淺談小學(xué)數(shù)學(xué)空間與圖形教學(xué)

對空間與圖形的認(rèn)識和教學(xué)體會《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修改稿）指出“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認(rèn)識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標(biāo)描述圖形的位置和運動。在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。下面是我在教學(xué)中對小學(xué)數(shù)學(xué)中空間與圖形的理解和一些體會。一、空間與圖形的教學(xué)意義空間與圖形主要研究現(xiàn)實世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，它們是人們認(rèn)識和描述生活空間、進(jìn)行交流的重要工具，在小學(xué)階段，其主要內(nèi)容包括圖形的認(rèn)識、測量、圖形與變換和圖形與位置等。這些內(nèi)容的教學(xué)對學(xué)生的發(fā)展具有重要的意義。(一)是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)。首先，小學(xué)階段學(xué)習(xí)的空間與圖形知識是學(xué)生在中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面幾何、立體幾何和解析幾何的基礎(chǔ)，如在小學(xué)學(xué)習(xí)的圓柱、圓錐、球等基本知識，就是學(xué)生在中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體圖形必不可少的基礎(chǔ)。其次，學(xué)生在小學(xué)空間與圖形學(xué)習(xí)中所經(jīng)歷的觀察、操作、想象、交流、推理等活動，將為他們在中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間與圖形提供重要的策略。(二)有利于空間觀念和形象思維的發(fā)展?？臻g與圖形教學(xué)的一項重要任務(wù)就是促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展。在空間與圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要經(jīng)歷生活經(jīng)驗的回憶、觀察與操作、想象與表達(dá)等活動，這些活動有利于學(xué)生關(guān)于物體和圖形表象的建立，因此空間與圖形的學(xué)習(xí)特別是其中的觀察、操作、想象等活動是發(fā)展學(xué)生空間觀念的主要途徑。例如，在認(rèn)識長方體的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用一個蘿卜先切一刀，認(rèn)識面；然后垂直于這一面再切一刀，認(rèn)識兩面相交所形成的棱；最后垂直這條棱再切一刀，認(rèn)識三條棱相交所形成的頂點。這樣利用操作和觀察活動，學(xué)生能逐步建立起三維空間的表象，進(jìn)而形成體的空間觀念。在分析和思考的基礎(chǔ)上才能獲得面、棱、頂點等概念，這個過程的本身又是一個促進(jìn)學(xué)生形象思維能力發(fā)展的活動過程。二、空間與圖形的教學(xué)內(nèi)容1.圖形的認(rèn)識1．結(jié)合實例了解線段、射線和直線。2．體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。3．知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4．結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交(包括垂直)關(guān)系。5．通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。6．認(rèn)識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是1800。7．認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。8.能辨認(rèn)從不同方向(前而、側(cè)面后面)看到的物體的形狀圖。9．通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖。2.測量1．能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角，會用三角尺畫300，450，600，900角。2.探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式。3．認(rèn)識面積單位：千米2、公頃。4．通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式。5．會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。6．通過實例了解體積(包括容積)的意義及度量單位，能進(jìn)行單位之間的換算，感受1米2、1厘米2以及1升、1毫升的實際意義。7．