電網(wǎng)絡(luò)分析-網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章《電網(wǎng)絡(luò)分析》2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章頂點（節(jié)點）：線段的端點或孤立的點稱為頂點或節(jié)點，頂點用符號v表示;邊（支路）：連接兩個頂點vi、vj的一條線段稱為邊或支路。邊用頂點的無序偶e=[vi,vj]表示;圖（線圖）：邊和頂點的集合稱為圖或線圖，其中所有邊連接于頂點。若用E表示圖中所有邊的集合，V表示圖中所有頂點的集合，則這個圖G可以表示為G=（V，E）；有向圖：若將圖中所有的邊標(biāo)上一定的方向，稱為有向圖。有向邊a用其頂點vi、vj的有序偶a=(vi,vj)表示。若用A表示圖中所有邊的集合，V表示圖中所有頂點的集合，則這個圖Gd可以表示為Gd=（V，A）第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

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網(wǎng)絡(luò)的圖和圖論基本術(shù)語2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章相關(guān)聯(lián)和相鄰接：如果邊聯(lián)接著兩個頂點，則稱邊與這兩個頂點相關(guān)聯(lián)；如果兩個頂點之間至少存在一條邊，則兩個頂點是相鄰接的頂點；如果兩條邊至少有一個公共頂點，則稱兩條邊為相鄰接的邊。頂點的次數(shù)（維數(shù)）：與頂點相關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目。孤立頂點的次數(shù)為0，次數(shù)為2的頂點稱為簡單頂點。子圖、互補(bǔ)子圖：子圖的每一個頂點和邊都是原圖的頂點和邊；兩個子圖沒有相同的邊，但共同包含原圖的全部邊和頂點，這樣的兩個子圖稱為互補(bǔ)子圖。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

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網(wǎng)絡(luò)的圖和圖論基本術(shù)語2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章通路：由m條邊和m+1個頂點通過m條邊依次連通，且m+1個頂點中除始端和終端是1次外，其余各頂點均為2次的，這樣的子圖稱為通路。通路所包含的支路數(shù)m稱為通路的長度。回路和自環(huán)：通路的始端頂點和終端頂點重合，這種閉合的通路稱為回路或環(huán)；一個回路所包含的支路數(shù)稱為回路的長度，任何回路的長度等于回路所包含的節(jié)點數(shù)；長度為1的回路稱為自回路，即自環(huán)。連通圖：任意兩個頂點之間至少有一條通路的圖稱為連通圖，否則就是非連通圖。完備圖：任何一對頂點之間有且僅有一條邊。可斷圖：如果一個連通圖G存在著這樣一個頂點，將該頂點移去后（移去該頂點及相關(guān)聯(lián)的邊），使G成為一個非連通圖，這樣的頂點稱為斷點，含斷點的連通圖稱為可斷圖。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

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網(wǎng)絡(luò)的圖和圖論基本術(shù)語2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章樹和樹余：包含連通圖的全部頂點而不包含任何回路的子圖稱為連通圖的樹，在樹中，任意兩個頂點之間僅有1條通路；在連通圖中與樹互補(bǔ)的子圖稱為樹余。樹中所含的邊稱為樹支，樹余中所含的邊稱為連支。林和余林：在由s個分離部分組成的非連通圖中，各分離部分的樹的集合構(gòu)成一個包含s個樹的林。林的補(bǔ)圖稱為余林。割集：若移去割集中所有的邊，將使連通圖分離為2個且僅有2個彼此分離而又各自連通的子圖，若保留割集中的任一條邊不被移去，該圖仍然是連通的?；靖罴簡螛渲Ц罴??；净芈罚簡芜B支回路。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

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網(wǎng)絡(luò)的圖和圖論基本術(shù)語2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章定理2-1：在具有Nt個頂點，B條邊的連通圖G中，任何一個樹T的樹支數(shù)為N=Nt-1，連支數(shù)為B-N。定理2-2：對于具有Nt個頂點，B條邊的連通圖G，G中關(guān)于任何一個樹T的基本割集數(shù)為N，基本回路數(shù)為B-N。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

