電網絡分析-網絡圖論和網絡方程

2023/2/20電網絡分析第二章《電網絡分析》2023/2/20電網絡分析第二章頂點（節(jié)點）：線段的端點或孤立的點稱為頂點或節(jié)點，頂點用符號v表示;邊（支路）：連接兩個頂點vi、vj的一條線段稱為邊或支路。邊用頂點的無序偶e=[vi,vj]表示;圖（線圖）：邊和頂點的集合稱為圖或線圖，其中所有邊連接于頂點。若用E表示圖中所有邊的集合，V表示圖中所有頂點的集合，則這個圖G可以表示為G=（V，E）；有向圖：若將圖中所有的邊標上一定的方向，稱為有向圖。有向邊a用其頂點vi、vj的有序偶a=(vi,vj)表示。若用A表示圖中所有邊的集合，V表示圖中所有頂點的集合，則這個圖Gd可以表示為Gd=（V，A）第二章網絡圖論和網絡方程

§2－1

網絡的圖和圖論基本術語2023/2/20電網絡分析第二章相關聯(lián)和相鄰接：如果邊聯(lián)接著兩個頂點，則稱邊與這兩個頂點相關聯(lián)；如果兩個頂點之間至少存在一條邊，則兩個頂點是相鄰接的頂點；如果兩條邊至少有一個公共頂點，則稱兩條邊為相鄰接的邊。頂點的次數(shù)（維數(shù)）：與頂點相關聯(lián)的邊的數(shù)目。孤立頂點的次數(shù)為0，次數(shù)為2的頂點稱為簡單頂點。子圖、互補子圖：子圖的每一個頂點和邊都是原圖的頂點和邊；兩個子圖沒有相同的邊，但共同包含原圖的全部邊和頂點，這樣的兩個子圖稱為互補子圖。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－1

網絡的圖和圖論基本術語2023/2/20電網絡分析第二章通路：由m條邊和m+1個頂點通過m條邊依次連通，且m+1個頂點中除始端和終端是1次外，其余各頂點均為2次的，這樣的子圖稱為通路。通路所包含的支路數(shù)m稱為通路的長度?；芈泛妥原h(huán)：通路的始端頂點和終端頂點重合，這種閉合的通路稱為回路或環(huán)；一個回路所包含的支路數(shù)稱為回路的長度，任何回路的長度等于回路所包含的節(jié)點數(shù)；長度為1的回路稱為自回路，即自環(huán)。連通圖：任意兩個頂點之間至少有一條通路的圖稱為連通圖，否則就是非連通圖。完備圖：任何一對頂點之間有且僅有一條邊?？蓴鄨D：如果一個連通圖G存在著這樣一個頂點，將該頂點移去后（移去該頂點及相關聯(lián)的邊），使G成為一個非連通圖，這樣的頂點稱為斷點，含斷點的連通圖稱為可斷圖。第二章網絡圖論和網絡方程

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網絡的圖和圖論基本術語2023/2/20電網絡分析第二章樹和樹余：包含連通圖的全部頂點而不包含任何回路的子圖稱為連通圖的樹，在樹中，任意兩個頂點之間僅有1條通路；在連通圖中與樹互補的子圖稱為樹余。樹中所含的邊稱為樹支，樹余中所含的邊稱為連支。林和余林：在由s個分離部分組成的非連通圖中，各分離部分的樹的集合構成一個包含s個樹的林。林的補圖稱為余林。割集：若移去割集中所有的邊，將使連通圖分離為2個且僅有2個彼此分離而又各自連通的子圖，若保留割集中的任一條邊不被移去，該圖仍然是連通的?；靖罴簡螛渲Ц罴；净芈罚簡芜B支回路。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－1

網絡的圖和圖論基本術語2023/2/20電網絡分析第二章定理2-1：在具有Nt個頂點，B條邊的連通圖G中，任何一個樹T的樹支數(shù)為N=Nt-1，連支數(shù)為B-N。定理2-2：對于具有Nt個頂點，B條邊的連通圖G，G中關于任何一個樹T的基本割集數(shù)為N，基本回路數(shù)為B-N。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－1

