2021北京景山遠洋分校高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

21/212021北京景山遠洋分校高二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（共10個小題，每題4分，共40分）1．（4分）下列命題正確的是A．三點確定一個平面 B．一條直線和一個點確定一個平面 C．梯形可確定一個平面 D．圓心和圓上兩點確定一個平面2．（4分）如圖，四棱柱的底面為平行四邊形，已知，，，則用向量，，可表示向量為A． B． C． D．3．（4分）已知正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，那么它的體積為A． B． C． D．以上都不對4．（4分）已知向量，2，，，0，，則A．，2， B．，4， C．，2， D．，4，5．（4分）已知三條不同的直線，，和兩個不同的平面，，下列四個命題中正確的為A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則6．（4分）已知向量，，，，1，，，0，，若，，共面，則等于A． B．1 C．1或 D．1或07．（4分）如圖是正方體，，則與所成的角的余弦值是A． B． C． D．8．（4分）已知直線，，平面，，，，，那么“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（4分）已知長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為)A． B． C． D．10．（4分）在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是A．點可以是棱的中點 B．線段的最大值為 C．點的軌跡是正方形 D．點軌跡的長度為二、填空題（本大題共5小題，每題4分，共20分）11．（4分）已知點是點，4，在坐標平面內(nèi)的射影，則．12．（4分）已知正方體的八個頂點在同一個球面上，若正方體的棱長是2，則球的直徑是；球的表面積是．13．（4分）向量，0，，，2，，其中為坐標原點，點為線段的中點，則點的坐標為．14．（4分）如圖是棱長為的正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，直線與所成角的余弦值為．15．（4分）已知棱長為1的正方體中，為側(cè)面中心，在棱上運動，正方體表面上有一點滿足，則所有滿足條件的點構(gòu)成圖形的面積為．三、解答題（本大題共6小題，共48分）16．（4分）已知向量，，，，1，，，，，計算下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），．17．（8分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱，的中點，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

18．（6分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，．（1）求三棱錐的體積；（2）已知為棱上的點，證明：．19．（6分）如圖，在正四棱錐中，，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面與棱交于點，求的值．20．（8分）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，．再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：；條件③：平面平面．21．（8分）設(shè)為正整數(shù)，集合，，，，，，2，，，對于集合中的任意元素，，，和，，，，記．（1）當時，若，1，，，1，，求和的值；（2）當時，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意元素、，當、相同時，是奇數(shù)，當、不同時，是偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值．