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網(wǎng)絡(luò)的圖和圖論基本術(shù)語2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章網(wǎng)絡(luò)的圖是表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（或拓?fù)湫再|(zhì)）的圖形，圖的頂點（節(jié)點）與邊（支路）、回路與邊、割集與邊……的關(guān)聯(lián)性質(zhì)都可以用矩陣形式來表示。在網(wǎng)絡(luò)分析中，利用圖的矩陣表示，可方便地建立向量形式的網(wǎng)絡(luò)方程，也有利于用計算機(jī)輔助網(wǎng)絡(luò)分析和設(shè)計。一、關(guān)聯(lián)矩陣：增廣關(guān)聯(lián)矩陣Aa:Aa=[aij]是一個Nt×B的矩陣第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章定理2-3：一個節(jié)點數(shù)為Nt的連通圖，其增廣關(guān)聯(lián)矩陣Aa的秩為N=Nt-1。關(guān)聯(lián)矩陣A：從Aa中去掉任一行所得到的矩陣稱為關(guān)聯(lián)矩陣A。定理2-4：在增廣關(guān)聯(lián)矩陣Aa中，對應(yīng)于圖G的任一回路的列是線性相關(guān)的。定理2-5：連通圖G的關(guān)聯(lián)矩陣A的一個N階子矩陣是非奇異的必要和充分條件是：此子矩陣的列對應(yīng)于圖G的一個樹上的樹支。

第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章二、回路矩陣：增廣回路矩陣Ba：Ba=[bij]是一個L×B的矩陣,L為有向連通圖G的回路數(shù)。

第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章定理2-6：對于一個具有Nt=N+1個節(jié)點、B條支路的連通圖G，其增廣回路矩陣的秩為B-N。基本回路矩陣Bf：對于一個具有Nt個節(jié)點、B條支路的有向連通圖G，在選定一個樹后，選取基本回路方向，使之與它所關(guān)聯(lián)的連支方向一致?；净芈肪仃嘊f是一個（B-N）×B矩陣，其元素bij定義如下：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章

三、割集矩陣：增廣割集矩陣Qa：對于一個具有Nt個節(jié)點、B條支路、C個割集的有向連通圖G，選定割集的方向，則增廣割集矩陣是一個C×B矩陣，它的每一行對應(yīng)于一個割集，每一列對應(yīng)于一條支路，其元素qij定義如下：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章定理2-7：具有Nt個節(jié)點、B條支路的有向連通圖G，其增廣割集矩陣Qa的秩為N=Nt-1?；靖罴仃嘠f：

Qf

是一個N×B矩陣，割集的方向與它所關(guān)聯(lián)的樹支方向一致，它的每一行對應(yīng)于一個基本割集，每一列對應(yīng)于一條支路，其元素qij定義如下：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章四、鄰接矩陣：對于一個具有Nt個節(jié)點連通圖G，節(jié)點之間的鄰接關(guān)系可以用鄰接矩陣D來表示。D=[dij]是一個Nt階方陣，其行列均對應(yīng)于節(jié)點，其中每一元素dij定義如下：鄰接矩陣特點：一個無向圖G，鄰接矩陣為對稱矩陣；當(dāng)且僅當(dāng)無自環(huán)時，其對角線元素為零的對稱矩陣；每一行（或每一列）所含1的個數(shù)是相應(yīng)的節(jié)點次數(shù)第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章五、矩陣A、Bf、Qf之間的關(guān)系：

矩陣A與矩陣Bf之間的關(guān)系：

如果同一有向連通圖的矩陣A和矩陣Bf的列按相同的支路順序排列，則有：證明：令

如果將A和Bf的列按先樹支后連支的順序排列，基本回路的順序與對應(yīng)的連支順序一致。則，，第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章因為At為非奇異的，則：將上式兩端取轉(zhuǎn)置，有，因此因此，如果已知關(guān)聯(lián)矩陣A，則可由上式寫出基本回路矩陣Bf。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章矩陣Bf與矩陣Qf之間的關(guān)系：

