概率論與數(shù)理統(tǒng)計-離散型隨機(jī)變量的概率分布

一.離散型隨機(jī)變量的概念與分布律第二章隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量的定義如果隨機(jī)變量X的取值是有限個或可列無窮個，則稱X為離散型隨機(jī)變量．§2離散型隨機(jī)變量的概率分布返回主目錄

如：上節(jié)例1，2，3，4，6定義的隨機(jī)變量均為離散型隨機(jī)變量．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為并設(shè)則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的分布律．離散型隨機(jī)變量X的分布律還可寫成矩陣的形式．返回主目錄上節(jié)例

2擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),令X=出現(xiàn)的點數(shù)

,則X就是一個離散型隨機(jī)變量．它的所有可能取為1，2，3，4，5，6.第二章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄X的分布率為說明1.離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃．即離散型隨機(jī)變量可完全由它的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):返回主目錄例

1從1～10這10個數(shù)字中隨機(jī)取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．解：

X的取值為5，6，7，8，9，10．并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量具體寫出，即可得X的分布律：返回主目錄(求隨機(jī)變量的分布律)例

2將1枚硬幣擲3次，令：

X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求X的分布律．解：X的取值為-3，-1，1，3．并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例

3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

則第二章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄（已知分布律，求隨機(jī)變量落在某區(qū)間上的概率）例

3（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例

4設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量常用冪級數(shù)的和:返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p例5第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X的分布律為：Xpk

01234p(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

或?qū)懗蒔{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4

例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量以p=1/2代入得：Xpk

012340.50.250.1250.06250.0625例5(續(xù))返回主目錄二、幾種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量(一)Bernoulli(0-1)分布如果隨機(jī)變量X的分布律為或則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布．返回主目錄1)定義第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Bernoulli(0-1)分布要掌握的四個要點：（1）隨機(jī)變量X的取值；0，1.（3）參數(shù)p的意義及其取值范圍:返回主目錄（2）隨機(jī)變量X的分布律：Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點分布．貝努里（Bernoulli）試驗

如果隨機(jī)試驗E只考慮兩個可能結(jié)果，則稱E為Bernoulli試驗.Bernoulli試驗的例子擲一枚硬幣，只有“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”兩種結(jié)果，因此“擲一枚硬幣”可看作是一次Bernoulli試驗．返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布2)Bernoulli分布的概率背景對同一目標(biāo)進(jìn)行一次射擊，若只考慮“擊中目標(biāo)”與“未擊中目標(biāo)”兩種情況，則“同一目標(biāo)進(jìn)行一次射擊”是Bernoulli試驗．在某一時間間隔內(nèi)觀察通過某路口的汽車數(shù)，若只考慮“至少通過100輛車”與“至多通過99輛車”這兩種情況，這也是Bernoulli試驗．Bernoulli試驗的例子返回主目錄擲一顆骰子，有六種可能結(jié)果．但如果我們只關(guān)心“出現(xiàn)六點”與“不出現(xiàn)六點”這兩種情況，故“擲一顆骰子”也可以看作是Bernoulli試驗．第二章隨機(jī)變量及其分布第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Bernoulli分布的概率背景:進(jìn)行一次Bernoulli試驗，設(shè)：令：X=“在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”．或者說：令返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Bernoulli分布的概率背景要掌握的要點：（1）進(jìn)行什么試驗：進(jìn)行一次Bernoulli試驗；（3）X的意義：X=“在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”．返回主目錄例

5擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).我們定義隨機(jī)變量：第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件令X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的取值為0或者1，并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄{}{}154115110====XPXP，．，即：÷???è?1541~bX(二）二項分布如果隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄1)定義第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量二項分布要掌握的四個要點：（1）隨機(jī)變量X的取值；0，1，...，n;（3）參數(shù)n,p的意義及其取值范圍:返回主目錄（2）隨機(jī)變量X的分布律：說明顯然，當(dāng)n=1時第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄2)二項分布的概率背景n重Bernoulli試驗若獨立重復(fù)地進(jìn)行n次Bernoulli試驗，這里“重復(fù)”是指每次試驗中事件A發(fā)生的概率不變，“獨立”是指各次試驗的結(jié)果相互獨立，則稱該試驗為n重Bernoulli試驗．返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布n重Bernoulli試驗的例子擲n次硬幣，可看作是一n重Bernoulli試驗．?dāng)Sn顆骰子，如果我們對每顆骰子只關(guān)心“出現(xiàn)六點”與“不出現(xiàn)六點”這兩種情況，故“擲n顆骰子”也可以看作是一n重Bernoulli試驗．對同一目標(biāo)進(jìn)行n次射擊，若每次射擊只考慮“擊中目標(biāo)”與“未擊中目標(biāo)”兩種情況，則“同一目標(biāo)進(jìn)行n次射擊”是一n重Bernoulli試驗．在某一時間間隔內(nèi)觀察通過某路口的汽車數(shù)，若只考慮“至少通過100輛車”與“至多通過99輛車”這兩種情況，這是一次Bernoulli試驗．若獨立重復(fù)地做該試驗n次，則它是一n重Bernoulli試驗．n重Bernoulli試驗的例子返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布n重Bernoulli試驗中的基本事件及其概率在n重Bernoulli試驗中的基本事件為返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布n重Bernoulli試驗中的基本事件及其概率返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布()()，則，，且qpAPpAP=-==1n重Bernoulli試驗中的基本事件及其概率返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布例：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、反面出現(xiàn)

的情況,就是一3重Bernoulli試驗.樣本空間中的每一個樣本點就是一個基本事件.{HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}n重Bernoulli試驗中A恰好發(fā)生k次的概率設(shè)在一次Bernoulli試驗中，返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄n重Bernoulli試驗中A恰好發(fā)生k次的概率二項分布的分布律第二章隨機(jī)變量及其分布第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄二項分布的概率背景進(jìn)行n重Bernoulli試驗，設(shè)在每次試驗中令X：在這n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量二項分布的概率背景要掌握的要點：（1）進(jìn)行什么試驗：（3）X的意義：返回主目錄進(jìn)行n重Bernoulli試驗；X=“在這n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”．

{X=k}=“n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生k次”注意由二項式定理，我們有返回主目錄二項分布的分布律第二章隨機(jī)變量及其分布例7一大批產(chǎn)品的次品率為0.05，現(xiàn)從中取出10件．試求下列事件的概率：

B={取出的10件產(chǎn)品中恰有4件次品}C={取出的10件產(chǎn)品中至少有2件次品}D={取出的10件產(chǎn)品中沒有次品}返回主目錄因此，取10件產(chǎn)品可看作是10重Bernoulli試驗．分析：取1件產(chǎn)品可看作是一次Bernoulli試驗．第二章隨機(jī)變量及其分布由于產(chǎn)品是一大批，所以，從中取出10件，雖然是不放回抽樣，但是，可以認(rèn)為每次抽取的次品率不變。例7一大批產(chǎn)品的次品率為0.05，現(xiàn)從中取出10件．返回主目錄X：取出的10件產(chǎn)品中的次品數(shù)．解：第二章隨機(jī)變量及其分布例7（續(xù)）返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布例8一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗，例

8（續(xù)）所以第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例9

對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率均為0.23，問至少需進(jìn)行多少次射擊，才能使至少命中一次目標(biāo)的概率不少于0.95？返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量分析：設(shè)需進(jìn)行n次射擊，才能使至少命中一次目標(biāo)的概率不少于0.95．每次射擊只關(guān)心命中還是不命中目標(biāo)，進(jìn)行n次射擊，可看成是一n重Bernoulli試驗．例9

