高等代數(shù)多項式試題庫

§1

數(shù)域[達標訓練題]一填空題1．數(shù)集{0}對運算封閉.2．自然數(shù)集對運算封閉.3．數(shù)集對封閉.二判斷題1.數(shù)域必含有無窮多個數(shù).2.所有無理數(shù)構(gòu)成的集合是數(shù)域.三證明1.證明是數(shù)域,這里不是完全平方數(shù).2.證明不是數(shù)域.3.若是數(shù)域,證明也是數(shù)域,而不一定是數(shù)域.

§1

數(shù)域[達標訓練題解答]一填空題1．加法、減法、乘法；2.加法、乘法；3.加法、減法、乘法.二判斷題

1.(T)；2.(F)三、解答題1．證明顯然.對任意的,=;

.當時,.故對加法減法乘法除法封閉.即是數(shù)域.2．證明

因為,.即對乘法不封閉.所以不是數(shù)域.3．證明由于任意數(shù)域都包含有理數(shù),故也包含有理數(shù)域,從而包含有理數(shù)域.令,則,.由于是數(shù)域,故,;當時,,所以.即是數(shù)域.例如:取=,,容易驗證不一定是數(shù)域;取=,,顯然=是數(shù)域.§2一元多項式[達標訓練題]A組一填空題1.系數(shù)在數(shù)域上的關(guān)于文字的一元多項式指的是形式表達式,其中次項是,次項系數(shù)是,常數(shù)項是.2.下列形式表達式(i)2;(ii);(iii)0;(iv);(v);(vi);其中是多項式.3.零多項式是,零次多項式是.4.設多項式,則的次項系數(shù)是

.二判斷題1.

0是零次多項式.2.

若,則.3.

若都是數(shù)域上的多項式,則或者.三解答題1.設,試確定,使(i)零次多項式;(ii)零多項式;(iii)一次多項式.2.若是實數(shù)域上的多項式,證明:若則.B組1.設是實數(shù)域上的多項式,證明:若則.2.求一組滿足上式的不全為零的復系數(shù)多項式.3.次數(shù)定理中,式子何時等號成立?何時小于號成立?§2一元多項式[達標訓練題解答]A組一填空題1．，，，；2.（i），（iii）（v）；3.0，非零常數(shù)；

4..二判斷題1．(F)；2.(F).;3.(F).三解答題1．解因為.利用多項式相等的定義的:(i)(ii)(iii)即(i)當時,為零次多項式;(ii)當時為零多項式;(iii)時是一次多項式.2．證明設，，則的第次項系數(shù)為=0,當?shù)?當時得,進而,同樣地,得到…….因此B組1．證明若(或)顯然得是一個奇次多項式,這是不可能的.又若,則不全為零,因此也得是一個奇次多項式,這也是不可能的.所以2．解取，則.3．解當兩個多項式次數(shù)不等時或者雖然相等但最高次項系數(shù)不是相反數(shù)時,等號成立;其余情形小于號成立.§3整除的概念[達標訓練題]A組一填空題1.都是中的多項式,若,則稱整除，稱為的因式，為的倍式，記為.2.若或,那么除的商式是,余式是,這里.二判斷題1.零多項式能夠整除任意多項式.2.整除任意多項式能夠被零次多項式整除.3.若,則.4.若,則滿足該式的多項式有且只有一對.5.若,則.三解答題1．設，，除的余式，求.2.如果,則.2．如果不整除與，則不整除與的乘積.3.證明是非負整數(shù).4.證明①如果,,則;②如果,則不一定成立.B組一多項選擇題1.是任意多項式,是非零常數(shù),則下列結(jié)論成立的是.(A);(B);(C);(D);(E);(F);(G);(H).2.若在中,整除，為強調(diào)數(shù)域，我們記.設，下列結(jié)論正確的有.(A)若,則;(B)若,則;(C)若,則;(D)若,則.3.設,則整除于.①;②;③;④.二證明題1.證明的充分必要條件是.2.證明.3.證明整除的充要條件是.4.證明,若,則同時整除.與例2聯(lián)系,將此題推廣到一般結(jié)果,并證明你的結(jié)論.5.對照多項式的整除性理論，討論整數(shù)的整除性理論.§3整除的概念[達標訓練題解答]A組一填空題1．，，，，，，，，；

2.，.二判斷題

1.(F)；

2.(T)；

3.

