河南省洛陽市2019-2020學年高二下學期期中考試數(shù)學（理）試題 Word版含解析

PAGE洛陽市2019——2020學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷(理)一?選擇題1.若復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)的虛部是（）A.i B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復數(shù)的除法法則可得，再根據(jù)共軛復數(shù)、復數(shù)虛部的概念即可得解.【詳解】由題意，所以的共軛復數(shù)，則的共軛復數(shù)的虛部為1.故選：C.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，考查了共軛復數(shù)及復數(shù)虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.用反證法證明命題：“設(shè)a，b，c為實數(shù)，滿足是無理數(shù)，則a，b，c至少有一個是無理數(shù)”時，假設(shè)正確的是（）A.假設(shè)a，b，c都是有理數(shù) B.假設(shè)a，b，c至少有一個是有理數(shù)C.假設(shè)a，b，c不都是無理數(shù) D.假設(shè)a，b，c至少有一個不是無理數(shù)【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合反證法的概念直接寫出原命題的否定，即可得解.【詳解】用反證法證明命題時，需要假設(shè)命題的否定是正確的，原命題的否定是“設(shè)a，b，c為實數(shù)，滿足是無理數(shù)，則a，b，c都不是無理數(shù)”即“設(shè)a，b，c為實數(shù)，滿足是無理數(shù)，則a，b，c都是有理數(shù)”.所以需要假設(shè)a，b，c都是有理數(shù).故選：A.【點睛】本題考查了反證法的概念辨析，關(guān)鍵是對于反證法概念的掌握，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的圖象如下圖，則函數(shù)在下列區(qū)間上平均變化率最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合平均變化率的概念即可得解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，由函數(shù)圖象可得，在區(qū)間上，即函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率小于0；在區(qū)間、、上時，且相同，由圖象可知函數(shù)在區(qū)間上的最大.所以函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率最大.故選：C.【點睛】本題考查了平均變化率的概念，關(guān)鍵是對知識點的準確掌握，屬于基礎(chǔ)題.4.有一段演繹推理：“若數(shù)列的前n項和為，則通項公式.已知數(shù)列的前n項和為，則通項公式”.對該演繹推理描述正確的是（）A.大前提錯誤，導致結(jié)論錯誤 B.小前提錯誤，導致結(jié)論錯誤C.推理形式錯誤，導致結(jié)論錯誤 D.以上演繹推理是正確的【答案】A【解析】【分析】根據(jù)演繹推理：三段論的推理過程即可判斷.【詳解】若數(shù)列的前n項和為，則通項公式，需，所以，則通項公式，，當時，，不滿足通項公式，即大前提錯誤，導致結(jié)論錯誤.故選：A【點睛】本題考查了演繹推理的三段論的推理過程，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求導，進而利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求解.【詳解】函數(shù)，，由，，可得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解三角不等式，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)的運算法則求出導函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知過原點的直線l與曲線相切，則由曲線，y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出直線l的方程，再確定出積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用導數(shù)和積分的關(guān)系完成本題的求解.【詳解】解：由已知的導函數(shù)為，設(shè)過原點的直線l與曲線相切于點，則，直線l的方程為，即，又直線l過原點，則，解得，所以直線l的方程為，由曲線，y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積為.故選：A.【點睛】本題考查曲邊圖形面積的計算問題，考查學生分析問題解決問題的能力和意識，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力和運算能力，考查學生對定積分與導數(shù)的聯(lián)系的認識，求定積分關(guān)鍵要找準被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于定積分的簡單應用問題.7.如圖：圖O內(nèi)切于正三角形，則，即，，從而得到結(jié)論：“正三角形的高等于它的內(nèi)切圓的半徑的3倍”；類比該結(jié)論到正四面體，可得到結(jié)論：“正四面體的高等于它的內(nèi)切球的半徑的a倍”，則實數(shù)（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用等體積，即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)正四面體的高為，底面積為，內(nèi)切球的半徑為，

則，

，則.