2021北京景山遠洋分校高二（上）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10個小題，每題4分，共40分）1．【分析】直接利用平面的性質(zhì)的應(yīng)用，共面的條件的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對于選項：當三點共線時，不能確定一個平面，故錯誤．對于選項：當該點在直線上時，不能確定一個平面，故錯誤．對于選項：由于梯形由兩條對邊平行，所以確定的平面有且只有一個，故另兩條邊也在該平面上，故正確．對于選項：當圓心和圓上的兩點在同一條線上時，不能確定一個平面，故錯誤．故選：．【點評】本題考查的知識要點：平面的性質(zhì)的應(yīng)用，共面的條件的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．2．【分析】利用空間向量的平行六面體法則即可得出．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查了空間向量的平行六面體法則，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】作出正四棱錐的圖象，利用勾股定理求出正四棱錐的高，由錐體的體積公式求解即可．【解答】解：如圖所示，在正四棱錐中，，，設(shè)正四棱錐的高為，連接，則，在中，，則正四棱錐的體積為．故選：．【點評】本題考查了正四棱錐幾何性質(zhì)的理解與應(yīng)用，錐體體積公式的運用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】直接利用空間向量的坐標運算法則求解即可．【解答】解：向量，2，，，0，，則，2，，0，，2，．故選：．【點評】本題考查空間向量的坐標運算，是基礎(chǔ)題．5．【分析】由線線、線面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系．【解答】解：逐一考查所給的選項：：若，，則，可能平行、相交、異面，錯誤；：若，，則或，錯誤；：若，，則，可能平行或相交，錯誤；：若，若過的平面交面于直線則，由知，又，由面面垂直的判定知，正確；故選：．【點評】本題主要考查線面關(guān)系有關(guān)命題的判定，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由，，共面，設(shè)，列出方程組，能求出．【解答】解：向量，，，，1，，，0，，，，共面，設(shè)，即，，，，，0，，，，，解得．．故選：．【點評】本題考查實數(shù)值求法，考查共面向量的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如圖先將平移到，再平移到，為與所成的角設(shè)邊長為4則，，，故選：．【點評】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】過直線作平面，交平面于直線，，，，由可推出，由可推出，故“”是“”的充要條件．【解答】解：若，過直線作平面，交平面于直線，，，又，，又，，若，過直線作平面，交平面于直線，，，，，又，，，，故“”是“”的充要條件，故選：．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．9．【分析】長方體中，由，，知，再由直線與平面所成角為，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：長方體中，，，，直線與平面所成角為，直線與平面所成角的正弦值．故選：．【點評】本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．10．【分析】以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出的坐標，從而得到的最大值，即可判斷選項，通過分析判斷可得點不可能是棱的中點，從而判斷選項，又，，可判斷選項和選項．【解答】解：在正方體中，以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，因為該正方體的棱長為1，，分別為，的中點，則，0，，，所以，設(shè)，，，則，因為，所以，當時，，當時，，取，連結(jié)，，，，則，，所以四邊形為矩形，則，即，，又和為平面中的兩條相交直線，所以平面，又，所以為的中點，則平面，所以為使，必有點平面，又點在正方體表面上運動，所以點的軌跡為四邊形，因此點不可能是棱的中點，故選項錯誤；又，，所以，則點的軌跡不是正方形，且矩形的周長為，故選項錯誤，選項正確；因為，，又，則，所以，點在正方體表面運動，則，解得，且，所以，故當或，或1時，取得最大值為，故選項錯誤；故選：．【點評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了空間中點、線、面位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，對于空間中的一些長度問題，經(jīng)常會選用空間向量來求解，關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標系，準確求出所需各點的坐標和向量的坐標．二、填空題（本大題共5小題，每題4分，共20分）11．【分析】先求出，4，，由此能求出．【解答】解：點是點，4，在坐標平面內(nèi)的射影，，4，，則．故答案為：5．【點評】本題考查點到原點的距離的求法，考查射影、空間中兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．【分析】首先求出外接球的半徑，進一步求出球的表面積．【解答】解：正方體的八個頂點在同一個球面上，若正方體的棱長是2，設(shè)外接球的半徑為，則：，解得，故球的直徑為．球的表面積為．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：正方體和外接球的關(guān)系的應(yīng)用，球的表面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．13．【分析】先求出點，的坐標，然后由中點坐標公式求解即可．【解答】解：因為向量，0，，，2，，其中為坐標原點，則，0，，，2，，又點為線段的中點，由中點坐標公式可得，點的坐標為，1，．故答案為：，1，．【點評】本題考查了空間向量的坐標與點的坐標之間關(guān)系的應(yīng)用，空間中點坐標公式的應(yīng)用，考查了化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖，畫出它的直觀圖，然后根據(jù)是異面直線與所成的角，求出即可．【解答】解：根據(jù)正方體的平面展開圖，畫出它的直觀圖如圖所示，連接，，由，得是異面直線與所成的角，則是正三角形，，．異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：．【點評】本題考查了根據(jù)正方體的平面展開圖，求其直觀圖中異面直線所成角的問題，考查了空間中的位置關(guān)系與應(yīng)用問題，屬中檔題．15．【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)確定的軌跡邊界，從而得出軌跡圖形．【解答】解：，，，，四點共面，設(shè)，，，四點確定的平面為，則與平面的交線與平行，①當與重合時，取的中點，連接，，則，則此時的軌跡為折線，②當與重合時，，此時的軌跡為折線，當在棱上運動時，符合條件的點在正方體表面圍成的圖形為△，直角梯形，．．故答案為：．【點評】本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，平面向量的基本定理，屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共48分）16．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量的坐標運算公式計算即可；（Ⅱ）求出向量，求模即可；（Ⅲ）根據(jù)向量夾角的余弦公式計算即可．【解答】解：，，，，1，，，，，（Ⅰ）；（Ⅱ），2，，，，0，，；（Ⅲ），，，，．【點評】本題考查了向量的坐標運算，考查向量求模以及夾角的余弦公式，是基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）取的中點，連接、，證明四邊形是平行四邊形．然后證明平面．如圖建立空間直角坐標系．求出平面的法向量，求出．利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：在四棱錐中，取的中點，連接、，因為是的中點，所以，且．又因為底面是正方形，是的中點，所以，且．所以．所以四邊形是平行四邊形．所以．由于平面，平面，所以平面．因為底面是正方形，所以．又因為平面．所以以點為坐標原點，、、分別為、、軸，如圖建立空間直角坐標系．，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，，1，．，2，，，0，，設(shè)平面的法向量為．有：即令，則，所以．設(shè)直線與平面所成角為．有：．所以直線與平面所成角的正弦值為．【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，是中檔題．18．【分析】（1）先證明平面，即可得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知，最后根據(jù)三棱錐的體積公式計算即可；（2）取中點，連接，，先證明，從而得到、、、四點共面，再由（1）及線面垂直的性質(zhì)定理可得，通過角的正切值判斷出，再通過角的代換可得，，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，進而得證．【解答】解：（1）在直三棱柱中，，又，，，平面，平面，，平面，，又，故，，而側(cè)面為正方形，，，即三棱錐的體積為；（2）證明：如圖，取中點，連接，，設(shè)，點是的中點，點時的中點，，，、、、四點共面，由（1）可得平面，平面，，，且這兩個角都是銳角，，，，又，，平面，平面，又平面，．【點評】本題主要考查三棱錐體積的求法以及線線，線面間的垂直關(guān)系，考查運算求解能力及邏輯推理能力，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）設(shè)，則為底面正方形中心．連接，推導(dǎo)出，，由此能證明平面．（Ⅱ）由，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．（Ⅲ）連接．設(shè)，其中，，求出平面的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）設(shè)，則為底面正方形中心．連接．因為為正四棱錐，所以平面．（1分）所以．（2分）又，且，（3分）所以平面．（4分）（Ⅱ）因為，，兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標系．（5分）因為，所以．所以．（6分）設(shè)．所以，0，，，2，，，0，，，，，，0，，，1，，，，．所以，1，，，0，．（7分）所以．即異面直線與所成角的余弦值為．（9分）（Ⅲ）連接．設(shè)，其中，，則，0，，（10分）所以，0，．設(shè)平面的法向量為，，，又，，，所以，即所以．令，，所以，0，．（12分）因為平面，所以，（13分）即，解得，所以．（14分）【點評】本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，考查線段比值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運用意識，是中檔題．20．【分析】（Ⅰ）若選擇①②，先由勾股定理可得，再結(jié)合，，即可得證；若選擇①③，先由勾股定理可得，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求得各點的坐標，進而求得平面的法向量，再利用向量的夾角公式求解即可．【解答】解：若選擇①②，（Ⅰ）證明：，，，，又，，平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，四邊形是正方形，，如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，0，