2020-2021青島中考數(shù)學(xué)(相似提高練習(xí)題)壓軸題訓(xùn)練

島中考數(shù)學(xué)(相似提高練習(xí)題)壓軸題訓(xùn)練一、相1．已知，如圖，是O的直徑，點(diǎn)C為O上點(diǎn)，OF于F，于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)，為OE的長線上一點(diǎn)，AEC．（）證BD是O的切線；（）證：；（）若O的徑為，，BH的．【答案】（）明：如圖，，AEC=ABC，，OFBC，BFD=90°，DBF=90°，ABC+DBF=90°，即OBD=90°，OB，BD是的線（）明：連AC如圖2所：OFBC，

，CAE=ECB，CEA=，

△，

，=EH?EA（）：連接，圖3所：AB是的徑，，O的半徑為，BAE=，，?sinBAE=5×=3EA=

=4，

，，

=EH，，在eq\o\ac(△,)中，.【解析】【分析】（）要證是O的切線，只需，因?yàn)锽OD=90°，所以只須證即可由圓周定和已知條件易得，則∠OBC+BOD=90°=ODB+，由三角內(nèi)和定理即可得；（）接AC要證CE2=EH；需eq\o\ac(△,)△AEC，已有公共AEC，根據(jù)圓周角定理可得CAE=，即可eq\o\ac(△,)CEH△AEC，可得比例式求解；（）接BE，解直角三角和角三角形BEH即可求解。2．如圖，在eq\o\ac(△,)中，，，點(diǎn)D、分是邊、的點(diǎn)，連接，eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（）題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α=0°時(shí)（）展探究

=________；當(dāng)時(shí)

．試判斷：當(dāng)0°α＜360°時(shí)（）題解決

的大小有無變化？請僅就圖2的形給出證明．eq\o\ac(△,當(dāng))旋轉(zhuǎn)至，，三共線時(shí)，直接寫出線段BD的長．【答案】（）；（）：如圖，當(dāng)0°≤＜時(shí)，ECA=，又

，的大小沒有變化，，DCB，（）：如圖，

，，，AD，

AD=AD=BC，，，四形是形，BD=AC=

．②如4，連接BD，過點(diǎn)D作的線交AC于，點(diǎn)作AC的垂線交于P，

，，，，AD=點(diǎn)D、分別是邊BC、的點(diǎn)，

，AE=AD-DE=8-2=6，由（）可，

=2，BD=

．綜上所述，的長為

或．【解析】【解答】（①當(dāng)α=0°，eq\o\ac(△,Rt)中B=90°，點(diǎn)D、分別是邊BC、的點(diǎn)，

，②如1，

，．

，當(dāng)時(shí)，可得，

，【分析】（）當(dāng)α=0°時(shí)，eq\o\ac(△,)ABC中，根據(jù)勾股定理算出AC的長，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AE,BD的，從而得出答案②圖1，α=180°時(shí)根平行線分線段成比例定理得出AE=BCBD,再據(jù)比例的性質(zhì)得出AEBD=AC從而得出答案。（）0°≤＜時(shí)EB的大小沒有變化，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ECD=，進(jìn)而得出ECA=DCB，根據(jù)DC=ACBC=,根兩邊對應(yīng)成比例，及夾角相等的三角形相似得eq\o\ac(△,)ECA△DCB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AEDC=

;（）如圖，在eq\o\ac(△,)中根據(jù)勾股定理得出AD的長，根據(jù)兩組對邊分別相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形得出四邊形

是形，根據(jù)矩形對角線相等得出BD=AC=

；如，連接，點(diǎn)作AC的垂線交AC于Q，點(diǎn)作的線交AC于點(diǎn)P，eq\o\ac(△,)ADC中利用勾股定理得出AD的，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出DE的長，根據(jù)AE=AD-DE算的長，由2）可得AEBD=,從得出的度。3．定義：如圖，若點(diǎn)D在條件的點(diǎn)為的理點(diǎn)