如果同一有向連通圖G按照相同的支路順序排列，則有：證明：令如果矩陣Qf和Bf的列按先樹支后連支的順序排列，則有，，那么第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章

因此：因此有：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章矩陣A與矩陣Qf之間的關(guān)系：因為：所以：當(dāng)已知關(guān)聯(lián)矩陣A時，可根據(jù)上式寫出基本割集矩陣Qf。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章一、基爾霍夫電流定律的矩陣形式用關(guān)聯(lián)矩陣A表示的KCL方程：

用基本回路矩陣Bf表示的KCL方程：如果在圖中選定一個樹，支路的編號按先樹支后連支的順序，則關(guān)聯(lián)矩陣和支路電流向量可分塊為：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式以下研究的電網(wǎng)絡(luò)限于線性時不變集總電網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)變量是電壓、電流；依據(jù)：KCL、KVL、VCR2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章由于At是一個非奇異矩陣，所以有：由此看出，B條支路電流中，只有B-N個連支電流是獨(dú)立的，樹支電流可由連支電流決定，因此，連支電流是全部支路電流集合的一個基底(basis)?？紤]到矩陣Bf與A的關(guān)系，得到

該式就是用基本回路矩陣Bf表示的KCL方程的矩陣形式。

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§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章用基本割集矩陣Qf表示的KCL方程：

由于矩陣Qf的每一行的非零元素表示與該行對應(yīng)的基本割集所關(guān)聯(lián)的支路及關(guān)聯(lián)形式，因此：每一個基本割集所含支路的電流的代數(shù)和為零。二、基爾霍夫電壓定律的矩陣形式用基本回路矩陣Bf表示的KVL方程：

用基本割集矩陣Qf表示的KCL方程：如果在圖中選定一個樹，支路的編號按先樹支后連支的順序，則基本回路矩陣Bf和支路電壓向量ub可分塊為：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章于是：由此看出，B條支路電壓中，只有N個樹支電壓是獨(dú)立的，連支電壓可由樹支電壓決定，因此，樹支電壓是全部支路電壓集合的一個基底(basis)。因此可以得到：

該式就是用基本割集矩陣Qf表示的KVL方程的矩陣形式。

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§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章

用關(guān)聯(lián)矩陣A表示的KVL方程：

式中un是以各節(jié)點電壓為元素的列向量，稱為節(jié)點電壓向量。由于每條支路都只與兩個節(jié)點相關(guān)聯(lián)，支路電壓可表示為其兩端節(jié)點電壓之差，因此用節(jié)點電壓可表示全部支路電壓。三、一般支路電壓電流關(guān)系的矩陣表示本書第三、四、六章中均是用一個元件表示一條支路。一般支路形式：一個無源二端元件與電壓源相串聯(lián)，再與電流源相并聯(lián)，將這種串并聯(lián)組合電路部分規(guī)定為“一般支路”。其參考方向規(guī)定：無源元件為關(guān)聯(lián)參考方向，電源元件為非關(guān)聯(lián)參考方向。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章時域和復(fù)頻域的電流、電壓關(guān)系：一般支路中電流、電壓關(guān)系

整個網(wǎng)絡(luò)的時域和復(fù)頻域電流、電壓關(guān)系（向量形式）式中i和u分別表示無源元件的電流向量和電壓向量；is和us分別表示電流源的電流向量和電壓源的電壓向量；ib和ub分別表示支路電流向量和電壓向量。I(s)、U(s)、Is(s)、Us(s)和Ib(s)、Ub(s)則是上述各變量象函數(shù)的向量。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章一般支路中基爾霍夫定律表達(dá)式

