泰勒公式的教學(xué)設(shè)計研究

泰勒公式的教學(xué)設(shè)計研究泰勒公式的教學(xué)設(shè)計研究

中圖分類號：O172文獻標識碼：A文章編號：1674-098X〔2022〕09〔a〕-0164-02

泰勒中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點和難點，由泰勒公式進行描述，其教學(xué)辦法一直吸引著廣闊數(shù)學(xué)教學(xué)工作者進行研究，可謂百花齊放、百家爭鳴。究其基本原因，首先是由于泰勒公式及其相關(guān)理論是進行數(shù)學(xué)理論研究和計算的重要工具，它在級數(shù)、解析函數(shù)和函數(shù)的近似計算等理論方面有著舉足輕重的地位。因此，每一個理工科的學(xué)生必須掌握其數(shù)學(xué)思想、理解其本質(zhì)及根本應(yīng)用；其次，同樣作為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的根底，羅爾中值定理等具有幾何意義鮮明的結(jié)論，而泰勒中值定理及泰勒公式卻抽象深奧，會讓大多數(shù)學(xué)生不知所云、莫名其妙，雖經(jīng)充沛預(yù)習、認真聽課，仍感覺一頭霧水、疑問重重，看不到學(xué)習目的，學(xué)習信心大受打擊，造成這一現(xiàn)象的基本原因在于大局部學(xué)生的思維方式還停留在中學(xué)階段，無法理解泰勒公式這種“人為〞將簡單問題“抽象〞、“復(fù)雜〞化的表述方式；最后，泰勒公式在函數(shù)性態(tài)的研究、中值問題、不等式的證明、極限的計算、函數(shù)的近似計算等內(nèi)容的教學(xué)中具有根底作用，只有理解好才能用好用活。

作者在長期教學(xué)實踐中，一直重視對泰勒公式的教學(xué)法進行探索，旨在使學(xué)生能較主動、輕松地學(xué)好、用好泰勒公式。下列分別從課前準備、問題引入、證明辦法及例題選講等環(huán)節(jié)介紹我們的教學(xué)設(shè)計辦法及教學(xué)過程，希望起到拋磚引玉之作用。

1泰勒公式及其教學(xué)難點

我們把泰勒中值定理表達為如下形式：假設(shè)函數(shù)在含有的某一個區(qū)間內(nèi)具有直至階導(dǎo)數(shù)，那么它可以表示為的次多項式與一個余項之和，即

，〔1〕

其中在與之間，稱為拉格朗日型余項。

學(xué)生的困惑之處在于：具有如此“好〞條件的“非常光滑〞的函數(shù)，為何要用右邊的不知為何物的式子敘述？右邊是多項式嗎？為何要用的多項式？為何還有“特別的〞一項，它到底有何作用？公式到底想敘述什么？

泰勒公式讓學(xué)生疑問重重，它的證明更加費事。比證明公式更加重要的是，如何將證明中抽象、復(fù)雜的邏輯思維“變〞得具體、簡單，從而幫忙他們主動、輕松地接受其數(shù)學(xué)思想。

我們認為，一個好的教學(xué)設(shè)計，至少應(yīng)該根本解決學(xué)生的上述疑惑，精心設(shè)計課前準備、問題導(dǎo)入、證法選擇及例題選講等教學(xué)環(huán)節(jié)，通過各環(huán)節(jié)的密切配合、有機整合，使教學(xué)過程深入淺出、一氣呵成！帶著他們不斷深入、逐步領(lǐng)悟泰勒公式蘊含的數(shù)學(xué)思想，到達學(xué)以致用。否那么，硬性強記泰勒公式，不去領(lǐng)會其本質(zhì)，公式就會淪為“依葫蘆畫瓢〞的機器。

2泰勒公式的教學(xué)設(shè)計

〔1〕課前準備。

課前教員要幫忙學(xué)生“有的放矢〞地進行學(xué)習準備，即進行預(yù)習。

我們將學(xué)生分成幾個小組，每組由組長負責。給他們精心設(shè)置了兩個任務(wù)：①將多項式寫成為的多項式的形式，選擇一個“初等〞的辦法完成這一任務(wù)。再試一試，分別用兩個多項式去計算時的值，難度有差異嗎？如果考慮對一個的20次多項式，做同樣的工作，用“初等〞的辦法，容易做得到嗎？如果要到達較高的精度，“需要〞計算的項數(shù)會有什么不同嗎？計算量的差異大嗎？為什么？②如何計算的值？除了查表，有無其它好的辦法？

