2022年湖南省張家界市中考數(shù)學真題（含詳細解析）

2022年湖南省張家界市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分，在每個小題的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.—2022的倒數(shù)是（）

11

A.2022B.-2022D.----------

20222022

2.我國是世界人口大國，中央高度重視糧食安全，要求堅決守住1800000000畝耕地紅線.將數(shù)據(jù)1

800000000用科學記數(shù)法表示為（）

A18xl08B.1.8xl09C.0.18x10'°D.1.8x10'°

3.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A我

4.下列計算正確的是（）

A.a^a^a6B.2a2+3a3=5a5C.（2a）2=4a2D.(a-l)2=a2-l

x+1>0

5.把不等式組《、，的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是（）

x+3?4

-2

-2-102-2-102

6.某班準備從甲、乙、丙、丁四名同學中選一名最優(yōu)秀的參加禁毒知識比賽，下表記錄了四人3次選拔測

試的相關數(shù)據(jù):

甲乙丙T

平均分95939594

C.丙D.T

k

7.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)丁=依+1伏工0）和丁=一出70）的圖像大致是（）

8.如圖，點。是等邊三角形A3C內一點,,則A4QB與ABOC的面積

「3GD.⑺

4

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

9.因式分解：/_25=一

10.從近，-1,乃，0,3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，恰好是無理數(shù)的概率是

11.如圖，已知直線a〃h,Zl=85°,Z2=60°,則N3=

53

12.分式方程一^二一的解是

x-2x

13.我國魏晉時期的數(shù)學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形和中間

的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學的成就.如圖，已知大正

方形ABC。的面積是100，小正方形的面積是4,那么tanNA￡）F=_.

3572n+l、

14.有一組數(shù)據(jù)：?,=-------"〃(〃+1)(〃+2)’已

1x2x32x3x4'33x4x5

S“=4+%…,則S]2=_.

三、解答題（本大題共9個小題，滿分58分.請考生用黑色碳素筆在答題卡相應的題號后的

答題區(qū)域內作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效.）

15.計算：2cos45。+（%-3.14）°+卜—0|+（；尸.

16.先化簡（1——1—）a-—-2-+-ci—^1----,再從1,2,3中選一個適當?shù)臄?shù)代入求值.

a-12a--2a+]

17.如圖所示的方格紙（1格長為一個單位長度）中，AAOB的頂點坐標分別為A（3,0）,0（0,0）,

仇3,4).

（1）將AAOB沿x軸向左平移5個單位，畫出平移后的△4。用（不寫作法，但要標出頂點字母）；

（2）將AAQ3繞點。順時針旋轉90°,畫出旋轉后△AQ區(qū)（不寫作法，但要標出頂點字母）；

（3）在（2）的條件下，求點3繞點。旋轉到點與所經過的路徑長（結果保留打）.

18.中國“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷化的運行時間由原來的3.5小時縮

短至1小時，運行里程縮短了40千米.已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時快200千米，求

高鐵的平均速度.

19.如圖，菱形A8CD的對角線AC、30相交于點。，點E是CO的中點，連接0E,過點。作

。5〃8。交?！甑难娱L線于點尸，連接。

(1)求證：kODE^MCE；

(2)試判斷四邊形8EC的形狀，并寫出證明過程.

20.為了有效落實“雙減”政策，某校隨機抽取部分學生，開展了“書面作業(yè)完成時間”問卷調查.根據(jù)

調查結果，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：

扇形統(tǒng)計圖

頻數(shù)分布直方圖

頻數(shù)分布統(tǒng)計表

組別時間x(分鐘)頻數(shù)

AO?x<206

B20?x<4014

C40?%v60m

D60?x<80n

E80?x<1004

根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息解答下列問題：

(1)頻數(shù)分布統(tǒng)計表中的加=—,〃=—;

(2)補全頻數(shù)分布直方圖；

(3)已知該校有1000名學生，估計書面作業(yè)完成時間在60分鐘以上(含60分鐘)的學生有多少人？

(4)若E組有兩名男同學、兩名女同學，從中隨機抽取兩名學生了解情況，請用列表或畫樹狀圖的方

法，求出抽取的兩名同學恰好是一男一女的概率.