的邊AB上，且滿足

，則稱滿足這樣（）圖，點(diǎn)D是

的邊AB的中點(diǎn)，，，判斷點(diǎn)D是不是

的理點(diǎn)，并說明理由；（）圖，

中，，，，若點(diǎn)是

的

“理點(diǎn)，CD的長；（）圖已平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

，，為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足

，在y軸是否存在一點(diǎn)D，使點(diǎn)，，，D中的某一點(diǎn)是其余三點(diǎn)圍成的三角形“理想點(diǎn)”若在，請求出點(diǎn)的標(biāo)；若不存在，請說明理.【答案】（）：結(jié)論：點(diǎn)D是

的理想點(diǎn).理由：如圖

中，是AB中點(diǎn)，，

，，

，，∽點(diǎn)D是（）：如圖

，，，，的理點(diǎn)，中，點(diǎn)D是

的理點(diǎn)，或

，當(dāng)當(dāng)

時(shí)，，，，時(shí)，同法證明：，

在

中，

，，，.（）：如圖

，，中，存在有三種情形：過點(diǎn)作

交CB的長線于M，作，，

軸于，，，

，，，，

，，設(shè)，

，，

，，，，，，解得

或

舍棄，經(jīng)檢驗(yàn)

是分式方程的解，，

，①當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)A是

的理點(diǎn)設(shè)

，，

，

，

解得，.②當(dāng)易知：

，，時(shí)，點(diǎn)A是，

的理點(diǎn).，.③當(dāng)易知：

時(shí)，點(diǎn)B是，

的理點(diǎn).，.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐為【解析】【分析】（）論：點(diǎn)D是

或

或.的理點(diǎn)只證明

∽即可解決問題；（）要證明

即可解決問題；（）圖

中，存在

有三種情形：過點(diǎn)A作

交CB的長線于M，

軸于

構(gòu)造全等三角形，利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程求出點(diǎn)C坐，分三情形求解即可解決問題；4．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax+bx-5與x軸于A(-1，，B(5，兩點(diǎn)，與y軸與點(diǎn)（）拋物線函數(shù)表達(dá);（）點(diǎn)是y軸的點(diǎn)，且以B、、為點(diǎn)的三角形eq\o\ac(△,與)相，求點(diǎn)D的;（）圖，軸與拋物線相交于點(diǎn)E，是線CE下拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與、CE分相交于點(diǎn)F，試探求當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)到何處時(shí)，四邊CHEF的積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)及最大面.【答案】（）：把，B(5，代y=ax+bx-5可

，解得二次函數(shù)的解析式為y=x-4x-5.（）：如圖令，y=?5，C(0,?5)OC=OBOBC=，AB=6,BC=5

，要使以為點(diǎn)的三角形eq\o\ac(△,與)相,則

或，當(dāng)CD=AB=6，，

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，，，D(0,，即：的標(biāo)(或0,；（）：設(shè)H(t，2-4t-5)x軸，

，又因?yàn)辄c(diǎn)E在物線上，即

，解得（去）

BC所直線解析式為y=x-5,

則

，而是值，當(dāng)HF的值最大時(shí)，四邊形有最大面積。當(dāng)

時(shí)，HF取得最大值，四邊形CHEF的大面積為,此時(shí)H(，

)【解析】【析】（）據(jù)待定數(shù)法直接確定出拋物線解析式；（）兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點(diǎn)D的標(biāo)；（）求出直線BC的析式，進(jìn)而求出四邊形的積的函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大值；5．（）題發(fā)現(xiàn)如①，正方形AEFG的邊分別在正方形ABCD的AB和上連接①寫線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系；②寫直線CF與DG所夾銳角的度.（）展探究如圖，將正方形AEFG繞A逆針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（）的論是否仍然成立，請利