網絡的圖和圖論基本術語2023/2/20電網絡分析第二章網絡的圖是表示網絡結構（或拓撲性質）的圖形，圖的頂點（節(jié)點）與邊（支路）、回路與邊、割集與邊……的關聯(lián)性質都可以用矩陣形式來表示。在網絡分析中，利用圖的矩陣表示，可方便地建立向量形式的網絡方程，也有利于用計算機輔助網絡分析和設計。一、關聯(lián)矩陣：增廣關聯(lián)矩陣Aa:Aa=[aij]是一個Nt×B的矩陣第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章定理2-3：一個節(jié)點數(shù)為Nt的連通圖，其增廣關聯(lián)矩陣Aa的秩為N=Nt-1。關聯(lián)矩陣A：從Aa中去掉任一行所得到的矩陣稱為關聯(lián)矩陣A。定理2-4：在增廣關聯(lián)矩陣Aa中，對應于圖G的任一回路的列是線性相關的。定理2-5：連通圖G的關聯(lián)矩陣A的一個N階子矩陣是非奇異的必要和充分條件是：此子矩陣的列對應于圖G的一個樹上的樹支。

第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章二、回路矩陣：增廣回路矩陣Ba：Ba=[bij]是一個L×B的矩陣,L為有向連通圖G的回路數(shù)。

第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章定理2-6：對于一個具有Nt=N+1個節(jié)點、B條支路的連通圖G，其增廣回路矩陣的秩為B-N?；净芈肪仃嘊f：對于一個具有Nt個節(jié)點、B條支路的有向連通圖G，在選定一個樹后，選取基本回路方向，使之與它所關聯(lián)的連支方向一致?；净芈肪仃嘊f是一個（B-N）×B矩陣，其元素bij定義如下：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章

三、割集矩陣：增廣割集矩陣Qa：對于一個具有Nt個節(jié)點、B條支路、C個割集的有向連通圖G，選定割集的方向，則增廣割集矩陣是一個C×B矩陣，它的每一行對應于一個割集，每一列對應于一條支路，其元素qij定義如下：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章定理2-7：具有Nt個節(jié)點、B條支路的有向連通圖G，其增廣割集矩陣Qa的秩為N=Nt-1?；靖罴仃嘠f：

Qf

是一個N×B矩陣，割集的方向與它所關聯(lián)的樹支方向一致，它的每一行對應于一個基本割集，每一列對應于一條支路，其元素qij定義如下：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章四、鄰接矩陣：對于一個具有Nt個節(jié)點連通圖G，節(jié)點之間的鄰接關系可以用鄰接矩陣D來表示。D=[dij]是一個Nt階方陣，其行列均對應于節(jié)點，其中每一元素dij定義如下：鄰接矩陣特點：一個無向圖G，鄰接矩陣為對稱矩陣；當且僅當無自環(huán)時，其對角線元素為零的對稱矩陣；每一行（或每一列）所含1的個數(shù)是相應的節(jié)點次數(shù)第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章五、矩陣A、Bf、Qf之間的關系：

矩陣A與矩陣Bf之間的關系：

如果同一有向連通圖的矩陣A和矩陣Bf的列按相同的支路順序排列，則有：證明：令

如果將A和Bf的列按先樹支后連支的順序排列，基本回路的順序與對應的連支順序一致。則，，第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章因為At為非奇異的，則：將上式兩端取轉置，有，因此因此，如果已知關聯(lián)矩陣A，則可由上式寫出基本回路矩陣Bf。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章矩陣Bf與矩陣Qf之間的關系：

如果同一有向連通圖G按照相同的支路順序排列，則有：證明：令如果矩陣Qf和Bf的列按先樹支后連支的順序排列，則有，，那么第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章

因此：因此有：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章矩陣A與矩陣Qf之間的關系：因為：所以：當已知關聯(lián)矩陣A時，可根據上式寫出基本割集矩陣Qf。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－2圖的矩陣表示2023/2/20電網絡分析第二章一、基爾霍夫電流定律的矩陣形式用關聯(lián)矩陣A表示的KCL方程：

用基本回路矩陣Bf表示的KCL方程：如果在圖中選定一個樹，支路的編號按先樹支后連支的順序，則關聯(lián)矩陣和支路電流向量可分塊為：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式以下研究的電網絡限于線性時不變集總電網絡。網絡變量是電壓、電流；依據：KCL、KVL、VCR2023/2/20電網絡分析第二章由于At是一個非奇異矩陣，所以有：由此看出，B條支路電流中，只有B-N個連支電流是獨立的，樹支電流可由連支電流決定，因此，連支電流是全部支路電流集合的一個基底(basis)?？紤]到矩陣Bf與A的關系，得到