對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率均為0.23，問至少需進(jìn)行多少次射擊，才能使至少命中一次目標(biāo)的概率不少于0.95？返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量{n次射擊至少命中一次目標(biāo)}=B解：設(shè)需進(jìn)行n次射擊，才能使至少命中一次目標(biāo)的概率不少于0.95．設(shè)X={n次射擊中的命中次數(shù)}，例9（續(xù)）則有返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2-2離散型隨機(jī)變量例9（續(xù)）取對數(shù)，得所以，有

即至少需進(jìn)行12次射擊，才能使至少命中一次目標(biāo)的概率不少于0.95．返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2-2離散型隨機(jī)變量二項分布的分布形態(tài)下面我們研究的問題是：第二章隨機(jī)變量及其分布§2-2離散型隨機(jī)變量返回主目錄隨k的變化規(guī)律。二項分布的分布形態(tài)第二章隨機(jī)變量及其分布§2-2離散型隨機(jī)變量返回主目錄書中第26頁倒數(shù)第14行二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布先是隨著k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得第二章隨機(jī)變量及其分布§2-2離散型隨機(jī)變量返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2-2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例10

對同一目標(biāo)進(jìn)行400次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為0.02，（1）試求400次射擊最可能命中幾次？

則第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄解：（2）求至少命中兩次目標(biāo)的概率。令例10（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄2)P{至少命中兩次目標(biāo)}[]802.80==k{}23=XP{}}1{01=-=-=XPXP3991400400)98.0)(02.0(98.01C--=.9972.0=例10（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄2)P{至少命中兩次目標(biāo)}.9972.0=如果某人在400次獨立射擊中，最多命中1次,能否相信此人的命中率為0.02?P{最多命中1次目標(biāo)}=1-0.9972=0.0028答:此人的命中率為0.02是不可信的.3）泊松(Poisson)分布如果隨機(jī)變量X的分布律為

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量泊松分布要掌握的四個要點：（1）隨機(jī)變量X的取值；0，1，…,可列個取值。（3）參數(shù)λ

的意義及其取值范圍:返回主目錄（2）隨機(jī)變量X的分布律：分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．返回主目錄0>lPoisson分布中的意義

*考慮“要求服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)站”第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄

我們把顧客看作時間軸上的質(zhì)點，顧客到達(dá)服務(wù)站認(rèn)為是質(zhì)點出現(xiàn)。Poisson分布中的意義第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄即X服從參數(shù)為的Poisson分布．Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄*例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄例11（29頁例6）實驗器皿中產(chǎn)生甲,乙兩種細(xì)菌的機(jī)會是相等的,并且產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)X服從泊松分布,試求:(1)產(chǎn)生了甲類細(xì)菌但沒有乙類細(xì)菌的概率;(2)在已知產(chǎn)生了細(xì)菌且沒有甲類細(xì)菌的條件下,有兩個乙類細(xì)菌的概率.分析:實驗器皿中產(chǎn)生幾個細(xì)菌是隨機(jī)的;每個細(xì)菌是甲類細(xì)菌還是乙類細(xì)菌也是隨機(jī)的.(原因)(結(jié)果)(全概)(逆概)解:(1)B表示產(chǎn)生了甲類細(xì)菌但沒有乙類細(xì)菌,第二章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄例11(續(xù))由全概率公式,知書中第29頁倒數(shù)第13行第二章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄例11(續(xù))由逆概公式,知(2)C表示產(chǎn)生了細(xì)菌且沒有甲類細(xì)菌,書中第29頁倒數(shù)第10行書中第29頁倒數(shù)第7行例12設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機(jī)變量X的分布律為由已知第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例12（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的應(yīng)用第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的應(yīng)用第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例13設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.01，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計算）．解：設(shè)B={600次射擊至少命中3次目標(biāo)}

進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.A={1次射擊命中目標(biāo)}，則P(A)=0.01.第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例13（續(xù)）所以第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例14.第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量收保費-賠償費=賺錢例14.解：

第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量例14.解：

第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量4）幾何分布若隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄第二章隨機(jī)