專題05立體幾何選擇題、填空題解析版

05立體幾何（選擇題、填空題【2019年高考Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是2的正三角形，E，F(xiàn)PA，AB的中點，∠CEF=90°O的體積為A．8 B．4D．C．2D．【答案】CEAC EF平面PAC，∴PB平面PAC，APBPAPBPC 22PABC為正方體的一部分，2R 即R 6,V4R34π66 22 PAPBPC2xEFPAAB的中點，EF∥PBEF1PBx2△ABC為邊長為2的等邊三角形，CF 又CEF90，CE 3x2,AE1PAx2x243x2△AEC中，由余弦定理可得cosEACPDACD

22

x243 PAPCDACcosEAC

22

，PAPBPC AB=BC=AC=2，PAPBPC222R ，R 6，V4R3466 622 【2019年高考Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平C．α，β平行于同一條直 D．α，β垂直于同一平【答案】【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是∥ 質(zhì)定理知，若∥，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是∥的必要條件，故選B．犯的錯誤為定理記不住，憑臆斷，如：“aba∥b，則∥”此類的錯誤．【2019年高考Ⅲ卷理數(shù)】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則A．BM=ENBM，EN是相交直線B．BM≠ENBM，EN是相交直線C．BM=ENBM，EN是異面直線D．BM≠ENBM，EN是異面直線【答案】EOCD于O，連接ON，BDBM，ENEBD的中線，是MMFODFBF△MFB與△EON均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知EO 3,ON1,EN27MF 3BF5,BM ，BMEN7 【 年高考浙江卷】祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他“冪勢既同，則積不容異”稱為單位：cm 【答案】【解析】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底為4，323 點．記直線PB與直ACα，直PB與平ABC所成的角βP–AC–B的平面γ，則 【答案】【解析】如圖，G為AC中點，連接VG，V在底面ABC的投影為O，則P在底面的投影 段上，過D作DE垂直于AC于E，連接PE，BD，易得PE∥VG，過P作PF∥AC交VG于F，連BFDDH∥ACBGH，則BPFPBD,PED，結(jié)合△PDB均為直角三角形，可得cosPFEGDHBDcos，即 Rt△PEDtanPDPDtan，即 【2018年高考卷理數(shù)】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的A． B．2 【答案】N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為√4??2??2√5B．【名師點睛】該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需【2018年高 卷理數(shù)】已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則32 323C．3 3 所以在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB1D1與線AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理，平面 也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面AB1D1與C1BD中間，且過棱的中點的正六邊形2邊長 2232 332S6424 412條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積求得結(jié)【2018年高考卷理數(shù)】中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部【答案】對稱圖形.A． 【 年高考浙江卷】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3 正側(cè) 側(cè)側(cè) 【答案】2，因此幾何體的體積為112222【名師點睛】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等形且其面積為C．

DABCD．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)點M為三角形ABC的重心，E為AC中點D在平ABC上的M時，三棱DABC的體積最大，此ODOBR4S△ABC

AB2343

，AB6,點M為三角形ABC的重心，BM2BE 3OB2BMRt△OBM中，有OM 2，DMODOM42OB2BMVD

19363

，故選【名師點睛】本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積和三棱錐的體積式，判斷出當(dāng)點D在平面ABC上的射影為三角形ABC的重心時，三棱錐DABC體積最大很關(guān)鍵，MABCBM2BE3

，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得屬于較難題型 ，則異面直線與DB1所成角的余弦值為55562A． 55562 【答案】【解析方法一用一個與原長方體相同的長方體拼到原長方體的前面如圖，則B1P∥AD1連接DP，易求得DB1DP= ，B1P2，則DB1P是異面直線AD1與DB1所成的角，由余弦定理可得cosDB1P

DB2BP2 2DB

545 方法二：以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐 則D0,0,0,A1,0,0,B11,1,3,D10,0, ,所以AD11,0,3,DB11,1,3因為

AD1,

AD1DB1

135

2 AD1所以異面直線AD與DB所成角的余弦值為 ，故選 5【名師點睛】先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出直線的方向向量或平面的法向量；第四，破“應(yīng)用關(guān)”.【2018年高考浙江卷】已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”充分不必要條 B．必要不充分條C．充分必要條 D．既不充分也不必要條【答案】

??,

??//?，所以根據(jù)線面平行的判定定理得//?.由//?不能得出?行，所以//?是//?【名師點睛】充分、必要條件的三種判定義法：直接判斷“若?則?”、“若?則?”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“???”為真，則??的充等價法：利用???與非??非?，???與非??非?，???與非??非?的等價關(guān)系，對于條件是否定式題，一般運(yùn)用等價法集合法：若???，則?是?的充分條件或?是?的必要條件；若?＝?，則?是?的充要條件．【2018年高考浙江卷】已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB（不含端點SEBCθ1，SEABCDθ2S?AB?C的平面角為θ3，則 因此SEN1SEO2SMO從而tanSNSNtanSOtanSO SNSO，EOOM，所以tan1tan3tan2即132，故選D. Ⅱ卷理數(shù)】已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC1則異面直線AB1與BC1所成角的332