21.閱讀下列材料：

(Ib

在△ABC中，NA、少笈、NC所對的邊分別為。、b、c,求證：-----=-----.

sinAsinB

證明：如圖1,過點C作于點。，則：

在RtABCD中，CD=asinB

在RtAACD中，CD=bsinA

asinB=bsinA

ab

/.-----=-----

sinAsinB

根據(jù)上面的材料解決下列問題：

(1)如圖2,在AA8C中，NA、E>B、NC所對的邊分別為。、b、c,求證：-----=-----；

sinBsinC

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域

需美化，已知NA=67。，ZB=53%AC=8O米，求這片區(qū)域的面積.(結果保留根號.參考數(shù)據(jù):

sin53°?0.8,sin67°?0.9)

22.如圖，四邊形ABC。內接于圓O,A8是直徑，點。是BO的中點，延長4)交的延長線于點

E.

(1)求證：CE=CD；

(2)若他=3,BC=y/3，求AD的長.

23.如圖，已知拋物線丁=0？+笈+3(。工0)的圖像與工軸交于4(1,0),8(4,0)兩點，與V軸交于點

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點。的坐標；

(2)若四邊形BCE尸為矩形，C￡=3.點M以每秒1個單位速度從點C沿CE向點E運動，同時點

N以每秒2個單位的速度從點E沿EE向點尸運動，一點到達終點，另一點隨之停止.當以M、E、

N為頂點的三角形與N3OC相似時，求運動時間f的值；

(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點p,點G是點P關于點。的對稱點，點。是x軸下方拋物線圖像上的

動點.若過點。的直線/：y=丘+m(悶＜/與拋物線只有一個公共點，且分別與線段G4、相交于

點，、K，求證：GH+GK為定值.

2022年湖南省張家界市中考數(shù)學試卷解析

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分，在每個小題的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.—2022的倒數(shù)是（）

A.2022B.-2022C.」一D.

2022

2022

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)倒數(shù)定義解答.

【詳解】解：-2022倒數(shù)是一——,

2022

故選：D.

【點睛】此題考查了倒數(shù)的定義，熟記定義是解題的關鍵.

2.我國是世界人口大國，中央高度重視糧食安全，要求堅決守住1800000000畝耕地紅

線.將數(shù)據(jù)1800000000用科學記數(shù)法表示為（）

A.18x10'B.1.8xl09C.0.18x10,°D.

1.8x10'°

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用科學記數(shù)法的表示形式求解即可.

【詳解】解：1800000000=1.8x1（）9,

故選：B.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其

中L,時＜10，"為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重

合.

4.下列計算正確的是()

A.片.//B.2a2+3a3=5a5C.(2a)?=4/D.

(a-1)2=a2-l

【答案】C

【解析】

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)累的乘法運算，合并同類項，積的乘方及完全平方公式進行計

算，繼而判斷即可.

【詳解】A.。2匕3=42+3=。5,因此該選項不符合題意；

B.2/與3a3不是同類項，因此不能合并，所以該選項不符合題意；

C.(2〃)2=4/,因此該選項符合題意；

D.(a-1)2=a2-2a+l,因此該選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查同底數(shù)塞的乘法，合并同類項，積的乘方及完全平方公式，將每個選項

分別進行化簡或計算是正確解答的關鍵.

[x+l>0

5.把不等式組《的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是()

x+3?4

-2-1012-2-1012

【答案】D

【解析】

【分析】求出不等式組解集，即可得

【詳解】解：c,?

[x+3,,4②

由①得：x>-1,

由②得：毛,1，

二不等式組的解集為

在數(shù)軸上表示該不等式組的解集只有D選項符合題意；

故選D.

【點晴】本題考查解一元一次不等式組，解題的關鍵是掌握解不等式的步驟，能求出不等

式組中各不等式的公共解集.

6.某班準備從甲、乙、丙、丁四名同學中選一名最優(yōu)秀的參加禁毒知識比賽，下表記錄了

四人3次選拔測試的相關數(shù)據(jù)：

甲乙內丁

平均分95939594

方差3.23.24.85.2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，應該選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】從平均數(shù)和方差進行判斷，即可得

【詳解】解：從平均數(shù)看，成績最好的是甲、丙同學，

從方差看，甲、乙方差小，發(fā)揮最穩(wěn)定，

所以要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學參加禁毒知識比賽，應該選擇甲，

故選：A.

【點晴】本題考查了平均數(shù)和方差，熟悉它們的意義是解題的關鍵.