復(fù)頻域一般支路，其電流、電壓關(guān)系（VCR)為用支路阻抗矩陣表示的支路電壓、電流關(guān)系的矩陣形式：對于網(wǎng)絡(luò)中每條支路寫出VCR方程，并寫成矩陣形式第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章式中Zb(s)為無源元件阻抗矩陣，設(shè)支路編號先后按電感元件、電阻元件、電容元件的順序，則支路阻抗矩陣分塊成：式中Lp是一個對角方陣。其第i個主對角元素是第i條支路的自感Li，第i行第r列的元素是第i條支路與第r條支路的互感Mir。Rp是對角陣，它的第j

個主對角元素是第j條支路的電阻Rj。Dp為對角陣，其主對角元素Dk是第k條支路的倒電容（即Dk

=1/Ck）。下標(biāo)p代表局部的，Lp、Rp、Dp分別稱為局部電感矩陣、局部電阻矩陣、局部倒電容矩陣。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章將每個局部參數(shù)矩陣都用零元素擴(kuò)充到Zb(s)矩陣的階數(shù)B，稱為支路參數(shù)矩陣，用L、R、D表示，例如支路阻抗矩陣：則支路阻抗矩陣可以簡單的表示為：用支路導(dǎo)納矩陣表示的支路電壓、電流關(guān)系的矩陣形式：由支路阻抗矩陣表示的支路電壓、電流關(guān)系，可以得到：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章式中Yb(s)為無源元件導(dǎo)納矩陣：式中p=

Lp-1、Gp=Rp-1、Cp=Dp-1分別稱為局部倒電感矩陣、局部電導(dǎo)矩陣、局部電容矩陣。如果把上述每一個局部參數(shù)矩陣都用零元素擴(kuò)充到Y(jié)b(s)的階數(shù)B，則：式中C、G和分別稱為支路電容矩陣、電導(dǎo)矩陣和倒電感矩陣第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關(guān)系的矩陣形式2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章對于具有有N+1個節(jié)點，B條支路的網(wǎng)絡(luò)，直接求解B個支路電流或B個支路電壓的方法，稱為直接分析法。一、阻抗矩陣法（支路電流法）對于一個不含受控源的網(wǎng)絡(luò)，由用基本回路矩陣表示的KCL方程及用支路阻抗矩陣表示的VCR，可得：上式代表B-N個線性獨(dú)立方程，加上AIb(s)=0，可合寫為：如果Ib(s)的系數(shù)矩陣為非奇異，則：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－4直接分析法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章求出支路電流向量Ib(s)后，則可由用支路阻抗矩陣表示的VCR求出支路電壓向量Ub(s)。二、導(dǎo)納矩陣法（支路電壓法）對于一個不含受控源的網(wǎng)絡(luò)，由用關(guān)聯(lián)矩陣表示的KCL方程及用支路導(dǎo)納矩陣表示的VCR，可得：上式代表N個線性獨(dú)立方程，加上BfUb(s)=0，可合寫為：如果Ub(s)的系數(shù)矩陣為非奇異，則：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－4直接分析法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章求出支路電壓向量Ub(s)后，則可由用支路導(dǎo)納矩陣表示的VCR求出支路電流向量Ib(s)。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－4直接分析法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章直接分析法是以支路電流或支路電壓作為網(wǎng)絡(luò)變量，因而需要聯(lián)立求解的方程數(shù)等于支路數(shù)，計算工作量大。連支電流集是全部支路電流集的基底，樹支電壓集和節(jié)點電壓集都是支路電壓集的基底，所以可以選取連支電流、樹支電壓或節(jié)點電壓作為網(wǎng)絡(luò)變量。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)變量的不同，網(wǎng)絡(luò)方程可分為回路方程、割集方程和節(jié)點方程。對于一個具有N+1個節(jié)點，B條支路的電網(wǎng)絡(luò)，選定一個參考節(jié)點，繪出其連通圖G，以節(jié)點電壓Un(s)作為網(wǎng)絡(luò)變量，可以導(dǎo)出節(jié)點方程;在圖G中選擇一個樹后，分別寫出基本割集矩陣Qf和基本回路矩陣Bf，若以樹支電壓Ut(s)作為網(wǎng)絡(luò)變量，可導(dǎo)出割集方程；若以連支電流Il(s)作為網(wǎng)絡(luò)變量，則可導(dǎo)出回路方程。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章一、節(jié)點方程用關(guān)聯(lián)矩陣A表示的復(fù)頻域形式的KCL方程和KVL方程為