該式就是用基本回路矩陣Bf表示的KCL方程的矩陣形式。

第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章用基本割集矩陣Qf表示的KCL方程：

由于矩陣Qf的每一行的非零元素表示與該行對應的基本割集所關聯(lián)的支路及關聯(lián)形式，因此：每一個基本割集所含支路的電流的代數(shù)和為零。二、基爾霍夫電壓定律的矩陣形式用基本回路矩陣Bf表示的KVL方程：

用基本割集矩陣Qf表示的KCL方程：如果在圖中選定一個樹，支路的編號按先樹支后連支的順序，則基本回路矩陣Bf和支路電壓向量ub可分塊為：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章于是：由此看出，B條支路電壓中，只有N個樹支電壓是獨立的，連支電壓可由樹支電壓決定，因此，樹支電壓是全部支路電壓集合的一個基底(basis)。因此可以得到：

該式就是用基本割集矩陣Qf表示的KVL方程的矩陣形式。

第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章

用關聯(lián)矩陣A表示的KVL方程：

式中un是以各節(jié)點電壓為元素的列向量，稱為節(jié)點電壓向量。由于每條支路都只與兩個節(jié)點相關聯(lián)，支路電壓可表示為其兩端節(jié)點電壓之差，因此用節(jié)點電壓可表示全部支路電壓。三、一般支路電壓電流關系的矩陣表示本書第三、四、六章中均是用一個元件表示一條支路。一般支路形式：一個無源二端元件與電壓源相串聯(lián)，再與電流源相并聯(lián)，將這種串并聯(lián)組合電路部分規(guī)定為“一般支路”。其參考方向規(guī)定：無源元件為關聯(lián)參考方向，電源元件為非關聯(lián)參考方向。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章時域和復頻域的電流、電壓關系：一般支路中電流、電壓關系

整個網絡的時域和復頻域電流、電壓關系（向量形式）式中i和u分別表示無源元件的電流向量和電壓向量；is和us分別表示電流源的電流向量和電壓源的電壓向量；ib和ub分別表示支路電流向量和電壓向量。I(s)、U(s)、Is(s)、Us(s)和Ib(s)、Ub(s)則是上述各變量象函數(shù)的向量。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章一般支路中基爾霍夫定律表達式

復頻域一般支路，其電流、電壓關系（VCR)為用支路阻抗矩陣表示的支路電壓、電流關系的矩陣形式：對于網絡中每條支路寫出VCR方程，并寫成矩陣形式第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章式中Zb(s)為無源元件阻抗矩陣，設支路編號先后按電感元件、電阻元件、電容元件的順序，則支路阻抗矩陣分塊成：式中Lp是一個對角方陣。其第i個主對角元素是第i條支路的自感Li，第i行第r列的元素是第i條支路與第r條支路的互感Mir。Rp是對角陣，它的第j

個主對角元素是第j條支路的電阻Rj。Dp為對角陣，其主對角元素Dk是第k條支路的倒電容（即Dk

=1/Ck）。下標p代表局部的，Lp、Rp、Dp分別稱為局部電感矩陣、局部電阻矩陣、局部倒電容矩陣。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章將每個局部參數(shù)矩陣都用零元素擴充到Zb(s)矩陣的階數(shù)B，稱為支路參數(shù)矩陣，用L、R、D表示，例如支路阻抗矩陣：則支路阻抗矩陣可以簡單的表示為：用支路導納矩陣表示的支路電壓、電流關系的矩陣形式：由支路阻抗矩陣表示的支路電壓、電流關系，可以得到：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章式中Yb(s)為無源元件導納矩陣：式中p=

Lp-1、Gp=Rp-1、Cp=Dp-1分別稱為局部倒電感矩陣、局部電導矩陣、局部電容矩陣。如果把上述每一個局部參數(shù)矩陣都用零元素擴充到Yb(s)的階數(shù)B，則：式中C、G和分別稱為支路電容矩陣、電導矩陣和倒電感矩陣第二章網絡圖論和網絡方程

