2020年高考數(shù)學(理科)考點與題型全歸納(第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ)

第二章數(shù)的概念與基本等函數(shù)Ⅰ第節(jié)函及其示一基知．函數(shù)與映射的概．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝(x)xA中叫自變量的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的相對應的y值做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{(x)|∈A}叫做函數(shù)的值域．求函數(shù)定義域的策略(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式身有意義，或從實際出發(fā)．(2)如果函數(shù)y＝(x是用表格給出，則表格中的合即為義域．(3)如果函數(shù)y＝(x是用圖象給出，則圖象在軸上的投影所覆蓋的x的合即為定義域．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域?qū)P(guān)系．相函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依.兩函數(shù)值域與對應關(guān)系相同時，兩函數(shù)不一定相同．(4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常方法有：解析法、圖象法、列表法．．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)對于定義內(nèi)的不同取值區(qū)間著不同的對應關(guān)系這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．關(guān)于分段函數(shù)的3個注意(1)分段函數(shù)雖然由幾個部分構(gòu)成但它表示同一個函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交考一函的義1

x0x021典例長春質(zhì))函數(shù)y＝＋的義域()x＋1A－∪C．－∪

B．1,0)∪(0,1]D．(∪(0,1)(2)已知函數(shù)f)的定義域為(－1,0)，函數(shù)f(2x＋的定義域為)A(－1,1)C．－1,0)，解析由題意，x≠0

－1－，1解得－1<<0或x所以原函數(shù)的定義域(－1,0)∪．(2)令＝2x＋，由fx的定義域為－，知－1<，－x＋，得－x<－.答案(2)B解題技法．使函數(shù)解析式有義的一般準則(1)分式中的分母不為0(2)偶次根式的被開方數(shù)非負；(3)y＝x要x≠；(4)對數(shù)式中的真數(shù)大于0，底數(shù)大于不等于；π(5)正切函數(shù)y＝tan，≠π＋(k∈Z)；(6)實際問題中除考慮函數(shù)解析式意義外，還應考慮實際問題本身的要求．．抽象函數(shù)的定義問題(1)若已知函數(shù)fx的定義域為a，]，復合函數(shù)(g(x的義域由不等式≤()≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(的定義域為a，b，f(x)的定義域為)在x∈，b]上值域．題組訓練函數(shù)fx)＝＋4x的義域為()A－∪C．－

B－1,0)∪(0,2]D．(2

2222222222222222222222，解析：由4x≥，

得－x≤2，且x≠若函數(shù)＝f()的定義域是1,2數(shù)g()＝的定義域是________________．x－1解析：為y＝(x的定義域是1,2，所以若()有意義，應滿足

1＋1，x－1≠，所以≤x≤2，且≠1.因此(x的定義域{≤x≤，且x≠1}答案：{|0≤x≤2018，且x≠1}考二求數(shù)解式典例(1)已知二次函數(shù)f(2＋＝4x－6＋，求f()；(2)已知函數(shù)f)滿足f－x＋2()＝2求f(x．解法一：待定系數(shù)法因為fx)是二次函數(shù)所以設(x)＋bx＋c(a≠則f(2x＋＝a＋1)＋bx＋＋c＝ax＋(4＋2)x＋＋＋c因為fx＋＝4x

2

－6＋5，，所以2＝－6＋＋c＝5，

，解得5，c＝9所以fx)＝x－x＋9(x∈．法二：元法t－1令x＋1tt∈R)，則＝，所以ft＝4

t－t－1－＋＝t＋t∈R)，2所以fx)＝x－x＋9(x∈．法三：湊法因為fx＋＝4x－6＋5＝(2x＋1)－x＋＝(2x＋1)－x＋1)＋9，所以fx)＝x－x＋9(x∈．(2)解方程組法由f－x)＋2fx)＝2，①3

－－222－－22222222得fx)f－x＝2

，②①×－②，得3f()＝2

1x

－2即fx)x故fx)解析式是f(x＝(∈R)解題技法求函數(shù)解析式的4種法及適用條件(1)待定系數(shù)法先設出含有待定系數(shù)的解析式用等式的性質(zhì)將已知條件代入立方(組)通過解方程組)求出相應的待定系數(shù)．(2)換元法對于形如y＝(gx的函數(shù)析式，令t(x)從中求出x＝)然后代入表達式求出ft)，再將換x，得到f(x)解析式，要注意新元的取值范圍．(3)配湊法由已知條件fgx))＝()，可將(x改寫成關(guān)于()的表達式，然后以替()，便得f()的解析式．(4)解方程組法已知關(guān)于f()與f

x

或(－x的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f)提醒由函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時，如果定義域不是，一定要注明函數(shù)的定義域．題組訓練[口訣第句]

已知(x)是次函數(shù)，且

f＝0，fx＝fx＋＋，f(x)＝解析：fx)＝ax＋＋(≠，由f＝0，知c＝，f(x＝ax

＋bx又由fx＋＝f(x)＋＋1得(x＋＋bx＋1)＝＋＋＋，即＋a＋b)x＋＋＝

＋(b＋1)x＋1，＋，所以

解得＝＝.所以fx)＝x＋(x∈．4

2xxxxxx2xxxxxxx2答案：x＋x∈2[訣第句]已知

＋1＝lgx，則f(x)＝

2解析令＋1t得x＝則f(＝又>0所以t>1故f)的解析式是fx)xt－t(．x－1答案：lg(xx－1[訣第句]已知()滿足2f(x)f

＝3x，則fx)＝解析：2f(x)＋

＝3，①3把①中的x換成，2f＋fx)＝.x聯(lián)立①②可得f＋f解此方程組可得f()＝2－(x≠．x答案：2－(x≠0)x考三分函考法(一)求函數(shù)值典例

x>0，(2019·石家莊模擬已知f(x)(0<<1)f(－＝5(＝3，≤0則f(f(－3))()A－2C．

BD．－3解析由意得，f－＝＋＝5，①f－＝a

1

＋b＝3，②聯(lián)立①②，結(jié)合0<，得＝，b＝15

331)22x，x>0所以fx)＝，x≤0則f－＝

3

＋19f(f(－3))＝f(9)log＝3答案B解題技法求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略求段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值；(2)當出現(xiàn)ff))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值；當變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數(shù)不同段的端點．考法(二)求參數(shù)或自變量的或范)，x≤，典例全國卷)設函數(shù)fx)圍是)

則滿足f(x＋1)<f)的的值范A(－∞，－1]C．－1,0)解析法：分類討論法

B，＋∞D(zhuǎn)．(∞，①當

即x≤－1時f＋f(2)，即為2

<2，即－(＋－x，解得x因此不等式的解集為－，－1]．②當③當

時，不等式組無解．即－≤，f＋f(2)，即為1<2

，解得x<0.因此不等式的解集為－1,0)．④當

即x>0時，(x＋＝1，)＝，不合題意．6

∴∴1綜上，不等式fx＋f(2)的解集為(－∞，．法二：數(shù)形結(jié)合法∵()＝∴函數(shù)fx)的圖象如圖所示．結(jié)合圖象知，要使f＋fx)，則需<0，x<＋1∴x，故選答案D解題技法

或已知函數(shù)值或)自變量的值或范圍的方法(1)根據(jù)每一段的解析式分別求解要注意檢驗所求自變量的或范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍，最后將各段的結(jié)果合起求并集即可；(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解．題組訓練，＜x＜，．設fx)＝，A2C．

若f()＝(＋，則fBD．8

＝)解析：C當＜＜1時＋1＞1f(a)a，＋1)＝2(＋－a∵()＝(＋1)∴＝2a，解得＝或a0(去)．

＝(4)＝×(4－1)＝當≥1時＋≥，(a＝－，f(a1)＋1－1)2，∵()＝(＋1)∴2(－1)＝2，無解．綜上，

＝，．已知函數(shù)fx)＝

則ff＝解析：題意，得f＝f＝f＝2＝27

a∴(f＝f(2)＝2.答案：20，．全國卷)設函數(shù)f(x)＝>0，圍是．

則滿足()＋fx－>1的x的值范解析：題意知，可對不等式分≤0,0<≤，>討論．2①當x≤0，原不等式為x＋1＋>1解得－，故－<x≤②當0<x≤時原不等式為2＋x＋，顯然成立．1③當x>時，原不等式為＋2－>1，顯然成立．2綜上可知，所求的取值范圍是－，＋∞答案：－，∞7，．設函數(shù)fx)＝x，x≥，