用圖進(jìn)說.（）題解決如圖，eq\o\ac(△,)都等腰直角三角形DAE=90°，，為的點(diǎn)若D在直線BC上動(dòng)，連接，則在點(diǎn)D的動(dòng)過程中，線段OE的的最小值（直接寫出結(jié)果）【答案】（）（）：如圖

DG，①連AC在正方形中延長CF交DG與H點(diǎn)BCD=45,設(shè)，得AC=a=AD,同理在正方形AEFG中，F(xiàn)AG=45,AF=

AG,CAD=FAG,3

CAD-2=又DAG,=CF=DG;②eq\o\ac(△,)，

4=，ACD=6+7=135，

6=45，eq\o\ac(△,)中，CHD=180-135=45，

（）的結(jié)論然成立（）的小為

.

【解析】【解答】（）圖：由,可得BAD=CAE,又可eq\o\ac(△,)CAE,ACE=ABC=45,又

,

BCE=90即CEBC,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，CE時(shí)OE最短，此時(shí)OEC為腰直角三角形，OC=AC=2,由等腰直角三角形性質(zhì)易得，OE=

，OE的小值為.【分析】（）易CF=

DG;

；連、在方形ABCD中，可得DAG

=,

CF=，CHD中CHD=180-135=45，（）的結(jié)論否仍然成立；3OECE時(shí)OE最，此時(shí)OE=CE,OEC為等腰直角三角形，可得OE的值.6．若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另?xiàng)l邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．（）eq\o\ac(△,)是比例三角AB=2，BC=3．直接寫出所有滿條件的AC的；（）圖1，四形中，，角線BD平分ABC，BAC=ADC求證eq\o\ac(△,)ABC是比例三角形；（）圖2，（）條件下，時(shí)求

的值?！敬鸢浮浚ǎ┗蚧颍ǎ┟鰾CCAD，又ADC，，

.

=

，即CA2=BC·AD，又BC，ADB=，BD平，ABD=，ADB=，AB=ADCA

，ABC是例三角形.（）：如圖過點(diǎn)A作BD于點(diǎn)H,AB=AD,BH=BD,，BHA=又DBC,ABHDBC,

=,AB·BC=DB·BH,AB·BC=

,又AB·BC=AC2

=AC2

=.【解析】【解答】解：（）已eq\o\ac(△,知)是比例三角形，依題可得：①當(dāng)AB時(shí)，，．4=3AC，；

②CB，，．9=2AC，；③AC，，．=2×3，.綜上所述：的長為：或或

.【分析】（）比例三角形的定義分三種情況討論當(dāng)AB2=BC·AC時(shí)，，③AC，入CB、的值分別求得長（）根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定得ABC，相似三形的性質(zhì)得CA=BC·AD；根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義ADB=ABD，據(jù)等腰三角形等角對等邊得AB=AD，此代入上式即可得.（）圖，過A作AH于點(diǎn)H,根等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知由似三角形的判定和性質(zhì)得AB·BC=DB·BH,AB·BC=BD聯(lián)立（）的論即可得出答.7．已知：B兩在直線l的一側(cè)，線段AO，均直線的線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持不，BP邊與直線相于點(diǎn)．（）P與O重時(shí)（如圖所），設(shè)點(diǎn)是AO的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形OCBM是方形；（）利用如所的情形，求證：

=

；（）

，且當(dāng)MO=2PO時(shí)請直接寫出AB和PB的．【答案】（）：2BM=AO，2CO=AO，BM=CO，AOBM四形OCBM是行邊形，

，OCBM是形，ABP=90°，C是AO的點(diǎn)，，矩OCBM是方（）：連接AP、，ABP=AOP=90°，A、B、、四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可知：APB=AOB，AOBMAOB=，APB=OBM，APB△OBM，（）：當(dāng)點(diǎn)P在O的側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作BD于，易eq\o\ac(△,證)∽△，