故選：B.【點睛】本題考查類比推理，考查等體積方法的運用，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ).8.若函數(shù)存在極值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)在定義域上存在極值點，令可得，換元，可得，則實數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，且.由題意可知，函數(shù)在定義域上存在極值點，由可得，令，則，則實數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，對于二次函數(shù)，當時，，對于二次方程，即，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)的極值點求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為導函數(shù)的零點，但要注意導函數(shù)的圖象與軸不能相切，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中等題.9.若，，，則P，Q的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】C【解析】【分析】對P，Q作商并化簡，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷與1的大小關(guān)系，即可得出P，Q的大小關(guān)系.【詳解】P，Q作商可得，令·，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，又，，所以，所以.故選：C【點睛】本題主要考查作商法比較大小，解題的關(guān)鍵是會構(gòu)造函數(shù)并判斷單調(diào)性.10.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術(shù)的融合，數(shù)學與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學方法論意義，如圖，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線.將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，若記圖①三角形的面積為，則第n個圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】每一個圖形的面積是前一個圖形面積的，根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：每一個圖形的面積是前一個圖形面積的，即面積為首項為，公比為的等比數(shù)列，故第n個圖中陰影部分的面積為.故選：D.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.11.已知b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取導數(shù)為1計算得到切點為，將切點代入直線，得到，換元利用均值不等式得到答案.【詳解】，則，則，當，，故切點為，將切點代入直線得到，，當時等號成立.故選：D.【點睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，均值不等式，意在考查學生的計算能力和應用能力，確定是解題的關(guān)鍵.12.關(guān)于x的方程有三個不等的實數(shù)解，，，且，則的值為（）A.e B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求導計算單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，設(shè)，代入化簡得到二次方程，計算根與系數(shù)關(guān)系，代入式子計算得到答案.【詳解】設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：設(shè)，，則，即，化簡整理得到：，故，，且，，.故選：B.【點睛】本題考查了求利用導數(shù)研究方程的解，意在考查學生的計算能力和應用能力，換元是解題的關(guān)鍵.二?填空題13.設(shè)復數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)運算化簡得到，再計算復數(shù)模得到答案.【詳解】，則，則.故答案為：.【點睛】本題考查了復數(shù)的計算，復數(shù)的模，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.14.___________【答案】2π【解析】【分析】為奇函數(shù)，，再利用定積分的幾何意義計算得到答案.【詳解】為奇函數(shù)，故，設(shè)，即，，對應半圓的面積為，故.故答案為：.【點睛】本題考查了定積分的計算，意在考查學生的計算能力和應用能力，轉(zhuǎn)化為對應半圓的面積是解題的關(guān)鍵.15.已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，增函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計算得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，故，故，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了利用導數(shù)確定單調(diào)性，利用單調(diào)性和奇偶性解不等式，意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.16.已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】求導得到，取得到，計算切線得到答案.【詳解】，則，取，故，，故切線方程為，取，解得，故最小值.故答案為：.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求最值，意在考查學生的計算能力和應用能力，轉(zhuǎn)化為切線方程是解題的關(guān)鍵.三?解答題17.已知m為實數(shù)，設(shè)復數(shù).（1）當復數(shù)為純虛數(shù)時，求m的值；（2）當復數(shù)對應的點在直線的上方，求m的取值范圍.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)復數(shù)的類型得到方程，解得答案.（2）直線的上方的點的坐標應滿足，代入數(shù)據(jù)解不等式得到答案.【詳解】（1）由題意得：，解得.（2）復數(shù)對應的點的坐標為，直線的上方的點的坐標應滿足，即：，解得或，∴m的取值范圍為.【點睛】本題考查了根據(jù)復數(shù)的類型和復數(shù)的對應點的位置求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.18.（1）已知，求證：；（2）若x，y都是正實數(shù)，且，用反證法證明：與中至少有一個成立.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可證明.（2）假設(shè)，，從而可得，，兩不等式相加即可找出矛盾點，即證.【詳解】（1），∵，∴，，，從而：，∴.（2）假設(shè)，，則，，所以，所以，與條件矛盾，所以假設(shè)不成立，即與中至少有一個成立.【點睛】本題考查了作差法證明不等式、反證法，反證法關(guān)鍵找出矛盾，屬于基礎(chǔ)題.19.不期而至的新冠肺炎疫情，牽動了億萬國人的心，全國各地紛紛捐贈物資馳援武漢.有一批捐贈物資需要通過輪船沿長江運送至武漢，已知該運送物資的輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知當速度為10海里/時時，燃料費是6元/時，而其他與速度無關(guān)的費用是96元/時，問當輪船的速度是多少時，航行1海里所需的費用總和最??？【答案】當輪船的速度為20海里/時時，航行1海里所需費用總和最小.【解析】【分析】設(shè)速度為海里/時的燃料費是p元/時，由題設(shè)的比例關(guān)系得，由數(shù)據(jù)可得，列出航行1海里的總費用為，再利用導數(shù)求出最值即可.【詳解】設(shè)速度為海里/時的燃料費是p元/時，由題設(shè)的比例關(guān)系得，其中k為比例系數(shù).由，，得，于是.設(shè)船的速度為海里/時，航行1海里所需的總費用為y元，而每小時所需的總費用是元，航行1海里所需時間為，所以航行1海里的總費用為.所以.令，解得.因為當時，；當時，，所以當時，y取得最小值.故當輪船的速度為20海里/時時，航行1海里所需費用總和最小.【點睛】本題考查了分式函數(shù)模型、利用導數(shù)求最值，考查了考生的分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.20.在各項為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想．【答案】(1)見解析.(2)見解析.【解析】試題分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計算，即可求得結(jié)論，猜想；（II）用數(shù)學歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時，變形利用歸納假設(shè)．試題解析：(1)當時，，∴或(舍,).當時，，∴．當時，，∴．猜想：.(2)證明：①當時，顯然成立．②假設(shè)時，成立，則當時，,即∴.由①、②可知，，.點睛：數(shù)學歸納法兩個步驟的關(guān)系：第一步是遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推的根據(jù)，兩個步驟缺一不可，有第一步無第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無第一步中，則第二步中的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)．只有把第一步結(jié)論與第二步結(jié)論聯(lián)系在一起，才可以斷定命題對所有的自然數(shù)n都成立．21.已知函數(shù)，（）．（1）若，求的極值；（2）若時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極大值是，的極小值是（2）【解析】【分析】（1），求導，判斷，變化求得極值；（2）解法一:分離a,求最值得a的范圍，解法二:，討論a的范圍得解【詳解】（1）當時，時，則，.當變化時，，變化狀態(tài)如下表：-10+0-0+

↗極大↘極小↗所以極大值是，的極小值是（2））等價于當時，恒成立解法一:當，等號成立，當，，設(shè)，由經(jīng)典不等式∴或者，，，∴，，又∴解法二:，，若，則，，∴，即不等式恒成立.（充分性）若，∴，，，，這與當時，恒成立相矛盾（必要性）【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的極值，考查不等式恒成立，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，考查計算能力，是中檔題22.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)區(qū)間上存在非負的極值，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）令可求得，求導后再令即可求得，