2022年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2022年長(zhǎng)沙市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，請(qǐng)考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)、考室和座位號(hào)；

2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效；

3.答題時(shí)，請(qǐng)考生注意各大題題號(hào)后面的答題提示；

4.請(qǐng)勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；

5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本學(xué)科試卷共25個(gè)小題，考試時(shí)量120分鐘，滿分120分.

一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題

意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1.一6的相反數(shù)是（）

1,I

A.B.—6C.一D.6

66

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得.

【詳解】解：一6的相反數(shù)是6.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖是由5個(gè)大小相同的正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（）

A.B.

c.D

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)從正面看的圖形是主視圖即可求解.

【詳解】解：該幾何體的主視圖是

故選B.

【點(diǎn)睛】考查幾何體的三視圖的知識(shí)，從正面看的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看

到的圖象是俯視圖.掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查

B.“太陽(yáng)東升西落”是不可能事件

C.為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是條形統(tǒng)計(jì)圖

D.任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)全面調(diào)查與普查，隨機(jī)事件，必然事件，統(tǒng)計(jì)圖的選擇，逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.“太陽(yáng)東升西落”是必然事件，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是扇形統(tǒng)計(jì)圖，故該選項(xiàng)不正確，不符合題

意；

D.任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)可能是13次，故該選項(xiàng)不正確，不符合題

意；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了全面調(diào)查與普查，隨機(jī)事件，必然事件，統(tǒng)計(jì)圖的選擇，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來(lái)區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事

件：在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件

稱為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件.條形統(tǒng)計(jì)圖能

很容易看出數(shù)量的多少；折線統(tǒng)計(jì)圖不僅容易看出數(shù)量的多少，而且能反映數(shù)量的增減變化情況；扇形統(tǒng)

計(jì)圖能反映部分與整體的關(guān)系；由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣

調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似，由此根據(jù)情況選擇即可.

4.下列計(jì)算正確的是()

A.a1-^cv'—crB.5a—4a=1C.3a2-2a3=6?6D.(a-by—a"—h~

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的除法，合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式的乘法，完全平方公式逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.5a—4ci=a＞故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.3a2.%3=645,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.(a-b)2=a2-2ab+b2,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)基的除法，合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式的乘法，完全平方公式，掌握運(yùn)算法則以及乘

法公式是解題的關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(5,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-5,1)B.(5,-1)C.(1,5)D.(-5,-1)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，即可求解.

【詳解】解：點(diǎn)(5,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-5,-1).

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互

為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》首次把學(xué)生學(xué)會(huì)炒菜納入勞動(dòng)教育課程，并做出明確規(guī)定.某班有

7名學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)炒的菜品的種數(shù)依次為：3,5,4,6,3,3,4,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是

()

A.3,4B.4,3C.3,3D.4,4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】1口出現(xiàn)次數(shù)最多，

，眾數(shù)是3；

把這組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?,3,3,4,4,5,6,

，4位于第四位，

?1?中位數(shù)4；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的概念，一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為眾數(shù)；按從小到大(或從大

到小)順序排列，處于中間位置的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，熟練掌握這兩個(gè)知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng).現(xiàn)需購(gòu)買甲，乙兩

種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，設(shè)購(gòu)買甲種讀

本x本，則購(gòu)買乙種讀本的費(fèi)用為()

A.8尤元B.10(100-%)%C.8(100-幻元D.(100-8X)元

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意列求得購(gòu)買乙種讀本(100-X)本，根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量即可求解.

【詳解】解：設(shè)購(gòu)買甲種讀本X本，則購(gòu)買乙種讀本(100-力本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，則則購(gòu)買

乙種讀本的費(fèi)用為8(10()-%)元

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AB//CD,AE//CF,ZBAE=75°,則NDCF的度數(shù)為()

A.65°B.70°C.75°D.105°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)4E,8交于點(diǎn)G,

???AB//CD,/BAE=15。,

NDGE=ZBAE=75°

???AE//CF

；.ZDCF=ZDGE=75。

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，PA,P8是。。的切線，4、8為切點(diǎn)，若NAO8=128°,則NP的度數(shù)為（）

A.32°B.52°C.64°D.72°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：；以，PB是。。的切線，

OA1PA,OB1PB,

:.ZPAO=ZPBO=90°,

??1ZAOB=128°,

則NP=360°-90。-90。-128。=52°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

io.如圖，在AABC中，按以下步驟作圖:

①分別過(guò)點(diǎn)4、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P、。兩點(diǎn);

2

②作直線尸。交AB于點(diǎn)￡>；

③以點(diǎn)。為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧交P。于點(diǎn)M、連接AM、BM.