，易證：四邊形DBMO是矩形，BD=MO，，，

，

，BM=

，

，

，易eq\o\ac(△,)ADB△ABE，AB

=AD，AE=AD+DE=

，AB=

，由勾股定理可知BE=易證eq\o\ac(△,)PEO

，

，

；當(dāng)點(diǎn)P在的側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作BD于，，點(diǎn)是OM的中點(diǎn)，設(shè)PM=x，BD=2x，AOM=，AO、、四共圓，四形是內(nèi)接四邊形，A，△，

，又易證四邊形ODBM是矩形，，解得：

，，，

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABBD=2x=2由勾股定理可知AB=3

，BM=3【解析】【分析】（）據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊是平行四邊形，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出OCBM是形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形正方形得出結(jié)論；（）接AP、，據(jù)ABP=AOP=90°，斷出、、、四共圓，由圓周角定理可知：APB=，據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出OBM，據(jù)等量代換得出APB=OBM，從而判斷出OBM，據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得

;（）點(diǎn)在O的左側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作BD于D，eq\o\ac(△,)△，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

,易：四邊形DBMO是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，OD=BM，，進(jìn)而得出BM,OE,DE的長，易eq\o\ac(△,)△ABE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出2=AD，而得出AE,AB的長，由勾股定理可得BF的長，易證：△PBM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BE3，根據(jù)比例式得出PB的長；當(dāng)點(diǎn)P在O的側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作于D設(shè)PM=x，BD=2x，ABP=90°得出四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，而判斷出ABD△PBM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BM，據(jù)比例式得出x的，進(jìn)而得出，BP的。8．如圖，在eq\o\ac(△,)中C=90°，點(diǎn)A、的標(biāo)分別為（，）（，），點(diǎn)B在軸上，點(diǎn)B的標(biāo)為（，），拋物線﹣+bx+c經(jīng)、兩．（）該拋物所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（）P是拋物線上的一點(diǎn)，

=時(shí)，求點(diǎn)P的標(biāo)；（）點(diǎn)由B出，以每秒個(gè)位的速沿邊BCCA向移動(dòng)，秒后，點(diǎn)M也由點(diǎn)B出，以每秒個(gè)位的速度沿線段BO向點(diǎn)O移，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)N的動(dòng)時(shí)間為秒當(dāng)MNAB時(shí)，請直接寫出t的，不必寫出解答過程．

【答案】（）：將點(diǎn)A（﹣，）（，），代入拋物線y=﹣+bx+c中得

，解得拋線﹣2+2x+5.（）：點(diǎn)（-1,2），（），（）BCx軸AC=4BC=2，設(shè)直線AB為y=mx+n,

，將點(diǎn)A（），（，代入可得，

，解得，直AB為y=設(shè)點(diǎn)（，），

），過點(diǎn)P作PNx軸交直線AB于M則Mx即

，，或，

解得

，則點(diǎn)P

.（）：當(dāng)

時(shí)，如圖1，點(diǎn)N在的線段上

，BM=

，MNAB又（），3,0），（）x軸，BCy軸，

，又MBN=ACB=90°，BNM~△，

，解得t=.當(dāng)

，則，時(shí)，點(diǎn)在線段AC上，如圖，MN與AB交于點(diǎn)，BM=,

由（-1,2，B(3,0)，得AB=ADN=∠DAN=CAB,ADN~，

，設(shè)AD=a，BD=,則=，則a=CAB,，

；

=，則解得

.綜上，

.【解析】【分析】（）點(diǎn)A（﹣，）C（，），代入拋物線y=x+bx+c中聯(lián)立方程組解答即可求出和c的；2）由A（，B（）C（）求出直線的解析式和，而求出軸，交直線于點(diǎn)，則M（，

.設(shè)PP（，），可得

），過點(diǎn)P作PNx代入求出P的坐標(biāo)x的值，再代入拋物線的解析式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；3）首先要明確時(shí)間t表示點(diǎn)N運(yùn)的時(shí)間，由點(diǎn)，的度可求出它們當(dāng)?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t，其中的較小值為t所取到的最大值；由點(diǎn)M只線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在段BC和線段上動(dòng)，則要分兩部分進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上和當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上，