若f(a)<1，則實數(shù)的取值范圍是_．1解析：，則f)<1?－?

a

<8，解得a>－3故a<0；若≥0，則f)<1?a<1，得，故≤綜上可得－3<答案：(3,1)課跟檢]．下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)()A1C．

BD．4解析選B①當＞時一個x的值對應兩個不同的y值此不是函數(shù)圖象；8

22②中當x＝x時的有兩個此是函數(shù)圖象④中每一個x值對應唯一的y值0因此是函數(shù)圖象．故選．函數(shù)fx)2－1A[0,2)C．∪(2，＋∞)

的定義域為()x－2B，＋∞D(zhuǎn)．(∞，2)(2，＋∞解析：C

由題意得

－1≥0x－2≠，

解得x≥0，且x≠．已知f－＝2－5，且fa)＝6，則a等()C.

B－D．－解析：A令＝x－1則＝t＋，(t＝2(2t＋2)－＝4t－，則－1＝6解得a＝．貴陽檢測下列函數(shù)中，同一個函數(shù)的定義域與值域相同的()A＝－1C．y－

B＝lnx＋1D．y＝x－1解析：D對A，定義域為[1，＋∞)，值域為[，＋∞)，不滿足題意；對于B，定義域為(，＋∞)，值域為，滿足題意；對于C，義域(－∞，∪(0，＋∞)，值x＋1域為－∞，－∪(0＋∞，不滿足題意；對于，＝＝＋，義域(－，x－1x－1∪(1，＋∞，值域也是(－∞，1)∪，＋∞)．a(chǎn)>0．福建期末已知函數(shù)fx)＝－1，≤0.

若f(a)＝3則f(－2)＝)A－C．或3

BD．－或3解析A當時(a＝則a＝3得＝2(滿足當≤0時2若f(a)＝，則4

a

－1＝3解得a＝3不滿足≤0，所以舍去．于是，可得a＝故f－＝(0)4

2

－1＝－.f1．已知函數(shù)y＝f－的定義域[則數(shù)的義域是)log29

xxxxxxx即fxA[1,2]C.－，0

B－D．(1,0)解析：由f－1)的定義域是0,1]，得≤x≤1故≤x－1，∴()的定義域是1,1]f1∴要使函數(shù)有意義，log2＋≤，需滿足1>0

解得－1<x

x＋1，．下列函數(shù)中，不滿足f(2x＝2018fx)是()Af()＝xC．f(x)＝x＋2

Bf(x＝－D．(x)＝－2x解析選C若()＝x，f(2018x＝|2018＝2＝018fx)若f)＝x－x則f(2)x－|2018x＝018(－＝f(xf＝x＋f(2018x)＝2x＋2而2fx)018＋2×，故fx)＋2不足f(2018x＝f)若(x)－2x，則f018x)＝－2018x＝×－x)018()．故選C.已知具有性質(zhì)

＝－f(x的函數(shù)們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)列數(shù)：x，0<x，1，x＝，①()＝x－；fx)＝x＋；③(x＝x，x>1.x其中滿足“倒負”變換的函數(shù)()A①②C．③

B①③D．①11解析選對①f()＝x－，f＝－x＝－f(x，滿足題意；對于②＝＋xxx，<1，＝(x)滿足題意于－x，，x

x>1，x，x＝1－x，0<x，

故f

＝－(x)滿足題意．綜上可知，滿足“倒負”變換的函數(shù)是①.10

2xx－≥02xx－≥022．青島模擬函數(shù)＝ln＋＋1x的定義域為________．＋>0，>0，解析：由?2所以該函數(shù)的定義域(0,1]．答案：(0,1]

?x≤1.，．益陽、湘潭調(diào))若函數(shù)f()＝，≥0，

則ff－＝<0，解析：函數(shù)fx)＝，≥，答案：－2

∴f(－9)＝lg10＝1∴f－9))f＝－，11．(2018·張一診已知函數(shù)f(x＝0于________．

若(＋f0，則實數(shù)a的等解析：f(1)2，且f＋fa)＝0，∴fa＝－＜，故≤依題知＋1＝，得a－答案：3x＋1≤0．已知f)＝－＞，

使f()≥1成立的的值范圍是_______．，解析：題意知x＋1≥

或

x＞0－，解得－4≤≤0或0≤2，故所求x的值范圍是－．答案：－．設函數(shù)(x)＝

ax＋，x＜，，x≥0

且f－2)3f(－1)＝f．(1)求函數(shù)fx)的解析式；(2)在如圖所示的直角坐標系中畫f()的圖象．11

解：(1)由f－＝，(－＝(1)，得

－2＋b＝，－a＝2＜，解得所fx)＝(2)函數(shù)f)的圖象如圖所示．12

第節(jié)函的單性最一基知．增函數(shù)、減函數(shù)定義：設函數(shù)fx的定義域為I(1)增函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)個區(qū)間上任意兩個自變量的值x，，<x122時，都有f(xf，那么就說函數(shù)f(x在區(qū)間D上增函數(shù)．1(2)減函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)個區(qū)間上任意兩個自變量的值x，，<x122時，都有f(xf，那么就說函數(shù)f(x在區(qū)間D上減函數(shù)．1增(減)函數(shù)定義中的，的三個特征1一是任意性二是有大小即<x(x>x三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間者缺一不可．11．單調(diào)性、單調(diào)區(qū)若函數(shù)y＝(x)區(qū)間D上增函數(shù)或減函數(shù)函數(shù)＝f(在這一區(qū)間具有(格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f)單調(diào)區(qū)間有關(guān)單調(diào)區(qū)間的兩個防范(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不用不等式表示．有個單調(diào)區(qū)間應分別寫，不能用符號“”連，也不能用“或”連接，只能用“號或和連接．．函數(shù)的最值設函數(shù)y＝(x)定義域為I如果存在實數(shù)滿：(1)對于任意的x∈I，都有f(x)M或fx)(2)存在xI使得f(x＝M0那么，我們稱M是數(shù)y＝f)的最大值或最小值．函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論閉間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到．(2)開區(qū)間上的“單峰函數(shù)一定存在最(小值．二常結(jié)在公共定義域內(nèi)：(1)函數(shù)f)單調(diào)遞增，()單調(diào)遞增，則fx＋)是增函數(shù)；13

22222＝a1＋22222＝a1＋x－x－(2)函數(shù)f)單調(diào)遞減，()單調(diào)遞減，則fx＋)是減函數(shù)；(3)函數(shù)f)單調(diào)遞增，()單調(diào)遞減，則fx－)是增函數(shù)；(4)函數(shù)f)單調(diào)遞減，()單調(diào)遞增，則fx－)是減函數(shù)；(5)若k>0則(x與f()單調(diào)性相同；若k<0，則kf與f(單調(diào)性相反；(6)函數(shù)y＝(xf(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－()，y＝的調(diào)性相反；f(7)復合函數(shù)y＝[gx的調(diào)性與y＝(u和ug的單調(diào)性有增減”．考一確函的調(diào)間典例求函數(shù)f(x)x＋x＋單調(diào)區(qū)間．a(chǎn)x(2)試討論函數(shù)f)≠在(－1,1)上的單調(diào)性．x－1解

x＋1，x≥0(1)易知fx)x＋1，x<0，＝畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間－，－1]和，單調(diào)遞減區(qū)間為－和[，＋∞)．(2)法一：定義法設－x<x<11f)＝a

