〃并且選擇相同數量的k.斤的決定獨立于/的選擇。因此，如果單一廠商擁有丫的勞動人數，則它也會生產Y=ALfW的產量。這恰好是川個廠商成本最小化的總產量。2.2相對風險規(guī)避系數不變的效用函數的替代彈性。設想某個人只活兩期，其效用函數由方程（2.43）給定。令P】和?分別表示消費品在這兩期中的價格，肘表示此人終生收入的價值，因此其預算約束是：P1C1+P2C2=“（a）巳知P】和卩2和卩,則此人效用最大化的°】和G是多少？（b）兩期消費之間的替代彈性為~［佇/卩2）/（5尢2）］［疋"2）/0佇/卩2）］,或-磯叫（；1疋2）/兀兀（卩1陽2）。證明，若效用函數為（2.43）式，長則5與5之間的替代彈性為1/°。答：（a）這是一個效用最大化的優(yōu)化問題。maxU=cjmaxU=cj1clV1-“十i+pi-0s.t.P&]+P2C2=W(1)(2)求解約束條件:(3)將方程（3）代入（1）中，可得：土_L￡^2竺也二（4）1-1+Z?1-0這樣便將一個受約束的最優(yōu)化問題轉變?yōu)橐粋€無約束問題。在方程（4）兩

邊對5求一階條件可得：dUg=C—J十-L-C-^-PX/P^=0解得：(5)G=(1+。嚴(耳/片)1化2(5)將方程(5)代入(3),則有：c2=w/P2-a+P)V°(P2/P1)1z°C2P1/P2(6)解得：(6)2_1+(1+Q)"°(P2/P尹十嚴將方程(6)代入(5)中，則有：(7)(1+”)"'『2儼$"化仔2)(7)仃=1+(1+小譏(卩2滬尹十嚴(b)由方程(5)可知第一時期和第二時期的消費之比為：(8)G/G=(1+Q)l〃(P2/Pi)"〃(8)對方程(8)兩邊取對數可得：(9)饑(G/G)=(1/〃)饑(1+Q)+(1/“)饑(卩2/卩1)(9)則消費的跨期替代彈性為：_0(G/Q)P2/P1_0饑(G/q)_10(P2/pJCi/Q伽(P2/PJ0因此，°越大，表明消費者越愿意進行跨期替代。2.3(a)假設事先知道在某一時刻"，政府會沒收每個家庭當時所擁有財富的一半。那么，消費是否會在時刻5發(fā)生突然變化？為什么？(如果會的話，請說明時刻5前后消費之間的關系。)假設事先知道，在某一時刻"，政府會沒收每個家庭當時所擁有的部分財富，其數量等于當時所有家庭財富平均水平的一半。那么，消費是否會在時刻5發(fā)生突然變化？為什么？(如果會，請說明時刻S前后消費之間的關系。)答：（a）考慮兩個時期的消費，比如在一個極短的時期△t,從叮到（5+￡）?？紤]家庭在（5一￡）時期減少每單位有效勞動的消費為Ad然后他在（5+￡）投資并消費這一部分財富。如果家庭在最優(yōu)化他一生的財富，則他的這一財富變化對一生的效用沒有影響。這一變化有一效用成本"C前）△",在（5+￡）會有一收益臚—如"△財富的回報率為r（t）,不過，此刻有一半的財富會被沒收。此時的效用收益為（1/2）譏c后）莎⑴△c?？傄覍τ谛в米畲蠡南M路徑來說，必須滿足下列條件：u（c前）△c=$（c后）△c在△cM0時，有下式：.1."（C前）=產C后）因此，當政府對財富沒收一半后，消費會不連續(xù)的變化，消費會下降。征收前，消費者會減少儲蓄以避免被沒收，之后會降低消費。（b）從家庭的角度講，他的消費行為將不會發(fā)生不連續(xù)的變化。家庭事先會預測到自己一半的財富會被政府沒收，為了最優(yōu)化他一生的效用，家庭不會使自己的消費發(fā)生不連續(xù)的變化，他還是希望平滑自己的消費的。2.4設方程（2.1）中的瞬時效用函數班G為加刃（C）?？紤]家庭在（2.6）的約束下最大化方程（2.1）的問題。請把每一時刻的C表示為初始財富加上勞動收入現值、廠（上）以及效用函數各參數的函數。答：〃=人；o廣叫（“切裁t2.1麗0廣叫）帥w竽+人：0廣跑）"）罟必2.6本題目是在家庭的預算約束下最大化一生的效用。maxU=J二°e-"rlnC(t)j^dt(1)s?tj二嚴?CO)裁t=竽+麗0廠盹)心)吩)罟dt(2)令“罟+并廠(磅細建立拉格朗日方程：L=fe"pW(t)—dt+XHZ-fc_/?(t)C(t)—dtTOC\o"1-5"\h\zJr=oHJt=QH9?求一階條件：0厶or_￡一prC(t)--M)“-班円)dC(t)i7HHHO抵消百項得：e"=Ae-K(t)(3)可以推出：C(t)=e^ptA(4)將其代入預算約束方程，得：麗0宀(乖“y⑴帶J—“(5)TOC\o"1-5"\h\z將L(t)=ezUL(O)代入上式，得：廠1罟J：。廣(—必dt=0(6)只要P-n>0,則積分項收斂，為l/(P-n),則：-1W久=顧心7)(7)將方程(7)代入(4)：C(t)=八)"[為(—)]⑻因此，初始消費為：w"0)=?！?(9)W個人的初始財富為匝而，方程(9)說明消費是初始財富的一個不變的比例。(P-n)為個人的財富邊際消費傾向?？梢钥闯?，這個財富邊際消費傾向在平衡

增長路徑上是獨立于利率的。對于折現率P而言，P越大，家庭越厭惡風險，越會選擇多消費。2.5設想某家庭的效用函數由(2.1)~(2.2)式給定。假設實際利率不變，令卩表示家庭的初始財富加上終生勞動收入的現值［(2.6)的右端］。已知二羅和效用函數中的各參數，求C的效用最大化路徑?！?人；0廠叫(C(￡))〃=人；0廠叫(C(￡))裁t

皿(°)=眸答：本題目是在家庭的預算約束下最大化一生的效用，即:max〃=幾；。廣"％(C(0)裁ts.t.-II2.12.2(1)(2)伊代表家庭的初始財富加上家庭一生勞動收入的現值，利率/是常數。建立拉格朗日方程如下：e"c(f)0e"c(f)0求一階條件，可得：TOC\o"1-5"\h\zdL0L(t)=廣pfC(t)-°—-Ae-rf-^-=0dC(t)'丿HH抵消W)/H,得：e~ptC^ty0=Ae-rt(3)兩邊對時間t求導，可得：e~pt[-0C(t)_8_1C(t)]-pe~ptC(t)_0+rXe_rt=0得到下面的方程：-O^e~ptC(tye-pe~ptC(t)~+rAe_n=o(4)將方程(3)代入(4),可得：-9-Xe~rt?pXe"rt+rXe"rt=0C(t)頁腳頁腳(11)頁腳(11)頁腳rr￡(0抵消入￡然后求消費的增長率麗，可得：(5)C(t)_r-P(5)由于利率/是常數，所以消費的增長率為常數。如果r>P,則市場利率超過貼現率，則消費會增加；反之，如果廠VP,則市場利率小于貼現率，則消費