§2－3基爾霍夫定律的矩陣形式和支路電壓電流

關系的矩陣形式2023/2/20電網絡分析第二章對于具有有N+1個節(jié)點，B條支路的網絡，直接求解B個支路電流或B個支路電壓的方法，稱為直接分析法。一、阻抗矩陣法（支路電流法）對于一個不含受控源的網絡，由用基本回路矩陣表示的KCL方程及用支路阻抗矩陣表示的VCR，可得：上式代表B-N個線性獨立方程，加上AIb(s)=0，可合寫為：如果Ib(s)的系數(shù)矩陣為非奇異，則：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－4直接分析法2023/2/20電網絡分析第二章求出支路電流向量Ib(s)后，則可由用支路阻抗矩陣表示的VCR求出支路電壓向量Ub(s)。二、導納矩陣法（支路電壓法）對于一個不含受控源的網絡，由用關聯(lián)矩陣表示的KCL方程及用支路導納矩陣表示的VCR，可得：上式代表N個線性獨立方程，加上BfUb(s)=0，可合寫為：如果Ub(s)的系數(shù)矩陣為非奇異，則：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－4直接分析法2023/2/20電網絡分析第二章求出支路電壓向量Ub(s)后，則可由用支路導納矩陣表示的VCR求出支路電流向量Ib(s)。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－4直接分析法2023/2/20電網絡分析第二章直接分析法是以支路電流或支路電壓作為網絡變量，因而需要聯(lián)立求解的方程數(shù)等于支路數(shù)，計算工作量大。連支電流集是全部支路電流集的基底，樹支電壓集和節(jié)點電壓集都是支路電壓集的基底，所以可以選取連支電流、樹支電壓或節(jié)點電壓作為網絡變量。根據網絡變量的不同，網絡方程可分為回路方程、割集方程和節(jié)點方程。對于一個具有N+1個節(jié)點，B條支路的電網絡，選定一個參考節(jié)點，繪出其連通圖G，以節(jié)點電壓Un(s)作為網絡變量，可以導出節(jié)點方程;在圖G中選擇一個樹后，分別寫出基本割集矩陣Qf和基本回路矩陣Bf，若以樹支電壓Ut(s)作為網絡變量，可導出割集方程；若以連支電流Il(s)作為網絡變量，則可導出回路方程。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網絡分析第二章一、節(jié)點方程用關聯(lián)矩陣A表示的復頻域形式的KCL方程和KVL方程為

(1)用支路導納矩陣Yb(s)表示的VCR方程為

(2)將(2)代入(1)中的第一式，可得：再將(1)中的第二式代入上式，經整理可得：令：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網絡分析第二章可得：式中，Yn(s)是一個N階方陣，稱為節(jié)點導納矩陣，In(s)是N維向量，稱為節(jié)點電源電流向量，上式稱為節(jié)點方程。對于給定網絡，由節(jié)點方程求出節(jié)點電壓向量Un(s)，再根據(1)中的第二式和(2)可以分別求出支路電壓向量Ub(s)和支路電流向量Ib(s)。二、割集方程用基本割集矩陣Qf表示的復頻域形式的KCL方程和KVL方程為：

(3)第二章網絡圖論和網絡方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網絡分析第二章將(2)代入(3)中的第一式，可得：再將(3)中的第二式代入上式，經整理得：令：可得：式中，Yc(s)是一個N階方陣，稱為割集導納矩陣，Ic(s)是N維向量，稱為割集電源電流向量，上式稱為割集方程。對于給定網絡，由割集方程求出節(jié)點電壓向量Ut(s)，再根據(3)中的第二式和(2)可以分別求出支路電壓向量Ub(s)和支路電流向量Ib(s)。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網絡分析第二章三、回路方程用基本回路矩陣Bf表示的復頻域形式的KCL方程和KVL方程

