二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

關(guān)于二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第1頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)表11121133114641151010511615201561第2頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二《詳解九章算法》記載的表?xiàng)钶x

三角楊輝

以上二項(xiàng)式系數(shù)表,早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書(shū)里，還說(shuō)明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它。這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。第3頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二a).表中每行兩端都是1。b).除1外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和。4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=當(dāng)n不大時(shí)，可用該表來(lái)求二項(xiàng)式系數(shù)。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因?yàn)椋憾?xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)111211331146411510105116152015612134610第4頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)先增后減對(duì)稱第5頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二函數(shù)定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函數(shù)。可看成是集合｛0，1，…，n｝到二項(xiàng)式系數(shù)的集合的映射。★對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)，r與之間也有對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：r012

…r…n…二項(xiàng)式系數(shù)與函數(shù)…第6頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，二項(xiàng)式系數(shù)可以看作是一個(gè)定義域?yàn)閧0，1，2，…，n}的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

即：r是自變量，r自變量二項(xiàng)式系數(shù)是函數(shù)值，組合數(shù)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。123二項(xiàng)式函數(shù)值二項(xiàng)式系數(shù)與函數(shù)第7頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二①當(dāng)n=6時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)（0≤r≤6）用圖象表示：7個(gè)孤立的點(diǎn)13……n…12322nOrf(r)6361420

①與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等1：對(duì)稱性2：增減性與最大值①先增后減②關(guān)于r=3對(duì)稱②r=3時(shí)取得最大值第8頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二f（r）n為奇數(shù)；如n=7f（r）rnO6152013n為偶數(shù)；如n=620103035On743①關(guān)于r=n/2對(duì)稱②r=3和r=4時(shí)取得最大值第9頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等性質(zhì)1：對(duì)稱性性質(zhì)2：增減性與最大值先增后減當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等，且同時(shí)取得最大值。即

即

和第10頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性知它的后半部是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大時(shí)；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)，相等，且同時(shí)取得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1)k?(k-1)=Ck-1n?kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相對(duì)于的增減情況由決定由于kn–k+1>1k<n+12因而2.增減性與最大值第11頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)3：各二項(xiàng)式系數(shù)的和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2n+++…+令x=1；賦值法令x=-1；0++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=++0nCC2n…++1nC…3nC=

也就是說(shuō),(1+x)n的展開(kāi)式中的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)和2n第12頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1、在(a＋b)20展開(kāi)式中，與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是().C課堂練習(xí):A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)CA.第15項(xiàng)B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng)D.第18項(xiàng)2、在(a＋b)11展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)().4，化簡(jiǎn)+++

+=3，已知展開(kāi)式中只有第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=______。18第13頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1、證明的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。ban)(+證明：1a10-CCn+rnan1-bban++++=bCCnnrnrnn……ban)(+在展開(kāi)式中1+=1n)(-Cnnn)(-10nC1nCC2n3nC--+…+b=-1，令a=1，則得++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=++0nCC2n…++1nC…3nC=就是即在ban)(+的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和。證畢。上述證明過(guò)程中用到了什么方法？賦值法例題講解第14頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二變式練習(xí)：+…7210)(+++=-72721xaxaxaax已知?jiǎng)t=+++6420aaaa71a=+++2aa…7=+++531aaaa簡(jiǎn)解:令x=1,則則令x=-1,7a++5a6a102++aaa+=++3a4a(=)-721?1-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a---)+(721?1=371…2…1由得71a=+++2aa…-212-)(2由得12+)(2由得-2-109410937=+++531aaaa-1094=+++6420aaaa1093(

x=0時(shí),a0=1)第15頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二123……n…123注意：

求解二項(xiàng)式系數(shù)和時(shí)，靈活運(yùn)用賦值法可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。通常選取賦值時(shí)?。?，1，0。第16頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期二小結(jié):

（2）數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想a圖象、圖表；b單