備戰(zhàn)2022年新高考全國(guó)通用數(shù)學(xué)學(xué)霸糾錯(cuò)專(zhuān)題06三角恒等變換（解析版）

考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的余弦公式

名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件

兩角差的余弦公式cos(?—//)=cosacos夕+sinasin°a,

兩角和的余弦公式C(a+/?)cos(a+^)=cosacos夕一sinasin0a,￡￡R

兩角差的余弦公式常見(jiàn)題型及解法

(1)兩特殊角之差的余弦值，利用兩角差的余弦公式直接展開(kāi)求解.

(2)含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角差的余弦公式求解.

(3)求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的差，然后利用兩角差的余弦公式求解.

知識(shí)點(diǎn)二兩角和與差的正弦公式

名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件

兩角和的正弦公式S?+份sin(a+4)=sinacos夕+cosasinpa,gR

兩角差的正弦公式S(a-份sin(a—j8)=sinacos夕一cosasin(ia,0eR

知識(shí)點(diǎn)三兩角和與差的正切公式

名稱(chēng)公式簡(jiǎn)記符號(hào)條件

,tana+tan5IT

兩角和的正切公式tan(a+￡)—i〃T(a+份a,B，(攵￡Z)

“1—tanatanp

tana—tanp

兩角差的正切公式T(a-份a,B，a—

tan(a—0-1+tanatan^

知識(shí)點(diǎn)四半角公式與輔助角公式

半角公式：

"=a±\1/1-+cosa

a_1-cosasina1—cos-

tan2j+cosa1+cosasina

輔助角公式：tzsinx+bcosx=yjcr+Z?2sin(x++tan8='

利用半角公式求值的思路

(1)看角：若己知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)常常借助半角公式求解.

(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號(hào)問(wèn)題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍.

asinQ1——cosQ

(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan-=7-———―,其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免

21+cososmo

a1—resaa

因開(kāi)方帶來(lái)的求角的范圍問(wèn)題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常先利用sin?5=—萬(wàn)一,cos2y=

知識(shí)點(diǎn)五.三角恒等式證明的常用方法

(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡(jiǎn).

(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子.

(3)拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，即化異求同.

(4)比較法：設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或“左邊/右邊=1”.

(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可

以斷定原等式成立.

學(xué)生海選錯(cuò)題

【例題1】

己知是銳角，sina+sin/?=sin/,cos6Z+cos/?=cosy,則a-7的值是—

【錯(cuò)解】：±-

3

由已知得sina-siny=-sin^,coscr4-cos/=-cos/?,

兩式分別平方得，sin2a-2sinasin/+sin2/=sin2/3,cos2a-2cosacos

y+cos*2-y=cos~2pc

]JI

兩式相加得l-2(cosacos/+sinasiny)+l=l,B[Jcos(a-/)=—,故a-y=±g(未考慮

角的范圍而錯(cuò))

【錯(cuò)因分析】

沒(méi)有根據(jù)a,月,/為銳角及所給的關(guān)系式判斷a-7的范圍導(dǎo)致增解

【學(xué)霸解題】

41

—§同錯(cuò)解得cos0—y)=5,由于a,/3,y是銳角，所以由

sina-sin/=-sin0<0,可矢口a<=-—

【答案】-王

3

?-------------------------------------------w

1學(xué)霸丟分錯(cuò)題I

7

【例題2】

函數(shù)/(xXs/x+sinxcosx+1的最小正周期是,最小值是

【錯(cuò)解】：2萬(wàn)1

?/f(x+2/r)-sin2(x+2;r)+sin(x+2;r)cos(x+2乃)+1=/(x)

最小正周期是2〃

當(dāng)sinx=0時(shí)，/(x)取得最小值1

【錯(cuò)因分析】

研究三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，需要將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asin(s+0)+Z7,再研究性質(zhì)，錯(cuò)解沒(méi)有轉(zhuǎn)化，只是憑主

觀判斷

【學(xué)霸解題】

3-V2

-,/、,，.,1.c1-cos2x,1.

rezf(x)=sm-x+sinxcosx+1=—sin2x-t-------------------Fl=—sin

222

C1c3V2713

2xcos2工4—=sin(2x)H—

22242

3-V2

27rc

最小正周期T='=萬(wàn)，最小值是2

2

【答案】萬(wàn)2

皚僦2SW°合逾G

解題必備知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1.二倍角公式

三角函數(shù)公式簡(jiǎn)記

正弦sin2a=2sin〃cosaS2a

cos2a=cos2a—sin2a=2cos'a-1=1一

余弦C2a

2sin'a

2tana

正切tan24-1T

l—tana20

知識(shí)點(diǎn)2.給值求值問(wèn)題的方法

(1)給值求值問(wèn)題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀察方向:

①有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn)，使關(guān)系明朗化;

②尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見(jiàn)角的變換和角之間的二倍關(guān)系.