7.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)丁=丘+1伏式0）和y=K（左。0）的圖像大致是

X

()

【解析】

【分析】分攵＞0或左＜0,根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質即可得出答案.

k

【詳解】解：當%＞0時，一次函數(shù)丁=履+1經過第一、二、三象限，反比例函數(shù)＞=一

x

位于第一、三象限；

當攵＜0時，一次函數(shù)丁=履+1經過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=七位于第二、四

x

象限；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質，熟練掌握女〉0,圖像經

過第一、三象限，k＜0,圖像經過第二、四象限是解題的關鍵.

8.如圖，點。是等邊三角形ABC內一點，OA=2,OB=1,OC=5則AAOB與

A.近B.也C.迪D.G

424

【答案】C

【解析】

【分析】將MOB繞點B順時針旋轉60°得ABCD,連接。。，得到&BOD是等邊三角

形，再利用勾股定理的逆定理可得NC8=90°,從而求解.

【詳解】解：將AAOB繞點B順時針旋轉60°得ABCD,連接0。，

A

B

D

:.OB=OD,ZBOD=0)°,CD=OA=2,

，ABO。是等邊三角形,

:.OD=OB=1,

VOD2+OC2=12+(V3)2=4,0)2=22=4，

OD2+OC2=CD2,

:.ZDOC=90°,

AAQB與ABOC的面積之和為

S?BOC+S.BCD=S.BOD+S.COD=^xF+gxlx6=--

故選：c.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理，旋轉的性質等知

識，利用旋轉將AAOB與ABOC的面積之和轉化為久是解題的關鍵.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)

9.因式分解：25=一.

【答案】(a+5)(a-5)

【解析】

【分析】直接利用平方差公式分解即可得.

【詳解】解：原式=/-52=.+5乂。一5).

故答案為：(a+5)(a—5).

【點晴】本題考查了公式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

10.從-1,乃，0,3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，恰好是無理數(shù)的概率是

2

【答案】1##0.4

【解析】

【分析】先確定無理數(shù)的個數(shù)，再除以總個數(shù).

【詳解】解：叵,乃是無理數(shù)，

2

P（恰好是無理數(shù)）=§?

2

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了概率公式及無理數(shù)，熟練掌握概率公式及無理數(shù)的定義進行計算

是解決本題的關鍵.

11.如圖，已知直線?！ㄈ隯l=85°,Z2=60°,則N3=_.

【答案】35。##35度

【解析】

【分析】由平行線的性質可得NOCE=N1=85°,再由對頂角相等得NABC=N2,

ZACB=NDCE,再由三角形的內角和即可求解.

【詳解】解:如圖，

?：allb,Zl=85°,

二.NDCE=N1=85。,

:.ZACB=ZDCE=85°,

?.?N2=60。，ZABC=Z2,

:.ZABC=60°,

Z3=180°-ZAG8-ZABC=180°-85°-60°=35°.

故答案為：35°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，三角形的內角和定理，解答的關鍵是熟記平行線的

性質：兩直線平行，同位角相等.

12.分式方程^5=3巳的解是.

x-2x

【答案】x=-3

【解析】

【分析】方程兩邊都乘x(x-2)得出整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可二

【詳解】解：方程兩邊都乘x(x-2),得

5JC=3(X-2),

解得：x=-3,

檢驗：當4-3時x(x-2)川，

所以乒-3是原方程的解，

故答案為：x=-3.

【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵.解分式

方程注意要檢驗.

13.我國魏晉時期的數(shù)學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作注解時，用4個全等的直

角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國古代

數(shù)學的成就.如圖，已知大正方形A6C。的面積是100,小正方形瓦的面積是4,

那么tanZADF=_.

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】根據(jù)兩個正方形的面積可得AO=10，DF-AF=2,設=得到

DF=x+2,由勾股定理得d+(x+2)2=1()2,解方程可得"的值，從而解決問題.

【詳解】解：?.,大正方形ABC。面積是100,

AD=10.

；小正方形EFGH的面積是4,

.,.小正方形EFGH的邊長為2,

:.DF-AF=2,

設=

則OR=x+2,

由勾股定理得，X2+股+2）2=102,

解得x=6或-8（負值舍去），

AF=6,DF=8,

AF63

tanZADF

OF84

3

故答案為：一.

