八年級幾何輔助線專的題目訓(xùn)練

實用標(biāo)準(zhǔn)文案常見輔助線作法法：遇線倍長中線線以自角平分線上的某一點向角的以可以：遇到有二條線段長之和等于第三條線法：有一個角為60度或度的把該角添線后構(gòu)成等邊形度、法3060度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成面積精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案一、等三角形“三線合一”法

如圖，已ABC中，∠＝90°，＝AC，平分∠ABC，⊥BDE，求證：BD.中考連：（2014州，第7題，3分如圖，已知∠，在邊OA，=12，點，在上，PM，若MN，則=）A．B．二、倍中線（段）造等

C．

D．6

A例1杯”試題）已知，如圖△ABC，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是________.

BDC例2如圖eq\o\ac(△,，)ABC中EF分別在ABAC上DE⊥DFD是中點試比較BE+CF與EF的大小.AEFB

D

C例3、如圖，△ABC中，，E是DC的中點，求證：AD分∠BAE.精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案DEC中考連：（09崇文）以的兩邊AB為腰分別向外作等腰Rt和等腰RtACE，BADCAE

連接DEMN分別是BCDE的中點．探究AM與DE的關(guān)系）如圖①

當(dāng)為直角三角形時，AM與的位置關(guān)系是，線段AMDE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰

繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)<90)后，如圖②所示）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．三、借角平分造全等1如O，E精彩文檔

A

圖，已知在△ABC，∠B=60°，△ABC的角平分線相交于點求證：OB

D

C

B實用標(biāo)準(zhǔn)文案B2、如圖，已知點是∠的平分線上一點，CE⊥AB于E，B、D分別在AM、AN上，且AE=（）.問：∠1和∠2有何關(guān)系？中考連：(2012年北)如圖①OP是∠的平分線請你利用該圖形畫一對以所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在ABC，∠ACB是直角，∠B°，AD、分別是∠BAC、BCA的平分線、相交于點F。請你判斷并寫FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2如圖③在△中如果∠不是直角而(1)中的其它條件不變，請問你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立請證明若不成立，請說明理由。M

BO

P

E

FD

E

F

D圖①

N

A

圖②

C

A

圖③

C精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案四,垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端（2014廣賀州，第3分）如圖，等eq\o\ac(△,腰)ABC中，ABAC∠=15°，的直平分線MN交AC點D則∠的度數(shù)是．2、如圖，△ABC中，平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的理由）如果，，求AE、BE的長.AB

E

G

CFD中考連：（年廣東汕尾，第題分如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠，別以點A、為心，大于AC長半徑畫弧，兩弧相交于點MN，接，與、分交于點、E，連接．（1）求接出結(jié)果）（2）當(dāng)=3=5時求△ABE周長．精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案過直線外一點做已知直線的垂線五、截補短1、如圖，ABC中，AB=2AC，AD平，且，求證：CD⊥ACACBD

2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC。A

DB

C3、如圖，已知ABC60C400，，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別的角平分線。求證：ABP精彩文檔C

實用標(biāo)準(zhǔn)文案4、如圖，在四邊形中，BC＞BA,AD＝CD，BD平，求證：AD

B

C

5.如圖已知正方形ABCD為BC邊上任意一點，AF平分∠DAE．求證：AE－＝．6.如圖，∠ABC=60°，、CE分別平分∠，∠ACB，判斷AC的長與AE+CD的大小關(guān)系并證明.7.如圖Rt中，⊥AB于DAF平分∠于，交于，且∥AB交于，判斷GB的大小關(guān)系并證明。精彩文檔

E精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案E精彩文檔六、綜1、正方形ABCD中，BC的一點，F(xiàn)為CD的一點，，求∠EAF的度數(shù).

2圖，為等邊三角形M,分別BC,AC上CN，AM與交。的度數(shù)。3、已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，AB，∠120

，∠MBN

，∠MBN繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于，．當(dāng)∠繞點旋轉(zhuǎn)到AECF時（如圖1證CFEF．當(dāng)∠繞點旋轉(zhuǎn)到AE時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CFEF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．AAAMBBB

F

D

F

D

F

D

實用標(biāo)準(zhǔn)文案4、D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交于點E,F。B

（1）繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。AEM

C

F

AN5、在等ABC的兩邊AB、所在直線上分別有兩點MND為ABC外一點MDN60BDC120,BD=DC.探究M分別在直線AB、AC上移動時，BM、之間的數(shù)量關(guān)系的周長與等的周長L的關(guān)系．圖1