若A8=28，則AM的長(zhǎng)為（）

A.4B.2C.73D.V2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)作圖可知垂直平分A8，DM=-AB,AA6M是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解.

2

詳解】解：由作圖可得垂直平分AB,AD^DM^-AB=41

2

則AADW是等腰直角三角形

...由勾股定理得：AM=y/iAD=O乂插=2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握基本作圖理解題意是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【答案】X>19

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得1920,求解即可.

【詳解】?.?式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

.-.x-19>0,

解得xil9,

故答案為：x>19.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

12.分式方程2人=5—的解是.

【答案】m2

【解析】

【詳解】解：兩邊同乘x(x+3),得2(x+3)=5x,

解得42,

經(jīng)檢驗(yàn)k2是原方程的根；

故答案為：尸2.

【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：解分式方程.

13.如圖，A、B、C是。。上的點(diǎn)，OCVAB,垂足為點(diǎn)￡>,且。為OC的中點(diǎn)，若Q4=7,則8c的

長(zhǎng)為.

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理可得OC垂直平分AB，根據(jù)題意可得A3平方OC，可得四邊形AO8C是菱形,

進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，連接OB,C4,

???A、B、C是。。上的點(diǎn)，OC±AB,

AD=DB>

。為OC的中點(diǎn)，

OD=DC,

四邊形AO5C是菱形，Q4=7,

，BC=AO=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

14.關(guān)于的一元二次方程/+2%+/=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)f的值為.

【答案】t<1

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程/+2*+，=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得△>(),求解即可.

【詳解】???關(guān)于x的一元二次方程9+2%+『=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.?.A=22-4xlxr>0-

..r<1.

故答案為：^<1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程依2+法+。=0俗#0)的根與

△=/—4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)/<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

15.為了解某校學(xué)生對(duì)湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1000名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了100名

學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.結(jié)果顯示有95名學(xué)生知曉.由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的學(xué)

生有名.

【答案】950

【解析】

95

【分析】用1000X——即可求解.

100

95

【詳解】解：估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的學(xué)生有1000x——=950(名)

100

故答案為：950

【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體，掌握用樣本估計(jì)總體是解題的關(guān)鍵.

16.當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大.保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日

常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼''已經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威力.看似“碼碼相同”，實(shí)則

“碼碼不同”.通常，一個(gè)“二維碼，，由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其

他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼.根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以

生成22°°個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)2200的理解如下：

yas（永遠(yuǎn)的神）：220°就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；

（懂的都懂）：22°°等于2（X）2;

（覺(jué)醒年代）：22°°的個(gè)位數(shù)字是6；

QGJW（強(qiáng)國(guó)有我）:我知道2i°=1024,103=1000,所以我估計(jì)2200比1（嚴(yán)大.

其中對(duì)2200的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是（填寫網(wǎng)名字母代號(hào)）.

【答案】DDDD

【解析】

【分析】根據(jù)乘方含義即可判斷yTOS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將22°°化

為（2">°）2,再與ZOO?比較，即可判斷（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；根據(jù)2的乘方的個(gè)位數(shù)字的

規(guī)律即可判斷JXN。（覺(jué)醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得

2200=（210）2°,10^^（103）20,即可判斷QGKW（強(qiáng)國(guó)有我）的理解是正確的.

【詳解】220°是200個(gè)2相乘，1TOS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；

2200=（21。。）2/2002,。力。。（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；

2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32...,

2的乘方的個(gè)位數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，

?.?2（X）+4=5（）,

...2200的個(gè)位數(shù)字是6,JXND（覺(jué)醒年代）的理解是正確的；

...2200=（21。）201060=（］03）2。，2">=1024,1（）3=1000,且21°>1（）3

/,220°>1060.故QGKW（強(qiáng)國(guó)有我）的理解是正確的；

故答案為：DDDD.

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的含義，基的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，

第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)

明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.計(jì)算：|T|+——(0)2+2035°.

【答案】6

【解析】

【分析】原式分別根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞、二次根式的乘方以及零指數(shù)募運(yùn)算法則化簡(jiǎn)各

項(xiàng)后，再算加減即可.

(1、T

【詳解】解：|-4|+——(揚(yáng)2+2035°

<3/

=4+3—2+1

=6

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握各部分的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

3x>—8一JCQ)：

18.解不等式組：，、，不

[2(x-l)W6②

【答案】—2<xW4

【解析】

【分析】分別解兩個(gè)一元一次不等式，再寫出不等式組的解集即可.