4

【點睛】本題主?？疾榱苏叫蔚男再|，勾股定理，三角函數(shù)等知識，利用勾股定理列方

程求出AF的長是解題的關鍵.

14.有一組數(shù)據(jù)：a,,a'=%=

1x2x322x3x4f33x4x5

2〃+1

記5〃=4+%+。3+…則、2=

〃(〃+1)(〃+2)

【答案】猾

【解析】

【分析】通過探索數(shù)字變化的規(guī)律進行分析計算.

【詳解】解：a,--------=—=—xldX

1x2x322221+2

5511131

--=——X---1------X—

2x3x42422222+2

7711131

=—=-x—?-------x—

3x4x56023223+2

2n+l11131

------------------=—x—+-----——X-------

++2n〃+12〃+2

當九=12時,

原式=；i+LL—

2312

201

菽

故答案為：--,

182

【點睛】本題考查分式的運算，探索數(shù)字變化的規(guī)律是解題關鍵.

三、解答題（本大題共9個小題，滿分58分.請考生用黑色碳素筆在答題卡相

應的題號后的答題區(qū)域內作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超

出答題區(qū)域的作答無效.)

15.計算：2cos45°+(萬—3.14)°+卜一也|+(；尸.

【答案】20+2

【解析】

【分析】先將各項化簡，再算乘法，最后從左往右計算即可得

【詳解】解：原式=2x，Z+l+0-l+2

2

=2V2+2.

【點晴】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)基，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)幕，解題的關

鍵是掌握特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)'累，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)累的性質.

16.先化簡(1一一1二)十a—幺2二+,ci—1，再從1,2,3中選一個適當?shù)臄?shù)代入求值.

u—12cr—2a+1

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運算的法則進行化簡后，再根據(jù)分式有意義的條件確定。的

值，代入計算即可.

a一22a一1

【詳解】解：原式=石■.二+西了

21

=--------1--------

a—1ci-1

3

=-----

(X-1

因為a=l,2時分式無意義，所以4=3,

3

當a=3時，原式=—,

2

【點睛】本題考查分式的化簡與求值，掌握分式有意義的條件以及分式混合運算的方法是

正確解答的關鍵.

17.如圖所示的方格紙(1格長為一個單位長度)中，A4QB的頂點坐標分別為A(3,0),

0(0,0),5(3,4).

（1）將AAC厲沿x軸向左平移5個單位，畫出平移后的△4°1與（不寫作法，但要標出

頂點字母）；

（2）將AAO8繞點。順時針旋轉90°,畫出旋轉后的△A。/,（不寫作法，但要標出頂

點字母）；

（3）在（2）的條件下，求點8繞點。旋轉到點所經過的路徑長（結果保留萬）.

【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）—

2

【解析】

【分析】（1）利用平移變換的性質分別作出A,O,B的對應點4,O,,即可；

（2）利用旋轉變換的性質分別作出A,O,B的對應點A2，。2，3即可；

（3）利用弧長公式求解即可.

【小問1詳解】

解：如圖，AA。&（即△4。&）即為所求;

【小問3詳解】

解：在R/A4OB中，03=舊再/=5,

I—X2乃X5——7T.

3602

【點睛】本題考查作圖-旋轉變換，平移變換，勾股定理、弧長公式等知識，解題的關鍵

是掌握平移變換，旋轉變換的性質.

18.中國“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷化的運行時間由原

來的3.5小時縮短至1小時，運行里程縮短了40千米.已知高鐵的平均速度比普通列車的

平均速度每小時快200千米，求高鐵的平均速度.

【答案】296km/h

【解析】

【分析】設高鐵的速度，再表示出普通列車的速度，然后根據(jù)高鐵行駛的路程+40=普通列

車行駛的路程列出方程，再求出解即可.

【詳解】解：設高鐵的平均速度為xkm/h,則普通列車的平均速度為(*200)km/h,

由題意得：x+40=3.5(x-200),

解得：x=296.

答：高鐵的平均速度為296km/h.

【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列方程.

19.如圖，菱形A6C。的對角線AC、80相交于點。，點E是CO的中點，連接。E，

過點。作6戶〃交OE的延長線于點F,連接。

(1)求證：bODE三江CE；

(2)試判斷四邊形OO”■的形狀，并寫出證明過程.