(1)用支路導(dǎo)納矩陣Yb(s)表示的VCR方程為

(2)將(2)代入(1)中的第一式，可得：再將(1)中的第二式代入上式，經(jīng)整理可得：令：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章可得：式中，Yn(s)是一個N階方陣，稱為節(jié)點導(dǎo)納矩陣，In(s)是N維向量，稱為節(jié)點電源電流向量，上式稱為節(jié)點方程。對于給定網(wǎng)絡(luò)，由節(jié)點方程求出節(jié)點電壓向量Un(s)，再根據(jù)(1)中的第二式和(2)可以分別求出支路電壓向量Ub(s)和支路電流向量Ib(s)。二、割集方程用基本割集矩陣Qf表示的復(fù)頻域形式的KCL方程和KVL方程為：

(3)第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章將(2)代入(3)中的第一式，可得：再將(3)中的第二式代入上式，經(jīng)整理得：令：可得：式中，Yc(s)是一個N階方陣，稱為割集導(dǎo)納矩陣，Ic(s)是N維向量，稱為割集電源電流向量，上式稱為割集方程。對于給定網(wǎng)絡(luò)，由割集方程求出節(jié)點電壓向量Ut(s)，再根據(jù)(3)中的第二式和(2)可以分別求出支路電壓向量Ub(s)和支路電流向量Ib(s)。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章三、回路方程用基本回路矩陣Bf表示的復(fù)頻域形式的KCL方程和KVL方程

(4)用支路阻抗矩陣Zb(s)表示的VCR方程為

(5)將(5)代入(4)中的第二式，可得：再將(4)中的第一式代入上式，經(jīng)整理可得：令：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章可得：式中，Zl(s)是一個B-N階方陣，稱為回路阻抗矩陣，Usl(s)是B-N維向量，稱為回路電源電壓向量，上式稱為回路方程。對于給定網(wǎng)絡(luò)，由回路方程求出連支電流向量Il(s)，再根據(jù)(4)中的第一式和(5)可以分別求出支路電流向量Ib(s)和支路電壓向量Ub(s)。割集方程是節(jié)點方程的推廣形式；回路方程和割集方程互為對偶的網(wǎng)絡(luò)方程。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章問題：在網(wǎng)絡(luò)中，若存在無伴電壓源支路時，由于該支路的導(dǎo)納為無窮大，給節(jié)點方程和割集方程的建立帶來困難。解決方案：將無伴電壓源支路電流也作為網(wǎng)絡(luò)變量。求解變量：在改進(jìn)的節(jié)點方程中是以節(jié)點電壓和某些支路電流作為未知量。說明：某些支路電流除了無伴電壓源支路電流外，還可以包括需要直接求解的支路電流。一、支路劃分將網(wǎng)絡(luò)中的支路劃分為三類：第一類為一般支路；第二類為無伴電壓源支路，以二端元件為一條支路，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，USE(s)為無伴電壓源電壓；第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－6改進(jìn)的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章第三類為直接求電流支路，以二端元件為一條支路，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，Yx(s)為直接求電流支路導(dǎo)納。二、改進(jìn)節(jié)點方程將網(wǎng)絡(luò)中的支路編號按一般支路、無伴電壓源支路和直接求電流支路排序，可將網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣寫成分塊形式：式中：A0是反映一般支路與節(jié)點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系的子陣；AE是反映無伴電壓源支路與節(jié)點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系的子陣；Ax是反映直接求電流支路與節(jié)點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系的子陣。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－6改進(jìn)的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章將支路電流向量和支路電壓向量也按同樣順序分塊根據(jù)KCL，有：

(2-6-1)

(2-6-2)第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－6改進(jìn)的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章根據(jù)KVL，有：

(2-6-3)

