新教材人教b版必修第一冊3.1.3第1課時函數(shù)的奇偶性課件

第三章函數(shù)的奇偶性第1課時函數(shù)的奇偶性學習目標XUEXIMUBIAO1.了解函數(shù)奇偶性的定義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖像的對稱性解決簡單問題.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D結(jié)論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖像特點關(guān)于

對稱關(guān)于

對稱y軸原點知識點函數(shù)奇偶性的概念及圖像特點思考奇(偶)函數(shù)的定義域有何特征？答案

奇(偶)函數(shù)的定義要求“對定義域D內(nèi)任意一個x，都有－x∈D”，故奇(偶)函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點對稱.1.奇、偶函數(shù)的定義域都關(guān)于原點對稱.(

)2.函數(shù)f(x)＝x2＋|x|的圖像關(guān)于原點對稱.(

)3.對于定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(－1)＝f(1)，則函數(shù)f(x)一定是偶函數(shù).(

)4.不存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù).(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××2題型探究PARTTWO例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；一、函數(shù)奇偶性的判斷解

∵函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).解

∵函數(shù)f(x)的定義域為{－1,1}，關(guān)于原點對稱，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解

∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關(guān)于原點對稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù).解

f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱.又當x>0時，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；當x<0時，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù).反思感悟判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法(2)圖像法注意：對于分段函數(shù)奇偶性的判斷，應(yīng)分段討論，要注意根據(jù)x的范圍取相應(yīng)的函數(shù)解析式.跟蹤訓練1判斷下列函數(shù)的奇偶性：解因為函數(shù)f(x)的定義域為[0，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，所以f(x)＝

是非奇非偶函數(shù).解因為f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點對稱.所以f(x)為奇函數(shù).解因為f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，又當x>0時，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；當x<0時，－x>0，則f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，綜上可知，f(x)是偶函數(shù).二、奇、偶函數(shù)圖像的特征及應(yīng)用例2

定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上的圖像如圖所示.

(1)請在坐標系中補全函數(shù)f(x)的圖像；解先描出(1,1)，(2,0)關(guān)于原點的對稱點(－1，－1)，(－2,0)，連線可得f(x)的圖像如圖.(2)解不等式xf(x)>0.解

xf(x)>0即圖像上橫坐標、縱坐標同號.結(jié)合圖像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).延伸探究把本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，重做該題.解

(1)f(x)的圖像如圖所示.(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).反思感悟可以用奇(偶)函數(shù)圖像關(guān)于原點(y軸)對稱這一特性去畫圖，求值，解不等式等.跟蹤訓練2

設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，當x∈[0,5]時，函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則使函數(shù)值y＜0的x的取值集合為A.(2,5) B.(－5，－2)∪(2,5)C.(－2,0) D.(－2,0)∪(2,5)√解析

因為原函數(shù)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖像關(guān)于坐標原點對稱，由y＝f(x)在[0,5]上的圖像，知它在[－5,0]上的圖像，如圖所示，由圖像知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5).三、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)例3

(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－1,2a]，則a＝__，b＝__；0解析

因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，結(jié)合偶函數(shù)圖像的特點，得b＝0.解析

∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，－1顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.反思感悟利用奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略(1)定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用a＋b＝0求參數(shù).(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)即可求解.跟蹤訓練3

(1)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝__.解析方法一顯然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|.又x∈R，所以a＝0.方法二由題意知f(－1)＝f(1)，則|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.0(2)若定義在(－1,1)上的奇函數(shù)f(x)＝

，則常數(shù)m＝__，n＝

__.解析由已知得f(0)＝0，故m＝0.由f(x)是奇函數(shù)，知f(－x)＝－f(x)，00∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，解得n＝0.3隨堂演練PARTTHREE1.(多選)給定四個函數(shù)，其中是奇函數(shù)的有12345√√12345解析

對于A，函數(shù)的定義域為R，f(x)＝x3，f(－x)＝(－x)3＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；對于B，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)；對于C，函數(shù)的定義域為R，f(0)＝0＋1＝1≠0，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)；A.y軸對稱

B.直線y＝－x對稱C.坐標原點對稱

D.直線y＝x對稱12345√解析∵函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，12345√解析

因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，123454.下列圖像表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是_____，是偶函數(shù)的是_____(填序號).解析

①③關(guān)于y軸對稱是偶函數(shù)，②④關(guān)于原點對稱是奇函數(shù).②④①③123455.若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)＝2，則f(－3)＝___，f(0)＝__.解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.－20課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)函數(shù)奇偶性的概念.(2)奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像特征.2.方法歸納：特值法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：忽略奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.4課時對點練PARTFOUR1.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2基礎(chǔ)鞏固1345678910111213141516解析

利用奇函數(shù)的定義，首先定義域關(guān)于原點對稱，排除選項A；又奇函數(shù)需滿足f(－x)＝－f(x)，排除選項B.2C.y＝

D.y＝x|x|√√2.(多選)若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論正確的是A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)13456789101112131415162C.f(－x)f(x)≤0 D.＝－1√√√1345678910111213141516解析

∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，f(－x)f(x)＝－[f(x)]2≤0，∴A，B，C正確.而D不一定成立，如f(x)＝x，23.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx是A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)

D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)1345678910111213141516解析

因為f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù).2√4.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于A.41345678910111213141516解析由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.兩式相加，解得g(1)＝3.2√134567891011121314151625.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝解析

∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f(f(－2))＝f(0)＝1.A.1 B.3 C.－2 D.－3√6.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實數(shù)a＝__.13456789101112131415162解析

由奇函數(shù)定義有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.013456789101112131415162解析

因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝x3＋2x，1345678910111213141516解析令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，則g(x)是奇函數(shù)，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.28.已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，則f(3)＝__.713456789101112131415162故函數(shù)f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點對稱，且有x＋2>0，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).∵b∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.13456789101112131415162又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.∵a∈Z，∴a＝0或1.解得－1<a<2，綜合運用1345678910111213141516211.已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，且圖像與x軸有四個交點，則方程f(x)＝0的所有實根之和是A.4解析因為f(x)是偶函數(shù)，且圖像與x軸有四個交點，所以這四個交點每組兩個關(guān)于y軸一定是對稱的，故所有實根之和為0.√134567891011121314151612.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是A.f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)

B.f(x)－|g(x)|是偶函數(shù)C.|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)

D.|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)解析

由f(x)是偶函數(shù)，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函數(shù)，可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|為偶函數(shù)，∴f(x)＋|g(x)|為偶函數(shù)，f(x)－|g(x)|是偶函數(shù).2√√134567891011121314151613.已知定義域為[a－4,2a－2]的奇函數(shù)f(x)＝2021x3－5x＋b＋2，則f(a)＋f(b)的值為__.解析

因為奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.2014.已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝__.1345678910111213141516解析在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.21拓廣探究13456789101113141516故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(huán)(a)＝2－[1＋h(a)]2121345678910111213141516216.(1)已知函數(shù)f(x)，x∈R，若對于任意實數(shù)x1，x2，都有f(x1＋x