＋1x－

－1

，則fx－(x＝1－1＋11＝

－21－11由于－1<<<1，1所以x－，x－1<0x－，212故當>0時fx)－(x)>0，即fx)>(x，122函數(shù)fx)在－1,1)上單調(diào)遞減；當a<0時，(x－fx，f)<f)122函數(shù)fx)在－1,1)上單調(diào)遞增．法二：導數(shù)法14

2221212212221222212122122212xx12f′(x)＝

＝－.當a>0時，′()<0，函數(shù)fx)在(上單調(diào)遞減；當a<0時，′()>0，函數(shù)fx)在(上單調(diào)遞增．解題技法判斷函數(shù)單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法(1)定義法：一般步驟為設元作變形判斷符號得出結(jié)論．(2)圖象法：如果fx)以圖象形式給出的，或者fx的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性．(3)導數(shù)法：先求導數(shù)，利用導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間．性質(zhì)法：對于由基本初等函的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進行判斷；復合函數(shù)單調(diào)性，可用同增異減來確定．題組訓練列函數(shù)中足∈(0∞)且≠x－x[f(x－(x<0的是)12Af()＝2

Bf(x＝x－1|C．f(x)＝－xx

D．(x)＝ln(＋解析C由x－[f(x)－(x<0可()在∞)上是減函數(shù)選中，12f)為增函數(shù)；Bf(x)＝－在(0∞)上不單調(diào)；對于f(x)－x，因為y＝與y＝－xx在，＋∞上單調(diào)遞減，因此(x)在(0＋)上是減函數(shù)．．函數(shù)fx)logx－的單調(diào)遞增區(qū)間()A，＋∞C．(2，＋∞

B－，0)D．(∞，－2)解析：選D令t＝－4，則＝logt因為y＝t在義域上是減函數(shù)，所以求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx－4的調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函的定義域，可知所求區(qū)間為－∞，－．．判斷函數(shù)fx)＋(>0)在(0＋∞上的單調(diào)性．x解：x，是任意兩個正數(shù)，且x<，122ax－則fx－(x＝x＋－＋＝1x12當0<<≤a，0<xx<a，x－，11

(xx－)．1215

2222所以fx－(x，即fx)>f，112所以函數(shù)fx)在(，a]是減函數(shù)；當ax<時xx，－<0，12所以fx－(x，即fx)<f，112所以函數(shù)fx)在a，∞上增函數(shù)．綜上可知，函數(shù)f()＝x＋(a>0)在(，a]是減函數(shù)，在[，∞上是增函數(shù)．x考二求數(shù)值值典例?圳調(diào))函數(shù)y＝x＋1|＋x的值域為________．11(2)若函數(shù)fx)＝－＋ba在，上值域為，＝________＝xx，x，(3)函數(shù)f)＝>0解析圖象法x＋，x≤－，函數(shù)y＝1<，

的最大值為_．

x－1≥2.作出函數(shù)的圖象如圖所示．根據(jù)圖象可知，函數(shù)y＝x＋1|－2|的值域為[3＋)．(2)單調(diào)性法∵()＝－＋(a，上增函數(shù)x∴()＝min

＝，fx＝＝2.即

b＋b，

解得＝，b＝.(3)當x≤0時fx＝x－＝－(＋＋4，而∈－∞0]，此(x在＝－處取得最大值，且f－2)＝4；當x時fx＝sin，時fx在區(qū)間0＋)的最大值為綜上所，函數(shù)()的最大值為答案，＋∞)

提醒求函數(shù)的最值時，應先確定函數(shù)的義域．16

2x23322x233222222求段函數(shù)的最值時，應先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值．題組訓練x＋．函數(shù)fx)的域為________．x解析：x>0時fx＝x＋≥，x當且僅當x＝2時等；當x<0時－＋－≥，即fx)＋≤－4x當且僅當x＝－取等號，所以函數(shù)fx)的值域為－∞，－4]，＋∞．答案：(∞，4]∪，∞)π2．x∈－，，則函數(shù)＝xx－1的大值為，小值為．π2解析：t＝sinx，因為x∈－，，所以t∈－，，＝(t)＝4t

－t－1，因為該二次函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為t，所當t∈－，1時函數(shù)ft單調(diào)遞減，所以當t＝－時＝；當t時，＝min答案：6－x＋x＋已知f(x＝x∈∞≤1.若對任意x∈[1∞)f(x恒成立，x則實數(shù)取值范圍是________．解析：任意x∈，∞，f恒成立等價于x＋x＋a>0在x∈[1＋)上恒成立，即－x－x∈[1，＋∞)恒成立．又函數(shù)y＝－

－2x在1＋)上單調(diào)遞減，∴(－x－x)＝3，故>317

22又∵≤1∴－≤答案：(3,1]考三函單性應考法(一)比較函數(shù)值的大小典例設函數(shù)f的定義域為當∈＋∞時fx是增函數(shù)則f(2)(，f－3)大小關(guān)系()Af(π)>f－(－2)Bf(π)>f－2)>f(－3)C．fπ)<f－(－2)D．(π)<(－f(－解析因fx)是偶函數(shù)，所以f－＝，－2)＝f(2)．又因為函數(shù)fx)[，＋∞)上是增函數(shù)．所以fπ)>(3)>f，即f(π)>f－f－2)．答案A解題技法比較函數(shù)值大小的解題思路比較函數(shù)值的大小時若自變量值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)利用其函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解．考法(二)解函數(shù)不等式典例

，設函數(shù)f)＝2.

若f＋≥f－，則實數(shù)a的值范圍()A(－∞，1]C．

B－，2]D．，＋∞解析易函數(shù)f在定義域－∞，＋∞)是增函數(shù)，∵f(＋1)≥(2－，∴a1≥－1解得a≤2.實數(shù)a的值范圍是－∞，2]答案B解題技法求解“f的數(shù)不等式的解題思路先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為fgx))>h(x的式據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”得到一般的不等式)>h)(或g()<h(x．考法(三)利用單調(diào)性求參數(shù)的范或)典例

a?南京調(diào)研)已知函數(shù)f()＝x－＋在1，＋∞上是增函數(shù)，則實數(shù)a的x218

1x2212x221x2212x2221，C.0，取值范圍是________．解析設1<，xx>1.∵函數(shù)fx)在(1＋)是增函數(shù)，aa∴(x－f＝－＋－x－＋11＝(x－)1<0.12∵x－<0∴1>0即>x12x121∵1<x<x，x，∴－<－1，∴a≥－1.1∴a的取值范圍是[－，＋)．答案[－，＋∞)解題技法利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法視數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a上單調(diào)的函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．題組訓練函數(shù)fx)圖象向左平移個位關(guān)于軸稱x>時－(x·(x21－x)<0恒成立，設a＝f1A>>C．a(chǎn)>>b

－，b(2)，c＝，則a，，c的大小關(guān)系為)BaD．>>解析：由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于y軸稱，故函數(shù)y＝()的圖象關(guān)于直線x＝1對，所以＝

－＝當x>>1時－(x－212x)<0恒立，等價于函數(shù)f)(，＋∞)上單調(diào)遞減，所以b>>12－－，x≤，．已知函數(shù)fx)＝log－1，x>1a()，

是上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的值范圍是，1解析：由數(shù)函數(shù)的定義可得，且≠19

222222222222222233又函數(shù)fx)在R上調(diào)，而二次函數(shù)y＝ax所以函數(shù)fx)在R上調(diào)遞減，

－x－的圖象開口向上，0<a<1，≥1故有2×－－≥log－1，所以∈，課跟檢]

即

0<a，0<a≤，1≥.A．下列四個函數(shù)中，在∈，＋∞上為增函數(shù)的()Af()＝3－xC．f(x)＝－x＋1

Bf(x＝－3xD．(x)＝－x解析選C當>0時f)＝3x為函數(shù)∈，時(＝－3x為函數(shù)，1當x∈，∞時f()＝x－x為函數(shù)；當∈，∞時fx)＝－為函數(shù)；當x＋x∈(0，＋∞)時，()＝－x為減函數(shù)．．若函數(shù)()＝ax1在R上調(diào)遞減，則函數(shù)＝ax－4＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A，＋∞C．(4，＋∞

