2022年高考數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)55 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn) 練習(xí)

考點(diǎn)55導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)(練習(xí))

【題組一零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷】

I.已知函數(shù)/(x)=ae"+(a-2)e"-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】⑴見(jiàn)解析;(2)(0,1).

【解析】

【詳解】試題分析：(1)討論f(x)單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)

進(jìn)行因式分解，再對(duì)“按。40,a>0進(jìn)行討論，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)第(1)

問(wèn)，若/(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).若a>0,當(dāng)x=-lna時(shí)，，/(X)取得最小值，求

出最小值/(Tna)=l+lna,根據(jù)a=l,ae(l,+oo),ae(0,l)進(jìn)行討論，可知當(dāng)

a

aw(0,l)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知/")在Ina)有一個(gè)零點(diǎn)：設(shè)正整數(shù)人滿足

n>ln(--1),則/(?1)=Qn°(ae"°+a-2)-n>en°-n>2W°-n>0.由于

na00Q0

ln(--l)>-lna,因此/(x)在(-Ina,+8)有一個(gè)零點(diǎn).從而可得a的取值范圍為

a

(0,1).

試題解析：(1)/(力的定義域?yàn)?-8,+8),

f(x)=2ae2'+(a—2)/—1=(ae*—l)(2e*+1),

(1)若。工0,則/'(x)<0,所以/(x)在(-co,欣)單調(diào)遞減.

(ii)若a>0,則由/'(x)=0得x=-lna.

當(dāng)xw(-oo,Tna)時(shí),f'(x)<0-當(dāng)xe(-Ina,+oo)時(shí)，/(x)>0,所以/(x)在

(―,-Ina)單調(diào)遞減，在(-lna,M)單調(diào)遞增.

(2)(i)若aWO,由⑴知，/(%)至多有一個(gè)零點(diǎn).

(ii)若a>0,由(1)知，當(dāng)x=—lna時(shí)，/(%)取得最小值，最小值為

f(一Ina)—1---FIna.

①當(dāng)a=l時(shí)，由于〃一1皿)=0,故"X)只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)ae(l,+co)時(shí)，由于1一，+lna>0,即/(-lna)>0,故/(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

a

③當(dāng)ae(O,l)時(shí)，1—，+lna<0,即/(-lna)<0.

又/(一2)=恁"+(。-2)仁2+2>-26-2+2>0,故/(同在(3,一1110)有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)正整數(shù)〃。滿足則

/(/7g)=(ae為+Q-2)—%>e'"一%>2%一%>0.

由于ln11■-l)>-lnn,因此/(x)在(-Ina,”)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，。的取值范圍為(0,1).

點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)

/3)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參

數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷y=。與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求

出a的取值范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極

值、最值，注意點(diǎn)是若Ax)有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值

小于0,且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn).

2.已知函數(shù)/(戲=尤3一區(qū)+二.

(1)討論了(X)的單調(diào)性；

(2)若八x)有三個(gè)零點(diǎn)，求左的取值范圍.

4

【答案】(1)詳見(jiàn)解析Y(2)(0,—).

【解析】

【分析】(1)/〃)=3*2一%,對(duì)我分左wo和4>0兩種情況討論即可；

(2)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，由(1)知女>0,且L.,解不等式組得到女的

心。

范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說(shuō)明即可.

【詳解】(1)由題，/(x)=3x2-k,

當(dāng)kWO時(shí)，f(x)20恒成立，所以f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)左>0時(shí)，令八尤)=0,得》=±g，令/'(x)<0,得—g<x<A

得x<《或x〉g,所以/(X)在(—

令/(無(wú))>0,上單調(diào)遞減，在

(心-a,(Jg,+00)上單調(diào)遞增.

小曲>。

(2)由⑴知，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則上>0,且<

/樸。

k2+-kJ->0

3V34

即《二，解得°<々<卷7,

42二孚<0

3\3

4r-

當(dāng)0<女<一時(shí)，尿〉1,且/(&)=%2>0,

27

所以/甕)在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

同理一1<*,f(-k-l)=-k3-(k+l)2<0,

所以/M在(-4-1,-J1)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

又/(x)在(-4,占)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以廣(X)有三個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知k的取值范圍為(0,^).