(4)用支路阻抗矩陣Zb(s)表示的VCR方程為

(5)將(5)代入(4)中的第二式，可得：再將(4)中的第一式代入上式，經整理可得：令：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網絡分析第二章可得：式中，Zl(s)是一個B-N階方陣，稱為回路阻抗矩陣，Usl(s)是B-N維向量，稱為回路電源電壓向量，上式稱為回路方程。對于給定網絡，由回路方程求出連支電流向量Il(s)，再根據(4)中的第一式和(5)可以分別求出支路電流向量Ib(s)和支路電壓向量Ub(s)。割集方程是節(jié)點方程的推廣形式；回路方程和割集方程互為對偶的網絡方程。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－5節(jié)點方程、割集方程和回路方程2023/2/20電網絡分析第二章問題：在網絡中，若存在無伴電壓源支路時，由于該支路的導納為無窮大，給節(jié)點方程和割集方程的建立帶來困難。解決方案：將無伴電壓源支路電流也作為網絡變量。求解變量：在改進的節(jié)點方程中是以節(jié)點電壓和某些支路電流作為未知量。說明：某些支路電流除了無伴電壓源支路電流外，還可以包括需要直接求解的支路電流。一、支路劃分將網絡中的支路劃分為三類：第一類為一般支路；第二類為無伴電壓源支路，以二端元件為一條支路，電壓、電流取關聯(lián)參考方向，USE(s)為無伴電壓源電壓；第二章網絡圖論和網絡方程

§2－6改進的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章第三類為直接求電流支路，以二端元件為一條支路，電壓、電流取關聯(lián)參考方向，Yx(s)為直接求電流支路導納。二、改進節(jié)點方程將網絡中的支路編號按一般支路、無伴電壓源支路和直接求電流支路排序，可將網絡的關聯(lián)矩陣寫成分塊形式：式中：A0是反映一般支路與節(jié)點之間的關聯(lián)關系的子陣；AE是反映無伴電壓源支路與節(jié)點之間的關聯(lián)關系的子陣；Ax是反映直接求電流支路與節(jié)點之間的關聯(lián)關系的子陣。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－6改進的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章將支路電流向量和支路電壓向量也按同樣順序分塊根據KCL，有：

(2-6-1)

(2-6-2)第二章網絡圖論和網絡方程

§2－6改進的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章根據KVL，有：

(2-6-3)

(2-6-4a)(2-6-4b)(2-6-4c)一般支路、無伴電壓源支路、直接求電流支路的VCR方程為(2-6-5a)(2-6-5b)(2-6-5c)

第二章網絡圖論和網絡方程

§2－6改進的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章改進節(jié)點方程將(2-6-4a)代入(2-6-5a)，可得：