圖2

圖3（I）如圖1，當(dāng)點M、邊AB、上，且時，、NC、MN精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案Q之間的數(shù)量關(guān)系是；此時

；（II）如圖2，點M、N邊AB、AC，且當(dāng)DM，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（III如圖3，當(dāng)M、分別在邊AB、CA的延長線上時，若x，則Q=

（、L表示中考連2014撫順第25題12分已知：A′BC′≌ABC，∠A′′∠ACB=90°，ABC′=∠ABC=60°，A′可繞點旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中直線′和AA′相交于點D．（1）如圖1示，當(dāng)點C′在AB邊上時，判斷線段AD和線段AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）Rt△′BC′由圖1的位置旋轉(zhuǎn)到圖的位置時）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3將Rt△′BC由圖1的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)α0°≤α≤120°A、、A′三點在一條直線上時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案參考答案與提一、倍中（段造等例1知圖△ABC中中AD的取范圍是________.解：延長AD至EAE＝，BE，由三角形性質(zhì)知

AB-BE<2AD<AB+BE

故AD的值范圍是1<AD<4

C例2、如圖，△ABC中E、分別在、AC上，DE⊥DF，是中點，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍中,腰三角形“三線合一”延長FD至使＝2EF連BG，EG,E

A顯然BG＝FC，在△EFG，注意到DE⊥，等腰三角形的三線合一知

B

D

FCEG＝在△BEG，由三角形性質(zhì)知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如圖，中BD=DC=AC，是DC的中，求證：AD平分∠BAE.精彩文檔

ACE實用ACEABDEC解：延長AE至GAG＝，BG，顯然DG＝AC，∠GDC=∠由于DC=AC，∠∠DAC在△ADB△ADG中，BD＝AC=DG，＝，∠ADB=∠∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△≌△ADG，有∠BAD=∠DAG，即AD平分BAE應(yīng)用：1崇二模）以的邊BAC為腰分別向外作等腰Rt

ABD

和等腰Rt，

BADCAE

連接DE，MN別是C、的中點．探究：AM與DE位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（）如圖①當(dāng)為角三角形時與的位置關(guān)系是，線段與的數(shù)量關(guān)系是；（圖中的等R

ABD

繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<后②所示問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．解）EDAM，ED；證明：延長AMG，MG，BG，則是行四邊形∴AC，BAC

D又∵BAC180精彩文檔

N

H

實用標(biāo)準(zhǔn)文案∴ABGDAE再證：ABG∴AMEDA延長交DE于∵BAG∴90∴AM（2結(jié)論仍然成立．證明：如圖，延長CA至，使AC，F(xiàn)A交點P，連接BF∵DABAAF

F∴90EAD

D∵在和EAD中

NEADBA∴（）

∴BFDEF∴∴FBDE又∵AF，CMMB

M

C∴AM//FB且AM

FB∴AM，二、截補

DE1、圖，

中，AB=2AC，平分

，且AD=BD，證CD⊥解長）在AB上中點，連FD△ADB等腰三角形，F(xiàn)是AB點，由三線合一知DF⊥AB，故AFD＝90°△≌ADC（SAS）∠＝AFD＝90即：CD⊥精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案2、圖，∥，EA,EB分平分∠∠，CD過點E，求證AB＝AD+BC解長）在AB上點F，AF＝AD，連FE△≌AFE（SAS）∠＝AFE

A

DE∠ADE+∠BCE180∠AFE+∠BFE180故∠＝EFB△≌CBE（AAS）故有BF＝BC從而;AB＝AD+BC

B

C3、圖，已知在ABC內(nèi)

BAC

，C

，，Q分別在BC，CA上并且AP，BQ分別是BAC，的平分線。求證BQ+AQ=AB+BP解短,計數(shù)值法）延長AB至D，使BD＝BP，連

A在等腰△BPD中可得BDP＝40°

B從而∠＝40°＝∠

QP精彩文檔C

實用標(biāo)準(zhǔn)文案△ADP≌△ACP（ASA）故AD又∠＝∠QCB故＝QCBD從而BQ+AQ=AB+BP4、，在四邊形ABCD，BC分

ABC

，求證：

AC180

0解法延長BA至，使BF，F(xiàn)D

eq\o\ac(△,≌)△BDC（SAS）故∠∠DCB又AD故在等腰△中

∠DFB∠DAF

故有∠BCD＝180°5、在中，AB∠1∠2為上任一，;＞PB-PC1PBD解法延長AC至，使AF，PDeq\o\ac(△,≌)△AFP（SAS）故BP由三角形性質(zhì)知PB＝PF－PC<＝AB－AC應(yīng)用：精彩文檔