【答案】(1)見解析(2)矩形，見解析

【解析】

【分析】(1)由題意得CE=O￡,根據(jù)平行線的性質得NQDE=NFCE,用ASA即可證

明AODEM^FCE；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得O￡=EE,即可得四邊形ODFC為平行四邊形，根據(jù)菱

形的性質得ACJ_8O,即NE>OC=90°,即可得.

【小問1詳解】

證明：???點E是。。的中點，

/.CE=DE,

又YCF//BD

/ODE=/FCE,

在△<?￡>￡和AFCE中，

NODE=ZFCE

<DE=CE,

NDEO=NCEF

:.AQDEMAFCE(ASA)；

【小問2詳解】

四邊形。。bC為矩形，證明如下：

證明：vAODE^AFCE,

:.OE=FE,

又?.?CE=OE,

四邊形O0FC為平行四邊形，

又,??四邊形A3CD為菱形，

.-.ACA.BD,

即NOOC=90。，

四邊形ODFC為矩形.

【點睛】本題考查了菱形的性質，矩形的判定，全等三角形的判定與性質，解決本題的關

鍵是掌握菱形的性質.

20.為了有效落實“雙減”政策，某校隨機抽取部分學生，開展了“書面作業(yè)完成時間”

問卷調查.根據(jù)調查結果，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：

頻獨

頻數(shù)分布直方圖

頻數(shù)分布統(tǒng)計表

組別時間X（分鐘）頻數(shù)

A0?x<206

B20?x<4014

C40?x<60m

D60?x<80n

E80?x<1004

根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息解答下列問題：

（1）頻數(shù)分布統(tǒng)計表中的機=,〃=；

（2）補全頻數(shù)分布直方圖；

（3）已知該校有1000名學生，估計書面作業(yè)完成時間在60分鐘以上（含60分鐘）的學

生有多少人？

（4）若￡組有兩名男同學、兩名女同學，從中隨機抽取兩名學生了解情況，請用列表或

畫樹狀圖的方法，求出抽取的兩名同學恰好是一男一女的概率.

【答案】（1）18；8

（2）見解析（3）240人

【解析】

【分析】（1）由8組的頻數(shù)除以所占百分比得出抽取的總人數(shù)，即可解決問題；

（2）由（1）的結果，補全頻數(shù)分布直方圖即可；

（3）由該校學生總人數(shù)乘以書面作業(yè)完成時間在60分鐘以上（含60分鐘）的學生所占的

比例即可；

（4）列表得出共有12種等可能的結果，其中抽取的兩名同學恰好是一男一女的結果有8

種，再由概率公式求解即可.

【小問1詳解】

抽取的總人數(shù)為：14+28%=50（人），

...，〃=50X36%=18,

.,.”=50-6-14-18-4=8,

故答案為：18,8；

【小問2詳解】

頻數(shù)分布直方圖

【小問3詳解】

1000x^8—+4^^240（人）,

50

答：估計書面作業(yè)完成時間在60分鐘以上（含60分鐘）的學生有240人;

【小問4詳解】

列表如下：

男1男2女1女2

（男1,男（男1，女（男1，女

男1

2）1）2）

（男2,男（男2,女（男2,女

男2

1）1）2）

（女1，男（女1，男（女1,女

女1

1）2）1）

（女2,男（女女男（女1，女

女2

1）2）2）

由表可知，共有12種等可能的結果，其中抽取的兩名同學恰好是一男一女的結果有8利

Q2

???抽取的兩名同學恰好是一男一女的概率===彳.

123

【點睛】本題考查了用列表法求概率、頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖等知

識.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.用到的知

識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.閱讀下列材料：

a_b

在AABC中，NA、￡）3、NC所對的邊分別為b、c,求證:

sinAsinB

證明：如圖1,過點C作cr>j_48于點O,貝IJ：

在RtABCD中，CD=asmB

在RtAACD中，CD=bsinA

:.asinB=bsinA

ab

-----=-----

sinAsinB

（1）如圖2,在AA3c中，NA、SB、NC所對的邊分別為。、b、c,求證:

b_c

sinBsinC

（2）為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的

一片三角形區(qū)域需美化，已知NA=67°,NB=53°,AC=80米，求這片區(qū)域的面

積.（結果保留根號.參考數(shù)據(jù)：sin53°a0.8,sin67°?0.9）

【答案】（1）見解析（2）1800石

【解析】

【分析】（1）作8c邊上的高，利用三角函數(shù)表示A。后，即可建立關聯(lián)并求解；

（2）作8c邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC,即可求解.