(2)注意幾種公式的靈活應(yīng)用，如:

①sin2x=cos|=cos

=2cos2-l=l-2sin

②cos2%=sin

學(xué)生海選錯(cuò)題

【例題1】

化簡(jiǎn)：Jl+sin"-Jl-sin6(6G(0,?))

【錯(cuò)解】

〃紇-」，00抽0紇空0=

原式=Jsin?%c°+2sm5+322-25

V22222222

(sin^cos^-(sin^-cos^

Sin^+cos^-(s^-cos^)=2cos^

22222

【錯(cuò)因分析】

67>0

利用JU=M=<去括號(hào)時(shí)，對(duì)a的符號(hào)未加討論而出錯(cuò)或sine-cosasinO+cos。的符號(hào)

a<0

判斷出錯(cuò),

【學(xué)霸解題】

，紇

原式=Jsin2—+cos2—+2sin—cos----sin^+cN-2sinos'

22222222

is畤+c吟2一(sinf-cos^

sm%c°s4

2222

0

???0G(0,a),，—G(0,兀)

⑴當(dāng)紇時(shí),c—NsinS,原式=sd+c°sM-+sf2sin-

214」2222222

（冷彩）時(shí),cosgvsin幺原式=sing+cosg-sing+cos9=2cosg

2222222

?------------------------------------------------刀

I學(xué)霸丟分錯(cuò)題I

-----------------------、r-'

【例題2】

已知tan。=3

（1）求tan（a+三）的值;

4

sin2a

(2)求的值。

sin2a+sinacosa-cos2a-l

tana+tan

_tana+1_4_1

【錯(cuò)解】⑴L+%=_________4_:

.冗1+tana4

1+tanatan—

4

sin2a2sinacosa

(2)—;-----------------------------二—;-----------------------------

sin**a+sinacosa-cos2a-1sin-a+sincrcosa-(cos2a+1)

_2sinocos。_2sinacosa_2tana_2x3_6_

sin?a+sinacosa-2sin2asinc^cosa-sin2atancr-tan2a3-32-6

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解(1)中兩角和的正切公式記錯(cuò)；(2)中由于混淆l+cos2a=2cos2。與

1一2cos2a=2sin2a而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

【學(xué)霸解題】

71

tana+tan一,1勺1

/八/兀、4tana+13+10

(1)tan(a+—)=--------------^-=----------=------=-2

41+.7il-tana1-3

1-tanatan—

4

sin2a_2sinacosa

sin2a+sinacosa-cos2a-1sin2a+sinacosa一(2cos2a-1)-1

_2sinacosa_2tana_2x3_6_3

sin?a+sinacosa-2cos2atan232-3-2-42

【答案】(1)-2；(2)--

2

廠子i面標(biāo)式金〕

IIII

一;/---------------------------”

一、單選題

1.(2019?陜西榆林?高考模擬(理))若久￡都是銳角，且cosa=且，sin(a+Q)=1,貝ijcos￡=

53

A.垣B.撞C.撞或型D.走或立

255255525

【答案】A

【詳解】

因?yàn)槎际卿J角，且cosa=@<1,所以又

5232

sin(a+/?)=--<>所以+所以cos(a+￡)=_Jl—sin?(a+.)=—三

5225

sina=Jl-cos2a,cos/=cos(a+/7-a)=cos(a+/?)cosa+sin(a+/7)sina,故選A.

2.(2019?安徽高考模擬(文))AA8C中，角A，B,C所對(duì)的邊分別為。，。，c,若2cos2三一+cosC=],

且A4BC的面積為;c=則C=()

兀n冗c兀一5兀、兀—2兀

AA.—B.—C.一或—D.一或P-一

636633

【答案】A

【詳解】

解：???2COS2^^+COSC=3,

22

即cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinZ?=2sinAsinB=—,

..sinAsinB=一,①

4

??,△ABC的面積為!，，

4

-bcsinA=—acsinB=—c2,

224

/.sinA=—,sinB=—,②,

2b2a

由①②可得-y—=J，

4ab4

即c?=4。，

24

兀一a5zr

：.c=~^c=~-

66

當(dāng)C哼,由8s(AT)+8S系《可得8s=不合題意，故舍去,

故c=g,

o

故選：A.