學(xué)生大多能夠理解這兩個任務(wù)，可以動手嘗試并得到初步結(jié)論，但還不能完滿答復(fù)。目的就是讓他們有回味但不滿足，提前做好打硬仗的準備?！坝幸馑嫉亘暳粝聭夷?，通過“任務(wù)驅(qū)動〞，使他們產(chǎn)生學(xué)習的動力。實踐證明，這樣有針對性的預(yù)習，能收到更好的效果。

〔2〕問題導(dǎo)入。

有了較充沛的課前準備，首先教員直接出示上邊的兩個問題，激發(fā)同學(xué)們的討論，并請組長作代表發(fā)言，然后幫忙學(xué)生進行問題抽象，導(dǎo)出第一個知識點。

〔3〕多項式的泰勒公式。

第一個問題，本質(zhì)上就是要將的多項式展開為的多項式，這個問題學(xué)生大多做過思考，對于及，已經(jīng)有了初步的想法和結(jié)論。可讓組長介紹其課前準備的成果，通過互相評價、激發(fā)思考。再給學(xué)生講解如何運用求導(dǎo)的辦法確定多項式的系數(shù)，揭示只需分別求出及各階導(dǎo)數(shù)，就可得到，于是

〔2〕

局部學(xué)生可能基本不明白為什么要這么做，但事實是通過式〔2〕計算系數(shù)，的確簡單多了。多項式是最簡單的函數(shù)，通過兩種不同方式計算，可能還感覺不到差異，甚至有后者“更麻煩〞的感覺。要化解這一“矛盾〞，教員再直接展示下述例子及其結(jié)論：

現(xiàn)在要把次數(shù)較高的多項式展開成的多項式，并用兩個敘述式分別計算，用初等的辦法就辦不到了。首先，由式〔2〕可得

?！?〕

很明顯，用計算，可得

，

其計算量很大。但用式〔3〕，計算前4項，有

，

就可得到相當精確的值。其計算簡繁差異之大，比擬之下就可見一斑了。

這時，學(xué)生可能看出了問題所在。原來，當我們研究一個函數(shù)〔比方最簡單的多項式〕在某點〔比方1〕附近的性態(tài)時〔比方計算函數(shù)值、求切線的斜率、曲率等〕，將函數(shù)在該點“展開〞，可能帶來很大的便利。這也許正是教員不厭其煩對函數(shù)進行“展開〞的原因之一！

學(xué)生初步明白了“展開〞可能帶來更多的“好處〞，教員就可以適時導(dǎo)入另一個問題了。

②如何計算的值？除了查表，有沒有其他辦法？

不是多項式，是不是也可以通過在“展開〞成的多項式來近似計算即呢？這時的“展開式〞還是像式〔2〕一樣也是等式呢？

〔3〕證明辦法。學(xué)生的疑問在于，盡管一個多項式完全可以像式〔2〕那樣展開成為另外一種多項式的形式，但對于像這樣的函數(shù)，為什么也要這樣做呢？難道也是為了研究其性態(tài)嗎？盡管它在任意點有任意階導(dǎo)數(shù)，它能與一個多項式按如下的方式畫上等號嗎？

。〔4〕

這時教員可立刻啟發(fā)學(xué)員，很明顯，就在而言，式〔4〕右端的階導(dǎo)數(shù)已經(jīng)恒為0，但左邊在任意點的各階導(dǎo)數(shù)均大于0，可見〔4〕不能成立。

但是，教員也應(yīng)提示學(xué)生，根據(jù)式〔2〕的推導(dǎo)過程，要將展開成一個多項式形式，其系數(shù)也必須是〔4〕右端的形式！同時，可請學(xué)生們察看右端多項式在處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值、二階導(dǎo)數(shù)的值，讓他們明白用右端的多項式來近似其實十分自然！

教員再啟發(fā)學(xué)員：其實，與研究多項式的展開一樣，展開的主要目的也是為了研究其性態(tài)！能否將用一個多項式來近似呢？再提示微分是常用的近似計算的根本辦法，進而展示學(xué)習微分時常用的近似式，即