【詳解】解不等式①，得x>-2,

解不等式②，得xV4,

所以，不等式組的解集為—2<xW4.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

19.為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù).某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改

造.如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角N84￡>=30°,8O_LAZ>于點(diǎn)D為方便通行，在

不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°.

(1)求該斜坡的高度80；

(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離.(假設(shè)圖中C,4,。三點(diǎn)共線)

【答案】(1)10m(2)20m

【解析】

【分析】(1)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

(2)根據(jù)44O=NC+NABC，可得NABC=15°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

???ABAD=30°,BD±AD,AB=20m

BD=—AB=10m

2

【小問(wèn)2詳解】

■.-C,A,。三點(diǎn)共線，ZBAD=30°,ZACB=\50

ZABC=Zfi4Z>-ZC=15°

AC—AB-20m

【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

20.2022年3月22日至28日是第三十五屆“中國(guó)水周”，在此期間，某校舉行了主題“為推進(jìn)地下水超

采綜合治理，復(fù)蘇河湖生態(tài)環(huán)境”的水資源保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽.為了了解本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的分布情況，從參

賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了150名學(xué)生的初賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

成績(jī)X/分頻數(shù)頻率

60<x<70150.1

70<x<80a0.2

80<x<9045b

90<x<10060c

(1)表中。=,b=

(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖:

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績(jī)均為99分，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加復(fù)

賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率.

【答案】(1)30,0.3,0.4

(2)見解析(3)選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率為g

【解析】

【分析】(1)由總?cè)藬?shù)減去已知的頻數(shù)即可求出。的值，再根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)可得從c的值;

(2)根據(jù)。的值補(bǔ)全直方圖即可;

(3)根據(jù)題意，列表，再根據(jù)概率公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

。=150-15—45—60=30,

/?=—=0.3,

150

60.

——=0.4,

150

故答案為：30,0.3,0.4；

小問(wèn)2詳解】

頻數(shù)分布直方圖如圖所示:

【小問(wèn)3詳解】

用A,3,C分別表示3名女生，用”表示1名男生，列表如下:

ABCd

ABACAdA

BABCBdB

CACBCdC

dAclBdCd

共有12種等可能結(jié)果，其中選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有6種,

.-.P（選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生）=9=,

122

選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率為g.

【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)表和頻數(shù)分布直方圖，涉及求頻率，畫頻數(shù)分布直方圖，用列表法或畫樹狀圖求

概率，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，AC平分N84DCBA.AB,CD±AD,垂足分別為B,D.

(1)求證：△ABCgaADC；

(2)若A3=4,CD=3,求四邊形ABC。的面積.

【答案】（1）見解析(2)12

【解析】

【分析】（1）由角平分線定義和垂直的定義求出NC48=NCAD,ZB=N。，結(jié)合已知條件，利用

“AAS”即可求證；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得A8=AZ）=4,BC=CD=3,根據(jù)三角形的面積公式求出凡.。ACD-

再根據(jù)四邊形的面積=ACD求解即可.

ABCDS^ABC+S.

【小問(wèn)1詳解】

???AC平分N8AD,CB±AB,CD±AD,

ZCAB=ZCAD,4B=4D,

AC=AC,

:.^ABC=^ADC（AAS）；

【小問(wèn)2詳解】

?.?△ABC=AADC,AB=4,C￡）=3,

AB=AD=4,BC=CD=3,

-/ZB=ZD=90o,

S=_.AB.BC=-x4x3=6,S=—?AD-CD=-x4x3=6,

△A/tRoeC22ACD22

四邊形A8CD的面積=S.A8C+SAACO=6+6=12.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵.

22.電影《劉三姐》中，有這樣一個(gè)場(chǎng)景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下

分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達(dá)的是一道數(shù)學(xué)題.其大意是：把300條狗分成4

群，每個(gè)群里，狗的數(shù)量都是奇數(shù)，其中一個(gè)群，狗的數(shù)量少：另外三個(gè)群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相

同.問(wèn)：應(yīng)該如何分？請(qǐng)你根據(jù)題意解答下列問(wèn)題：

（1）劉三姐的姐妹們以對(duì)歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來(lái)，九十九條守門口，

剩下三條給財(cái)主.”請(qǐng)你根據(jù)以上信息，判斷以下三種說(shuō)法是否正確，在題后相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)，正確的打

“J”，錯(cuò)誤的打“X”.