會減少。如果r>P,則°決定了消費增長的幅度?！阒翟降?，也就是替代彈性越高，I/O越高，即消費增長的越快。重寫方程(5),得:(6)dlnC(t)r-p(6)~~dt~=8對方程(6)積分，積分區(qū)間是從時間r二0到時間r=t,可得:lnC(t)-lnC(0)=罟r|；:J上式可以簡化為:/nC(t)/C(O)=(r-p)/Ot/nC(t)/C(O)=(r-p)/Ot(7)對方程(7)兩邊取指數，可得：C(r)/C(0)=￡〔(-")/°整理得:C(t)=C(0)e[(rC(t)=C(0)e[(r-必叭i(8)下面求解初始消費，將方程(8)代入(2),可得:e“C(0)e[(e“C(0)e[(—”型加=W0H將L(t)=emL(O)代入上式，可得:(9)c(o廿(o)jioC-[Q7+〃dt=w(9)只要[P?廠+O(r-n)]/O>0,從而保證積分收斂，則求解方程(9)只要[PJt=0p-r+Jt=0p-r+(10)將方程(10)代入(9)中，求解"0)：C(0)將方程(11)代入(8),求解SO：C(f)爲[字+(—)](12)上式便是C的效用最大化路徑。2.6生產力增長減速與儲蓄。設想一個正處于平衡增長路徑上的拉姆塞一卡斯一庫普曼期模型，假設g永久性下降。"=°曲線會如何變化(如果有影響)？°曲線會如何變化(如果有影響)？當g下降時，c如何變化？用一個式子表示g的邊際變化對平衡增長路徑上儲蓄率的影響。能否判斷此表達式的正負？設生產函數是柯布一道格拉斯函數fW=k\請用P、從從0和a重新表示(d)中的結果。(提示：利用等式卩+°9。)答：(a)關于資本的歐拉方程為：=fg))-c(t)-(n+g)k(t)(1)該方程描述了資本的動態(tài)方程，在拉姆塞模型中，該方程描述了技術特征，是該模型的核心，它與消費的動態(tài)方程一起構成了該模型的歐拉方程組，從而決定了該模型的最終解。在平衡增長路徑上，“二0,由此可以推出：c=/W-(n+9)匕在該方程中，當g永久性地下降時，會導致消費c上升以保持方程的均衡。因而在圖形上k=0曲線向上移動。同時，保持斤不變，g永久性地下降會導致持平投資下降,這樣就會有更多的資源用于消費。由于持平投資⑺+9）下降的幅度更大，因而在更高的斤水平上，〃二°向上移動得更大。圖2-1是該模型的圖示。（b）每單位有效勞動消費的歐拉方程為：孫）_f（々））-卩-“⑵該方程描述了消費的動態(tài)方程，在拉姆塞模型中，該方程描述了偏好特征，是該模型的核心，它與資本的動態(tài)方程一起構成了該模型的歐拉方程組，從而決定了該模型的最終解。在平衡增長路徑上，要求c二0,即f\k）=p+在g永久性地下降時，為保持［二°,f（k）必須下降。由于/w<°,因而下降必然導致斤上升。因此，。二°必須上升，在圖形上表現為C二°向右移動，如圖2-1所示。（O在g永久性地下降時，由于每單位有效勞動的資本是由歷史上的投資決定的，因而不會發(fā)生不連續(xù)的變化。它仍然保持在平衡增長路徑以處。與此相反，每單位有效勞動的消費則會隨著g永久性地下降而迅速變化。為使經濟從舊的平衡增長路徑達到新的平衡增長路徑，每單位有效勞動的消費C必將發(fā)生變化。不過，此處無法確定新的平衡增長路徑處于舊的均衡點的上邊還是下邊，因而無法確定每單位有效勞動的消費c是上升還是下降。存在一種特殊情況，即如果新的平衡增長路徑恰好位于舊的均衡點的右上方，則每單位有效勞動的消費C甚至可能保持不變。因此，c和&逐步移動到新的平衡增長路徑，此時的值高于原先的平衡增長路徑值。（C1）在平衡增長路徑上，產出中被儲蓄的部分為：［fw—c*］〃伙因為斤保持不變，即〃二°,位于一條均衡的增長路徑上，則由方程（1）可知：fg-八=O+gW由上面兩個式子可以推出在平衡增長路徑上，產出中被儲蓄的份額為：

s=[(n+g)k*]/f(k*)對方程(3)兩邊關于g求導數，可得：ds_f(k*)[(n+g)dk伽+L]-(n+g)k9f{kJdk*/dg喬[/'(/<*)]2可以再簡化為：ds_上+?)-k丁'伙“)]僻”/勿)+f(k:)k1兩_W)F由于/c”由f\k)=P+切決定，對該式兩邊關于g求導數，f理)化7°)=0,從而求出b/g為:5="/茁)<0將方程(5)代入(4)中，可得：ds=(n+g)[fX)-k?rW)]0+fX片廣X)爾[f(i)]2f"(k?)(3)(4)可得:(5)(6)在方程(6)中，分母『(")]分為負，分子中第一項為正，而第二項為負，因而無法確定正與負。因此，無法判斷在平衡增長路徑上(3)(4)可得:(5)(6)(e)將柯布一道格拉斯生產函數fW=疋，f(k)=a/<(，-1和f'W=G(a-l)A:a~2代入方程(6)中，可得：dsO+p)片a-k*ak*a_1]0+fc*ak*a(a-l)k*a_2繭/c*ak*ua(a-l)fc*u-2簡化為：ds_(n+^)/c4a(1-a)e-(1-a)/e*aa/c*Q■1礦[-(1-a)/<ra(a/c*a-1)(a/c*u-1)/a]從上式可以推出：竺__匕⑺+9)0-(P+09)°g(p+fltg)2最終有下面的結果：ds(n0-p)(p-n0)°g—a(p+eg)2~a(p+T2.7說明下列變化如何影響圖2?5中的c二°線和〃二°線，并在此基礎上說明其如何影響平衡增長路徑上的c值和￡值。。上升生產函數向下移動。折舊率由本章中假設的零變?yōu)槟骋徽?。圖2-2鞍點路徑答：(a)關于c與斤的歐拉方程為：d(t)_fa(ty)-p-(fg而0/c(t)=-c(t)-(n+g)k(t)(2)0的上升即消費的跨期替代彈性l/°下降，表明家庭不太愿意接受消費的跨期替代，同時表明隨著消費的上升，消費的邊際產品下降得很快。這種情況使家庭更偏好于即期消費。由于°沒有出現在資本積累方程(2)中，因而資本積累方程不受°的上升的影響。在消費的動態(tài)方程中，在平衡增長路徑上。二0,從而fW=P-由于°的上升，因而必須上升，又因為所以為使C二0,k必須下降。此時［二°向左移動，消費移動到新的鞍點路徑/點上，此刻家庭消費得更多了，經濟最終移動到新的穩(wěn)定點此時和匕；v低于原先的值。如圖2-3所示。

圖2-3°上升的影響(b)由于生產函數的向下移動，因而/‘(◎和都變小了，如圖2-4所示。圖2-4生產函數向下移動根據資本的歐拉方程：-c(t)-(7i+g)k(t),在平衡增長路徑上A=°,因而有c=(n+g)k。由于f(?)變小，因此R=°這條曲線會向下移動，如圖2-5所示。孫)_f(々))-。-?g根據消費的歐拉方程：而§,在平衡增長路徑上丄二0,從而f(k)=P+由于變小，為保持L二0,必須使&下降，從而使保持不變。因此。二°向左移動，如圖2-5所示。經濟最終將收斂到新的均衡點點，此刻和低于原先的值。

圖2?5生產函數向下移動的影響(C)由于折舊率力由0變?yōu)檎龜?，因而資本的歐拉方程變?yōu)椋簁(t)=-c(t)-⑺+9+S)k(t)(3)由于折舊率/由0變?yōu)檎龜?，因此持平投資變大，持平投資線向左上移動,如圖2-6所示。這便要求增加儲蓄或者投資，從而降低消費。由于持平投資變大，因此"二°會向下移動，如圖2-7所示。圖2-7折舊率由0變?yōu)檎龜档挠绊?/p>

I資本的回報也下降為：fw■6,從而消費的歐拉方程變?yōu)椋簩O）-f&（0）-6-P-盹（4）在平衡增長路徑上，1二0要求f（k）=8+P+00。與折舊率§由o變?yōu)檎龜抵跋啾容^，才?。┍仨氉兇?，從而&必須變小。由于￡必須變小，這便要求L二°曲線向左移動，如圖2-7所示。經濟最終將收斂到新的均衡點點，此刻％W和匕比W低于原先的值。答：教材中方程（2.39）中折舊率為0的情形為:炒仆+答：教材中方程（2.39）中折舊率為0的情形為:炒仆+2'?：1「（。+°9）［卩+0g-a（n+當考慮到折舊率§>0的情況時，消費和資本的歐拉方程變?yōu)椋?1)(2)可得:C(t)_-a-p-ffg(1)(2)可得:而_$k(t)=f(k(ty)-c(t)-(n+9+對方程（1）和（2）分別在c=J和=L處進行一階泰勒展開,(3)心鼬-1］+心鼬-1］+紅一門(4)定義］=c_"和￡=上_/^,因為八和為常數「所以C=c且&=&將（3）和（4）重寫為:對方程（1）和對方程（1）和（2）計算偏導數:dedebgp*dedc^c=詁+祝c(5)w(6)匕bgp~o(7)/(**)-6_p_ffg(8)iTOC\o"1-5"\h\z討如》=幾加)一5+9+〃)(9)^\bgp=~1(10)將方程(7)和(8)代入(5),將方程(9)和(10)代入(6),可得：c=^-k(11)k=[f\k")_(n+g+5)卩-c=|(d+q+og)—(7z+9+力)]E-c=/3k-c(12)方程(12)的第二步用到了/'*)=($+P+°9),第三步用到了定義3=P-n-(l-0)p。對方程（11）除以云以求$的增長率，對方程（12）除以&以求&的增長率:a=~~a=~~c(14)可以發(fā)現該結果與教材中不存在折舊率的增長率一樣，也就是說折舊率的存在對增長率沒有影響。因此，經濟在向平衡增長路徑移動時的E和E的不變增長率〃與教材中的結果應該一致。C（15）_廣X）廣1=—,求解可令卩=（15）_廣X）廣1=—,求解可k0__7由方程（15）,令（13）和（14）相等，可得:得：b±[卩2_4廣（y）c7e]1/2P二2如果卩為正，則經濟會偏離穩(wěn)定點，所以》必為負:B-[p2-4/'（fc*）c79]1/2現在考慮柯布一道格拉斯生產函數代k）=J分別求其一階導和二階導:

f(kj=aLf(kj=aL^7'1=r*+8(16)(17)/(Ar1=_8,8%）要快于不存在折舊時的調整速度。)=ak￥一1=a(a-l)/c(17)1=_8,8%）要快于不存在折舊時的調整速度。r?°、22>?2□—2將方程（16）兩邊同時平方：（r+S）=a/c,將其代入（17）式:茁）=（宀從7（f+茁）=（宀從7（f+巧?(1aKG心)定義平衡增長路徑上的儲蓄率為"，則平衡增長路徑上的消費為:(18)將方程(17)和(18)代入(15)：9(a-1)(廠*+6)2B2_4——(1一sJf(/T)化簡為:=2=2(19)在平衡增長路徑上，意味著廠=P+即:廠°+/=q廠°+/=q+9g+(5(20)可以推出:(21)(22)可以推出:(21)(22)另外，實際投資等于持平投資：s丁理）=（n+g+4_(“+g+?_a(n+g+曠)—r(/r)—"…i-上步用到了廠+6=ak"—i,由(21)可以推出：r*+S-a(n+g+6)]_S=r-+將方程(20)和(22)代入到(19)中，可得：P++"g+6）［。+"0+6一“（n+0+方）］幻=2上式與教材中的（2.39）極其相似，它表明了消費與資本的調整速度（將a=1/3,p=4%n=2%=1%,0=1,?=3%代入上式，得到因此，方程(因此，方程(12)的兀解表示成頁腳將方程(4)將方程(4)代入只￡)的定義，得到:頁腳2.9拉姆塞模型的解析解［來自于史密斯(Smith,2006)。］考慮生產函數柯布-道格拉斯函數的拉姆塞模型，y(0=1的情形，假設相對風險規(guī)避系數0與資本份額a相等。平衡增長路徑上的A值(即尢*)為多少？平衡增長路徑上的c值(即&*)為多少？(C)令?⑴表示資本產出比咒(￡)表示消費資本比請用Z、X和模型參數表示z(t)和兀(￡)/兀(t)。暫且猜測才在鞍點路徑上是常數，根據這一猜想：給定初始值z(0),求z的路徑。給定初始值做0),求y的路徑。經濟沿鞍點路徑向平衡增長路徑收斂的速度是否是常數？上述猜測的解是否滿足c與k的運動方程(2.24)與(2.25)?答：(a)已知從正文可知，在^=0時，存在f(k)=p+利用方程(1)計算得到(b)與@)題類似，根據正文可知，在”時，存在c*=/(k)-(n+^)ko利用方程(1)計算得到：設Z(t)=k(t)/y(t)和X(t)=。將方程(1)代入z(t)的定義得

Ck_a=xz(5)使用方程(4),考慮z(t)=fc(t)/y(O的時間導數，得到:(5)(6)從正文的方程(2.25)知道，k=ka-c-(n+g)k,方程(6)可表示成:z=(1_世_c-(八+g)k]為簡化上式，將方程(4)和方程(5)代入上式，得到：z=(1-a)[1-兀z-(71+g)z]現在，對數化=考慮其時間導數，得到：???xck—=——xck根據正文的方程(2.24)和方程(2.25),上式可表示成:xakc?]_。一pg-k17+c+(?i+g)kx=L+k將方程(4)和方程(5)代入上式，再利用d=〃得到：一=兀+幾一p/aX(i)根據x為常量的假設，方程(8)可表示成z=(1_a)[1_(?1+9+?！?z](7)(8)(9)(10)(11)(12)為確定z的變化路徑，考慮方程((7)(8)(9)(10)(11)(12)該方程的解包括通解乙和Zp。簡單地設人-(1-a)(n^g+X4}.為求通解，考慮相應的齊次方程z+Az=0,州是積分常數，求解?的微分方程得到通解：z^A^-K(13)為求特解，考慮非齊次方程z+人z=l-a,血是積分常數，利用積分因子得到特解：zp=(1-a)/A-^A2e-At(14)(15)z=zc+zp=(1—a)/人+(力］+/42)e~At(15)頁腳頁腳方程(方程(22)可表示成：頁腳利用初始條件，z(0)替換州+後,得到：TOC\o"1-5"\h\zz=(1-ayA+(z(O)-(l-a)/A)e~At(16)為簡化(1-。)/人，使用方程(2)和(3)消去尢利用方程(4)得到:z=z"+u(z(O)-z*)(17)(ii)可將方程(4)代入方程(1),求解y的路徑。由于已經得到z的路徑，將z的路徑代入方程(17),得到：y=[z*+e~u(z(O)-z*)]1_<?(⑻使用k表示z的方程(4),上式可表示成：y=[k*=pla-n-a+e~山(￡(0)1?“-上*?)嚴(19)=pla-n(20)現在，分析經濟趨向平衡增長路徑的收斂速度是否不變。方程(19)兩端同減方程(2)確定的平衡增長路徑三,再取對數求導：(20)考慮上式的時間導數，得到：(21)別n(y_y‘)_三"，(21)_產-(啟產上式顯然不是常數，收斂速度也不是常數。(2.25)(e)需要知道正文的方程((2.25)c/c=-p-0g/“)和"=ka-c-(n+g)是否成立。使用方程(2.24)和方程(2.25)求解疋/尤，疋/尤成立的充要條件是方程(2.24)和方程(2.25)成立。已經方程(2.25)成立，以前使用該方程求解z。因此-=0的充分必要條X件是c/c=0o假設I=0,根據方程(11)可得：X(22)x*=p/a-n(22)(23)根據(a)題和(b)題，在平衡增長路徑上，兀寰等于(Q+?！?0-(兀+9),(23)上式等同于方程(11),方程(2.24)和方程(2.25)得以成立。2.10拉姆塞-卡斯-庫普曼斯模型中的資本稅?？紤]處于平衡增長路徑上的拉姆塞-卡斯-庫普曼斯經濟。假設在某一時刻(我們稱作0時)，政府采取了一項對投資所得按稅率征稅的政策，因此家庭面臨的實際利率變?yōu)閞(t)=(l-T)/(k(t))e假設政府將稅收收入以一次性轉移支付的形式返還給家庭。最后，假設稅收政策是意料之外的。該稅收政策如何影響&二°和〃二°線？經濟在0時會對該稅收政策作出何種反應？0時之后的動態(tài)學又是如何？c和&在新舊兩種平衡增長路徑上的值有何不同？(d)［本小題基于巴羅、曼昆和薩拉伊馬丁Barro,Mankiv,andSala-i-Martin,1995］假設存在許多與本題相同的國家，各國工人們的偏好相同，但各國間的投資收入稅率可以不同。假設各國都處于其平衡增長路徑。⑴證明平衡增長路徑上的儲蓄率(X一cj/g關于丁是遞城的。(ii)低.高高儲蓄率國家的居民是否有動機向低儲蓄率國家投資？為什么？(c)小題中的笹案是否說明補貼投資(即讓r<0)并通過一次性稅收為補貼籌資的政策可以提高福利？為什么？如果政府并不返還稅收收入，而是將其用于政府購買，(a)小題和(b)小題中的答案會如何變化？由于資本的稅后報酬變?yōu)椋簉(t)=(l-t)/(/c(O),家庭將改變每單位有效勞動的消費增長率來實現一生效用的最大化，即：a(t)_(1-r)f'(k(t))-p-(igo)而=$在平衡增長路徑上，。=°要求(1-伙(￡))=P+0<g,即稅后報酬率為p+為保持2=0,fgt))必須上升，又因為fg所以資本存量必須下降。因此，2=0這條曲線將會左移，如圖2-8所示。圖2-8對投資増稅的影響家庭的每單位有效勞動的資本的歐拉方程仍為：/c(t)=/(/<(t))-c(t)-(n+g)k(t)(2)由于政府將由這種稅收征集的收入又通過總量性轉移支出返還給家庭，所以家庭投資決策不受影響，因而"=°的軌跡不變。在0時刻，由于資本的存量由歷史上的投資決策所決定，因而資本不會發(fā)生非連續(xù)的變化。資本仍然保持在原來的平衡增長路徑上的上“處。在0時刻，與每單位有效勞動的資本相反，每單位有效勞動的消費會由于征稅而立刻發(fā)生變化。由于稅收政策的這種變化是非預期性的并且是毫無準備的，因此消費的變化是非連續(xù)的。由于政府的這種稅收征集，儲蓄和資本積累的回報會比以前低，家庭會轉而減少儲蓄，增加消費，在圖2-8±表現為c向上移動到/I點，然后沿著新的均衡路徑移動。經濟沿著新的鞍點均衡路徑緩慢移動，最終移動到新的均衡點耳怡叭由圖2-8可知，由于稅收扭曲了經濟刺激，因此稅后處在新的平衡增長路徑上的c與斤的值將變小。(i)由上述的分析可以看出，稅率廠越高，在平衡增長路徑上的"越小，而且c=°曲線向左移動得越多，因而有刃八/dTVO。在平衡增長路徑上，儲蓄率可以表示為：["◎'一八"(kJ],同時,k=o時，由-c(t)-(n+g)k(t)可以推=(n+g)k4f由此可以將儲蓄率表示為：