，〔5〕

這樣很小時，就有，即。

因此，。雖然提供了在近旁計算指數(shù)函數(shù)值的一個辦法，但直觀上學(xué)生會感到有些失望，首先其精確度不高，其次沒有估計計算的誤差。但是式〔5〕也給學(xué)生啟發(fā)，就是式〔4〕的出發(fā)點可能沒錯，只不過，〔4〕的等號要保存，右邊必須加上刻畫誤差的項，但這個項是什么形式？與什么有關(guān)？學(xué)生還不得而知。

教員這時可直接從較為簡單的式〔5〕入手，構(gòu)想，現(xiàn)在要確定。我們很自然想到將與進行比擬〔為什么？可留給學(xué)生思考并討論〕。這時，二者可能不會直接相等，會是什么關(guān)系呢？這時，教員可激勵學(xué)生思考，二者在處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值關(guān)系如何？二階導(dǎo)數(shù)的值呢？然后直接出示下述結(jié)果：

，

很明顯，能考慮的就是與之比了。因此，教員展示下列推導(dǎo)，每一個“關(guān)鍵〞等號的推理依據(jù)、的范圍等，那么提問學(xué)生作答：

，

因此，得到，從而

，〔6〕

其中，在與之間。這樣，誤差就被準確地刻畫出來！式〔6〕就是一階泰勒公式，上述推導(dǎo)是本課的重點。此時，教員就可以點撥學(xué)生：有沒有所謂的“零階〞泰勒公式呢？再展示拉格朗日公式，再問：“零階〞到“一階〞作了什么改良呢？有了“一階〞，能否受此啟發(fā)，也改良到“二階〞？再揭示答案：零階到一階，多項式次數(shù)升一階，即將零階的換為，再加上即可！因此，“一階〞到“二階〞，只需將式〔6〕的換為，再加上即可！也就是

，〔7〕

理解了確定的思想，確定的過程也就水到渠成，這時，可先由學(xué)習較好的學(xué)生猜測其形式，然后適時出示以及二階泰勒公式

。〔8〕

討論到此處，有了的零階、一階和二階泰勒公式的啟發(fā)，學(xué)生大都已經(jīng)漸漸明白，原來也可以像多項式一樣，在形式上展開為的多項式，只不過點以及展開的次數(shù)均應(yīng)根據(jù)條件和需要進行選擇，而且余項形式非常明確。

最后，教員還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考和猜想：在上述過程中，要求滿足一些什么樣的條件呢？是的，只要“函數(shù)在含有的某一個區(qū)間內(nèi)具有直至階導(dǎo)數(shù)〞，階泰勒公式是什么形式呢？是否也可表為的次多項式與一個余項之和呢，即

。

更進一步，如何證明上式呢？采用什么辦法好？其實，上邊從〔6〕到〔8〕的過程已經(jīng)給出了歸納遞推的關(guān)鍵思路。只要采用數(shù)學(xué)歸納法，就可以完滿地證明泰勒公式。這個過程比之教材中不厭其煩地屢次運用柯西中值定理，更貼近學(xué)生的實際，容易為他們接受。

泰勒公式的導(dǎo)出過程由淺入深、逐層遞進，其邏輯思維連貫性強、一氣呵成。經(jīng)過課前準備、問題導(dǎo)入后，學(xué)生大多能輕松參與、自主學(xué)習。教學(xué)實踐證明，能獲得很好的效果。

在此根底上，教員再給學(xué)生揭示泰勒公式的幾何意義、物理意義，介紹與泰勒公式相關(guān)的麥克勞林公式等根本概念，并介紹誤差估計辦法，加深學(xué)生對泰勒公式意義的理解。

〔4〕例題選講。

為幫忙學(xué)生加深對泰勒公式的理解，回應(yīng)導(dǎo)入課程的第二個問題，我們設(shè)計了下列例題：

例1求函數(shù)的麥克勞林公式，并近似計算，要求誤差小于10-4。

解：由，其中?？紤]區(qū)間

[-0.1，0.1]，當，此時

易見，只需取，即可確保誤差小于，此時可取。

例1的分析和求解過程的每一步都可