1533 【答案】【解析】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCDA1B1C1D1221221cos則所求角為BCD,BC 2,221221cos 易得CD2BD2BC2，因此cosBCDBC1 1 C 1

，故選①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成③計算：求該角的值，常利用解④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是 ]，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異2直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．【2017年高考卷理數(shù)】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些 【答案】【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為224)2112，故選．2【 年高考卷理數(shù)】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度 【答案】【解析】幾何體是四棱錐PABCD，如圖最長的棱長為補(bǔ)成的正方體的體2222即該四棱錐的最長棱的長2222【名師點睛】本題考查了空間想象能力，由三視圖還原幾何體的方法或者也可根據(jù)三視圖的形狀，將幾何體的頂點放在正方體或長方體里面，便于分析問題【2017年高考卷理數(shù)如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視 B．C． D．【答案】【解析】由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為41V32436，上半部分是一個底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積1V1(32627，故該組合體的體積VVV362763 間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積求解【2017年高考卷理數(shù)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面 B．4 【答案】【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示1212由題意可得：AC1,AB1212 ，可得圓柱的體積是Vπr2hπ3

4 π，故42 2 利用相應(yīng)體積求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用得出，則常用等積法、分割法、【2017年高考浙江卷】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）A．1

C．31

2 為V 3( 1，故選 等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；（2）后、左、右的高度；（3） 為,,A．C．【答案】

B．D．棱錐的高相等，因此，所以選B．【2019年高考Ⅲ卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打 【答案】【解析】由題意得， 46412312cm2四邊形O?EFGH3cmVO

2112312cm33ABCDABCD的體積為V466144cm3111 O所以該模型體積為VV2 14412132cm3，其質(zhì)量為0.9132O【名師點睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用【2019年高考卷理數(shù)】某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果1，那么該幾何體的體積為．【答案】【解析】如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱MPD1A1之后余下的幾則幾何體的體積V4312424402【名師點睛】本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體，再根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積.屬于中等題.(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用得出，則常用等【2019年高 卷理數(shù)】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷 ②m∥ ③l⊥以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確題 【答案】如果l⊥α，m∥α，則【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面αl⊥m，m∥αl⊥αlα斜交、l∥α.故答案為：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【 年高考卷理數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長 的正方形，側(cè)棱長均 ．若圓柱的一底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為．π【答4【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長 的正方形，側(cè)棱長均 ，借助勾股定理，可知四棱錐5高 5若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的1高為1，圓柱的底面半徑為212故圓柱的體積為π 2

1π4【2019長方體ABCDA1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中的體積是 【答案】【解析】因為長方體ABCDA1B1C1D1的體積為120，所以ABBCCC1120，E為CC的中點，所以CE1CC， 由長方體的性質(zhì)知CC1ABCD所以CE是三棱EBCD的底BCD上的高，EBCD的體積V11ABBCCE11ABBC1CC112010 【2019年高考Ⅱ卷理數(shù)】中國有悠的金石文化，印是金石文化的代之一．印信的狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的獨孤信的印信形狀是“半正多面體（圖1.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個面，其棱長為．（2分，第二3分．）【答案】 【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個面，計18個面，第8個面，所以該半正多面體共有18826xABBEx，延長CBFE的延長線交于點GBC交正方體的棱于H△BGE為等腰直角三角形，BGGECH

x,GH222 22

xx 1)x2x 2即該半正多面體的棱長 【 年高考江蘇卷如圖所示正方體的棱長為2以其所有面的中心為頂點的多面體的體積 4【答3 1，底面正方形的邊長等于√2，所以該多面體的體積為211224. 【2018年高考 卷理數(shù)】已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為 【答案】【解析】由題意可得，底面四邊形????為邊長為√?的正方形?

√? 四邊形?????頂點?到底面四邊形????的距離為???，由四棱錐的體積 可得：??????????. 【名師點睛】本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力7【2018年高考 底面所成角為45°，若△SAB的面積為5 40所成角的正弦值為△SAB的面積為

，設(shè)母線長為l,1l2

515,l2802 2因此圓錐的側(cè)面積為πrl

2πl(wèi)24022先根據(jù)三角形面積求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積【2017年高考I卷理數(shù)】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 【答案DOBCGD，E，F(xiàn)Sx(x>0)33OG1 x x33 FGSG5SG2SOSG2

x6363536x x 35533x 3三棱錐的體積V1 h13

x2 5533x5x43nx5x43x5，x>05533x5x43 令nx0，即4x 0，得x ，易知nx在x 處取得最大值5155∴Vmax

【名師點睛】對于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是 次時可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，變量是高次時需要用到求導(dǎo)的方式進(jìn)行解決【 年高考山東卷理數(shù)】由一個長方體和兩 圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體4體積 22【解析】由三視圖可知,長方體的長、寬、高分別為2,1,1,圓柱的高為1,底面圓的半徑為1, V2112 12 【名師點睛（1）解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．【 年高考卷理數(shù)】已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積 則這個球的體積 【答2【解析】設(shè)正方體的邊長為a，則6a218a ，其外接球直徑為2R體積V4πR34π279π

3a3 【名師點睛】求多面體的外接球的表面積或體積的問題常用的方法有：①三條棱