【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍

問(wèn)題，考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

3.已知函數(shù)/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

rr

（1）/'（x）在區(qū)間（-1,5）存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）/（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在

定理可判斷出We］。,?，使得g'（xo）=°，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在卜片J上的單調(diào)性，

從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知x=0為/（力在（-1,0］上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)

時(shí)，首先可判斷出在（0,不）上無(wú)零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到/（x）在

X

上的單調(diào)性，可知/（力＞不存在零點(diǎn)；當(dāng)7t

%,30,XG2^時(shí)，利用零點(diǎn)存在

27

定理和/（X）單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)n€（4,48）,可證得了（力＜0；

綜合上述情況可證得結(jié)論.

【詳解】（1）由題意知：“X）定義域?yàn)椋海?1,+8）且/（力=。0$-匕

令g(x)=cosx-

\2J

1

(gz(x)=-sinx+，L

(%+1)2\2)

品在卜身上單調(diào)遞減,-sinx,在1j上單調(diào)遞減

???g'（x）在『上單調(diào)遞減

又g'(0)=-sin0+l=l>。，%(萬(wàn)、r_Sini71+(^47=(74^7-1<0

(左、

3x0e0,-,使得g'(Xo)=O

\z)

.,.當(dāng)朝）時(shí)，g'（x）＞0；尤時(shí)，g'（x）＜0

即g（尤）在（T*上單調(diào)遞增；在（x°,?上單調(diào)遞減

則X=X。為g（x）唯一的極大值點(diǎn)

即：/'（尤）在區(qū)間卜，3上存在唯一的極大值點(diǎn)X。.

（2）由（1）知：f'（x）=cosx———,xe（-l,+oo）

①當(dāng)X?TO］時(shí),由（1）可知r（x）在上單調(diào)遞增

.??r（%）＜r（o）=o.?../-（%）在（TO］上單調(diào)遞減

又/（0）=0

.“=0為/（x）在（-1,0］上的唯一零點(diǎn)

②當(dāng)xe（o《時(shí)，/'（X）在（0,不）上單調(diào)遞增，在卜。,5上單調(diào)遞減

又，（o）=o.?.r（x°）＞o

.?./（X）在（o,x0）上單調(diào)遞增，此時(shí)/（x）＞/（o）=o,不存在零點(diǎn)

3-^1x0,—,使得/(%)=0

\2)

.?./（X）在（七0）上單調(diào)遞增，在％,g上單調(diào)遞減

kL）

又〃玉）＞〃。）=。，/閨=sing-ln［l+g2e

=In>lnl=0

I，，，I，"+2

??J（x）＞0在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)

③當(dāng)九￡—時(shí)，sinx單調(diào)遞減，-ln(x+l)單調(diào)遞減

.,./(X)在力,冗上單調(diào)遞減

即/⑺?啟]<0,又〃x)在I/，/上單調(diào)遞減

I2/L2.

/(X)在%,冗上存在唯一零點(diǎn)

④當(dāng)xe(肛HOO)時(shí)，sinxe[-1,1],ln(%+l)>ln(〃+l)>lne=l

.?.sinx-ln(x+l)<0

即/(x)在上不存在零點(diǎn)

綜上所述：/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)

題.解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，另

一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.

【題組二已知零點(diǎn)求參數(shù)】

4.已知函數(shù)/(x)=e'-ax2.

(1)若a=l,證明：當(dāng)龍時(shí)，/(x)>l；

(2)若/(x)在(0,48)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值.

2

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)a=—

4

【解析】

【詳解】分析：⑴先構(gòu)造函數(shù)g(x)=(f+l)e7-l,再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大

于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式；(2)研究/(x)零點(diǎn)，等價(jià)研究

〃(x)=l-加e-*的零點(diǎn)，先求/z(x)導(dǎo)數(shù)：h\x)=ax{x-2)e-x,這里產(chǎn)生兩個(gè)討論

點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2,當(dāng).40時(shí)，〃(x)>0,/z(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)〃>0

時(shí)，Mx)先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定

條件的充分性，即得a的值.