B－，2)D．(∞，解析：因f(x＝ax在R上調(diào)遞減，所以a<0.而(x)＝a－x＋3)＝a(x－－a因為，所以(在∞，上單調(diào)遞增．已函數(shù)fx)定義在區(qū)[＋上的函數(shù)且在該區(qū)間上單調(diào)遞增則足f(2x－1)＜

的x的值范圍()2，，2C.，，解析：因為函數(shù)f(x是定義在區(qū)[，＋∞上的增函數(shù)，滿足f(2－1)＜f20

332222222332222222所以≤2－＜，解≤＜.2．菏澤模)定義新運算⊕：當≥b時⊕＝；當<時a⊕＝b

，則函數(shù)f()＝(1⊕x)x－⊕)，x∈－，的大值等于)A－1C．

BD．12解析選由意知當≤x≤1時，(x＝x－，當1<x≤fx＝x－，又f(x)＝x－，(x)x－在應的定義域都為增函數(shù)，且(1)＝－，＝6，∴()的最大值為6.．已知函數(shù)fx)是上的增函數(shù)，－，(3,1)其圖象上的兩點，那么不等式－3f(x＋＜的解集的補集是(全集為R)()A(－1,2)C．－∞，∪，∞

B(1,4)．∞，－1]∪[2，＋∞)解析：選D由數(shù)fx是上增函數(shù)(0，，(3,1)其圖象上的兩點，知不等式－3＜f(x＋＜即為f(0)＜(＋＜f(3)所以0＜x＋＜，所以1＜2故不等式－3f(x＋＜的解集的補集是(－∞，－∪，∞．－ax－5，≤，．已知函數(shù)fx)＝，x>1x()

是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的值范圍是A－C．－，－2]

B．－∞，－D．(∞，解析

≥1，若f(x)R上增函數(shù)應足－1－×－≤，

解得－3≤≤－2.．已知函數(shù)fx)x－x－，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)為________．解析設t＝x－x－，由t≥0即x－x－3≥，解得x≤－1或x≥3，所以函數(shù)f()的定義域為－，－∪，＋∞因為函數(shù)t＝－x－的圖象的對稱軸為x＝，以函數(shù)＝－x－在－，1]上調(diào)遞減，[3，∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，＋∞)．答案：[3，＋)21

x22xxx1x22xxx1，x≥，．函數(shù)fx)＝－x＋，x

的最大值為________解析：x≥1時，函數(shù)(x)為減數(shù)，所以f(x)＝處得最大值，為f＝；x當x<1時易知函數(shù)(x)－x＋2在x取得最大值，為＝2.故函數(shù)(x)最大值為答案：23．若函數(shù)fx)在區(qū)，上的最大值與最小值的和為，＝________.解析：fx)＝的圖象知，f)＝在(，＋∞)上是減函數(shù)，∵，](0＋)，∴()＝在[2，a上是減函數(shù)，∴()＝f＝，f(x)＝f()＝，2∴＋＝，∴a＝4.a4答案：4x＋a．肅會寧聯(lián))()＝在區(qū)間－，＋∞上是增函數(shù)，則實數(shù)的x＋2取值范圍是________．x＋a－x＋＋a－3a－3解析()＝＝＝1＋使數(shù)在區(qū)(∞上增函數(shù)x＋2x＋2x＋需使－，得a<3.答案：(∞，3)111．已知函數(shù)f)－(a，＞0)．(1)求證：(x在(0，＋∞)是增函數(shù)；(2)若fx)，2上值域是，，值．解：(1)明：任取x＞＞，1211x－則fx－(x＝－－＋＝，1x112∵x＞＞012∴x－＞0xx＞，12∴(x－f＞，1即fx＞(x，1∴()在(0，＋)是增函數(shù)．22

2a11221222a11221222x2(2)由(1)可知，f(x)，上增數(shù)，111∴＝－2＝，f(2)－2，解得＝x．已知f)(≠．x－a(1)若＝－2，試證()在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若＞0且fx)(1＋∞內(nèi)單調(diào)遞減，求a的值范圍．x解：(1)明：當a＝－2時，fx)x＋2任取x，∈(－，－，且＜，112則fx－(x＝1

x－－＝x＋＋2＋2121因為(x＋2)(x＋＞，x－＜012所以fx－(x＜，即f(x)＜fx)，1所以fx)在－∞，－內(nèi)單調(diào)遞增．(2)任取x∈，＋)，且x＜，12則fx－(x＝1

x－－＝x－－a－a121因為＞0，x－＞，又由題意知fx－f)＞0，211所以(x－ax－)＞0恒立，所以a≤1.1所以＜a≤所以的取值范圍為(．B級mfx)＝－＋4mx()＝在區(qū)間上都是減函數(shù)的值范圍()x＋1A(－∞，∪(0,1]C．(0，＋∞

B－1,0)∪(0,1]D．(0,1]解析：D函f)＝－＋的圖象開口向下，且以直線x＝為稱軸，若在2m2m區(qū)間2,4]上減函數(shù)，則2m2解得mgx＝的象由y＝的象向左平移一x＋個單位長度得到，若在區(qū)[2,4]是減函數(shù)，則2解得m>0.綜上可得m的值范圍是．．已知函數(shù)fx)lnx＋x，若fa

－a)>f(＋，則正數(shù)的值范圍是_．解析：為fx)＝＋在(0＋)上是增函數(shù)，23

2221122221122222－＋3，所以－，＋，

解得－3<a<－1或又a>0所以a答案：(3，＋∞．已知定義在上函f()滿足：①(＋y)＝(x)f()＋1②當x>0，f(x－1.(1)求f(0)的值，并證明f(x在上單調(diào)增函;(2)若f(1)＝1解關(guān)于x的等式f(x＋x)＋f－)>4.解：(1)＝＝，得f(0)－在上取>，則x－x>0，fx－－112又fx＝x－x)＋＝(x－)(x)＋f(x，122所以函數(shù)fx)在R上單調(diào)增函數(shù)．(2)由f(1)＝1得f(2)＝3，f(3)由fx＋x)＋(1－x得(x＋＋1)>，又函數(shù)fx)在R上增函數(shù)，故＋＋1>3解得x<2或>1，故原不等式的解集為{<2>1}．24

第節(jié)函的奇性周性一、基礎知．函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)

奇函數(shù)如果對于函數(shù)fx)的定義域內(nèi)任意一個定義圖象特征

都有f－x＝f()，那么函數(shù)fx)是偶函數(shù)關(guān)于y軸稱

都有f(－x＝－fx)么函數(shù)f)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．若fx)，則奇(偶)數(shù)定義的等價形式如下：f(1)(－)＝(x)f(－x)－()＝0＝1f(x為偶函數(shù)；f(2)(－)＝－f(x)f(－)＋(x＝0＝－1f(x為奇函數(shù)．．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)fx)，如果存在一個非零常數(shù)T，得當取義域內(nèi)的任何值時，都有fx＋T)＝(x)，那么就稱函數(shù)fx)周期函數(shù)，稱T為個函數(shù)的周期．周期函數(shù)定義的實質(zhì)存在一個非零常數(shù)，f(x＋T＝(x)恒等式，即自變量增加一個后函數(shù)值就會重復出現(xiàn)一次．(2)最小正周期如果在周期函數(shù))所有周期中存在一個最小的正數(shù)，么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．二常結(jié)．函數(shù)奇偶性常用論(1)如果函數(shù)f)是奇函數(shù)且在x＝處定義，則一定有f(0)＝；如果函數(shù)f)是偶函數(shù)，那么f()＝(|x．25

222222222222222222222222奇數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．在共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶偶偶，奇奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．．函數(shù)周期性常用論對fx)義域內(nèi)任一自變量x：(1)若fxa)＝－(x)，則T2(．(2)若fxa)＝