=[(n+=[(n+g)k*]/f(k*)(3)對方程(3)兩邊求關于稅率t的導數：ds_⑺+g)@k?/dT)f(k*)-(n+g)k*f(k7°t)TOC\o"1-5"\h\zk/(r)2可以簡化為：ds_(n+g)dk*(n+g)k'f(kJ曲'(n+g)dk"k"f(kJ亦='f(Qf(Q齊=心恥[~,□?=%(/)—<0由于資本的收入份額為㈣KI),以及“<U,可以改寫上式為：A辟"E)]<0⑷以上便證明了平衡增長路徑上的儲蓄率(y，~c'W關于廠是遞減的。<ii)在低稅率、髙資本存量和髙儲蓄的國家的公民沒有動力去投資于低儲蓄的國家。由(a)可知，在平衡增長路徑上c=0,可以推出(1-t)/(/<(t))=P+即稅后的資本回報為P+°9,假定在國家之間偏好與技術特征是相同的。因而在低儲蓄國家資本的稅后回報與高儲蓄國家的資本的稅后回報相同。因此，在低稅率、髙資本存量和髙儲蓄的國家的公民沒有動力去投資于低儲蓄的國家。補貼投資不會增加福利。原先的市場結果便已經是中央計劃者能夠達到的社會效用最大化水平了，它給予了家庭最高可能的終生效用水平。從初始的疋點開始，投資補貼能夠使消費短期下降到/點，但最終經濟會沿著新的平衡增長路徑達到更大的消費水平點?？梢园l(fā)現短期的效用損失會超過長期的效用收益(都用現值形式表示)，如圖2-9所示。頁腳頁腳(a)用相圖畫出(a)用相圖畫出h之后c和&的動態(tài)學。頁腳圖2-9對投資補貼不會增加福利假定政府未將稅收所得返給家庭，而是用于政府購買。令"0為每單位有效勞動的政府購買，則每單位有效勞動的資本存量變化的歐拉方程仍為：k(t)=-c(t)-G(t)-(n+g)/c(t)(5)政府購買被視為是政府的消費而不是投資，這將不會增加資本存量。由(5)可得,k=°曲線將向下移動。如圖2-10所示。由(a)可知，由于政府征稅，曲線向左移動，“移動到際;w,在新的平衡增長路徑上，每單位有效勞動的消費會低于存在政府的總量稅返還的情況。如圖2-10所示。圖2-10稅收全部用于政府購買對經濟的影響2.11應用相圖分析預期變化的影響?？紤]習M2.10中提到的政策，假設政府并不是在0時宣布并執(zhí)行該政策，而是在0時宣布將在以后某一時刻弓對投資收入按照稅率r征稅。c在5時刻的變化是否連續(xù)？為什么？(C)用相圖畫出5之前C和&的動態(tài)學。根據(a)、(b)和(c)的答案，c在0時應如何變化？總結上述4個小問題，并把c和&的路徑描繪為時間的函數。答：(a)-(c)在開始征稅的時間°之前，描述經濟動態(tài)變化的方程為：TOC\o"1-5"\h\z_fgt))-P-^9(])/c(t)=/(/c(t))-c(t)-(n+g)k(t)(2)對于方程(1),在平衡增長路徑上，c二°可以推出f'W=P+°9。由于政府返還總量稅，資本積累方程不受影響。在5時刻征稅之后，C的歐拉方程為：c(t)(1_r)/(fc(0)-p-^9(R)在平衡增長路徑上，C二0可以推出(1-T)/'(/<(0)=P+即稅后的回報為p+°9。因此，稅前的資本回報f(g)高于稅后的資本回報。為保持L二0,f'W))必須上升，從而k必須下降。因此，在-時刻，c二°曲線必須向左移動。如圖2T1所示。圖2-11耳時刻征稅使得c二0向左移動不過值得注意的是，資本的動態(tài)在實際征稅之前仍由原先的歐拉方程決定。在“時刻征稅之后，消費c不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，原因在于家庭已經在事先知道了將要征稅的消息，家庭希望平滑消費。