(2-6-4a)(2-6-4b)(2-6-4c)一般支路、無伴電壓源支路、直接求電流支路的VCR方程為(2-6-5a)(2-6-5b)(2-6-5c)

第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－6改進(jìn)的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章改進(jìn)節(jié)點方程將(2-6-4a)代入(2-6-5a)，可得：

(2-6-6)將(2-6-4c)代入(2-6-5c)，可得：(2-6-7)將(2-6-6)代入(2-6-2)，可得：

(2-6-8)令：(2-6-9)(2-6-10)則(2-6-8)可化簡為：

(2-6-11)第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－6改進(jìn)的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章將(2-6-11)、(2-6-4b)和(2-6-7)合寫為一個向量方程，得：上式就是改進(jìn)節(jié)點方程的一般形式。改進(jìn)節(jié)點法是以增加網(wǎng)絡(luò)變量數(shù)為代價，避開了寫無伴電壓源支路的支路導(dǎo)納。設(shè)網(wǎng)絡(luò)有N+1個節(jié)點，p個無伴電壓源支路和r個直接求電流支路，則改進(jìn)節(jié)點法的網(wǎng)絡(luò)變量數(shù)為N+p+r個，系數(shù)矩陣為N+p+r階方陣。雖然系數(shù)矩陣維數(shù)增加了，但矩陣時稀疏的，利用稀疏矩陣技術(shù)計算仍很方便。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－6改進(jìn)的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章用零泛器可以描述晶體管、運(yùn)算放大器等器件的理想化特性，零器和泛器總是成對出現(xiàn)的。含零泛器電路的節(jié)點方程列寫步驟設(shè)網(wǎng)絡(luò)具有N+1個節(jié)點，k對零泛器。（1）把全部零器和泛器都移去（將所有支路都斷開），剩下的的網(wǎng)絡(luò)為2k端口網(wǎng)絡(luò)，在此情況下，選定參考節(jié)點，列寫節(jié)點方程（為書寫簡便，省略符號s）第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章（2）將網(wǎng)絡(luò)中原有零器和泛器逐一接入網(wǎng)絡(luò)。若端子i和j之間接入一個零器，則Uni=Unj。因此，將節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的第j列元素加到第i列元素中去，并刪去第j列元素及節(jié)點電壓向量中的變量Unj，由此可得：按同樣的方式將k個零器全部接入電路，則節(jié)點導(dǎo)納矩陣變?yōu)镹×(N-k)矩陣，這樣得到的向量方程組中，方程數(shù)(N)較變量數(shù)(N-k)多k個，即有k個冗余方程。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章（3）將零器接入網(wǎng)絡(luò)后，再接入泛器。若端子p和q之間接入一個泛器，設(shè)此泛器的電流為Iqp。考慮到該支路的接入對節(jié)點的影響，上式可變?yōu)椋旱诙戮W(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章根據(jù)零泛器的元件特性，Iqp可為任意值，它決定于整個網(wǎng)絡(luò)的約束關(guān)系，因此，不希望保留上式中的右端變量向量Iqp。將上述方程組中的第q個方程和第p個方程相加（將節(jié)點導(dǎo)納矩陣的第q行加到第p行，并刪除第q行），這樣既消除了Iqp，又可去掉一個冗余方程，則上式可變?yōu)椋旱诙戮W(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章由此看出，在電路中接入一對零泛器，節(jié)點導(dǎo)納矩陣變?yōu)镹-1階方陣，節(jié)點電壓向量也變?yōu)镹-1個元。若將k對零泛器全部接入電路，則節(jié)點導(dǎo)納矩陣將變?yōu)镹-k階方陣，此時節(jié)點電壓向量也只有N-k個元。（4）若節(jié)點i、j之間的零器一端j接地，則Uni=Unj=0，因此，可以直接刪去節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的第i列元素和節(jié)點電壓向量中的Uni。