，則＝a．f(3)若fxa)＝－，＝2a>0)．f．函數(shù)圖象的對稱(1)若函數(shù)y＝(x＋a)是偶函數(shù)f－)＝fa＋)函數(shù)y＝(x)圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若對于上任意x都有f(2a－x)＝(x)f(－x＝a)，則y＝)的圖象關(guān)于直線x＝a稱．(3)若函數(shù)y＝(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f＋＝0，則函數(shù)y＝)關(guān)于點0)中心對稱．考一函奇性判典例判下列函數(shù)的奇偶性：－(1)()＝；＋－(2)()＝1x＋－；log(3)()＝；－－x<0，(4)()＝x>0.36x≥0，，解由(x)，知?＋3|－3≠－，域為－∪，定義域不關(guān)于原點對稱，故f()為非奇非偶函數(shù)．

故函數(shù)fx)定義，(2)由0

?x＝?x＝±1，故函數(shù)f(x的定義域{1,1}，關(guān)于原點對稱，且f)＝0所以f－x)f()＝－()，所以函數(shù)fx既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．26

22222222222222222222x|22222222222222222222x|2x2x|2xe－，(3)由≠

－x<0<1定義域關(guān)于原點對稱．loglog此時fx)＝＝＝，－－－x－2log－故有f－x)＝－＝＝－f(x，－x所以函數(shù)fx)為奇函數(shù)．(4)法一：圖象法x<0，畫出函數(shù)f)＝x>0故f()為偶函數(shù)．

的圖象如圖所示，圖象關(guān)于軸對稱，法二：定義法易知函數(shù)fx)的定義域為(∞，0)∪，＋∞，關(guān)于原點對稱，當x>0時，f(x)＝x

－x，則當x<0時，－>0，故f－x)＝x

＋x＝f)當<0時，(x)＝x

＋x，則當x>0時，－x<0，故(－x＝

－x＝(x)故原函數(shù)是偶函數(shù)．法三：(x還可以寫成f(x)x－x|(≠0)，故fx)為偶函數(shù)．題組訓練．福建期)下列函數(shù)為偶函數(shù)的()A＝tan

πx＋

B＝x＋C．y

D．y＝x－xπ解析：對選項A，易知y＝tan＋為奇非偶函數(shù)；對于選項，f)＝x＋f－x＝(－x)＋e＝x＋＝()以y＝＋為偶函數(shù)于選項fx)＝xcos則f()＝cos(－x)＝－xcos＝－()所以y＝xcosx奇函數(shù)于選項D，設f()＝ln|－sinx，則f(2)lnsin2，(－＝－sin(－2)＝≠f(2)，所以y＝ln|x－為奇非偶函數(shù)，故選B.x．設函數(shù)fx)，則下列結(jié)論錯誤的()Af)|偶函數(shù)B－(x)是奇函數(shù)C．f(x)|fx是奇函數(shù)D．(|x|)f()是偶函數(shù)e－解析：∵f(x＝，27

eee－e則f－x)＝＝－fx)∴()是奇函數(shù)．∵(|－x＝f(|x|)，∴(|x是函數(shù)，∴f(|fx)奇函數(shù)．考二函奇性應典例福建三模)函數(shù)y＝(x)是上的奇函數(shù)，當<0時，f()＝2，則當x>0時f(x)()A－2

B

C．2

D．2

貴摸底考)已知函數(shù)f(x)＝a(∈是奇函數(shù)，則函數(shù)()的值域為e＋1()A(－1,1)C．－3,3)

B－2,2)D．(4,4)解析當x>0時－，∵x時fx＝

，∴當x>0，－x)

x

.∵f(x)上的奇函數(shù)，∴當x時，()＝－f－)－2

(2)法一：fx)是奇函數(shù)知f()＝fx)，所以－

＝－a，得＝＋1＋1e＋＋

e21，所以＝＋＝，所以(x＝1因e＋，所以0<，e＋e＋e＋e＋－－，所以函數(shù)f()的值域為－1,1)．e＋1法二：函數(shù)fx)定義域為R，且函數(shù)fx)奇函數(shù)，所以f(0)a－1＝，即＝1所1以f()＝1－因為1>1以1<1－以函數(shù)f()的值域為(－e＋1e＋＋1,1)答案(1)C(2)A解題技法應用函數(shù)奇偶性可解決的四類問及解題方法(1)求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．28

2222422222242222222(2)求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上利用奇偶性求解充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f()的方程組)，從而得到f)解析式．(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±(－)＝0得關(guān)于待求參數(shù)的等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)進而得出參數(shù)的值．(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性．題組訓練貴陽檢測若函數(shù)f(x)定義在上的奇函數(shù)x≥0時x)＝log(＋－12則f(－＝()A2C．2

BD．－4解析：C根題意得f(－6)＝－＝－＋2)＝－＝－2．已知函數(shù)fx)為奇函數(shù)，當x，f)＝x．

－x，則當x<0，函數(shù)f(x)最大值為解析法：當x<0時x，所以(－)＝x＋.因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以fx)11＝－(－)＝－－＝－＋＋，所以當<0時，函數(shù)的最大值為1法二：x>0時，fx)＝x－x＝x－－，小值為－因為函數(shù)f)為奇函數(shù)，所以當x<0時函數(shù)fx的最大值為.答案：．合肥八中模擬)若函數(shù)fx)＝xln(x＋ax)為偶函數(shù)，則a＝________.解析：fx)＝xln(＋ax為偶函數(shù)，∴(－)＝f(x，即－xln(a＋x－x＝xln(x＋＋)，從而a＋x)－]＝0，即ln＝，故a答案：1考三函的期29

4422則f244典例開封期已知定義在R上函數(shù)(x)滿足f)＝－＋2)∈(0,2]時，()＝2＋logx，則f(2019)＝)2A5C．

D．－2江高考)函fx)滿f(x＋＝fx∈R)，在區(qū)間(－上f(x)＝πxcos，x≤，x＋，x≤0，

則ff(15))的值為．解析由f)＝－fx＋2)，得f＋4)＝(x，所以函數(shù)fx是周期為周期函數(shù)，所以f＝(504＋3)＝＝f＋2)＝－f(1)－＋0)＝－2.(2)由函數(shù)fx)滿足fx＋4)＝fx)(∈R)可知函數(shù)fx)的周期是，所以f(15)f(－＝－＋＝，π所以ff(15))＝f＝＝答案(2)題組訓]

山西八校聯(lián)考)已知f是定義在R上的函數(shù)足＋＝－

≤x≤3時，()＝x，則

－＝________.解析：fx＋2)＝－

，∴f(＋＝()，∴－＝，又≤x≤3時f(x)＝，11∴＝，∴－＝.答案：哈爾濱六中期)設f(x)定義在R的周期為的函數(shù)x∈[－時(x)，－2≤≤，＝，

＝________.31解析：題意可得f＝f－＝－＝×－－2＝，f＝.30

3333答案：課跟檢]．下列函數(shù)為奇函數(shù)的()Af()＝x＋1C．f(x)＝

A－Bf(x＝ln＋D．(x)＝xsinx＋解析B對－)＝－x＋≠fx)其是奇函數(shù)B－)＝－－＝－ln＝－f(x)所以其是奇函數(shù)；對于C(－x＝≠－fx)，所以其不是奇函數(shù)；＋對于D，f－)＝－x－)＝xsin＝fx)，所以其不是奇函數(shù)．故選B.＋．南昌聯(lián))函數(shù)fx＝的象)A關(guān)于軸稱C．于坐標原點對稱＋解析選B因f()＝＝3軸對稱．

B關(guān)于y對稱D．關(guān)于直線y＝對＋3易fx)偶函數(shù)所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于y．設函數(shù)f(x)定義在上奇函數(shù)，且f(x)

則f－＝()A3C．

B－D．－2解析：因函數(shù)f()是定義在上的奇函數(shù)，且fx)＝所以f－7)－f＝－log(7＝－2．若定義在上偶函數(shù)fx)和奇函數(shù)g(x滿足f(x＋g(x＝，則gx)＝)Ae

－

＋

)C.