3.(2019?山東高考模擬(理))在“IBC中，b,。分別為角A,B,。的對(duì)邊，若的面積為S,

且4Gs=(a+b)~—c?,則sin(c+i)=()

A.1B.—

2

C＞/6—5/2D+

【答案】D

【詳解】

由4A/3S=（4+〃）2-C2,可得4Gxg〃bsinC=a2+Z?2+2zz〃,

因?yàn)椤?+從一。2=2必cosC,所以2GMinC=2abeosC+lab，

即gsinC-cosC=l,可得2§山（。一看）=1,則sin（c-/）=；,

又因?yàn)?＜。＜兀，則一￡＜。一2＜?，所以=9解得。=三，

666663

nrHi?（.（兀兀、.兀71兀.兀

?Jr17sinC+—=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—

I4J（34J3434

V3V21V2V6+V2

—，X-------+—X，---------------------.

22224

故選：D.

4.（2020?貴州銅仁偉才學(xué)校高三月考（文））在A45C中，若sin8=2sinAcosC,那么AABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閟in8=2sinAcosC,

所以sin（A+C）=2sinAcosC

所以sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC

所以sinAcosC-cosAsinC=0

所以sin（A-C）=0,

所以A-C=0,

所以A=C.

所以三角形是等腰三角形.

故選：B.

5.（2020?全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）若3cos2a=2sii吟-a）,“eg”）則sin2a的值為（）

【答案】C

【詳解】

解：因?yàn)?cos2a=2sin(K-c),

4

所以3cos2a=2(sin匹cosa-cos-sina)=亞(cosa-sina),

44

3(cos2a-sin2a)=&(cosa-sina),

3(cosa+sincr)(cosa-sina)=&(cosa-sina),

因?yàn)閍wg/),所以cosa-sinawO,

所以3(cosa+sina)二板,

所以cosa+sina=——，

3

2

兩邊平方得，1+2cosasina=3

7

所以sin2a=-§,

故選：C

6.(2021.全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))若曲線y=}in2x+#cos2x在A。,％),8(電,％)兩點(diǎn)處的切線互相垂直,

則歸-目的最小值為()

A.-B.-C.—D.萬(wàn)

323

【答案】B

【詳解】

1.rg21.C61+cos2x1,兀、6

y=-sin2x+——cosx=—sin2x+——x-----------=—sin2x+—+——，

-424222<3j4

,(

/.y=cosl2x+—\

???曲線的切線斜率在［-1,1］范圍內(nèi)，

又曲線在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，

故在8仇,％)兩點(diǎn)處的切線斜率必須一個(gè)是1，一個(gè)是」

不妨設(shè)在A點(diǎn)處切線的斜率為1,

JTTT

則有2玉+§=2K兀(冗eZ),2x2+§=2k27r+7r(k2eZ),

jr17-

則可得X|_工2=(氏一女2)九一3=k7T—wZ),

所以歸-X2Ln=(

故選：B.

7.(2021.江蘇省濱海中學(xué)高三其他模擬)第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基

礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖，會(huì)標(biāo)是由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若小正方形

的面積為4,大正方形的面積為100,設(shè)直角三角形中較大的銳角為。，貝().

5710

【答案】B

【詳解】

解：根據(jù)題意，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度之差為2、斜邊的長(zhǎng)度為10,

故設(shè)直角三角形較大直角邊為。，則另一直角邊為〃-2,

所以a?+（a-2）2=100,解方程得：a=8,

434

sin6?=~,cos0=—,貝ljtan6=],

.?.tan|e—：_tan0_1_1

-T+tan?-7'

故選：B.

8.在A43C中，若tanAtanB>l,則（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.無(wú)法判斷形狀

【答案】A

【詳解】

解：在A48C中，tanAtanB>l,則tanA>0,tan3>。，則A3均為銳角,

tanA+tanB

tanC=-tan（A+B）=->0,

1-tanA-tanB

故C為銳角,

綜上，A48C是銳角三角形,

故選：A.

二、填空題

9.(202。寧夏賀蘭縣景博中學(xué)(理))公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊

1-2COS227°

形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618,這一數(shù)值也可以表示為m=2sinl8。.若用+〃=4,則

m\[n

=—.(用數(shù)字作答)

【答案】

【詳解】

根據(jù)題中的條件可得:

1—2COS227。1—2COS227°—COS540

m4n2sin18々4—4sii?18°2sin180-2cosl8

二-sin36：1

-2sin36-2,

故答案是：-;.