(cl)在5時刻征稅之后，消費不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，同時經濟會達到新的平衡增長路徑。在0時刻宣布并施行征稅后，c會立即由原先的均衡點E移動到平衡增長路徑上的力點，如圖2-12所示。圖2-12征稅對c=0曲線的影響在/I點，由于消費c太高，從而不足以將資本維持在原先的資本水平花"上,因此&開始下降。從0時刻到弓時刻，動態(tài)系統(tǒng)仍由原先的［二0的歐拉方程決定。消費在鞍點路徑之左，因此消費開始上升。在“時刻經濟恰好移動到新的鞍點路徑，此時稅收開始執(zhí)行，并且動態(tài)系統(tǒng)仍由新的c二0的歐拉方程決定。因此，c開始下降，經濟最終移動到新的鞍點^new°(e)每單位有效勞動的消費與每單位有效勞動的資本如圖2-13所示。(1)每單位有效勞動的消費的圖示(2)每單位有效勞動的資本的圖示圖2-13每單位有效勞動的消費、有效勞動的資本圖示2.12應用相圖分析暫時性變化的影響?？紤]習題2.11的如下兩種變形：在0時刻，政府宣布將對0時到其后某一時刻弓間的投資收入按照稅率r征稅，而此后投資收入仍將免稅。在0時，政府宣布將對5時其后某一時刻S間的投資收入按照稅率T征稅，而弓之前和°之后的投資收入仍將免稅。答：(a)第一問是分析預期到的稅收將在5時刻結束，因而消費在“時刻將不會發(fā)生非連續(xù)的變化。原因在于家庭的跨期消費最優(yōu)化要求家庭平滑消費。因此，在經濟返回到舊的鞍點路徑時，消費必須在°時刻位于舊的鞍點路徑上。在征稅之前，即到0時刻，和在結束征稅之后，即-時刻之后，經濟動態(tài)變化由下面兩個歐拉方程決定：C(t)_fgt))-P-ffg(])而=o/c(t)=/(/c(t))-c(t)-(n+g)k(t)(2)資本積累的動態(tài)方程〃二°不會受到征稅的影響，但是，消費的動態(tài)方程L二°則會受到征稅的影響。在0時刻到-時刻，資本的稅后回報為(1-t)/(/<(t))=p+Otg,為了保證c=0成立，/(/c(0)必須上升，由于所以&必須下降，從而L二°：=0必須左移。在0時刻，開始征稅丄二°保持不變，但經濟位于原鞍點路徑的右邊，因而c開始下降。此時經濟在*二°的下邊，因而公開始上升，經濟會偏離到疋點的東南，離開了原來的鞍點路徑。如圖2-14所示，在0時刻，經濟上升到/I點，&和c開始下降，最終經濟會降到“=°曲線的下方，因而斤開始上升。這是因為家庭預測到稅收將被取消，因而開始增加投資。在“時刻，稅收被取消，經濟將位于動態(tài)系統(tǒng)的右邊，即〃點。在-時刻之后，動態(tài)方程c二°再次支配動態(tài)系統(tǒng)。此刻經濟再次返回原先的鞍點路徑，最終返回到原先的穩(wěn)定點化圖2-14鞍點路徑（b）由于家庭可以事先預測到稅收將被執(zhí)行或取消，因此從家庭會進行跨期消費最優(yōu)化這一角度出發(fā)，家庭會選擇在各期之間平滑消費，因此在“時刻和°時刻，c不會發(fā)生不連續(xù)的變化。為了使經濟返回到平衡增長路徑上，在°時刻經濟必須位于原先的鞍點路徑上。在稅收被執(zhí)行的5時刻之前和稅收被取消的°時刻之后，經濟仍由動態(tài)系統(tǒng)（1）和（2）來支配。在稅收被宣布的0時刻直到被執(zhí)行的°時刻為止，原先的歐拉方程仍然支配動態(tài)系統(tǒng)。在0時刻稅收被宣布執(zhí)行，消費開始上升到/點，經濟仍然位于°二°的動態(tài)系統(tǒng)上，但是位于〃二°的動態(tài)系統(tǒng)的上方，因此&開始下降。因而開始偏離到°二o的左邊，c開始上升，經濟此刻偏離到動態(tài)系統(tǒng)的西北方。在5時刻稅收開始執(zhí)行，家庭傾向于減少儲蓄，因而斤開始下降，導致°二°左移，經濟到達B點。此刻經濟位于〃二°的動態(tài)系統(tǒng)的上方和C二°的動態(tài)系統(tǒng)右邊，因而，斤繼續(xù)下降而c開始下降。最終經濟會下降到k=0的動態(tài)系統(tǒng)的下方，因而斤開始上升。為實現家庭的跨期最優(yōu)化，必須選擇資本的初始值以使經濟在?時刻稅收取消時位于舊的鞍點路徑上的Q點。在S時刻之后，經濟仍由動態(tài)方程］二0支配，從而經濟最終會返回到舊的穩(wěn)定點￡上。如圖2-15所示。'c=0c=0B與S之間］心前和上2后］圖2-15鞍點的路徑2.13本章在分析拉姆塞一卡斯一庫普曼模型中政府政策時假定了政府購買并不影響私人消費的效用。與此相反的情況是政府購買和私人消費是完全替代品。具體而言，假設效用函數（2.12）變?yōu)椋喝绻洕畛跆幱谄狡胶庠鲩L路徑，并且家庭偏好由〃給定，政府購買的暫時增加會對消費路徑、資本路徑和利率路徑有何影響？答：將政府購買納入到動態(tài)系統(tǒng)中，則資本積累方程為：鎧)=?/<(0)-c(t)-6(t)-(n+其中，G（0代表r時刻每單位有效勞動的政府購買。因為假定政府購買會完全替代掉私人消費，久上）的變化將會一對一的抵消掉c的變化。在初期，定義家庭的消費增長率變?yōu)椋簩τ谔幵谄胶庠鲩L路徑上的消費來講，動態(tài)方程c二。要求f（k（0）=P+0”。短期政府購買的變化只會產生水平效應，即只影響c的變化，而不會影響增長率的變化，也就是不會移動c=°曲線。假定經濟處于平衡增長路徑上的/點，在5時刻,G（t）從丘上升到G/v,家庭預測到加稅只是暫時的,在5時刻之后&N會返回到5。G（f）的上升會使（1）式中〃二°的動態(tài)系統(tǒng)向下移動，移動的數量恰好為9"-°厶）。政府購買的增加直接地減少了家庭消費。與拉姆塞一卡斯一庫普曼模型中政府政策的分析假設政府購買并不影響私人消費的效用的情況相反，政府購買與私人消費是完全替代的，假定會要求在°時刻c必須立即向上跳動9"一5）以抵消政府購買的減少，從而返回到原先的平衡增長路徑上。如圖2-16所示，經濟必須在5時刻向下跳動到Ewiv點，下降的數量為（Gn~Gl）o經濟在這一點上一直停留到5時刻。此后，經濟向上跳動（57）以返回到舊的平衡增長路徑上的e點。圖2-16拉姆塞一卡斯一庫普曼模型下面分析兩種非均衡的情況。第一種：在5時刻，c下降的數量小于（Sf此種情況下，經濟將位于新的〃二°的上方，2便會減少從而位于&二°的左方，c便會上升，則經濟會向動態(tài)系統(tǒng)的西北方向移動。那么，在“時刻，c即使向上移動（?v-Gj,經濟也不會返回到原先的路徑上，這是第一種非均衡的情況。第二種：在5時刻，c下降的數量大于（5-叭此種情況下，經濟將位于新的〃二0的下方，R便會上升從而位于c二0的右方，c便會下降，則經濟會向動態(tài)系統(tǒng)的東南方向移動。那么，在5時刻，c即使向上移動經濟也不會返回到原先的路徑上，這是第二種非均衡的情況?？傊?，"0的暫時性變化，并不會對資本存量和實際利率產生影響，隨著G（t）的暫時性上升，c會下降同樣的數量。在G(t)返回到初始水平時，C會返回到原先的平衡增長路徑上。2.14設戴蒙德模型中的效用函數為對數函數，生產函數為柯布一道格拉斯函數。請說明下列變化會如何影響心+i(&)函數。n上升。生產函數向下移動(即/化)的形式為而〃下降)。上升。答：(a)在對數效用函數與柯布一道格拉斯生產函數的假定下，心+1與心的關系為：心+1=(爲1+0)2摂(1-W(1)〃的上升會導致血+1函數向下移動，如圖2-17所示。圖2-17〃的上升對*?的影響■因為每單位有效勞動的要素收入為：叫=它不依賴于勞動的增長率刀，因此f期同樣數量的每單位有效勞動的資本和每單位有效勞動的收入會產生同樣數量的儲蓄，也就會導致在E幻期產生同樣數量的資本。但是，由于勞動的增加，每單位個人的資本數量減少了，低于原先的心。(b)修改生產函數為=因此，&+1的函數修改為:11—1=(1-a)Bkat+I(1+n)(l+9)2+q'

B的下降會導致匕+1的函數向下移動。在E期，每單位有效勞動的資本能生■產的每單位有效勞動的產量會下降。因為叫=/?(?)-"(&)且勞動收入中用于儲蓄的比例與3無關，因此會導致在｛幻期數量更少的資本。對方程(1)兩邊關于a求導如下:(2)1■(2)da(11)(1+9)24pdkta為決定喬，定義，兩邊取對數如下：饑f(a)=a2n&,對該式兩邊關于a求導，可得:dlnf(a)/da=dlnf(a)/da=lnkt(3)由于下式:OKa)dfnKa)(4)dlnf(u)

OKa)dfnKa)(4)dlnf(a)da回吋(a)/df(a)]―喬—變，并且其緊湊形式滿足稻田條件。同時假設^+i=a+m,S+i=(l+^)S,以及?+]=K±+s嶺一將方程(3)代入(4)中,可得:欝=K^lnkt(5)方程(5)可以重寫為:將方程(6)將方程(3)代入(4)中,可得:欝=K^lnkt(5)方程(5)可以重寫為:將方程(6)代入(2)中,dktacUn%可得：(6)(1+唄+必+"咱+(-叭伽］再簡化為:da(1”)(1"工&"Id一。)加匕-1](7)當(1-a)lnkt-1>0或lnkt>1/(1-a)時,a上升意味著匕+1函數應該向上移動，相反,當饑&Vl/(l-a)或者lnkt=1/(1-a)時,a上升意味著心+1的函數應該向下移動。最終在饑心=1/(1-。)的右邊，新的和舊的&+1函數相交。2.15索洛模型的離散時間形式。設rt=F(^A),其中％?)規(guī)模報酬不請把&+1表示為町的函數。做圖把匕+】表示為《的函數。該經濟長否有平衡增長路徑？如果&的初始值與平衡增長路徑的值不同，該經濟是否會向平衡增長路徑收斂？請把平衡增長路徑上單位有效勞動的平均消費表示為&的函數，當k最大化平衡增長路徑上單位有效勞動的平均消費時，資本的邊際產出/'(*)是多少？假設生產函數是柯布一道格拉斯函數。(1)請把?+1表示為町的函數。平衡增長路徑上的&值即宀長什么？按照本章中方程(2.64)-(2.67)的思路，在?=Q附近線性化(i)小題中的表達式，并且求出&向I收斂的速度。答：(a)第二期的資本存量等于第一期的資本存量加上當期的投資并且減去當期的折舊，即：(1)Kt+1=Kt+sYt-6K{(1)將上式兩端除以九+15+i,如下：Kf+1Kt+srt-8KtKt+sYt-^Kf/cf(l-8)4-s/(kr)州+1—+1月t+i厶上+1(1+9)(1+(1+9)(1+幾)上式簡化為：禺+1=[(1+5)(1In).kt+[(l+ff)(l+n)『Gt)(2〉方程(2)為/的函數心+1的表達式。(b)下面檢驗該函數是否滿足收斂的條件。分別求乞+1關于/的一階和二階導數，即：叭叫+1(1-&)(1十階導數，即：叭叫+1(1-&)(1十0)(1+")十(1+^)(1+>i)y(&)>°和Ok](1+0)(1+n)V°檢驗稻田條件:

弘r+1lim=8k-odktdkt+1(1-S)—lim—=<1*T8dkt(1+9)(1+n)該函數的斜率小于1,則它必然與45。線相交。由上可見，該函數定義良好且與45°線只相交一次。如圖2-18所示。注意，比=0并不是一個穩(wěn)定點，任何大于0的資本存量都會收斂于花-例如，設某一點小于"，由于&+1大于《，因此們直會不斷地變大，最終收斂于L點。相反，設某一點大于上"，由于色+1小于冷，因此*值會不斷地變小，最終收斂于L點。在花"點，存在一條平衡增長路徑。在平衡增長路徑上，有%將其代入到方程(2)中，可得：/<(1-6/<(1-6Zr4+S1(1+^)(1+71).兀1](1+9)(1+巧]上式可簡化為:/<‘1+72+9+八9/<‘1+72+9+八9一1+》01+9)(1+71)](1+9)(1+巧再次簡化為:k*(n+g+ng5)=sfg4)(3)由方程(3)求儲蓄率s,可得：s=(n+g+ng+(4)在平衡增長路徑上每單位有效勞動的消費為：(10)頁腳(10)頁腳(5)c*=（l_s）f理）(5)將方程（4）代入（5）中，可得：(n+g+ng+1_fg）上式再次化簡為：(n+g+ng+1_fg）上式再次化簡為：心）了(L)-O+9+M+〃)汀(6)c?=f（kJ一（兀+9+7屯+4(6)為求得在平衡增長路徑上每單位有效勞動資本的邊際產品，將方程（6）關于&求導如下:~^7=#("*)_(川+9+M+&W=0dk*則黃金律資本存量由下式隱性決定:fX)=(n+g+?i9+(7)（d）將柯布一道格拉斯生產函數fEY代入方程（2）,得:&+1=［fX)=(n+g+?i9+(7)（d）將柯布一道格拉斯生產函數fEY代入方程（2）,得:&+1=［(1和黑町］心+在平衡增長路徑上，有kt+^=kt=k\將該式代入方程（8）,可得:(8)(1-§)

(1+9)(1+n).上式可以簡化為：k4+Q+9)(1+7i)Jk4a［(1+9)(1+兀)-(1-巧b*s(1+9)(1+n)IVl(l+^)(l+n)J由此推出：kJ一“s/(n+g+ng+6)。最后得到:(9)kf=[s/（n+g+7\g+力）]―°對方程（8）兩邊求導，可得：(9)(1-〃)+as］。a-1(1+0)(1+川)十(］十將方程（10）代入（9）,得:_C1-6)|as(n+g+ng+6)，儀=廠(1+9)(1+(1+9)(1+?i)s??叫+1頁腳頁腳由于O+P+MP+§)=(l+^)(l+n)-(l-$),所以可以將上式簡化為:Mt+1_(1一6)+CI[(1+0)(1+71)—(1一§)]kt=為:Mt+1_(1一6)+CI[(1+0)(1+71)—(1一§)]kt=k*(1+9)(1+八)進一步簡化為:(1-6)(1-°)十(1+0)(1十川)(11)對方程(8)在處一階泰勒展開，可得:(1-r?)(l-a)lr(1+^)(1+n)]L(12)方程(12)可以簡化為:(1一各)(1一a)?

(1+9)(1+71).從方程(12)可以推出:(13)因此，經濟向平衡增長路徑移動1_la(1-CI)(九+9+7叨+6)(1+9)(1+n)下面進行校準：令=1/3,n=l%,g二2%及=3%,則收斂速度為3.9%,它比連續(xù)時間的索洛模型要慢。2.16戴蒙德模型中的折舊與索洛模型的微觀基礎。假設戴蒙德模型中資本折舊率為從而8e模型中的上述變化會如何影響方程(2.59)。在對數效用、柯布一道格拉斯生產函數以及§=1的特殊情形下，請把匕+|表示為《的函數。并將此結果與習題2.15(a)中索洛模型離散形式在6=1時的類似表達式進行比較。答：(a)心的函數&+1為:

（1+“）（1一）"兇I家庭的最優(yōu)化行為不受折舊的影響，即rt=/w-so家庭的最優(yōu)化行為為：心+1=（1+“）（1一）"兇I家庭的最優(yōu)化行為不受折舊的影響，即rt=/w-so家庭的最優(yōu)化行為為：心+1=rrgM.1cZt+lmax〃產b+l+—St5t+l+r-t+^2,t+1=AtWt(1)(2)不存在折舊的儲蓄率為：$億+1）=（1一5）兒叫，該式簡化為:S（幾+J=1+（1+Q）"（l+q+J（&W(3)I方程（3）中，儲蓄率依賴于利率G+i,此時G+1發(fā)生了變化，為/（他+1）-$。由于t+1期的資本積累為亡期年輕人的儲蓄，因此有：?+]=S〔Lt（4）亠是t期單個年輕人的儲蓄，由于6=$儕+]）舛叫，代入方程（4）,可得:?+1=厶盧（廠“1）外叫（5）為得到匕+1期的有效勞動的形式，兩邊除以A+15+1即:(6)由于九/舛+1=l/(l+g),S/S+i=1/(1+n)和—+i=《+1,將其代入方程(6),可得：心+l=(l+/(]+n)S(Jl)叫⑺I最后將勞動和資本的邊際產品，即G+1=f（?+1）—8和忙-吋（心）代入方程（7）,可得：心+1=（1+丄1+寸『（匕+1）-0卩（心）-"仏）]（8）在沒有折舊的情況下，/的函數&+1為：/+1=（1+“）（1+（/+J"'】-"（◎]

添加折舊的確會影響&與心+1的關系。叫+g是變大還是變小取決于儲蓄如何隨利率的變化而變化。(b)在對數效用函數的情況下，儲蓄率并不依賴于利率，儲蓄率的表達式如下：s(r(+1)=l/(2+q)(9)根據柯布一道格拉斯生產函數二盯"，實際工資為叫=k叫=kt(l-ktakc(l_1=(1-,將上式與方程(9)代入方程(8),可得:件+】=尹歸[討歷(一。網°](1°)習題2.14的(a)部分的§=1時索洛模型的離散時間表達式為：&+1=[(1+5)(1+?).&+[(1+9)(1+n).f(心)(11)本模型中儲蓄率為總儲蓄除以總產出，而習題2.14的儲蓄率為勞動收入中用于儲蓄的部分。定義經濟的總儲蓄為？，§等于年輕人的正儲蓄加上老年人的負儲蓄。年輕人的正儲蓄為麗石(1一由于折舊率為100%,因此不存在老年(12)人的負儲蓄。因此，總儲蓄為：(12)(1(2+卩)'1“、S===(1-a)(2+P『從而方程(10)可以重寫為:+1—(1+9)(1+nfkt—(14-g)(1+n/("J在方程(11)中，令儲蓄率為1,(11)可以簡化為(12),兩者是一樣的。因此，索洛模型的確具有微觀基礎，盡管折舊率為1是不現實的。2.17戴蒙德模型中的社會保障?？紤]g為零，柯布一道格拉斯生產函數以及對數效用情形下的戴蒙德模型。(a)到期即付式社會保障。假設政府對每個年輕人征稅T,并將此稅收收入用于補貼老年人，因此每個老年人得到(1+町匚