－)

(e－

)解析：因為f()＋gx)＝e，所以f－)＋g(－x)f)(x＝31

x，

2222222222e2e2所以(x＝(e

－．f(x)定義在上周期為的函數(shù)≤≤1時)＝x－xf

－＝)A－C.

B－解析：C因fx)是定義在R上周期為的函數(shù)，以f

5－＝f＝f1又當≤x≤，fx)＝x－，所以f＝－＝－，f－＝.44益湘潭調(diào)研定在R上函數(shù)f(x)滿足f(x＋5)＝f(x當∈(－時f)＝－x－1當∈時，fx)log，則(1)＋f(2)f＋…＋f(2的等于()2AC．806

BD．809解析：選定在上函數(shù)()，滿足f(x＋5)f)，即函數(shù)f(x)的周期為又當x∈(0,2]，fx)＝x，所以f(1)log1＝0f＝＝當x∈－時f()＝－－，22所以f＝f－2)＝，f(4)＝f－1)＝0，f(5)＝f＝故f＋(2)＋＋＋(2＝403×f(1)＋(2)＋(3)＋＋＋＋f(2017)f(2018)＋＝403＋(1)＋＋＋f＝403＋＋1＋＝405.．已知函數(shù)fx)偶函數(shù)，當x＞0，f(x)lnx，則ff

e

的值為_．解析：已知可得f

e

＝ln＝－，e所以ff

＝(－．又因為fx)是偶函數(shù)，所以ff

＝(－＝f＝ln2.答案：2．惠州調(diào)研已知函數(shù)fx)＝x＋－1()＝2，則f(－a)＝________.x解析：一：因為f()＋＝x＋，x設(x)＝(x)＋＝x＋，x易判斷()＝x＋為函數(shù)，x故(x)＋g－)＝x＋－x－＝0，x32

xx222222xx222222即fx)＋(－x)＋＝，故fx)f－)＝－所以fa)＋(－)＝－，故f－a)＝－4.法二：已知得f(a)＝a－12，即＋＝3，所以f－)＝－a－1＝－＋－＝31＝－a答案：－4(2019·一)函數(shù)f)＝ax＋x∈a－4a的象關(guān)于原點對稱則數(shù)g)＝＋，∈－，的值域．解析由函數(shù)fx)的圖象關(guān)于原點對稱，可得－4＋a，即a，則函數(shù)f)＝2＋，其定義域－，以f(0)，以＝0，所以(x)＝，易g(在－，1]上單調(diào)遞減，故值域[g(－，(4)]，－2，－答案：－2，－設數(shù)f()是定義在上奇數(shù)若x(0＋∞時fx＝lg則滿足fx)>0的x的值范圍是____________．解析：x>0時lg，所以x，當x<0時由奇函數(shù)的對稱性得<0，故填(－∪(1，＋∞．答案：(∪(1，＋∞11．f(x)R上奇函數(shù)，當>0時，(x＝2x

＋3＋，求(x)的解析式．解：x<0時－，則f－)＝－－)＋－x)＋1－2x－3＋由于fx)是奇函數(shù)，故f()＝－(－x，所以當x<0時，f(x)x＋3－因為fx)為R上的奇函數(shù)故f(0)＝＋x＋，x>0綜上可得fx)的解析式為f()＝＝0＋x－1，x<0.．設函數(shù)(x)是定義在上奇函數(shù)，對任意實數(shù)x有f(1)證明y＝(x)是周期函數(shù)，并指出其期；(2)若f(1)＝2求f(2)＋的值．

＋x＝－f－x

成立．解：(1)明：由f

3＋x＝f－x

，33

3356733567111223且f－x)＝－()，知f＋x)＝＋＋x＝f－＋x

＝－f－)＝fx，所以y＝(x)是周期函數(shù)，且＝3其一個周期．(2)因為f)為定義在上奇函數(shù)所以(0)＝，且(－＝－f＝－2，又T＝是y＝()的一個周期，所以f(2)＋(3)＝(＋(0)＝－20＝－B級．已知f(x是上小正周期為2的期函數(shù)，且當0≤x<2時f＝－，則函數(shù)y＝()的圖象在區(qū)0,6]上軸交點的個數(shù)()A6C．

BD．9解析：B因fx)最小正周期為2的期函數(shù)，且≤x<2時，fx＝－1)(＋，

－x＝x(x所以當≤x時fx)＝0兩個根，即x＝，x＝1.1由周期函數(shù)的性質(zhì)知，當≤x時，(x＝有個根，即＝2x＝；當≤x≤34時f)＝0有三個根，即x＝，＝5，x＝，故f()的圖象在區(qū)0,6]上軸的交點個數(shù)為7.．洛陽統(tǒng))若函數(shù)fx)＝

＋＋為函數(shù)，則實數(shù)＝________.解析：一：(定義法)∵函數(shù)(x＝＋1)＋為偶函數(shù)，f()＝)，即ln(e＋－ax＝ln(e＋1)＋ax∴2ax＝

e＋＋1)－ln(e＋1)＝＝＝，e＋1e∴2＝－1，解得＝－.法二：(殊值法)由題意知函數(shù)fx)定義域為R由f(x)偶函數(shù)得f－＝f(1)，e＋∴＋1)－a＋＋，2aln(e＋1)－ln(e＋1)＝ln＝ln＝－1，ee∴a－.答案：－x，x>0．已知函數(shù)fx)＝＝，

是奇函數(shù)．x(1)求實數(shù)m的；

＋mx，x<034

22222222(2)若函數(shù)fx)在區(qū)間－，－上調(diào)遞增，求實數(shù)取值范圍．解：(1)設<0則－x>0，所以f－x)＝－()＋－)＝－x－x.又fx)奇函數(shù)，所以f(－x＝－f(x)于是x<0時fx)x＋2＝x＋mx，所以＝(2)要使f)在－，上單調(diào)遞增，，結(jié)合fx)的圖象(如圖所示)知故實數(shù)取值范圍是．

所以＜≤3，35

5C．f5C．f75第節(jié)函性質(zhì)綜問考一函的調(diào)與偶[例

國卷Ⅰ)數(shù)fx在－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇數(shù)．若f＝－，則滿足－≤(x－≤1的的值范圍()A－C．

B－D．(2)函數(shù)y＝(x)在上調(diào)遞增函數(shù)f(＋2)是偶函數(shù)則下列結(jié)論立的()Af(1)<f<<f<f

Bf<f(1)<fD．<(1)<f解析∵()為奇函數(shù)，∴(－)＝－fx)∵(1)＝－，∴f(－1)－f(1)＝故由－1≤(－≤1得≤fx－2)≤f－1)．又fx)(－，∞)上單調(diào)遞減，∴－≤x－2≤，∴1≤x≤(2)∵函數(shù)y＝(x)[上調(diào)遞增，且函數(shù)f(＋是偶函數(shù)，∴函數(shù)y＝(x)2,4]單調(diào)遞減，且0,4]上數(shù)＝滿足f(2－x)＝(2＋x，∴(1)＝(3)，<(3)<f

，即f<ff

答案(2)B解題技法函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問解題思路解比較大小、最值問題應充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．解不等式問題時一定要充分利用已知的條，把已知不等式轉(zhuǎn)化成

fxf)或1fx)<fx)的式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列不等式(組，注意函定義域?qū)?參數(shù)的影響．36

3232題組訓練．已知函數(shù)fx)足以下兩個條件：①任意，∈，＋∞)且x≠，－x)·[(x)112－(x)]<0；②對定義域內(nèi)任意有f)＋f－)＝0，符合條件的函數(shù)()2Af()＝2xC．f(x)＝－x

Bf(x＝1|D．(x)＝ln(＋解析：C由件①可知，(x在(，＋∞上單調(diào)遞減，則可排除AD選，由條件②可知，x)為奇函數(shù)，則可排除B選項，故選石家莊一模)設f(x是定義在－3＋]的偶函數(shù)2b,上為增函數(shù)則f(－≥(3)的解集()A－C．－