詳解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，/321等價(jià)于k2+1,一-140.

設(shè)函數(shù)8(力=(￥+1,7―1,則g，(x)=_(x2_2x+l)eT=_(xT)2er.

當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)在(0,+“)單調(diào)遞減.

而g(0)=0,故當(dāng)時(shí)，g(x)<0,即”x)21.

(2)設(shè)函數(shù)/z(x)=l-?

/(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)力在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn).

(i)當(dāng)時(shí),〃(x)>0,〃(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)a>0時(shí),〃'(x)=ar(x—2)0-".

當(dāng)xe(O,2)時(shí)，/z'(x)<0；當(dāng)xe(2,”)時(shí)，〃'(x)>0.

所以/z(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.

故秋2)=1-3是〃(x)在［(),+?))的最小值.

2

①若妝2)>0,即a<?,/i(x)在(0,+8)沒(méi)有零點(diǎn);

②若"2)=0,即an?,A(x)在(0,+⑹只有一個(gè)零點(diǎn)；

2

③若〃(2)<0,即由于〃(0)=1,所以〃(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn),

由(1)知，當(dāng)x>0B寸，">/,所以

16/,16a3,16a3,1八

/z(4a)=1-1-------->1--------T=1——>0

MY7(2a)4a-

故/z(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0,+功有兩個(gè)零點(diǎn).

2

綜上，/(X)在(o,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，&=7.

點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.

2

5.已知函數(shù)〃x)=￡；--a(aeR).

(1)若/(力有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)x23時(shí)，不等式e"(x)+(a+3)xW0恒成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴w⑵+°°)

【解析】

29

【分析】(1)令/(力:?-。=0,則a=2.將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象

V-2

的交點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)刈力二三，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)性，作出

簡(jiǎn)圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，可得出a的取值范圍.

(2)不等式e"(x)+(a+3)xW0,gSfi?fe"-x)>x2+3x.^：g(x)=ev-x,求

導(dǎo)，分析出函數(shù)的值域，再運(yùn)用參變分離的思想得aN三凸.設(shè)加(x)=匚亙，

-xcv—X

求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，運(yùn)用不等式恒成立的思想求得。的取值范圍.

29

【詳解】(I)令/(力二5一。：。，貝!|a=±.

exeA

設(shè)/?(x)=三，則/(尤)=^^1,令〃(力>0,得0<x<2；令〃'(x)<0,得

evev

x<0或%>2,

則h(x)在(—,0)和(2,4w)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

故/2(x)的極小值=力(0)=0,Mx)的極大值=刈2)=?.

e

結(jié)合/?(》)的圖象：

可知a的取值范圍為(0，5

(2)不等式e"(x)+(a+3)x?0,

即x~-ize'+(a+3)xK0,整理得a(e*-x)2r+3x.

設(shè)g(x)=e*-x,則g'(x)=e*-l.

因?yàn)閤N3,所以g'(x)?e3—1>0,

所以函數(shù)g(x)在［3,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)之g(3)=e3-3>0,

貝ija>亨更.設(shè)機(jī)(%)=

e'v_xeA—x

-x2(e*+1)+(3—x)ev

因?yàn)閤N3,所以(3r)e”0,-/金+1)<0,

所以加(x)<0,所以m(x)在［3,”)上單調(diào)遞減,

1Q

所以機(jī)(X)</〃(3)=目~,

1o「［8、

故。2不工，即a的取值范圍是-T—,+^.

e3-3e--3)

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，以及不等式恒成立的相關(guān)問(wèn)

題，屬于較難題.

6.已知函數(shù)/(x)=e*-a(x+2).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若八幻有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)Ax)的減區(qū)間為(—8,0),增區(qū)間為(0,+8)；(2)(-,+<?).

e

【解析】

【分析】(1)將a=l代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零,

求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即/-a(x+2)=0有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為a有兩