10.(2020?江蘇淮安市?金湖中學(xué)高三月考)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(e+x)=f(…),且/(0)

=0,當(dāng)無(wú)￡(0,e］時(shí)，f(x)=/〃x已知方程/(工)=：5譏￡x在區(qū)間［-e,3e］上所有的實(shí)數(shù)根之和為

22e

將函數(shù)晨正34看川的圖象向右平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)力⑴的圖象,貝lj力(7)=.

36+10

【答案】

4

【詳解】

因?yàn)?(e+x)=f(e-x),所以/(x)關(guān)于x=e對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)榕己瘮?shù)/(x),

所以/(x)的周期為2e.

當(dāng)(0,e］時(shí)，f(x)=lnx,于是可作出函數(shù)/(x)在［-e,3e］上的圖象如圖所示，

方程/(犬)=!$加￡工的實(shí)數(shù)根是函數(shù)(%)與函數(shù)y=”的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

22e22e

由圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，兩個(gè)函數(shù)在Le,3e］上有4個(gè)交點(diǎn)，且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4e,所以4e=3em

故

315

因?yàn)間(x)=3s加(x+1=——COS—X+—

222

所以/2（%）=一；035（》-：）+1=一白。小（5犬一?）+1,

乙乙J乙乙乙J乙

故〃⑺=%?〃生+建處9

2324

故答案為：3^-0.

11.（2020?全國(guó)（文））如圖，三個(gè)全等的三角形/sABF'LBCD、VC4E拼成一個(gè)等邊三角形ABC,且^EF

為等邊三角形，若EF=2A￡,設(shè)ZACE=6,則sin26=

【答案】拽

26

【詳解】

解：如圖，設(shè)ZACE=，，EF=2AE=2x,

因?yàn)閊ABF^BCD=AC4E,且^ABC與^DEF均為為等邊三角形,

所以N4CE=ZJMF,所以乙48+/。E=/。正+/&3=60°,所以NC4E=6O。—。.

結(jié)合EF=2AE=2兀可得C￡>=AG=x,DE=EF=2x,所以CE=3x,

AECEx3x

在中，由正弦定理得K'Jsin^-sin(60o-6>)'

sinZACEsinZCAE

B|Jsin(60°-6?)=3sin,艮|J^^cos^--sin^=3sin6^,

22

所以當(dāng)os"畀6,解得tan"手

B

2sincos2tan。_9x77后

sin28=2sin6cos6二

所以sin20+cos20

故答案為：述

26

tzsin—+/?cos—

104b

12.(2019?江蘇揚(yáng)州?高考模擬)設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足77=tan——,n則l一=

717121a

izcos—

77

【答案】>/3

【詳解】

nb

i八tun—I—/\.

因?yàn)閠an——=——?—,(tan0=-)

21\-517)a

a7

,萬(wàn)104

??—卜6=kjrH----

721

0=k7r-\--.tanO=tan(E+&)=g.

33

:上

a

故答案為

三、解答題

13.(2020?嫩江市高級(jí)中學(xué)高三期中(文))已知函數(shù)f(x)=26sinxcosx+Zsi/x-l.

(1)求/(X)在區(qū)間0,上的值域；

(2)若/(a)=_§,且a'求8s2a的值.

g2V6+1

【答案】(1)[-1,2]；

【詳解】

(1)/(jc)=2^sinxcosx+2sin2JC-1,

=5/3sin2x-cos2x=2sin(2x-?J.

7[

因?yàn)?,y,

Lr-1?I7—7T54

所以一"K2x一”《丁，

666

所以-；4sin(2x-7)41.

TT

故/(X)在區(qū)間0,-上的值域是[-1,2].

(2)由f(a)=-],知sin卜"1=-2<0,

3k6；3

又因?yàn)?§7t42a-37t4手5萬(wàn)，所以cos2a-乙

6666

717T71兀

Aicos2a=cosI2a-^+—=cos|2a--l-cos--sinlla--I-sin—

66666

2y/2612a+1

=------X----X—=---------

3226

14.（2019?山東高考模擬（理））AABC中,。也。分別是內(nèi)角人良。所對(duì)的邊,且滿(mǎn)足“=?sinC+?

（1）求角8；

（2）求&sinA-sinC的取值范圍.

【答案】⑴B號(hào)⑵當(dāng)1

【詳解】

(1)由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB

因?yàn)椋簊irv4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

故cosBsinC=sinCsinB

因?yàn)閟inC工0,所以cosB=sinB

7T

因?yàn)?<8<乃，所以8=—

4

(2)因?yàn)?=(,所以y=V^sirkA-sinC=V2sin--C|-sinC=cosC

4J

又因?yàn)?<C<?,且、=。05（7在1o,3冗

上單調(diào)遞減,

「也1]

所以y=V^siiL4-sinC的取值范圍是