二次函數(shù)（單元總結(jié)）（解析版）

第二十二章二次函數(shù)單元總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a?注意：二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，而b?，二次函數(shù)y=ax（1）等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．（2）a?，??b?，??c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，【典例分析】1．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y=x（x+1） B．x2y=1C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—【答案】A【分析】利用二次函數(shù)的一般形式為：y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），進(jìn)而判斷得出即可．【詳解】A、該函數(shù)符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；B、整理后：y=1xC、整理后，該函數(shù)的自變量的最高次數(shù)是1，屬于一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、該函數(shù)屬于一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．2．二次函數(shù)y=3x﹣5x2+1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為________．【答案】﹣5、3、1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，判斷出二次函數(shù)y=3x-5x2+1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為多少即可．【詳解】解：二次函數(shù)y=3x-5x2+1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為-5、3、1．故答案為：-5、3、1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，要熟練掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．3．已知函數(shù)為二次函數(shù)，求m的值．【答案】m=﹣1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，列出一個(gè)式子即可解決問題．【詳解】解：由題意：m-1≠0m2+1=2∴m=-1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，記住二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，形如y=ax2+bx+c(a、b、c知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（重點(diǎn)）二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式：①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax-h2第一種：二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)（a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a>0向上0y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減??；x=0時(shí)，y有最小值0．a(chǎn)<0向下0y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁<0時(shí)，y隨x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0．第二種：二次函數(shù)y=axa的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a>0向上0y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減??；x=0時(shí)，y有最小值c．a(chǎn)<0向下0y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；x<0時(shí)，y隨x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值c．第三種：二次函數(shù)y=axa的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a>0向上h?X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而增大；x<h時(shí)，y隨x的增大而減小；x=h時(shí)，ya<0向下h?X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而減??；x<h時(shí)，y隨x的增大而增大；x=h時(shí)，y第四種：二次函數(shù)y=axa的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a>0向上h?X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而增大；x<h時(shí)，y隨x的增大而減??；x=h時(shí)，ya<0向下h?X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁<h時(shí)，y隨x的增大而增大；x=h時(shí)，y二次函數(shù)y=axy=ax-h2+k二次函數(shù)圖象的平移平移步驟：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax-h2+k保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”．【概括】左加右減，上加下減拋物線y=ax2+bx+c求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（難點(diǎn)）公式法：y=ax∴頂點(diǎn)是（-b2a配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=ax-h2+k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)【拋物線的性質(zhì)】由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.拋物線y=ax2+bx+c二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a（1）當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，a越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；（2）當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．【總結(jié)起來】a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小．一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．（1）在a>0的前提下，當(dāng)b>0時(shí)，-b2a<0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)（a、當(dāng)b=0時(shí)，-b2a=0當(dāng)b<0時(shí)，-b2a>0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)（a、（2）在a<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b>0時(shí)，-b2a>0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)（a、當(dāng)b=0時(shí)，-b2a=0當(dāng)b<0時(shí)，-b2a<0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)（a、【總結(jié)起來】在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．常數(shù)項(xiàng)c當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．【總結(jié)起來】c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．總之，只要a?，【典例分析】4．（2022·沙雅縣第二中學(xué)初三期中）函數(shù)y=﹣2x2先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得函數(shù)解析式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+2 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 C．y=﹣2（x+1）2+2 D．y=﹣2（x+1）2﹣2【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的平移口訣“左加右減，上加下減”即可得出答案.【詳解】解：函數(shù)y=﹣2x2先向右平移1個(gè)單位可得到：y=﹣2(x-1)2，再向下平移2個(gè)單位可得到：y=﹣2(x-1)2-2，故答案選擇B.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的平移和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，比較簡單.5.將拋物線y=(x-1)2A．y=(x-2)2B．【答案】D【解析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則，將拋物線y=(x-1再向下平移3個(gè)單位為：y=x26．（2022·湖北省武漢一初慧泉中學(xué)初三月考）二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象如圖所示，若點(diǎn)A（－1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在此函數(shù)圖象上，則y1，y2與y3的大小關(guān)系是A．y1＞y2＞y3． B．y2＞y1＞y3． C．y3＞y1＞y2． D．y3＞y2＞y1．【答案】B【分析】首先分別求出A、B、C三點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，然后根據(jù)拋物線開口向下時(shí)，哪個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越小，則這個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值越大，判斷出y1、y2、y3的大小關(guān)系即可．【詳解】解：A點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是：-1-1=2，