A2

C

實用標(biāo)準(zhǔn)文案分析：題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。解：有BCADAE連接，過作//BC并AC于點則可證AEF為等邊三角形即AE，AFE60∴CFE120又∵AD//BC，∴BAD又∵60∴FEC

DFD

C在與中CFE，，F(xiàn)EC∴FCE∴∴AD

C點評：題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。三、四、借角分造等1、圖，已知在中，B=60°△ABC的平分線AD,CE相交于點O，證OE=OD，精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案DC+AE證明(角平分線在三種添輔助線計算數(shù)值法)∠B=60,則∠BAC+∠BCA=120度AD,CE為角平分線,則∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.

在AC上截取線段連接

E又AO=AO;∠OAE=OAF.⊿OAEΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.

O

則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、圖，△中，平∠BAC，⊥且平分，⊥于E，DF⊥于F.（1）明BE=CF的由）如果AB=

，AC=

，求AEBE的長解：(直平分線聯(lián)結(jié)線段兩)連BDDCDG垂直平分BC，BD＝

A由于AD平分BACDE⊥ABE，DF⊥AC于F，故有ED＝

B

E

F故eq\o\ac(△,RT)DBE≌eq\o\ac(△,RT)DFC（HL）故有BE＝CF。＝2AE＝（a+b）/2應(yīng)用：精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案、圖①，是MON的分線，請你利用該圖形畫一對以所直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（如圖②在△中ACB是角∠B=60°AD分是BAC∠BCA的平分線ADCE相于點F。請你判斷并寫出與FD之的數(shù)量關(guān)系；（）如圖③，在△中如果∠不直角，而中的其它條件不變，請問，你在1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。BM

BO

P

E

FD

E

F

D圖①

N

A

圖②

C

A

圖③

C(第圖)解）與FD之的數(shù)量關(guān)系為FEFD（2答）的結(jié)論FE仍然成立。證法一如圖，在上取AE，結(jié)∵，AF為共邊，∴AGF∴AFEAFG，F(xiàn)EFG∵BAD、分是、BCA的分線∴60

∴AFECFDAFG60∴60

F

D∵及FC為共邊∴CFGCFD∴FG

12G

3

4

C∴FE證法二如圖，過點分作FGAB于，F(xiàn)H于

圖∵BAD、分是、BCA的分線∴可得60F是ABC的心

∴60FHFG又∵

1

F

4

DH∴GEFHDF

2

3∴可證EGFDHF精彩文檔

圖

C

實用標(biāo)準(zhǔn)文案∴FE五、旋例1正形ABCD中E為BC上一F為CD上一BE+DF=EF求∠的數(shù)證明：將三角形ADF點A時針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，所以三角形AEF等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠GAB=BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+DAF=90所以∠EAF=45度例2D為腰斜邊AB的中，DM⊥DN,DM,DN分交BC,CA于E,F。(1)繞點D動時，求證DE=DF。(2)AB=2，求四邊形DECF的面積。解：計算數(shù)值)1）連接DC，D等腰

Rt

斜邊AB的中點，故有CD⊥AB，＝平∠＝9°ECD＝∠＝45由于DM⊥DN，有∠＝0°由于CD⊥，有∠CDA0°從而∠＝∠A＝故有△≌△ADF（ASA精彩文檔

（2）實用標(biāo)準(zhǔn)文案（2）故有DE=DFS=2,S=S=1△ABC四△ACD例3如圖

是邊長為3的邊三角形，

BDC

是等腰三形且

BDC120

0

，以D為頂點做個使其兩邊分別交AB于點于點連MN則的周長為；

解：(形補全,“截長法”或“補短法,計數(shù)值)AC的長線與BD的延長線交于點F，在線段CF上取點，使＝BM∵△ABC為等邊三角形，BCD為腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠∠DBC=60°=90°，∠DCE=180°∠ACD=180°-ABD=90°，又∵，BD=CD，∴△CDE，∴∠CDE=BDMDE=DM∠∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDC-MDN=120°-60°=60°∵在△DMN和△DEN中DM=DE∠∠DN=DN∴△DMN≌△，∴MN=NE精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案∵在△DMA和△中，DM=DE∠-∠∠CDE=EDF(∠∠BDM)∠DAM=∠∴△DMN≌△(AAS)∴的周長為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)用：、已知四邊形