并分別求出相應(yīng)時(shí)間的值范圍；結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)得到相應(yīng)邊成比例，列方程解答即.9如圖，已知拋物線

過點(diǎn)

和B

，過點(diǎn)A作直線AC//x軸交y軸與點(diǎn)。（）拋物線解析式；（）拋物線取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作線AC的垂線，垂足為D，接OA，得以A，，為點(diǎn)三角形eq\o\ac(△,)AOC相，求出對應(yīng)點(diǎn)P的標(biāo)；（）物線上是否在點(diǎn)使得在，請說明理由?！敬鸢浮浚ǎ狐c(diǎn)、在物線上，

?若在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存

，解得：拋線解析式為x-（）P在直線AD上時(shí)，

設(shè)坐標(biāo)為x

），則有AD=x-

，PD=

，eq\o\ac(△,)OCA△時(shí)

，即，

整理得3x-9解得：

x+18=2，3x2-11，，即x=此時(shí)（

或x=

（舍去））；eq\o\ac(△,)OCA△PDA時(shí)，

，即

，整理得：解得：

，即x=4

，即-或（去），此時(shí)（,6）當(dāng)點(diǎn)（），也滿eq\o\ac(△,)△；當(dāng)在直線AD下時(shí)，同理可得，的坐標(biāo)為（

），綜上，的坐標(biāo)為（

）或（,6）（

）或（）（）：A

，

,OC=3，,=·OC·AC=·OA·h=

，，又

=

，AOQ邊上高3h=,過作OA,取OM=，點(diǎn)M作MNOA交y軸于點(diǎn)，M作x軸（圖），

,OA=2,AOC==30°，又MNOA，OM，，，即（），MH=OM=,M

=，）

,設(shè)直線MN解式為：y=kx+b，

，直MN解析式為：

x+9，x-（x=3

x-18=0,）（,x=-2

，），

或

，，）（點(diǎn)坐標(biāo)3拋線上是否存點(diǎn)，得

，）

.【解析】【析】（1）、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線析式得到一個(gè)二元一次方程方程

組，解之即可得拋物線解析式（）P坐為，的值，即可確定出坐標(biāo)。

），表示出與，由相似分兩種況得比例求出x（）據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)得AC=，勾股定理得OA=2

,根據(jù)三角形面積公式可得邊上的高h(yuǎn)=

，又

=

得AOQ邊OA上高；O作OA,截OM=，過點(diǎn)作MNOA交軸于點(diǎn)N，M作x軸（圖），根據(jù)直角三角形中，度對的直角邊等于斜邊的一半，從而求出

（0,9），在eq\o\ac(△,)MOH中，根據(jù)直角三角形性質(zhì)和勾股定理得M，）；用待定系數(shù)法求出直線MN解式，再講直線MN和拋物線解析式聯(lián)立即可Q點(diǎn)坐標(biāo)10．圖，已知一次函數(shù)y=﹣x+4的象是直線l，設(shè)直線分別與y軸、軸于點(diǎn)A、B.（）線段的長度；（）點(diǎn)在射線上將點(diǎn)M繞A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到，點(diǎn)N為心，NA的長為半徑作N.①當(dāng)N與x軸切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②在①的條件下，設(shè)線AN與x軸交于點(diǎn)C，與N的一個(gè)交點(diǎn)為，連接MD交x軸于點(diǎn)E直線m過點(diǎn)N分與軸直線交點(diǎn)、，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)相時(shí)，求點(diǎn)的坐.【答案】（）：當(dāng)x=0時(shí)，A（0，4），OA=4，當(dāng)時(shí)，x+4=0x=3，

B（，），OB=3，由勾股定理得：AB=5（）：如圖，過作NHy軸，M作MEy軸，tan

，設(shè)EM=3x，，，M（，）由旋轉(zhuǎn)得：AM=AN，MAN=90°EAM+，EAM+，AME，AHNMEAN與軸切，設(shè)切點(diǎn)為，接，x軸，則，2x=4，x=2，M（，）；②如2，①知（，10，