①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案.（）

②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案.（）

③該歌詞表達(dá)的數(shù)學(xué)題的正確答案有無(wú)數(shù)多種.（）

(2)若羅秀才再增加一個(gè)條件：“數(shù)量多且數(shù)量相同的三個(gè)群里，每個(gè)群里狗的數(shù)量比數(shù)量較少的那個(gè)

群里狗的數(shù)量多40條”，求每個(gè)群里狗的數(shù)量.

【答案】(1)山x,x

(2)數(shù)量少的群里狗的數(shù)量為45只，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為85只

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，姐妹們給出的答案是符合要求的；除此之外，還可分成97,97,97,9等，這里的每

群狗的數(shù)量還需要是正整數(shù)，所以答案不是無(wú)數(shù)種，即可判斷；

(2)設(shè)數(shù)量少的狗群的數(shù)量為x只，則狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為(x+40)只，根據(jù)狗的總

數(shù)為300只，可列一元一次方程，求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)題意，姐妹們給出的答案是符合要求的；除此之外，還可分成97,97,97,9等，

???劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案，

?這里的每群狗的數(shù)量還需要是正整數(shù)，

答案不是無(wú)數(shù)種，

.?.①4,②X,③X,

故答案為：x,x；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)數(shù)量少的狗群的數(shù)量為x只，則狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為(X+40)只，由題意得：

x+3(x+40)=300,

解得x=45,

x+4O=85(只)，

所以，數(shù)量少的群里狗的數(shù)量為45只，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為85只.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，整式加減的運(yùn)用，準(zhǔn)確理解題意并熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

23.如圖，在oABCD中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,AB=AD.

(1)求證：AC1BD；

3

（2）若點(diǎn)E,F分別為AO,AO的中點(diǎn)，連接EF,EF=-,AO=2,求80的長(zhǎng)及四邊形ABC。的周

2

長(zhǎng).

【答案】（1）見解析（2）BD=6,四邊形ABC。的周長(zhǎng)為4厲

【解析】

【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得證；

（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得OD=2"=3,進(jìn)而可得BO的長(zhǎng)，Rt^AOD中，勾股定理求得

AD,根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：???四邊形ABCO是平行四邊，AB^AD，

四邊形AB8是菱形，

AC±BD；

【小問(wèn)2詳解】

解：?.?點(diǎn)E,尸分別為4。，A0的中點(diǎn)，

.?.￡￡是△AOD的中位線，

:.EF=-OD,

2

?/LLEF=3一,

2

OD=3，

???四邊形A8CD是菱形，

.?.3=28=6,

???AC±BDf

在RSAOD中，AO=2,0D=3,

??AD7Ao=屈,

???菱形形ABC。的周長(zhǎng)為4舊.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題

的關(guān)鍵.

24.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊A。上，連接EF.

(1)求證：/\ARF.s/\DCF,?.

AEDEAFFE

(2)當(dāng)DC=CB,NOFE=2NCO3時(shí)，則不一二---1----=

BECEABAD

—+-——-=.（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）

ABADAF

⑶①記四邊形A8CD,△A8E,△C。E的面積依次為S,S1,S2,若滿足而="+￡,試判斷,

的形狀，并說(shuō)明理由.

②當(dāng)￡>C=CB，AB=m,AD=n,CD=〃時(shí)，試用含〃?，”，p的式子表示A￡?CE.

【答案】（1）見解析（2）0,1,0

n~mn

（3）①等腰三角形，理由見解析，②------

p~+mn

【解析】

【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，對(duì)頂角相等，即可得證：

APDE

（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得即可得出---------=0,根據(jù)已

BECE

EFDF

知條件可得EE//45,FA=FE，即可得出△DEESAQAB根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得一=一，根

ABAD

據(jù)恒等式變形，進(jìn)而即可求解.

①記。七。的面積為邑,$則根據(jù)已知條件可得

（3）"12￡34,S=，+S2+S3+S4，S,S2=S3S4,

進(jìn)而可得ABD得出8〃結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明^ABE^DCE

S3=S4,S.=S3>c，AB,

是等腰三角形；

②證明4csAEAB,ADCES^ACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出

EA-AC+CE-AC=AC2=mn+p2,則AC=P2,EC-=/'：,

ACdnm+p-

AE=AC-CE=計(jì)算A￡-CE即可求解.

yjmn+p

【小問(wèn)1詳解】

證明：?.?AO=A。，

ZACD=ZABD,

即NABE=N￡)CE,

又/DEC=ZAEB,

???AABEsADCE；

【小問(wèn)2詳解】

???ZXABEsZxoCE，

ABBEAE

~DC~~CE~~DE'