這種變化會如何影響方程(2.60)?這種變化會如何影響平衡增長路徑上的&值？若經濟最初處于動態(tài)有效的平衡增長胳徑上，T的邊際變化會如何影響當前和未來各代的福利？若最初的平衡增長路徑是動態(tài)無效的，答案有何不同？(b)全額社會保障。假設政府對每個年輕人征稅Tt并將此收入用于購買資本，因此生于時刻t的個人將會在年老時得到(1+G+i”。這種變化會如何影響方程(2.60)?這種變化會如何形響平衡增長路徑上的&值？答：(a)(i)效用函數為：(1)hiC]t+yyt■饑c?(1)在對每個年輕人征收數量為7的社會保障稅之后，個人面臨的預算約束為:+=S叫一T(2)c2,t+i=(1+幾+1￡+(1+")7(3)(2)式為第一期的預算約束，其中亠代表第一期的個人儲蓄。從個人的角度看，社會保障的回報率為(1+巧，這不同于私人儲蓄率的回報率(1+^+1)。由方程(3)可以解出:1l+r1l+rt41(1+町?1+皿(4)將方程(4)代入(2)：=Awt=Awt-T+(1+叫1+G+1重新安排可以得到跨期的個人預算約束:(5)(5)對于對數效用函數，在第一階段，個人將消費其終生財富的比例為(1+p)/(2+P),將其代入(5)中:1+PX2+。丿(6)將方程（6）代入（2）中:St=Awt-+py+』Awt-(rt+1-n)&叫一T-T1+G+1i(rt+l-n)lT—T1-1+P上式可簡化為:(7)(2+")(1+十Q)(G+i~n)'(7)(2+。)(1+Q+1)如果n=G+i,則儲蓄會由于社會保障稅而一對一的下降；如果n>rr+i,儲蓄會下降更快，相反，儲蓄則會下降的較慢。Z_（2十D）（l+“+J-（l+。）（“+「町定義（2+P）（l+i）,并將其代入（7）,可得：TOC\o"1-5"\h\zSt=^Awt-ztJ（8）由于t+1期的資本存量等于上期的儲蓄，因此有：心+1=SJ（9）將方程（9）轉化為每單位有效勞動的形式，并使用方程（8）,可得：&+1=詁5詁嚴-引（10）對于柯布一道格拉斯生產函數，實際工資為：wf=（l-a）kTa（11）將方程（11）代入（10）,產生新的關系，即：&+1=潔[去（1-w-￥]（⑵（ii）為判斷社會保障的引入對平衡增長路徑上的坷直的影響，必須判定N的正負號。如果乙為正數，則社會保障稅T的引入會降低&+1曲線并且降低k值。下面計算乙：(2十p)(1+rt+1)-(1+p)儕+i-九)(1+1+p)((2+p)(1+G+i)(上式可簡化為：(1+G+i)+(1+p)[(1+rf+i)_(rt+i_n)]Zt=(2+p)(1+G+i)(1+G+1)+(1+p)(1+71)=>0(2十p)(1+J])因此，冷+1曲線向下移動，L也降低了。(iii)如果經濟是初始動態(tài)有效的，則T的邊際增長會提高老年人的福利，但是它將使“低于黃金律所要求的資本水平耘從而使未來一代人的福利惡化，降低他們的消費水平。但是，如果經濟初始是動態(tài)無效的，則>kGR,則T的邊際增加會提高老年人的福利。同時，還會提髙未來一代人的福利水平，從而是福利改進的。此時社會保障稅T的引入會降低過度的資本積累，從而消除動態(tài)無效率。(b)(i)方程(3),即第二期的預算約束變?yōu)椋篢OC\o"1-5"\h\zc2,t+i=(1+廠上+1)?+(1+幾+1)卩(13)從個人角度講，社會保障的回報率等于儲蓄的回報率。由方程(13)推出儲蓄，即：St=^2,t+1/(1+rf+1)-T仃4)將方程(14)代入(2)(即第一期的預算約束)，可得：?C2,t+1,FCU十T~—,—=?lvvf-T+T丄十廠r+1上式進一步簡化為：仏十號(⑸家庭的最優(yōu)化行為產生了通常的歐拉方程，即：