B－D．解析：因f(x是定義在－3b上偶函數(shù)，所以有－2b＋＋＝0，解得＝，由函數(shù)fx)在－上增函數(shù)，得f)在0,6]上為減函數(shù)，故f(x－≥?(|x－1|)≥(3)?x－≤3故－≤≤考二函的期與偶典例山東高)已知fx是定義在R上偶函數(shù)，且(x＋＝f(x－2)若當x∈－3,0]，(x)＝6，＝解析∵(＋＝f(x－，∴(＋＝(x)，∴fx)的周期為，∵919153×61∴f(919)＝．又fx)偶函數(shù)，∴(919)f＝f－＝答案6解題技法已知fx)是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)知間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解．37

題組訓練知定義在R上的奇函數(shù)f()滿足f(x＝f

x＋f＝2f＝________.解析：為fx)＝－f

3x＋，以fx＋3)＝＋＋＝－f

x＋＝(x．所以fx)是以3為期的周期函數(shù)．則f＝×＋＝＝f－1)＝－f(1)＝答案：－2．已知f)是定義在上為期的偶函數(shù)，若fa－3則數(shù)a取值范圍為_．解析()是定義在R上周期為的函數(shù)＝f－＝(－＝(1)(1)<1f(5)a3<1，即答案：(∞，2)考三函性的合用典例全國卷)已知f)是定義域為－∞∞的奇函數(shù)足f(1－x)＝＋x．若f(1)2，則f＋f＋f(3)…＋f＝()A－C．

BD．501(2)定義在上的奇函數(shù)f(x)滿足f＋＝f，當x∈0時，()＝(1－x，則f()在區(qū)間1內(nèi)是(

)A減函數(shù)且f(x)>0C．函數(shù)且f(x)>0

B減函數(shù)且f(D．增函數(shù)且f解析法一：∵f)是奇函數(shù)，∴(－)＝－fx)∴－x)＝－(－．由f－x＝f＋x，得－(x－＝fx1)，∴(＋＝－(x)，∴(＋＝－(x＋2)fx，∴函數(shù)fx)是周期為4的期函數(shù)．由fx)奇函數(shù)得f(0)＝0.38

又∵f(1－x＝f＋)，∴()的圖象關(guān)于直線x＝稱，∴(2)＝(0)＝，∴f(2)＝0.又f＝2，∴f－1)－2∴(1)＋(2)＋(3)＋＝(1)＋f＋(－1)＋(0)＝＋0－＋0＝，∴(1)＋(2)＋(3)＋＋＋＋f＝0＋(49)f＝(1)＋(2)＝＋＝π法二由意可設f(x＝2sin

，作出fx)的部分圖象如圖所示．由圖可知，()的一周期為4所以＋＋f(3)…＋(50)f(1)＋(2)＋＋(4)]＋f(49)f(50)＝×＋＋f＝(2)當x∈0，時由fx)＝

12

－x)可知，()單調(diào)遞增且(x)>0，函數(shù)fx)為奇函數(shù)以f()在區(qū)間－，上單調(diào)遞增f(由＋＝f()知數(shù)的周期為，所以在區(qū)間1上函數(shù)f(x)調(diào)遞增且fx答案(1)C(2)D解題技法(1)函數(shù)的奇偶性稱期二斷一別注意“奇函數(shù)若在x＝0處定義，則一定有f(0)＝0；偶函數(shù)一定有f(|＝(x”在解題中的應用．解周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題，通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，再利用奇偶性和單調(diào)性求解．題組訓練．定義在上的奇函數(shù)(x滿足f(＋2)＝－f)且[上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是)A0<f(1)<C．ff(3)

Bf(3)<0<f(1)D．(3)<解析：C由數(shù)f(x)定義在上奇函數(shù)，得f(0)由fx＋2)－fx)得fx＋4)－fx＝f(x)故函數(shù)fx)是以為周期的周期函數(shù)，所以f＝f(－．39

1122211222又fx)[上單調(diào)遞減，所以函數(shù)fx)在－2,2)上單調(diào)遞減，所以f－f(0)>f，即ff．．已知函數(shù)y＝()的定義域為，且滿足下列三個條件：①對任意的，∈，f當x<時有>0恒成立(＋4)()y＝＋4)是偶函數(shù)a＝f(6)，1－x12＝，＝f，則，b，c的小關(guān)系正確的()Aa<<C．a(chǎn)<<b

Bb<a<cD．c<b解析：B由知函數(shù)f)區(qū)間上調(diào)遞增．由②知f(x＋＝－fx＋＝f(x)所以函數(shù)f)的周期為，所以＝(11)＝f(3)＝(17)f(2×＋＝f．由③可知(x的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，所以＝f(11)＝f＝f(5)c＝＝f(7)．因為函數(shù)()在區(qū)間4,8]上單調(diào)遞增，所以(5)<(6)<f，即ba.課跟檢]A．長春質(zhì))下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又(，＋∞)上單調(diào)遞增的是)A＝e＋－sinC．yx

B＝ln(|x＋1)D．y＝x－x解析：D選項A，B顯然是偶函數(shù)，排除；選項是奇函數(shù)，但在，＋∞)上不1是單調(diào)遞增函數(shù)合意D－是奇數(shù)＝x和＝－在(，＋x∞上均為增函數(shù)，故＝－(0，＋∞上為增函數(shù)所以選項D正．x．下列函數(shù)中，與函數(shù)＝－2的定義域、單調(diào)性與奇偶性均一致的函數(shù)()A＝C．yx

B＝x≥0，D．y＝<0解析：D函y＝－2為函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．函數(shù)y＝cos是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)．函數(shù)y＝是函數(shù)，但在R上調(diào)遞增．函數(shù)y40

2x22x2≥0＝的義域是{≠0}不是畫出函數(shù)＝的致圖象如圖示，可知該函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減．故選D.．已知定義在R上奇函數(shù)f)有ff的值為()

5x＋＋f(x)0，當－≤x≤0fx)＝2＋，則C.解析：A由

B－D．－x＋＋x)＝0得fx)－f＋＝fx＋，∴()是以周期的周期函數(shù)，∴＝f＋3×＝．∵()是上奇數(shù)，∴(0)＝1＋＝0∴a＝∴當－≤x≤0時f(x)－，∴(－＝2－＝－，1∴(1)＝，∴＝.．已知函數(shù)f(x是奇函數(shù)，在，＋∞)上是減函數(shù)，且在區(qū)[a，](<上的值域為－3,4]則在區(qū)[－，－]上)A有最大值C．最大值3

B有最小值－4D．有最小值－3解析：法：根據(jù)題意作出＝f(x)簡圖，由圖知，選B.法二：當x∈[－b，]時，－x∈[，b]由題意得fb)≤(－x)f(a)，即－3≤f)≤4∴－≤(x)≤3即在區(qū)間[－－a]上fx＝－fx)＝，minmax故選B.．惠州一)已知定義域為R的函數(shù)f()在(－∞，0]是減函數(shù)，且f(1)，則不等式f的解集()2A，＋∞

0∪，＋∞C.0，

∪(，＋∞)

D．(，＋∞41

11－fAf<f1－fBf<f1－C．f<f<f－11－fAf<f1－fBf<f1－C．f<f<f－22222解析：因f(x是R的偶函數(shù)，且－∞，0]是減函數(shù)，所以fx)在，＋∞上是增函數(shù)，所以f＝f(1)?(|logx|)>?|log?log>1x－1?x>2或0<<.22222合肥調(diào))定義在R上奇函數(shù)(x)足f(＋2)＝－0,1]上是減函數(shù)，則有)4D．f

3－ff解析C因(＋2)＝－()以f(x＋＝－f(＋＝f(x)以函數(shù)的周期為，作出f()的草圖，如圖，由圖知<f<．設fx)周期為的奇函數(shù)，當0≤x≤1時f(x)x(1－x，則f