：.AECE=BEDE,

八

--A-E---D-E=-A--E-C-E----B-E-D--E=0,

"BECEBECE

???/CDB+ZCBD=180。一/BCD=/DAB=2NCDB,

???ZDFE=2ZCDB,

:.ZDFE=ZDAB，

：.EF//AB，

:./FEA二/EAB，

???DC=CB,

：.ZDAC=/BAC

..ZME=ZFE4，

：.FA=FE<

\EF//AB，

:.ADFESADAB，

EFDF

,茄一茄’

,-A-F+-F-E--E-F-A-F--D-F-A-F--A-D--],

■ABAD~ABAD~ADAD~AD~

AFAFAFEF,

ABAD~ABAD~

AFAF,

——+——=1,

ABAD

111c

-----1-------------=0,

ABADAF

故答案為：0,1,0

【小問(wèn)3詳解】

①記AADE,AEBC的面積為S.,S4,

則S=S]+S2+S3+S4,

S,S4BE

'''S\Sz=S3s4①

4s=屈+,

即S=S]+S2+2J522,

S^+S4=2yls②

由①②可得S3+S4=2g瘋，

即（6-向『=o，

§3=$4'

?q+q—q+q

…"dABET°AADE-。.ABE丁4AEBC'

即S4ABD=S.ADC，

:.CD//AB,

ZACD=ABAC,ZCDB=/DBA,

-,-ZACD^ZABD,ZCDB=ZCAB,

：.ZEDC=ZECD=NEBA=ZEAB,

.?.△ABEgOCE都為等腰三角形;

②DC=BC，

：.ZDAC=ZEAB,

ZDCA=ZEBA,

:.^DAC^￡,EAB,

ADAC

AB=m,AD=n,CD=p,

EA-AC-DAxAB-irut,

?/ZBDC=ABAC=ADAC,

：.ZCDE=ZCAD,

又NECD=NDCA,

△DCES^ACD，

CDCE

,AC-CD'

:.CECA^CD2=p1,

EA-AC+CE-AC=AC2=mn+p2,

rniiA(~^=J4-r12FC--------=―/

ACyjmn+p2

mn

??.AE=AC-CE=

dmn+p1

,,A￡,￡C=2WL.

mn+p~

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理,相似三角形的性質(zhì)與判定，對(duì)于相似恒等式的推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

11M-N

25.若關(guān)于x的函數(shù)y,當(dāng)/一萬(wàn)4》〈/+5時(shí)，函數(shù)），的最大值為最小值為N,令函數(shù)力=---

我們不妨把函數(shù)人稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”.

⑴①若函數(shù)y=4044%，當(dāng)r=i時(shí)，求函數(shù)），的“共同體函數(shù)”力的值；

②若函數(shù)y="+匕（％。0,k,b為常數(shù)）,求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”〃的解析式；

2

(2)若函數(shù)y=—(x＞l),求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”/?的最大值;

(3)若函數(shù)^=-/+4%+左，是否存在實(shí)數(shù)&,使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”人的最

小值.若存在，求出女的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)①2022；②女＞0時(shí)，h=~,左＜0時(shí)，/?=--

22

31

(3)/=2時(shí)，存在k=----

8

【解析】

【分析】(1)①根據(jù)新定義結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

②根據(jù)新定義結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)新定義結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)列出〃，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;

(3)根據(jù)新定義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

1113

解：①當(dāng)，=1時(shí)，則1一一＜X＜1+-,即-4x4一,

2222

；y=4044x,=4()44＞0,＞隨工的增大而增大，

②若函數(shù)y二依+匕，當(dāng)人＞0時(shí)，t--＜x＜t+-,

:.M=k+b,N=k

M-N_k

當(dāng)左＜0時(shí)，則+b,N=k

,M-Nk

n=------=—

綜上所述，Z>0時(shí)，h=~,攵<（）時(shí)，h=--,

22

【小問(wèn)2詳解】

解：對(duì)于函數(shù)》=：（尤21）,

??>2>o,x>i,函數(shù)在第一象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，

t—21,

2

3

解得/2二，

2

當(dāng)f-LgxWf+L時(shí)，

22

M=^—=^—.N=^-=-^—

I,-1--212/+1，

22

M-N\(4412⑵+1）々21）44

2212/-12/+1J（2r-l）（2r+l）（2r-l）（2r+l）4/一1

3

??,當(dāng)12—時(shí)，4/一1隨/的增大而增大，

2

3

.??當(dāng)/=三時(shí)，4/—1取得最小值，此時(shí)〃取得最大值，

2

,441

最大值為卜=7T；―I、/。*