，（4）（，）設(shè)直線DM：，把，）M（，）代入得：，解得：，直DM的解析式為：，直DM交x軸E，當(dāng)y=0時(shí)，x=8，E8，0），由知：N與x軸切，切點(diǎn)為G，G（，），E與點(diǎn)重，OAB=，eq\o\ac(△,)CDE相時(shí)，頂點(diǎn)必頂點(diǎn)對，分兩種情況：i）eq\o\ac(△,)DCE△時(shí)如2，，QNA=DNF，，AONE，ACO△，

，

，

，連接BN，AB=BE=5，BAN=，ANB=，，NDE=，CNE=NDE+NEDANB=NDE，BNDEeq\o\ac(△,)中

，ANB=NDE=

，DF=4

，，，QNA=DNF，

，AQ=20，

，

，設(shè)，AH=4x，則，，x=4，QH=3x=12，AH=16，Q-12，），同理易得：直線的析式：x+14，（）；ii）eq\o\ac(△,)DCE△時(shí)如圖3，

，ANB=CDE，，PNE，PNE=ANB，B與重，，OP=AP-OA=10-4=6，（，）；綜上所述eq\o\ac(△,)與CDE相似時(shí)，點(diǎn)P的標(biāo)的坐標(biāo)，14或，-6）【解析】【分析】（）一次函數(shù)解析式容易求得AB的標(biāo)，利用勾股定理可求得AB的長度；（）根據(jù)同角的三角函數(shù)得tan

，設(shè)EM=3x，則AM=5x得M（，-4x+4）證eq\o\ac(△,)MEA，則，根據(jù)，式可得的值，計(jì)算M的坐標(biāo)即可；②如2，計(jì)算E與G重，易QAP=∠，所eq\o\ac(△,)APQeq\o\ac(△,)CDE相似時(shí)，頂點(diǎn)C必頂點(diǎn)A對應(yīng)，可分兩種情況進(jìn)行討論：）當(dāng)時(shí)，證明ACO△NCE，比例式可得CO=

，根據(jù)三角函數(shù)得：tanQNA=tan

，，則QAH=tan

，設(shè)，，則AQ=5x，出x的，得0）；ii）eq\o\ac(△,)DCE△時(shí)如圖3，證B與Q重合，由AN=AP可（-6）11．圖所，eq\o\ac(△,)ABC中點(diǎn)是上點(diǎn)，過點(diǎn)O的線與AB，的延長線分別相交于點(diǎn)，N.

（）問題引】若點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，

，求

的值；溫馨提示：過點(diǎn)A作的行線交的延長線于點(diǎn)（）探索研】若點(diǎn)是AC上任意一點(diǎn)不，重)，求證：

；（）拓展應(yīng)】如圖所，點(diǎn)是ABC內(nèi)意一點(diǎn)，射線，，CP分別交，，于，E，若，，

的值．【答案】（）解：過點(diǎn)A作MN的行線交BN的延長線于點(diǎn)G.ON，∴.O是AC的點(diǎn)，＝，＝CN.MN，

，.（）：證明1)可知，

=1（）：eq\o\ac(△,)ABD中點(diǎn)是上點(diǎn)，過點(diǎn)P的線與AB，的延長線分別相交于點(diǎn)，由2)可得交于點(diǎn)，由2)可

.在ACD中過點(diǎn)P的直線與，CD的長線分別相

【解析】【分析】（）AG交BN延線于點(diǎn),eq\o\ac(△,)ABG△得

,即

,同理可證OCN得進(jìn)行求解

,結(jié)AO=CO得NGCN從而由(2)由可知,(3)由2)可在中有

,在中

,

,從而

,因可:

.12．圖，eq\o\ac(△,)ABC中在邊上取一點(diǎn)P，在AC