結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法，并能解決簡單的實際問題。8．探索某些實物(如土豆等)體積的測量方法。3.圖形的運動1．通過觀察、操作等，進(jìn)一步認(rèn)識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形。2．通過觀察實例，在方格紙上認(rèn)識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移，能在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)900。3．能利用方格紙等按一定比例將簡單圖形放大或縮小。4．欣賞生活中的圖案，運用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱在方格紙上設(shè)計簡單的圖案。4.圖形與位置1．了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例進(jìn)行圖上距離與實際距離的換算。2．能根據(jù)物體相對于參照點的方向和距離確定其位置。3．會描述簡單的路線圖。4.在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對表示位置，知道數(shù)對(限于正整數(shù))與方格紙上點的對應(yīng)。三、空間與圖形的教學(xué)體會現(xiàn)在課程強調(diào)要著眼于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)和生成，增加了空間與圖形教學(xué)的內(nèi)容。面對這一領(lǐng)域的變化，如何更科學(xué)地實施教學(xué)，真正達(dá)到課標(biāo)所提出的要求，我始終以學(xué)習(xí)與思考拓展認(rèn)識視野，以把握和理解新教材為依托，以案例為突破口，取得了一些進(jìn)展，收獲了一點體會。1.拓展了認(rèn)識視野只有在觀念和思想上有更深入的認(rèn)識，才能使行動更科學(xué)和自覺，也才能居高臨下地去辨別實踐中的得失、正誤。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)數(shù)軸、平面幾何，高中學(xué)習(xí)立體幾何、解析幾何等數(shù)學(xué)內(nèi)容，非常重要的基礎(chǔ)在小學(xué)。這些高一級知識，不僅要求學(xué)生有一種基礎(chǔ)性的幾何知識，更是要有清晰的空間觀念。例如平面幾何中的添輔助線，非常重要的要有一種對圖形的切拼構(gòu)造能力和圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)和平移的幾何變換能力。學(xué)生要學(xué)習(xí)和掌握這些復(fù)雜的幾何知識，需要豐富的空間觀念。這種能力一方面當(dāng)然主要是在學(xué)習(xí)這些知識的過程中生成的，但另一方面也要依賴于學(xué)生在小學(xué)階段的空間與圖形的經(jīng)驗、感覺的積累，如果在少兒階段不積累這些空間感覺和經(jīng)驗，到后來這種感覺就失去了，到要用這種感覺時就困難了。就像施那普拉在離任中國足球隊主教練時對中國足球發(fā)展的建言中提到的那樣：中國足球隊員缺少踢球感覺，這些感覺本應(yīng)在少兒時期于街道、弄堂里就要完成的，而現(xiàn)在要到專業(yè)訓(xùn)練時再來尋找，這就困難了。沒有這種類似于直覺的引領(lǐng)，球隊水平就很難提高，也就是沒有練好“童子功”。其實所有的學(xué)習(xí)都是如此，空間與圖形也不例外。2.推動了學(xué)習(xí)思考。我對空間與圖形的教學(xué)的理解，不象對問題解決教學(xué)的理解那么系統(tǒng)。促使我們比較多地自覺或不自覺地進(jìn)行著比較，并且在比較過程中去辨析、實踐與反思，由此逐步形成了一些共識。（1）空間觀念是各方面整體協(xié)調(diào)的結(jié)果?？臻g觀念是對現(xiàn)實中的物體和圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換的整體把握。從現(xiàn)實中的物體和圖形出發(fā)，就會涉及把現(xiàn)實空間中的經(jīng)驗遷移到圖形空間中，以此把握幾何空間，再用在幾何空間中抽象而成的特征、性質(zhì)來解釋現(xiàn)實空間、解決現(xiàn)實空間中的問題，在這樣抽象、還原的過程中空間觀念才能建立。從幾何體與平面圖形之間的關(guān)系出發(fā)，就會涉及到平面從幾何體上剝離下來的；如何剝離，就又涉及到視圖，從各個不同的方向觀察。從方向與位置出發(fā)，就會涉及到距離和角度，涉及到前后左右上下、東南西北以及關(guān)于垂直與水平方向組成的座標(biāo)；會涉及到有關(guān)變換，平移、旋轉(zhuǎn)與對稱，以及這些變換過程中的變化部分與不變部分等等，由此就形成了一條知識鏈。只有以上這些都能夠協(xié)調(diào)起來，而且各方面之間有一種內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，由此組合成一個整體，空間觀念才能真正得以確立。（2）兒童空間觀念的形成有其特定的認(rèn)知特點。我國的心理學(xué)家劉范、張增杰等通過研究得出一些有啟示性的結(jié)論。