(2-6-6)將(2-6-4c)代入(2-6-5c)，可得：(2-6-7)將(2-6-6)代入(2-6-2)，可得：

(2-6-8)令：(2-6-9)(2-6-10)則(2-6-8)可化簡為：

(2-6-11)第二章網絡圖論和網絡方程

§2－6改進的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章將(2-6-11)、(2-6-4b)和(2-6-7)合寫為一個向量方程，得：上式就是改進節(jié)點方程的一般形式。改進節(jié)點法是以增加網絡變量數(shù)為代價，避開了寫無伴電壓源支路的支路導納。設網絡有N+1個節(jié)點，p個無伴電壓源支路和r個直接求電流支路，則改進節(jié)點法的網絡變量數(shù)為N+p+r個，系數(shù)矩陣為N+p+r階方陣。雖然系數(shù)矩陣維數(shù)增加了，但矩陣時稀疏的，利用稀疏矩陣技術計算仍很方便。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－6改進的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章用零泛器可以描述晶體管、運算放大器等器件的理想化特性，零器和泛器總是成對出現(xiàn)的。含零泛器電路的節(jié)點方程列寫步驟設網絡具有N+1個節(jié)點，k對零泛器。（1）把全部零器和泛器都移去（將所有支路都斷開），剩下的的網絡為2k端口網絡，在此情況下，選定參考節(jié)點，列寫節(jié)點方程（為書寫簡便，省略符號s）第二章網絡圖論和網絡方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章（2）將網絡中原有零器和泛器逐一接入網絡。若端子i和j之間接入一個零器，則Uni=Unj。因此，將節(jié)點導納矩陣中的第j列元素加到第i列元素中去，并刪去第j列元素及節(jié)點電壓向量中的變量Unj，由此可得：按同樣的方式將k個零器全部接入電路，則節(jié)點導納矩陣變?yōu)镹×(N-k)矩陣，這樣得到的向量方程組中，方程數(shù)(N)較變量數(shù)(N-k)多k個，即有k個冗余方程。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章（3）將零器接入網絡后，再接入泛器。若端子p和q之間接入一個泛器，設此泛器的電流為Iqp?？紤]到該支路的接入對節(jié)點的影響，上式可變?yōu)椋旱诙戮W絡圖論和網絡方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章根據零泛器的元件特性，Iqp可為任意值，它決定于整個網絡的約束關系，因此，不希望保留上式中的右端變量向量Iqp。將上述方程組中的第q個方程和第p個方程相加（將節(jié)點導納矩陣的第q行加到第p行，并刪除第q行），這樣既消除了Iqp，又可去掉一個冗余方程，則上式可變?yōu)椋旱诙戮W絡圖論和網絡方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章由此看出，在電路中接入一對零泛器，節(jié)點導納矩陣變?yōu)镹-1階方陣，節(jié)點電壓向量也變?yōu)镹-1個元。若將k對零泛器全部接入電路，則節(jié)點導納矩陣將變?yōu)镹-k階方陣，此時節(jié)點電壓向量也只有N-k個元。（4）若節(jié)點i、j之間的零器一端j接地，則Uni=Unj=0，因此，可以直接刪去節(jié)點導納矩陣中的第i列元素和節(jié)點電壓向量中的Uni。若節(jié)點q、p之間的一端q接地，可直接刪去節(jié)點導納矩陣中的第p行元素，并同時刪去節(jié)點電源電流向量中的Inp。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章含零泛器電路的節(jié)點方程列寫步驟總結（1）移去所有零器和泛器（將其暫時斷開）。（2）列寫網絡節(jié)點方程，此時節(jié)點導納矩陣為N階方陣。（3）逐個接入零器。若節(jié)點i、j之間接入一個零器，設i、j二節(jié)點均不接地，則將節(jié)點導納矩陣中的第j列元素加到第i列元素中去，并刪去第j列元素及節(jié)點電壓向量中的變量Unj；如果節(jié)點j接地，則可以直接刪去節(jié)點導納矩陣中的第i列元素和節(jié)點電壓向量中的Uni。（4）逐個接入泛器。若節(jié)點q、p之間接入一個泛器，設q、p二節(jié)點均不接地，則將節(jié)點導納矩陣中的第q行元素加到第p行元素中去，并刪去第q行元素，而節(jié)點電流源向量的第p個元素為Inp+Inq,同時去掉第q個元素Inq。如果節(jié)點q接地，則可以直接刪去節(jié)點導納矩陣中的第p行元素，同時刪去節(jié)點電流源向量中的Inp。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－7含零泛器電路的節(jié)點方程2023/2/20電網絡分析第二章前面介紹的網絡方程方法中，導納矩陣法、節(jié)點法、割集法要求能寫出導納矩陣；阻抗矩陣法和回路法要求能寫出網絡阻抗矩陣。某些元件只有導納參數(shù)，例如電壓控制電流源；某些元件只有阻抗參數(shù)，例如電流控制電壓源；有些參數(shù)既不具有阻抗參數(shù)，也不具有導納參數(shù)，例如電壓控制電壓源、電流控制電流源。如果網絡中出現(xiàn)上述類型的元件（受控源），應用直接分析法、節(jié)點分析法、割集分析法和回路分析法會出現(xiàn)困難?？捎没旌献兞糠▉矸治龊鲜鲈木W絡。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－8混合變量方程2023/2/20電網絡分析第二章一、混合變量方程由于樹支電壓形成所有支路電壓的一個基底集合，用樹支電壓可以表示出全部支路電壓；連支電流形成所有支路電流的一個基底集合，用連支電流可以表示出全部支路電流。因此，可以通過選樹來選擇一組獨立的混合變量樹支電壓和連支電流（既有電壓又有電流）作為網絡變量，建立混合元件VCR方程，以適應各類非源元件VCR表達的需求。對于一個給定的網絡，選擇一個適當?shù)臉浜螅惺街蠻、I為非源元件（包括無源元件和受控元件）的電壓、電流，將這些元件按先樹支后連支的順序排列，則：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－8混合變量方程2023/2/20電網絡分析第二章第二章網絡圖論和網絡方程

§2－8混合變量方程1、根據KCL方程：QfIb=0，可得QfI=QfIs，將其中矩陣Qf按先樹支后連支分塊后有2、根據KVL方程：BfUb=0，可得BfU=BfUs，將其中矩陣Bf按先樹支后連支分塊后有2023/2/20電網絡分析第二章第二章網絡圖論和網絡方程