若節(jié)點q、p之間的一端q接地，可直接刪去節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的第p行元素，并同時刪去節(jié)點電源電流向量中的Inp。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章含零泛器電路的節(jié)點方程列寫步驟總結(jié)（1）移去所有零器和泛器（將其暫時斷開）。（2）列寫網(wǎng)絡(luò)節(jié)點方程，此時節(jié)點導(dǎo)納矩陣為N階方陣。（3）逐個接入零器。若節(jié)點i、j之間接入一個零器，設(shè)i、j二節(jié)點均不接地，則將節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的第j列元素加到第i列元素中去，并刪去第j列元素及節(jié)點電壓向量中的變量Unj；如果節(jié)點j接地，則可以直接刪去節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的第i列元素和節(jié)點電壓向量中的Uni。（4）逐個接入泛器。若節(jié)點q、p之間接入一個泛器，設(shè)q、p二節(jié)點均不接地，則將節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的第q行元素加到第p行元素中去，并刪去第q行元素，而節(jié)點電流源向量的第p個元素為Inp+Inq,同時去掉第q個元素Inq。如果節(jié)點q接地，則可以直接刪去節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的第p行元素，同時刪去節(jié)點電流源向量中的Inp。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章前面介紹的網(wǎng)絡(luò)方程方法中，導(dǎo)納矩陣法、節(jié)點法、割集法要求能寫出導(dǎo)納矩陣；阻抗矩陣法和回路法要求能寫出網(wǎng)絡(luò)阻抗矩陣。某些元件只有導(dǎo)納參數(shù)，例如電壓控制電流源；某些元件只有阻抗參數(shù)，例如電流控制電壓源；有些參數(shù)既不具有阻抗參數(shù)，也不具有導(dǎo)納參數(shù)，例如電壓控制電壓源、電流控制電流源。如果網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)上述類型的元件（受控源），應(yīng)用直接分析法、節(jié)點分析法、割集分析法和回路分析法會出現(xiàn)困難。可用混合變量法來分析含上述元件的網(wǎng)絡(luò)。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－8混合變量方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章一、混合變量方程由于樹支電壓形成所有支路電壓的一個基底集合，用樹支電壓可以表示出全部支路電壓；連支電流形成所有支路電流的一個基底集合，用連支電流可以表示出全部支路電流。因此，可以通過選樹來選擇一組獨(dú)立的混合變量樹支電壓和連支電流（既有電壓又有電流）作為網(wǎng)絡(luò)變量，建立混合元件VCR方程，以適應(yīng)各類非源元件VCR表達(dá)的需求。對于一個給定的網(wǎng)絡(luò)，選擇一個適當(dāng)?shù)臉浜?，有式中U、I為非源元件（包括無源元件和受控元件）的電壓、電流，將這些元件按先樹支后連支的順序排列，則：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－8混合變量方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－8混合變量方程1、根據(jù)KCL方程：QfIb=0，可得QfI=QfIs，將其中矩陣Qf按先樹支后連支分塊后有2、根據(jù)KVL方程：BfUb=0，可得BfU=BfUs，將其中矩陣Bf按先樹支后連支分塊后有2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－8混合變量方程由于Bt=-QlT，則上式可以寫成3、非源元件的混合變量VCR向量方程為式中，Zl為連支阻抗矩陣，Yt為樹支導(dǎo)納矩陣，H12中的元素具有電壓比性質(zhì)，H21中的元素具有電流比性質(zhì)。上式就是將網(wǎng)絡(luò)中的連支電壓和樹支電流用連支電流和樹枝電壓的混合組合表示。4、將非源元件混合變量的VCR代入前述KCL和KVL方程，可得：2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－8混合變量方程將以上二式合為一個向量方程，可得：上式表示一組以樹支非源元件電壓和連支非源元件電流作為網(wǎng)絡(luò)變量的混合變量方程。