C2,t+1=[1/(1+P)](1+G+1)5/將上式代入方程(15)中，可得：TOC\o"1-5"\h\z二[(1+q)/(2+q)]4叫(16)為得到每個人的儲蓄，將方程(16)代入(2)中，可得：St=Awt-[(1+p)/(2+p)]Awt-T上式進一步簡化為：St=[1/(2+p)]Awt-T(17)社會保障的引入引起儲蓄的一對一的減少。上+1期的資本存量等于個人在上期的儲蓄加上政府投資，即：Kt+1=StLt-]-TLt(⑻將方程(18)轉化為每單位有效勞動的形式，并利用方程(17),51可得:1T]wt—fA1+n2+p上式進一步簡化為：.11匕+1二wtr+11+n2+p1利用方程(11)來替代上式中的工資，即：1-11—(1-a)ktt+11+H2+丿t(19)因此，全額融資的社會保障稅T的引入對后續(xù)各期的資本沒有影響。(ii)因為全額融資的社會保障的引入對各期資本之間的關系沒有影響，因此在平衡增長路徑上各期資本是一樣的。各期的總資本與總儲蓄是一樣的，政府的作用僅僅是使年輕人儲蓄。因為社會保障回報率與儲蓄利率是一致的，因此來說個人對說誰來為他們儲蓄是無差異的，個人將一對一的抵消政府為他們所做的任何儲蓄。2.18基本的世代交疊模型(本題來源于薩繆爾淼，1958；阿萊，1947)。與戴蒙德模型類似，假設在t期出生的-個人只存活兩期，并且5+為了簡單起見，令效用函數為不折現的對數效用函數：5=加('")+加(°2上+1)。頁腳頁腳(5)頁腳(5)頁腳在經濟的生產方面，該模型也比戴蒙德模型更為簡單：經濟中只有一種產品，它既可以用于消費，也可用于儲存；每個在乃期出生的人都擁有蟲單位該產品;儲存每單位產品可使經濟主體在下一期得到x（x>0）單位產品。最后。假設在最初的第0期，除S個擁有蟲單位產品的年輕人之外，還有[1/（1+72）]"個只生活在第0期的老年人，每個老年人擁有Z單位的產品，其效用就是在起始期的消費5,0。（a）說明該經濟的分散化均衡。（提示：給定上述世代交疊的結構，某一代的成員是否會與另一代的成員進行交易？）（b）假設經濟人的稟賦中用于儲蓄的份額兒是不隨時間變化的常數，在這樣的路徑上請把人均總消費（總消費指所有年輕人與所有老年人的消費總和）表示為f的函數形式。如果XV1+巴滿足OWfWl且最大化人均消費的f值長多少？分散均衡在這種情況下是否是帕累托有效的？如果不是，社會計劃者怎樣才能提高福利？答：（a）首先，該模型不存在任何一代的成員將會同另一代的成員交易的可能性。原因是即使年輕人愿意交換，但他們的交易對象只能是老人，而老人則因為下一期已去世而不可能同年輕人進行交換。個人的效用函數為：TOC\o"1-5"\h\z匕=2n（C*）+ZnG上+1）（1）預算約束為：ci,t+Ft=A（2）。2丄+i=（3）其中耳是個人在第一期的儲蓄。將方程（3）代入（2）,求個人的跨期預算約束：+°2,r+/兀="（4）用拉格朗日方法聯立方程（1）和（4）以求解個人終生效用的最大化，如下:L=加G,r)+加+1)+'(4一St+°2,t+"尢)求一階條件：TOC\o"1-5"\h\z亟禹=1/c2,t+l-A/x=0=>1/C2it+1=5(6)將方程(5)代入(6),可得：°2上+1=X^lft⑺將方程(7)代入跨期預算約束式(4)中，可得：CU+xCu=A,上式可簡化為：==4/2(8)求第二期的消費，將方程(8)代入(7)中，可得：。2応+1=兀月/2(9)當年輕人將他的財富一半儲蓄時，下一期他可以消費XS/2。由于是對數效用函數，因此，個人將其稟賦儲蓄的比例并不依賴于儲蓄的回報率。(b)在r時刻的總消費為：5-5占+=c2tLt_j其中，-是年輕人的數量，是老年人的數量。每個年輕人消費他的稟賦的一部分每個老年人消費他的稟賦的總回報/尢化由式Ct=(l-nALt+fxALt_^對其兩邊除以叫以轉化為每單位有效勞動的形式，即：^Lr=(l-/)+/[x/(l+n)J因此，每單位有效勞動的消費為一加權和。因為xvl+巴所以，當權數為1時，每單位有效勞動的消費為一加權和達到最大化。因此，分散化均衡(即權數為1/2)不是帖累托有效的。因為跨代交易是不可能的，因此個人儲蓄為年老時提供消費，即使儲蓄的回報率非常低，他們也必須這樣做。但是在一個集權經濟中，社會計劃者則可以從年輕人手中取走一單位物品而給每個老年人(1+巧的物品。由于xvl+山所以得到了一個更高的回報率。因此，社會計劃者可以從年輕人手中取走他們一半的財富交給老年人去消費，從而提高社會的總體福利。社會計劃者可以每期都這么做，即允許個人在年輕時消費如2,而在年老時消費(1+巧川2,高于在分散經濟的情況下每個人在年老時消費的詢2。2.19薩繆爾森世代交疊模型中的穩(wěn)態(tài)貨幣均衡(本題來源于薩繆爾森,1958)e考慮習題2.18中的設定，假設xvl+巴并且老年人在第0時期除了擁有Z單位產品之外還擁有M單位的可儲存、可分割的商品，我們稱之為貸幣。貨幣不能產生效用?？紤]出生于第匕期的某個人。假設在十期貨幣計量的產品價格是耳，而上+1期為耳+1。因此，這個人可以按價格耳出售其稟賦，并在下一期用所得的貨幣購買P“P"1單位下一期的稟賦。請把此人的行為表示為P'/P"1的函數。證明存在均衡對任意上滿足耳+1二P/(l+E,并且沒有儲存，因此“貨幣”的出現使得經濟可以達到儲蓄的黃金律水平。證明存在均衡對任意/滿足耳+1二P』x。最后，解釋為什么對于任意/滿足^=°°(即貨幣無價值)也是一種均衡。解釋為什么當經濟會在某一時期終結時[如習題2?20(b)],這將是唯一的均衡。(提示：從最后一期反推。)答：(a)個人的效用函數為:biCi十+饑C?上+1(1)預算約束為：p(S=p(a-p(f(-m：(2)Pt+lC2,t+l=Pt+lxFt+(3)“十是名義的貨幣需求，耳是存儲的數量。個人要作出兩項決策，一是將他的稟賦的多少用于儲蓄，多少用于消費；二是通過何種方式儲蓄：存儲還是持有貨幣或者兩者結合。由于對數效用函數，可以分離兩項決策，因為儲蓄的回報率不影響存儲的比例。在上題中，有一半的稟賦用于儲蓄，即：丄=A/2(4)處理存儲的稟賦的方式依賴于儲蓄的回報率X和貨幣的總回報率P'/Pc+l。一個人可以在r期賣掉一單位的物品得到耳的貨幣，在t+1期再花費3+1的代價來購買物品。情況1:x>pt/pt+l他將消費一半的稟賦，存儲剩余的一半而不持有任何貨幣，因為貨幣的回報率低于儲蓄的回報率。因此有：C]r=A/2,Ft=A/2,M^/Pt=0,+=xA/2情況2：x<Pf/Pt+i他將用貨幣持有一半的稟賦，即他將消費一半的財富而賣掉另一半的稟賦。因此有：“產力/2,Ft=0,M?/P產AQ,C2>t+】=(耳/匕+J(A/2)情況3：x=Pt/Pc+l由于貨幣和存儲帶來同樣的回報，因此他將消費一半的稟賦，對于另一半，則在貨幣和存儲兩者之間無差異。令。丘|0,11為以貨幣形式持有的比例。因此有：Cu=Ai2,=(1-a)力/2,M(；/P(=a4/2,Cu+1=(Pt/Pr+JC4/2)(b)均衡要求總的實際貨幣需求等于總的實際貨幣供給。總實際貨幣需求二5"/2]總實際貨幣供給」3°+=[“(1+n)t+1]M/Pt在上式中，在0時刻，每個老人擁有M單位貨幣，共有[5/(1+")]個老人。最后一步用了S=(1+沙S,從而有S="(1+叭聯立總實際貨幣需求和總實際貨幣供給兩個公式，可得：4川2]=[1/(1+沙+】]M/P尸匕=2M/[s(l+n)f](5)因此有：總實際貨幣需求=S+i//2]二(1+叭/⑵總實際貨幣供給」"(l+MTM/Pr+i下面使用均衡條件求耳+1,即：(1+71)5⑷2]=4/(1+沙+1M/P“]Pt+1=2M/[4(i+n)t+2](6)用方程(6)除以(5),有：Pt+1/Pt=1/(1+H)耳+1二P/(l+M)上面的分析對任何的r$°成立，因此耳+i二P/(i+E是一個均衡。這表明如果貨幣被引入到一個動態(tài)無效率的經濟中，個人將不會選擇存儲。由于耳+1=戸「/尤，所以貨幣的回報等于存儲的回報。此時，個人對于以何種形式持有稟賦是無差異的。令。丘|0,11為儲蓄中以貨幣形式持有的比例。t期的總實際貨幣需求和總實際貨幣供給的表達式如下：總實際貨幣需求二5叫[如2]總實際貨幣供給」3°+”)】M/Pt=[“(1+n)t+1]M/Pt使用均衡條件求耳：—32]=[1/(1+呼+1]M/P戶耳=2M/[心(1+沙](7)f+1期的總實際貨幣需求和總實際貨幣供給的表達式如下：總實際貨幣需求+iat+i[如2]=(1+n)Ltat+1⑷2]總實際貨幣供給」％+n)t+勺嘰+1使用均衡條件求耳+1：(1+n)Ltat+1[A/2]=[l/(1+n)1+r]M/Pt+i(8)用方程(8)除以(7),可得：耳+1/Pr=[at/at+1][l/(l+n)J因為匕+1/耳=1巴所以有：Fr/a+71)]=V%=?[at/at+J=|x/(l+n)]<0因此對于所有的t$°,Pt+l=P』x=將是任何滿足ar/cir+]=x/'(l+n)的a的路徑的一個均衡。Pt=°°代表貨幣是無價值的，也是一種均衡。這種情況是因為年輕人相信貨幣在下一期是無價值的，因此這一代人將不會接受貨幣作為儲存的替代物。在這種情況下，年輕人消費稟賦的一半然后儲存另一半，而老年人則擁有一堆無價值的貨幣。這時，總實際貨幣需求與總實際貨幣供給相等且都是0。如果沒有人相信下一代人將接受貨幣作為存儲的替代物，這種均衡將持續(xù)到未來各期。在卩期，這種情況將是唯一的均衡。在T期沒有年輕人愿意出賣稟賦以換取貨幣。年輕人將通過消費所有的存儲來最大化一生的效用，老年人將持有一堆毫無價值的貨幣。因此，在期，老年人因為知道下一期貨幣毫無價值，沒有人愿意出賣稟賦以換取貨幣。TT期將沒有人愿意持有貨幣，逆向歸納，將沒有人愿意在任何一期出賣稟賦來換取貨幣。2.20動態(tài)無效率的來源。(本題來自于爾，1971。)戴蒙德模型和薩繆爾森模型可以在下面兩個方面進行改變：第一，不完全市場，即由于一個人不能與尚未出生的人交易，從而排除了一些可能的交易；第二，無限時期，即由于時間是無窮無盡的，因此存在無窮數量的經濟人。本題試圖討論其中哪一方面是導致動態(tài)無效率的可能原因。為了簡單起見，我們著重討論薩繆爾森世代交疊模型(參見前面兩題)，假設對數效用并且不考慮折現。為簡化本題，進一步假設，0以及0GV1。不完全市場。假設我們允許所有經濟個體在開始計時前通過競爭市場進行交易，即取消不完全市場假設。換言之，某瓦爾拉斯拍賣者將每個時期的新產品叫價為“，°】，°2,…，然后人們根據其所得稟賦和儲存能力按照這些價格進行買賣。因此，出生于t期的個人面臨的預算約束為QtCi,+Qr+iC2“i=Q心-?)+Q,+mS(,其中臥為個人儲存的數量，需滿足假設拍賣者宣布對任意乃有乞+】=QJx。證明在此情況下個人對于儲存多少是無差異的；存在一組儲存決策使得市場在每一期都出清；并且這一均衡與習題2.18(a)中的均衡相同。假設拍賣者宣布價格在某些時期不滿足乞+1=°廬。證明在不滿足條件的第一期，產品市場無法結清，因此拍賣者提出的價格路徑不可能是均衡。無限時期。設經濟在某個時期丁終結，也就是說，出生于時期T的個人僅在當期生存(從而會試圖最大化“心而且此后再也沒有人出生。證明在這種條件下分散均衡是帕累托有效的。(C)根據上述答案，討論動態(tài)無效率的根源是不完全市場還是無限時期?證明：(a)(i)效用函數為:U=^nC\,t+^nC2,t+1(1)終生的預算約束為：Qt5,t+Ot+i^2,t+1=一亠)+Qt+ix^t(2)從習題2.18可以知道，對于對數效用函數，個人將在第一期消費川2,個人的行為依賴于存儲的回報率無相對于交易的總回報率的大小。個人可以在f期賣掉一單位物品以取得乞，在f+1期花費2+1取得一單位物品，或者說，花費1來取得1/Qr+l單位的物品。因此，對于乞，在f+1期可以取得1單位的物品，即交易的總回報率是°*Q「+i。對于r>0,Qt+1二Q廬等價于x=QdQtz。換句話說，存儲的回報率等價于交易的回報率，因此個人對于存儲和交易是無差異的。令5丘［0,11代表儲蓄的份額如2中被賣掉的部分。因此個人在r期賣掉5(力/2)。這允許個人在r+1期年老時購買U?/6+l)⑷2)。個人存儲他的儲蓄的(1-叭),有下式：TOC\o"1-5"\h\z5t=(1-g)(A/2)(3)在f+1期的消費將等于個人購買的數量加上存儲的數量，即：尬+1=5??+1)⑷2)+(1-S)xQ4/2)(4)考慮Qt+i二°廬的情況，方程(4)可以寫為：c2f+1-atx{A/2)+(1-^t)x(i4/2)-x(/l/2)(5)