－＝________.解析：

5－＝－＋2＝－＝f＝－.答案：－(2018·合肥二)設fx是定義在R上2為期的偶函數(shù)∈時(x＝log(x＋1)，則函數(shù)f(x)上解析式是________________解析：x∈－1,0]，∈[0,1]，合題意可得f()＝(－x)log(－x＋，令x∈，－∈1,0]，故fx)＝－(－＋＝－)故函數(shù)fx)在上解析式是f)＝log－)．答案：f)＝log－x2．已知定義在上的奇函數(shù)＝()在(0＋∞)單調(diào)遞增，且f解集為_______________

＝，f的解析由函數(shù)＝()(0＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增且

＝0可知函數(shù)y＝()在(－∞，內(nèi)單調(diào)遞增，且

1－＝0.由f，得>或x<0.242

答案：－<<0或x>

．已知函數(shù)f()偶函數(shù)，且函數(shù)(x與()的圖象關(guān)于直線y＝對，若(3)＝，則f(－＝________.解析因函數(shù)f與(x的圖象關(guān)于直線＝x對，且g＝2，所以f＝3.因為函數(shù)f()為偶函數(shù)，所以f－2)＝f＝答案：311fx)定義域為的期函數(shù)正周期為f(1＋x)＝(1－)－1x≤0時，()＝－x.(1)判斷f)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f)區(qū)間－上的表達式．解：(1)f(1＋)＝－，∴f－)＝＋)又fx＋2)f(x)f－x＝f(x)．又fx)定義域為R，∴()是偶函數(shù)．(2)當x∈[0,1]，∈－，則fx)f(－x＝x；從而當≤x≤2時－1≤x－≤0f)＝(x－＝－(x－＝－＋2.x∈[－1，故fx)＝∈－x＋，x∈[1，2].．設函數(shù)(x)是－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(＋＝－fx)當0≤時f(x)(1)求fπ)的；(2)當－≤x≤，求函數(shù)f(x)圖象與x軸圍成圖形的面積．解：(1)fx＋＝－(x)，fx＋＝x2)＋＝f＋2)f，所以fx)是以4為期的周期函數(shù)，所以f＝(－1×＋＝f－4)－f－＝－＝－(2)由fx)奇函數(shù)且fx＋＝－fx)得fx－2]＝fx－＝[(x－，f(1)＝(1．故函數(shù)y＝(x)圖象關(guān)于直線x＝1對．又當≤x≤1時f(x)＝，且fx的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則的圖象如圖所示43

2當－≤x≤4時，設f(x)圖象與x軸成的圖形面積為，則＝4＝×××1＝B級．已知fx)定義在上偶函數(shù)，且f(在(0＋∞)上單調(diào)遞增，)Af(0)>(log2)>(－log3)3Bf(log2)>ff－3)3C．f(－log3)>ff23D．(log3)>f(0)>(log23解析：C∵3>log2＝log2>0，且函數(shù))在(0＋)上單調(diào)遞增，223∴(log3)>f2)>f，又函數(shù)f)為偶函數(shù)，f3)＝(－3)，232∴(－logff(0)．23．定義在實數(shù)集上函f)滿足fx＋f(x＋2)＝，且f(4－x)＝()．現(xiàn)有以下三種敘述：①8是函數(shù)fx)的一個周期；②()的圖象關(guān)于直線x＝稱；③()是偶函數(shù)．其中正確的序號是_______．解析：fx)＋(x＋2)＝0得fx＋2)＝－fx，則fx＋4)－fx＝f(x)即是fx)的一個周期，8也fx)的一個周期，故①正確由f－x＝f)，得f()的圖象關(guān)于直線x＝對，故②正確；由f－x＝f)與fx＋4)＝f，得f－x＝f－)，(－)＝()，即函數(shù)fx)為偶函數(shù)，故③正確．答案：①②③設fx)定義在上偶函數(shù)圖關(guān)于直線＝1對稱對任意x∈0，12都有f(x＋＝ffx．1212(1)設f(1)＝2求f，；(2)證明：(x是周期函數(shù)．x解：(1)fx＋＝ff(x)，x，∈，，知fx)＝f≥0，x∈．1212121111∵(1)＝＋＝ff＝f

2

，f＝，44

∴111∴1114442∴

1＝2.∵＝＋＝f＝f，f＝2，

1＝2.(2)證明：依題設y＝fx關(guān)于直線＝對稱，∴()＝(2)．又∵f－)＝(x)∴f(－)＝－x)，∴()＝f(2)，∴()是定義在R上周期函數(shù)，且2是的一個周期．45

a>0右個單位b>0上個a>0右個單位b>0上個單位關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱關(guān)于直線y對稱a，橫坐標縮短為原來的縱標變a，縱坐標伸長為原來倍，橫坐標不變①y＝(x)的圖象軸下方部分翻折到上方②y＝(x)的圖象y＝(|的象．第節(jié)函的圖一基知．利用描點法作函圖象其基本步驟是列表、描點、連線．首先：(1)定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、周期性對稱性)；次，列表，描點，連線．．函數(shù)圖象的變換(1)平移變換①y＝(x)的圖象－a)的圖象；a<0左移個單位②y＝(x)的圖象)＋b的象．b<0下移個單位“左加右減，上加下”左加右減只針對本，與x的數(shù)無，上加下減指的是在f.(2)對稱變換①y＝(x)的圖象＝fx)圖象；②y＝(x)的圖象＝f(－x)的圖象；③y＝(x)的圖象－(－x)的圖象；④y＝a(a>0且≠的圖象logx(a>0且≠1)圖象．a(chǎn)(3)伸縮變換1①y＝(x)的圖象象．0<a，橫坐標伸為原來的倍縱坐不變a②y＝(x)的圖象的圖象．0<a縱坐標縮短為原來a倍，橫坐標不變(4)翻折變換y＝f)|的圖象；x軸及上方部分不變軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)原y軸左側(cè)部分去掉，右不變46

2222二常結(jié)．函數(shù)圖象自身的對稱(1)(－)＝(x)函數(shù)y＝)的圖象關(guān)于軸稱；(2)函數(shù)y＝(x)的圖象關(guān)于x＝對?fa＋x)＝(－x?()＝(2a－x)?(－x＝f＋x)；(3)若函數(shù)y＝(x)定義域為R且有f＋x＝b函數(shù)＝fx)的圖象關(guān)于直線＋＝對．．函數(shù)圖象自身的心對稱(1)(－)＝－fx)?數(shù)y＝(x)圖象關(guān)于原點對稱；函y＝fx)的圖象關(guān)于(對稱fa)＝－f(a?(x)－a－x?f－x＝－f＋x；(3)函數(shù)y＝(x)的圖象關(guān)于ab)成中心對稱fa＝2b－(－x)?)＝2－ax)．．兩個函數(shù)圖象之的對稱關(guān)系－(1)函數(shù)y＝(＋x)與y＝(－x)圖象關(guān)于直線x＝對(由a＋x＝bx得對稱軸方程；(2)函數(shù)y＝(x)與y＝－x的圖象關(guān)于直線x＝稱；(3)函數(shù)y＝(x)與y＝2－(－的圖象關(guān)于(0)對稱；(4)函數(shù)y＝(x)與y＝2－(2－x)的圖象關(guān)于(，)對稱．考一作數(shù)圖典例作下列函數(shù)的圖象．≤1，(1)y＝x－2，x；(2)y＝2(3)y＝x－－1.解分段分別畫出函數(shù)的圖象，如圖①所．47

222的圖象是由y＝222的圖象是由y＝222(2)y＝2

2

的圖象是由y＝

的圖象向左平移個位度得到的象圖②所示．－，x≥，(3)y＝－，x，

其圖象如圖③所示．變透練清[條件]若本例(2)變?yōu)閥＝

2試作出其圖象．解：y＝

的圖象向右平移2個位長度得到的，其圖象如所示．[