B點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是：2-1=1，

C點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是：4-1=3，

∵1＜2＜3，又有拋物線開口向下；

∴y2＞y1＞y3．

故答案為：y2＞y1＞【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：拋物線開口向下時(shí)，A、B、C三點(diǎn)，哪個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越小，則這個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值越大．7．二次函數(shù)y＝2(x-1)2＋3的圖象是一條拋物線，則下列說法錯(cuò)誤的是（A．拋物線開口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1C．拋物線的頂點(diǎn)是(1，3) D．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】二次函數(shù)y=2（x﹣1）2+3．∵a=2＞0，∴拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），對(duì)稱軸是直線x=1，故A，B，C正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．8.已知一次函數(shù)y=bax+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c在平面直角坐標(biāo)系中的圖象A． B． C．D．【答案】A【分析】由一次函數(shù)的圖象判斷出ba<0,c>0，再判斷二次函數(shù)的圖象特征，進(jìn)而求解【詳解】由一次函數(shù)的圖象可得：ba<0,c>0，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸=-b2a>0,與y軸的交點(diǎn)在正半軸，符合題意的只有【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷出ba9．（2022·山東省五蓮縣第二中學(xué)初三期末）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+8x+b的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】令x=0，求出兩個(gè)函數(shù)圖象在y軸上相交于同一點(diǎn)，再根據(jù)拋物線開口方向向上確定出a＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，從而得解．【詳解】解：x=0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y=b，所以，兩個(gè)函數(shù)圖象與y軸相交于同一點(diǎn)，故B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由A、C選項(xiàng)可知，拋物線開口方向向上，所以，a＞0，則一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過第一三象限，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．10．如圖是二次函y=ax2+bx+c的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（A．函數(shù)y的最大值是4 B．函數(shù)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱C．當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)-4<x<1時(shí)，函數(shù)值y>0【答案】D【解析】由二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象可知：（1）其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）；（2）圖象開口向下；（3）圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1∴選項(xiàng)A、B、C中的說法都是正確的.∵該函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x=-1，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-3，0），∴只有當(dāng)x的取值滿足：-3<x<1時(shí)，函數(shù)值y>0.∴選項(xiàng)D的說法錯(cuò)誤.故選D.知識(shí)點(diǎn)三拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程a①有兩個(gè)交點(diǎn)?Δ>0?拋物線與x軸相交；②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）?Δ=0?拋物線與x軸相切；③沒有交點(diǎn)?Δ<0?拋物線與x軸相離.【典例分析】11．（2022·湖北省武漢一初慧泉中學(xué)初三月考）拋物線y＝x2－2x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0． B．1． C．2． D．3．【答案】C【分析】當(dāng)x=0時(shí)，求出與y軸的縱坐標(biāo)；當(dāng)y=0時(shí)，求出關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+1=0的根的判別式的符號(hào)，從而確定該方程的根的個(gè)數(shù)，即拋物線y=x【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，當(dāng)y=0時(shí)，x2△=-2所以，該方程有兩個(gè)相等的解，即拋物線y=x2-2x+1與x綜上所述，拋物線y=x2-2x+1故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及一元二次方程的解法，其中令拋物線解析式中x=0，求出的y值即為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；令y=0，求出對(duì)應(yīng)的x的值，即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．12．拋物線y＝mx2﹣8x﹣8和x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義及拋物線與x軸有交點(diǎn)，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線y=mx2-8x-8∴m≠0解得：m≥﹣2且故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的定義以及解一元一次不等式組，牢記“當(dāng)Δ=b2-4ac≥013．（2022·云南中考模擬）已知點(diǎn)A（1，1）在拋物線y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上（1）求m、n的關(guān)系式；（2）若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求出它的解析式．【答案】（1）n＝2m；（2）y＝x2或y＝x2﹣4x+4．【分析】(1)把A(1,1)代入拋物線即可得到n與m的關(guān)系式；（2）根據(jù)頂點(diǎn)在x軸上則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是0，

4ac-b24a=0，根據(jù)公式求出n【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（1，1）代入y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1得：1＝12+（2m+1）×1﹣n﹣1，整理得：n＝2m，故m、n的關(guān)系式為：n＝2m；（2）∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，∴

4×1×-n-1∵n＝2m，∴代入上式化簡得，4m2+12m+5＝0，解得m＝﹣52或m＝﹣1當(dāng)m＝﹣52時(shí)，n＝﹣5，拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+4當(dāng)m＝﹣12時(shí)，n＝﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2∴拋物線的解析式為y＝x2或y＝x2﹣4x+4．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的解析和二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b2a，4ac-b14．（2022·張家界市民族中學(xué)初三月考）拋物線y=x2+2x+m與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】m＜1．【分析】拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△=b2-4ac＞0，從而求出m的取值范圍．【詳解】∵拋物線y=x2+2x+m與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴△=4-4m＞0，解得m＜1．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系．

△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；

△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；

△=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路（重點(diǎn)）三點(diǎn)式（帶入）1，已知拋物線y=ax=2\*Arabic2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三點(diǎn)，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=a(x-1)２+4，經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），求拋物線的解析式。頂點(diǎn)式（頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b2a，4ac-b1，已知拋物線y=x2-2ax+a2+b頂點(diǎn)為A（2，1），求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=4(x+a)2-2b的頂點(diǎn)為（3，1），求拋物線的解析式。交點(diǎn)式（帶入）1，已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知拋物線線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)（4，0），（1，0）求拋物線y=12a(x-2a)(x-b)定點(diǎn)式1、在直角坐標(biāo)系中，不論a取何值，拋物線y=-12x2+5-a2x+2a﹣2經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)Q，直線y＝（a﹣2）x解：∵不論a取何值，拋物線y=-12x2+5-a2x+2a﹣2經(jīng)過∴當(dāng)a＝0，則y=-12x2+52x﹣2，當(dāng)a＝1時(shí)y=-1令y＝0，則-解得x＝4，∴Q（4，0），∵直線y＝（a﹣2）x+2經(jīng)過點(diǎn)Q．∴0＝（a﹣2）×4+2，解得a=3∴拋物線的解析式為y=-12x2+72、拋物線y=x2+(2m-1)x-2m與x軸的交點(diǎn)一定經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。解：拋物線與x軸相交，y=0

x2+(2m-1)x-2m=0

x2-2x+2mx-2m=0

x(x-2)+2m(X-2)=0

(x-2)(x+2m)=0

所以x=2必過（2,0）代入直線得m=-43

y=x2-1133，拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。解：直線y=mx-2m+2

y=m(x-2)+2直線經(jīng)過定點(diǎn)，則與m的取值無關(guān)，所以

x-2=0y=2

即定點(diǎn)坐標(biāo)為A（2,2）

所拋物線y=ax2+ax-2過(2,2)

2=6a-2

6a=4

a