§2－8混合變量方程由于Bt=-QlT，則上式可以寫成3、非源元件的混合變量VCR向量方程為式中，Zl為連支阻抗矩陣，Yt為樹支導納矩陣，H12中的元素具有電壓比性質，H21中的元素具有電流比性質。上式就是將網絡中的連支電壓和樹支電流用連支電流和樹枝電壓的混合組合表示。4、將非源元件混合變量的VCR代入前述KCL和KVL方程，可得：2023/2/20電網絡分析第二章第二章網絡圖論和網絡方程

§2－8混合變量方程將以上二式合為一個向量方程，可得：上式表示一組以樹支非源元件電壓和連支非源元件電流作為網絡變量的混合變量方程。網絡的變量數(shù)等于（一般形式）支路數(shù)。當網絡中不含多端元件時，H12=H21=0，于是上述混合變量方程可以展開成兩個獨立的方程，將第二式代入第一式可得割集方程，將第一式代入第二式可得回路方程。2023/2/20電網絡分析第二章二、樹的選擇樹的選擇是列寫混合變量方程的關鍵，非源元件混合變量VCR方程是選樹的依據，元件特性只具有導納表示式的元件選作樹支，元件特性只具有阻抗納表示式的元件選作連支。R、L、C元件具有阻抗和導納兩種表示式，因而既可以選作樹支，又可以選作連支。回轉器也具有阻抗和導納兩種表示式，但其是一個支路電壓與另一個支路電流的關系，故兩條支流必須均選為樹支或均選為連支。CCVS只有阻抗表示式，兩條支路必須均選為連支；VCCS只有導納表示式，兩條支路必須均選為樹支。VCVS的控制支路選為樹支，受控支路選為連支；CCCS的控制支路選為連支，受控支路選為樹支。理想變壓器和負阻抗變換器具有兩支路電壓與電壓、電流與電流之間的關系，因此，任選兩條支路之一為樹支，另一為連支。某些含兩個（或以上）多端元件的網絡有可能選不出滿足上述要求的樹，這種情況下不能列出混合變量方程。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－8混合變量方程2023/2/20電網絡分析第二章撕裂法是分析大型網絡的一種方法。該方法的基本思想是，把一個大型網絡撕裂成若干個較小的子網絡。對每一個子網絡可以單獨分析和求解，不必考慮其他部分的存在。然后把各子網絡的解相互連接構成原網絡的整體解。由于每一子網絡結構簡單，求解比較容易。對于各子網絡可用節(jié)點分析、回路分析、割集分析、混合分析等方法求解。我們只介紹節(jié)點分析和混合分析，其他分析方法可以自行推導。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網絡分析第二章一、節(jié)點分析（節(jié)點電壓和撕裂支路電流為網絡變量）對于圖示連通圖，當移去支路b1、b2、b3后，原來的連通圖成為分離的兩個子圖。被移去的支路稱為撕裂支路，其余支路稱為剩余支路。為了使問題簡化，假設同類支路之間可存在耦合關系，但撕裂支路與剩余支路之間不存在耦合關系。支路按第三節(jié)中規(guī)定的一般支路劃分。對于具有N+1個節(jié)點、B條支路的網絡，將其支路分為兩類，一類為撕裂支路，用下標d表示；另一類為剩余支路，用下標r表示。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網絡分析第二章1、若移去撕裂支路后，剩余支路形成的子網絡的圖仍然是連通的，但是可斷圖，且僅有一個斷點：以斷點為參考節(jié)點，則關聯(lián)矩陣A按剩余支路和撕裂支路可分塊為：設剩余支路形成k個子網絡。由于除共同的參考節(jié)點外，各子網絡既無公共支路，又無公共節(jié)點，因此Ar可以寫為對角陣形式。Ar1，……，Ark分別表示各子網絡的關聯(lián)矩陣。第二章網絡圖論和網絡方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網絡分析第二章設支路電流向量、支路電壓向量、支路電流源向量和支路電壓源向量按同樣方式分塊：支路阻抗矩陣和支路導納矩陣也同樣分塊為：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網絡分析第二章根據KCL：根據KVL：由一般支路VCR：由此可得：第二章網絡圖論和網絡方程

§2－9撕裂法2023/2/20電網絡分析第二章撕裂節(jié)點方程上式稱為撕裂節(jié)點方程，網絡變量為節(jié)點電壓和撕裂支路電流。方程式右端上面一個分塊是流入各分離部分的等效電流源的電流，下面一個分塊是由撕裂支路中的