中，

D，

BCCD

，

ABBC

，

∠120

，∠MBN60

，

∠

繞

點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

AD，DC

（它的長）于，F(xiàn)．當(dāng)

∠

繞

B

點旋轉(zhuǎn)到

AECF

時（如圖1證

AE

．當(dāng)

∠

繞

B

點旋轉(zhuǎn)到

AECF

時，在圖2和這種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段

AE，

，

EF

又有樣數(shù)關(guān)？寫出你的猜想，不需證明．AAAEBB

E

M

F

D

F

D

F

N

D

EM（圖1（圖2解），BCCDABBC，AE∴ABE（SAS∴，BE精彩文檔

（圖3

實用標(biāo)準(zhǔn)文案∵∴ABE30為邊三角形∴BFAE∴EF（2圖2成，圖不立。

12

BE證明圖，延長DC至K使CK，連接BK則

∴BEBKKBC∵60∴FBC60∴FBCKBC60∴60∴KBF

K

C

FN圖

MD∴KFEF∴KCCFEF即圖成立AE、、EF關(guān)系是AEEF城年一模）已:PA=直線AB的兩側(cè).

,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、兩點落在(1)如圖當(dāng)∠APB=45°,求AB及PD的長(2)當(dāng)∠APB化且其它條件不變,求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小分析助點作于點ERt中，已知APE，的值，根據(jù)三角函數(shù)可將，的值求出，由的值，可求BE值，在RtABE中，根據(jù)勾股定理可將的求出PD的有兩種解法一繞點A順針旋轉(zhuǎn)90可PADPD長為求，在Rt

中，可將PP

的值求出，在，據(jù)勾股定理可將求出；解法二：過點P作的行線，與DA的長線交于F，交于，在中可求出，EG的，進而可知的，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的求出；（2將點A順針旋轉(zhuǎn)90到的最大值即為P大，故當(dāng)B點共線時，P最值，根據(jù)P可P大，此時APB180精彩文檔

21010515實用標(biāo)準(zhǔn)文案21010515解）如圖，作PB點ED∵中APB452∴AEPE

2

C∵PB∴BEPE

B在中AEB∴AE②解法一如因為四邊形為方形可將PAD繞點A順針旋轉(zhuǎn)到PADPA

D∴PAP90

C∴PPPA

′∴PP

2

；EB解法二：如圖，過點作的平行線，與DA的長線交于F，設(shè)DA的長線交PB于．在AEG中得AG

AE101，EG，PGEGcosEAGcosABE33D在中，可得PGcoscosABE

10，F(xiàn)G

C在中可得

PF

AG

105

F

（2如所示將PAD繞A順針旋轉(zhuǎn)90到PD的大值即的最大值∵兩側(cè)

P，，PB、兩落在直線的∴當(dāng)B取得最大圖）

D

C

D

三共時C精彩文檔

′

′

實用標(biāo)準(zhǔn)文案此時，大值為6此時180、等邊

的兩邊AB、AC在直線上分別有兩點MND為

ABC

外點且MDN60

120

,BD=DC.探：當(dāng)MN分在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的長L的關(guān)系．圖

圖

圖（I）如圖1當(dāng)點M、N邊AB、上，且DM=DN時，BM、NC之的數(shù)量關(guān)系是；此時

Q

；（II）如圖，點N邊AC，且當(dāng)DM成立嗎？寫出的猜想并加以證明；

DN時猜想I）問的兩個結(jié)論還（III）如，當(dāng)M、分在邊AB、CA的長線上時，若x，Q=

（用x、L表分析（1）如果，DNM，因為BD，那DBC30也就有MBDNCD直角三角形MBD、中，因為BDDC，DMDN，據(jù)定理，兩三角形全等。那么BMNC，60角形NCD，NDCDN2，在三角形DNM中，MDN60，因此三角

是個等邊三角形，因此2NCBM，角形的長QMN精彩文檔

實用標(biāo)準(zhǔn)文案AMANMBNCABAC2，角形ABC的長AB，此:L:．（2如果DM，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E，使CEBM，接DE）我們已經(jīng)得出，MBD90么三角形M