【小問1詳解】

證明：如圖2,過點A作4），5c于點。，

在欠中，AD=csinB,

在汝AAC￡）中，AD=bsinC,

■■csinB=/?sinC,

【小問2詳解】

解：如圖3,過點A作AE_L8C于點E，

vZA4C=67°,4=53°,

NC=60°,

在RrAACE中，AE=ACsin60'=80x

又?_A__C__=____B__C____

sinBsinZBAC

80BC

即Rrt—=,

0.80.9

6c=90㈣,

S^BC=1x90x40>/3=180073（也.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數(shù)

的定義是解決問題的前提.

22.如圖，四邊形A6c。內接于圓。，AB是直徑，點C是80的中點，延長交8C

的延長線于點E.

(1)求證：CE=CD；

(2)若AB=3,BC=6求的長.

【答案】(1)見解析(2)1

【解析】

【分析】(1)連接AC,根據(jù)圓周角推論得NAC6=NACE=90。，根據(jù)點C是80的中

點得NCAE=NC46,CD=CB,用ASA證明AACE也AACB,即可得；

(2)根據(jù)題意和全等三角形的性質得A￡=43=3,根據(jù)四邊形ABQ9內接于圓。和角

之間的關系得NCDE=NAB￡,即可得AEOCSAEBA,根據(jù)相似三角形的性質得

DECD用一,口

--------,即可得

BEAB

【小問1詳解】

證明：如圖所示，連接AC,

QA8為直徑,

：.ZACB=ZACE=90°,

又；點C是50的中點

ZCAE=ZCAB,CD=CB,

在~4CE和△AC8中，

NACE=NACB

<AB=AC

^CAE=^CAB

:.^ACE^^ACB（ASA）,

CE-CB,

；.CE=CD；

【小問2詳解】

解：?.?AACE=A4C8,AB=3,

AE=AB=3,

又???四邊形A6CO內接于圓。，

.-.ZADC+ZABC=180°,

又ZADC+4CDE=180°,

ZCDE=ZABE,

又?.?/￡=/￡，

;.\EDC^^BA,

DECD

-AB

即：絆=近,

2V33

解得：DE=2,

：.AD^AE-DE=i.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，理

解相關性質定理，正確添加輔助線是解題關鍵.

23.如圖，已知拋物線曠=辦2+陵+3(。/0)圖像與x軸交于A(l,0),8(4,0)兩點，與

y軸交于點c,點。為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點。的坐標;

(2)若四邊形3CEE為矩形，CE=3.點M以每秒1個單位的速度從點。沿CE向點

E運動,同時點N以每秒2個單位的速度從點E沿所向點尸運動，一點到達終點，另

一點隨之停止.當以M、E、N為頂點的三角形與ABOC相似時，求運動時間f的值;

(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點點G是點P關于點。的對稱點，點。是x軸下方

Q

拋物線圖像上的動點.若過點。的直線/：y=kx+m(\k\<^)與拋物線只有一個公共點,

且分別與線段G4、G8相交于點”、K,求證：G//+GK為定值.

315527

【答案】(1)y=：x~——x+3；頂點為0(二,——)

44216

9f6

(2)「=—或，=一

115

(3)見解析

【解析】

【分析】(1)設二次函數(shù)表達式為：y^ax2+bx+3,將41,0)、8(4,0)代入

315

y=ax2+bx+3,進行計算即可得y=二/一一3,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得；

44x+

(2)依題意，，秒后點M的運動距離為CM=r,則M￡=3—r,點N的運動距離為

EN=2t,分情況討論：①當AEMNsAQBC時，②當AEWSAOCB時，進行解答

即可得；

5?7Q

(3)根據(jù)對稱性質得6(萬,一百)，根據(jù)直線/：y="+，〃(陶<[)與拋物線圖像只有

一個公共點，即可得加=144—(41+15)’,利用待定系數(shù)法可得直線G4的解析式為：

48

［，+144-(4^15)-

99948

一一x+一，直線G8的解析式為：y=-X-9,聯(lián)立，結

44499

y=——x+—

r44

,,g4左+214%+39

合已知陶＜“解得：xH=12,同理可得：XK=]