網(wǎng)絡(luò)的變量數(shù)等于（一般形式）支路數(shù)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中不含多端元件時，H12=H21=0，于是上述混合變量方程可以展開成兩個獨(dú)立的方程，將第二式代入第一式可得割集方程，將第一式代入第二式可得回路方程。2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章二、樹的選擇樹的選擇是列寫混合變量方程的關(guān)鍵，非源元件混合變量VCR方程是選樹的依據(jù)，元件特性只具有導(dǎo)納表示式的元件選作樹支，元件特性只具有阻抗納表示式的元件選作連支。R、L、C元件具有阻抗和導(dǎo)納兩種表示式，因而既可以選作樹支，又可以選作連支?；剞D(zhuǎn)器也具有阻抗和導(dǎo)納兩種表示式，但其是一個支路電壓與另一個支路電流的關(guān)系，故兩條支流必須均選為樹支或均選為連支。CCVS只有阻抗表示式，兩條支路必須均選為連支；VCCS只有導(dǎo)納表示式，兩條支路必須均選為樹支。VCVS的控制支路選為樹支，受控支路選為連支；CCCS的控制支路選為連支，受控支路選為樹支。理想變壓器和負(fù)阻抗變換器具有兩支路電壓與電壓、電流與電流之間的關(guān)系，因此，任選兩條支路之一為樹支，另一為連支。某些含兩個（或以上）多端元件的網(wǎng)絡(luò)有可能選不出滿足上述要求的樹，這種情況下不能列出混合變量方程。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－8混合變量方程2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章撕裂法是分析大型網(wǎng)絡(luò)的一種方法。該方法的基本思想是，把一個大型網(wǎng)絡(luò)撕裂成若干個較小的子網(wǎng)絡(luò)。對每一個子網(wǎng)絡(luò)可以單獨(dú)分析和求解，不必考慮其他部分的存在。然后把各子網(wǎng)絡(luò)的解相互連接構(gòu)成原網(wǎng)絡(luò)的整體解。由于每一子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，求解比較容易。對于各子網(wǎng)絡(luò)可用節(jié)點分析、回路分析、割集分析、混合分析等方法求解。我們只介紹節(jié)點分析和混合分析，其他分析方法可以自行推導(dǎo)。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章一、節(jié)點分析（節(jié)點電壓和撕裂支路電流為網(wǎng)絡(luò)變量）對于圖示連通圖，當(dāng)移去支路b1、b2、b3后，原來的連通圖成為分離的兩個子圖。被移去的支路稱為撕裂支路，其余支路稱為剩余支路。為了使問題簡化，假設(shè)同類支路之間可存在耦合關(guān)系，但撕裂支路與剩余支路之間不存在耦合關(guān)系。支路按第三節(jié)中規(guī)定的一般支路劃分。對于具有N+1個節(jié)點、B條支路的網(wǎng)絡(luò)，將其支路分為兩類，一類為撕裂支路，用下標(biāo)d表示；另一類為剩余支路，用下標(biāo)r表示。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章1、若移去撕裂支路后，剩余支路形成的子網(wǎng)絡(luò)的圖仍然是連通的，但是可斷圖，且僅有一個斷點：以斷點為參考節(jié)點，則關(guān)聯(lián)矩陣A按剩余支路和撕裂支路可分塊為：設(shè)剩余支路形成k個子網(wǎng)絡(luò)。由于除共同的參考節(jié)點外，各子網(wǎng)絡(luò)既無公共支路，又無公共節(jié)點，因此Ar可以寫為對角陣形式。Ar1，……，Ark分別表示各子網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣。第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章設(shè)支路電流向量、支路電壓向量、支路電流源向量和支路電壓源向量按同樣方式分塊：支路阻抗矩陣和支路導(dǎo)納矩陣也同樣分塊為：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章根據(jù)KCL：根據(jù)KVL：由一般支路VCR：由此可得：第二章網(wǎng)絡(luò)圖論和網(wǎng)絡(luò)方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網(wǎng)絡(luò)分析第二章撕裂節(jié)點方程上式稱為撕裂節(jié)點方程，網(wǎng)絡(luò)變量為節(jié)點電壓和撕裂支路電流。方程式右端上面一個分塊是流入各分離部分的等效電流源的電流，下面一個分塊是由撕裂支路中的