高考數(shù)學立體幾何理科專題折疊與探究性問題

高考數(shù)學立體幾何理科專題折疊與研究性問題高考數(shù)學立體幾何理科專題折疊與研究性問題高考數(shù)學立體幾何理科專題折疊與研究性問題2018

屆高考數(shù)學立體幾何（理科）專題

03折疊與研究性問題1．如圖，四棱柱

ABCD

A1B1C1D1的底面為菱形，

BAD

1200，

AB

2，

E,F

為CD,AA1中點.（1）求證：

DF//平面

B1AE；（2）若

AA1

底面

ABCD，且直線

AD1與平面

B1AE

所成線面角的正弦值為

3，4求AA1的長.2．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PDDA,PDDC.（Ⅰ）若

E是

PA的中點，求證：

PC//平面

BED

；（Ⅱ）若

PD

AD

，

PE

2AE

，求直線

PB與平面

BED

所成角的正弦值

.3．如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.1）求證：DA1ED1；2）若直線DA1與平面CED1所成的角是45，請你確立點E的地點，并證明你的結(jié)論.4．如下圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.若M為CD中點，求證：AM⊥平面AA1B1B；求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值．5．如圖，在直角梯形中，.直角梯形經(jīng)過直角梯形

以直線

為軸旋轉(zhuǎn)獲得，且使得平面

平面

.(Ⅰ)求證：平面

平面

；(Ⅱ)延伸至點，使

為平面

內(nèi)的動點，若直線

與平面

所成的角為

，且

，求點到點的距離的最小值

.6．已知如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，AD//BC，BC2AB2AD2PA4.（1）求證：平面PAC平面PAB；（2）已知E為PC中點，求AE與平面PBC所成角的正弦值.2018屆高考數(shù)學立體幾何（理科）專題03折疊與研究性問題（教師版）1．如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為菱形，BAD1200，AB2，E,F為CD,AA1中點.（1）求證：DF//平面B1AE；（2）若AA1底面ABCD，且直線AD1與平面B1AE所成線面角的正弦值為3，求AA1的長.4【答案】(1)證明看法析；(2)2.所以DF//平面B1AE.（2）因為ABCD是菱形，且ABD600，所以ABC是等邊三角形取BC中點G，則AGAD，因為AA1平面ABCD，所以AA1AG，AA1AD成立如圖的空間直角坐標系，令AA1t(t0)，則nAE33y0且nAB13xytz0，x2取n3t,t,4，設(shè)直線AD1與平面B1AE所成角為，則sinnAD16t3，解得t2，故線段AA1的長為2.nAD142t242．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PDDA,PDDC.（Ⅰ）若E是PA的中點，求證：PC//平面BED；（Ⅱ）若PDAD，PE2AE，求直線PB與平面BED所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)證明看法析；(Ⅱ)2.3（Ⅱ）設(shè)CD2，則ABBCADPD2，且PE2PA.分別以DA,DC,DP為x,y,z軸的正方向成立坐3標系，則D0,0,0,A2,0,0,E4,0,2,C0,2,0,B2,2,0,P0,0,233∴DB2,2,0,DE4,0,2,PB2,2,2，設(shè)平面BED的一個法向量為nx,y,z，則33{nDB02x2y0{42,令x1，則y1，∴z2∴n1,1,2nDE0xz033設(shè)直線PB與平面BED所成的角為，則sinPBn2cosn,PBn3PB2所以PB與平面BED所成角的正弦值為33．如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.1）求證：DA1ED1；2）若直線DA1與平面CED1所成的角是45，請你確立點E的地點，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)看法析(2)直線DA1與平面CED1所成的角是45時，點E在線段AB中點處所以DA1⊥ED1另解：AE平面ADA1，所以AEA1D.又A1DAD1，所以A1D平面D1AE.所以DA1ED1（2）以A為原點，AB為x軸、AD為y軸、AA1為z軸成立空間直角坐標系所以A10,0,1、D0,1,0、C1,1,0、D10,1,1，設(shè)AEt，則Et,0,0設(shè)平面CED的法向量為nnCD10可得{xz01nCE0t1xy0所以{zx，所以平面CED1,t1,1y1的一個法向量為t1x由直線DA1與平面CED1所成的角是45，可得sin45DA1n可得21t11222，解得tDA1n1t211因為=1，所以直線DA1與平面CED1所成的角是45時，點E在線段AB中點處AB4．如下圖，在四棱臺-1111中，1⊥底面，四邊形為菱形，∠＝120°，ABCDABCDAAABCDABCDBADAB＝AA1＝2A1B1＝2.若M為CD中點，求證：AM⊥平面AA1B1B；求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值．【答案】（1）看法析（2）

15∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，∴△ACD為等邊三角形，又M為CD中點，∴AM⊥CD，由CD∥AB得，AM⊥AB.AA1⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，∴AM⊥AA1.又AB∩AA1＝A，∴AM⊥平面AA1B1B.(2)∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，∴DM＝1，AM＝，∴∠AMD＝∠BAM＝90°，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則即令x＝1，則n＝(1，，1)，∴|cos〈n，〉|＝＝＝.∴直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值為.5．如圖，在直角梯形中，.直角梯形經(jīng)過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)獲得，且使得平面平面.(Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)延伸至點，使點到點的距離的最小值.【答案】(1)看法析(2)試題分析：(Ⅰ)直角梯形,又平面

平面

為平面中，，

內(nèi)的動點，若直線與平面，直角梯形經(jīng)過直角梯形平面，平面

所成的角為，且以直線平面.

，求為軸旋轉(zhuǎn)獲得，，得.設(shè)的坐標為，則,由,得,,,,所以，當時，,點到點的距離的最小值為.6．已知如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，AD//BC，BC2AB2AD2PA4.（1）求證：平面PAC平面PAB；（2）已知E為PC中點，求AE與平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）看法析；（2）217試題分析：（1）連結(jié)AC，過A作AGBC于G，過D作DHBC于H.在等腰梯形ABCD中，∵BC2AD4，∴BGCH1.∴ABCDCB6