微積分課件及其答案

1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則全微分形式不變性小結(jié)思考題作業(yè)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的

求導(dǎo)法則第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈導(dǎo)法則)證1.

中間變量為一元函數(shù)的情形.定理且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算:多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),3

可微由于函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則4復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個的情況.定理推廣導(dǎo)數(shù)變量樹圖

三個中間變量稱為全導(dǎo)數(shù)(又稱鏈導(dǎo)公式).多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則5?項數(shù)問:每一項?中間變量函數(shù)對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)該中間變量對其指定自變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)).的個數(shù).函數(shù)對某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則6例設(shè)

求這是冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但用全導(dǎo)數(shù)公式較簡便.法二yuvx解法一可用取對數(shù)求導(dǎo)法計算.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則7多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)為則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計算

兩個中間變量

兩個自變量具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),2.的情形.8

變量樹圖uv多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則9解多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例

10中間變量多于兩個的情形類似地再推廣,復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計算:三個中間變量兩個自變量多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則11例設(shè)解自己畫變量樹

求多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則12只有一個中間變量即兩者的區(qū)別區(qū)別類似多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.的情形.把復(fù)合函數(shù)中的y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)把中的u及y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)13解

zuxyxy變量樹圖例多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則14

例設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

變量樹圖ursxt或記u對中間變量r,s的偏導(dǎo)數(shù)

注從而也是自變量x,t的復(fù)合函數(shù).

解都是x,t的函數(shù),

對抽象函數(shù)在求偏導(dǎo)數(shù)時,一定要設(shè)中間變量.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則15ursxt變量樹圖

設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則16ursxt變量樹圖

設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則17多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解練習(xí)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

且滿足2003年考研數(shù)學(xué)三,8分故18由例解現(xiàn)將把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中的形式:設(shè)

的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),函數(shù)換成極坐標(biāo)的函數(shù):及

以及函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù)來表達(dá).多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則19復(fù)合而成.ruθxy(1)及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則20得ruθxy多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則21(2)ruθxy設(shè)

的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則22同理可得(自己練)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則23兩式相加,得:多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則24多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例假設(shè)流體中一質(zhì)點的運動速度為其中由于質(zhì)點隨流體運動,故其位置也隨時間t而變化.試求質(zhì)點運動的加速度答案時變加速度位變加速度25

已知f(t)可微,證明滿足方程提示t,y

為中間變量,x,y

為自變量.引入中間變量,練習(xí)則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則26二、全微分形式不變性具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有全微分則有全微分全微分形式不變性的實質(zhì)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則27解例

通過全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù),比鏈導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)有時會顯得靈活方便.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則281994年研究生考題,計算,3分答案：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則練習(xí)291989年研究生考題,計算,5分

解多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則練習(xí)301990年研究生考題,計算,5分

解設(shè)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),練習(xí)311992年研究生考題,計算,5分

解設(shè)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則練習(xí)連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),32求在點(1,1)處可微,且設(shè)函數(shù)解2001年考研數(shù)學(xué)一,6分多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則練習(xí)由題設(shè)33多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(鏈導(dǎo)法則)全微分形式不變性(理解其實質(zhì))多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、小結(jié)(大體分三種情況)求抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)特別注意混合偏導(dǎo)34思考題多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確的是().35思考題解答令則兩邊對t求導(dǎo),得多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法