其中對兒童幾何發(fā)展的路徑作出了分析，“兒童是先認(rèn)識一個籠統(tǒng)的三維空間、整體，再分別認(rèn)識其中的二維、一維空間，或者部分；在已獲得了有關(guān)概念時，再理解在構(gòu)成上部分到整體，由一維到二維、三維的關(guān)系。后者是前者在高一級認(rèn)知水平上的逆轉(zhuǎn)”；對感知與概念、感知與推理之間的矛盾作了分析，其本質(zhì)是“守恒”，提出了概念守恒與多樣的兩個屬性，并由此聯(lián)系到變式問題等等。只有理解與把握了這些，我們才能更好地組織小學(xué)空間與圖形的教學(xué)，才能使教學(xué)走上科學(xué)化的道路。3.促進(jìn)了對教材的理解。教材是結(jié)合教學(xué)現(xiàn)實，按照學(xué)生的心理特點而創(chuàng)造。它是一個全息系統(tǒng)，蘊含著空間與圖形教學(xué)的所有信息，我在學(xué)習(xí)和實踐中逐步形成了這樣幾個方面認(rèn)識。（1）整體推進(jìn)，線索清晰。教材的整體框架是依據(jù)空間與圖形的四個方面有序地展開，整體上是螺旋式上升，讓學(xué)生對幾何事實和空間觀念有一個逐步深入的過程。圍繞兩條大的線索：一條是以圖形的空間關(guān)系研究為線索，主要是研究空間的三個方面：（1）現(xiàn)實空間和幾何空間之間的關(guān)系。幾何空間源于現(xiàn)實空間，是現(xiàn)實空間的抽象，同時在幾何空間中獲得的認(rèn)識只有再回到現(xiàn)實中去進(jìn)一步認(rèn)識、把握現(xiàn)實空間，才能使抽象空間與現(xiàn)實空間融為一體，推動學(xué)生空間觀念的生成。（2）體與體、面與面、線與線之間的關(guān)系。它們之間的關(guān)系就產(chǎn)生了位置、方位與變換，就產(chǎn)生了平行、垂直與角，就有各種不同的拼搭與組合。由此內(nèi)化成關(guān)于空間的若干結(jié)構(gòu)，這是空間觀念。（3）體與面、面與線、體與線之間的關(guān)系，這些關(guān)系的形成依賴于視線與投影、分解與分析、想象與推理，在這些關(guān)系的探求就會有三維、二維和一維圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化越多、越靈活，空間觀念的生成就越迅速與牢固。另一條是以數(shù)量關(guān)系研究為線索，也主要體現(xiàn)在三個方面：（1）用一維長度研究圖形中線段的長短，圖形之間的距離；（2）用二維面積來把握圖形的大??；（3）用三維體積來研究圖形占據(jù)空間的多少。以上兩條線索不是分離的，而是融合的。（2）綜合滲透教材在編寫中非常注重綜合與滲透。例如在低年級的認(rèn)識基本的規(guī)則圖形時，是從長、正方形出發(fā)，再通過把長、正方形分割成若干三角形，再由這些三角形通過拼搭形成平行四邊形和梯形，這樣的設(shè)計既滲透了面積守恒的觀念，又滲透了拼搭中相等邊的理解，這些拼配對以后學(xué)習(xí)對稱、旋轉(zhuǎn)、圖形面積的推導(dǎo)都是一個基礎(chǔ)。還有在認(rèn)識三角形，特別是等腰等邊三角形時，讓學(xué)生用一張正方形紙折出一個等邊三角形，這不僅是一種實際操作，更可引發(fā)學(xué)生的平面邏輯推理，而且這種推理還相當(dāng)重要，要用到圖形對稱、正方形的特征和邊與邊的互換。綜合產(chǎn)生集聚效應(yīng)，生成突變；滲透能使認(rèn)識達(dá)到透徹和深入。這樣的設(shè)計安排，就有可能使學(xué)生生成的知識是“一個帶鉤的原子”，由此形成堅固的知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生組合質(zhì)變。4.提升了對經(jīng)驗的總結(jié)。圍繞空間與圖形領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，我們進(jìn)行了有主題、有實踐、有反思的案例研究，通過課堂這個充滿創(chuàng)造的教學(xué)領(lǐng)域，獲得了一些認(rèn)識。（1）空間與圖形的學(xué)習(xí)應(yīng)該在活動中建構(gòu)。例如在教學(xué)三角形“任意兩邊之和大于第三邊”這條原理時，分兩個層次教學(xué)：先是讓學(xué)生從五根小棒中任意抓三根圍一圍，讓學(xué)生直觀感知到有些是可以圍成的，有些是圍不成的，同時使學(xué)生產(chǎn)生一種空間直覺，當(dāng)兩條較短的邊合起來小于最長邊是圍不成的，當(dāng)兩條較短的邊合起來大于最長邊是可以圍成的；接著讓學(xué)生邊圍邊有序地記錄每根小棒的長度，并對此進(jìn)行必要的分類；最后讓學(xué)生在空間直覺引領(lǐng)下形成的三邊關(guān)系幾何模型和基于數(shù)據(jù)尋找三邊關(guān)系的代數(shù)模型這兩者的相互作用中抽象出三角形三邊之間的關(guān)系。從以上片斷中我們可以看出，只有在操作與實踐活動的探究中才能把握幾何空間特征和性質(zhì)的實質(zhì)，也就是把握空間既要有活動，又要有思考。（2）知識是過程與結(jié)果的雙重建構(gòu)。新課程強調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的感受與體驗。所以在編寫中為了加強教學(xué)的探究性，很多地方都只是展示了知識生成和教學(xué)活動的過程，對基本的幾何知識和概念都不直接出示。例如我校有一位教師上面積和面積單位這一課時，提供了大量資源和素材讓學(xué)生圍繞物