2024年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中自主招生數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中自主招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．（3分）實(shí)數(shù)x、y滿足，則＝．2．（3分）已知x2﹣3x﹣2＝0，則＝．3．（3分）關(guān)于x的不等式組有解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是．4．（3分）若有整數(shù)解，則y＝．5．（3分）不等式x2+|2x﹣6|≥a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則a的最大值為．6．（3分）已知四邊形ABCD為正方形，其中幾個(gè)陰影部分面積如圖所示，則四邊形BMQN的面積最大為．7．（3分）一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為a、a、b，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為b、b、a，其中a＞b，則＝．8．（3分）54張撲克牌，將第一張扔掉，第二張放到最后，第四張放到最后，依次進(jìn)行下去，這張是最開始的撲克牌順序從上面數(shù)的第張．9．（3分）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，則OM的最大值為．一、填空題10．已知：不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的根總是x＝111．正實(shí)數(shù)滿足xy+yz+zx≠1，且，（1）求的值；（2）證明：9（x+y）（y+z）（x+z）≥8xyz（xy+yz+zx）．

2024年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中自主招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1．（3分）實(shí)數(shù)x、y滿足，則＝﹣．【解答】解：∵實(shí)數(shù)x、y滿足，∴，即∵x≠y，∴，∴，解得x2+y2＝5，∴，∴．故答案為：﹣．2．（3分）已知x2﹣3x﹣2＝0，則＝2．【解答】解：∵x2﹣3x﹣7＝0，∴x2﹣3x＝2，原式＝（x﹣1）2﹣（x+1）＝x2﹣7x，∴原式＝2，故答案為：2．3．（3分）關(guān)于x的不等式組有解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜﹣1或a＞0．【解答】解：∵關(guān)于x的不等式組的解集有解，則a≠0，∴當(dāng)a＞0時(shí)，滿足不等式組 ；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式組 ，即 ，∵它有解集，∴，解得a＜﹣1，綜上可得，a的范圍為a＜﹣1或a＞3，故答案為：a＜﹣1或a＞0．4．（3分）若有整數(shù)解，則y＝4或﹣3．【解答】解：原方程整理得，∵x、y是整數(shù)，∴x2﹣x﹣12＝0且y﹣x＝0，解得x＝y(tǒng)＝2或x＝y(tǒng)＝﹣3，故答案為：4或﹣6．5．（3分）不等式x2+|2x﹣6|≥a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則a的最大值為5．【解答】解：由題意得，不等式x2+|2x﹣8|≥a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，∴a≤（x2+|2x﹣6|）min，∵，∴當(dāng)x≥3時(shí)，函數(shù)y＝（x+4）2﹣7的最小值是當(dāng)x＝2時(shí)取得，（3+1）7﹣7＝9即為5；當(dāng)x＜3時(shí)，函數(shù)y＝（x﹣1）7+5的最小值是當(dāng)x＝1時(shí)取得，即為2；∴（x2+|2x﹣5|）min＝5，∴a≤5，即a的最大值為3．故答案為：5．6．（3分）已知四邊形ABCD為正方形，其中幾個(gè)陰影部分面積如圖所示，則四邊形BMQN的面積最大為24．【解答】解：由題意得，∵四邊形ABCD為正方形，∴由正方形的性質(zhì)可得，AD＝AB＝BC＝CD．∵，∴．∵，∴S△AND＝S△ADM+S△BCM．∴S△AND﹣S△ADP﹣S△ONR＝S△ADM+S△BCM﹣S△ADP﹣S△QNR，即S四邊形DPQR＝S△APM+S四邊形BMQN+S△CNR，所以51＝15+S四邊形BMQN+12，即51＝27+S四邊形BMQN，解得S四邊形BMQN＝24．所以四邊形BMQN的面積最大為24．故答案為：24．7．（3分）一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為a、a、b，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為b、b、a，其中a＞b，則＝．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)BH＝x，∵AH2＝AB2﹣BH6＝AC2﹣CH2，∴a2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）4，∴，∵∠B＝∠DEF，∴cosB＝cosE，∴，∵DE＝DF，DT⊥EF，∴，∴，解得：或（負(fù)值舍去），故答案為：．8．（3分）54張撲克牌，將第一張扔掉，第二張放到最后，第四張放到最后，依次進(jìn)行下去，這張是最開始的撲克牌順序從上面數(shù)的第12張．【解答】解：第一次剩下能被2整除的數(shù)，第二次剩下能被4整除的數(shù)和54第一次剩下的卡片是：4，4，6，8，10，14，18，?，54；第二次剩下的卡片是：54，4，8，12，20，28，36，44，52，第三次剩下的卡片是：7，12，28，44，第四次剩下的卡片是：52，12，44，第五次剩下的卡片是：44，12；第六次剩下的卡片是：12，故答案為：12．9．（3分）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，則OM的最大值為+．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，∴C在⊙B上，且半徑為1，取OD＝OA＝5，連接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝CD，當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝6+1，∴OM＝CD＝++；故答案為．一、填空題10．已知：不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的根總是x＝1【解答】解：把x＝1代入原方程并整理得（b+4）k＝4﹣2a要使等式（b+4）k＝7﹣2a不論k取什么實(shí)數(shù)均成立，只有滿足，解之得，b＝﹣3．11．正實(shí)數(shù)滿足xy+yz+zx≠1，且，（1）求的值；（2）證明：9（x+y）（y+z）（x+z）≥8xyz（xy+yz+zx）．【解答】解：（1）由等式去分母得：z（x2﹣1）（y7﹣1）+x（y2﹣6）（z2﹣1）+y（z5﹣1）（x2﹣6）＝4xyzx2y4z+xy2z2+x5yz2﹣[x（y2+z3）+y（z2+x2）+z（x7+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝4xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝7，∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠8，∴xyz﹣（x+y+z）＝0，∴xyz＝x+y+z，∴原式＝；（2）由（1）得：xyz＝x+y+z，又∵x，y，z為正實(shí)數(shù)，∴3（x+y）（y+z）（z+x）—8xy