(F);4.(F);

5.(F)三解答題1．解利用帶余除法得，所以，即.2．證明,利用整除性的性質(zhì)，我們有，即.3．證明若,不整除與則存在常數(shù),使,

所以,由于,所以,得出矛盾.即不能整除證明由于三次單位根都是的根，即的根都是的根.從而.4.證明因為其中是三次單位虛根,而,即,再利用互素得到,即5．證明①如果,因為,由整除性性質(zhì)得:,即,與矛盾,所以.B組一多項選擇題1．B,C,E,G,H；2.(A)(D);3.①②③④二、證明題1．證明充分性顯然,僅證必要性.設,則因為且，由整除性的性質(zhì)得：.2．證明利用帶余除法,所以.3．證明充分性顯然,僅證必要性.設若,,而,因此,得出矛盾.所以,即.4．證明因為是

的根,顯然,即(),從而.一般地,我們有如下的結(jié)果:若,則.事實上,設,則,進一步有由于,則.5．參見張禾瑞先生的《高等代數(shù)》（第三版）（高等教育出版社）教材，或者初等數(shù)論教材.§4最大公因式[達標訓練題]A

組一、填空1．對于任意兩個多項式它們總有公因式，我們稱它為平凡公因式.2．兩個零多項式的做大公因式是.3．零多項式與任意多項式的最大公因式是.4．若則的最大公因式是.5．2，則,取,=,使6.若則與.二、判斷題1.若是的最大公因式，則也是的最大公因式是常數(shù)）.2.存在惟一一對多項式使3．若則存在惟一一對使4．若不全為零，則5．由于（16,8）=8,所以多項式8與16不互素..與的次數(shù)最高的公因式是最大公因式.三、解答題1.判定是否互素,并求使2.證明:3.證明:兩個多項式都與互素的充要條件是它們乘積與互素.4.若則B

組一、選擇題1.若則成立.(A)

(B)(C)2.若且則錯誤結(jié)是.3.(多項選擇)若則成立.二、解答題1.確定,使與的最大公因式是一次的.2.設不全為零,則與的次數(shù)最高的公因式是最大公因式;反之,與的最大公因式都是次數(shù)最高的公因式.3.證明:若且那么存在惟一第一對多項式使4.依照兩個多項式的最大公因式式理論,討論的有限多個多項式的最大公因式的理論(定義,存在性,求法,互素).§4最大公因式[達標訓練題解答]A組一、填空題1．零次多項式；2.零多項式;3.多項式為零次多項式;4.,為零次多項式;5.;6.互素.二、判斷題1．F；2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.三、解答題1.解:通過輾轉(zhuǎn)相除法求得,.2.證明:設,容易證明是的公因式;對的任意公因式,容易證明它是的公因式,從而它整除于的最大公因式.即的任意公因式整除于它的公因式,所以是的最大公因式.3.證明:,,則存在與,使,,以上兩式相乘容易得到,故.反過來若，則存在，使，若令，則有，故，同樣的若令，則有，故.4．證明：首先利用上題及歸納法容易證明，若，，同樣的利用歸納法證明.B組一、選擇題

1．（A）(D)；2.（C）;3.(A,E)二、解答題1．解利用輾轉(zhuǎn)相除法容易得到:,因此最大公因式是一次的條件是或者.2.證明設是的次數(shù)最高的公因式,是的最大公因式,所以,而因此的次數(shù)等于的次數(shù),從而.故是的最大公因式式.反之,若是的最大公因式,由于是公因式,因此,所以要么是零多項式,要么的次數(shù)不大于的次數(shù).但,所以的次數(shù)不大于的次數(shù).故是的次數(shù)最大的多項式.3.證明:

由互素的充分必要條件知存在使.首先證明若,必有.由,所以,因此若,必有.其次證明如果,可以重新選取,使符合要求.由帶余除法定理知存在使,所以.若上式為,可得到與已知矛盾.若,上式為,由(1)知令,則有.最后證明唯一性.如果存在,則,因為,所以,故,同樣的.4.(參照張禾瑞編高等代數(shù))§5因式分解定理[達標訓練題]一、填空題1.是不可約多項式,若,則.2.是不可約多項式,則與互素的充要條件是.3.判定多項式2在數(shù)域P上的可約性.()P=Q時;P=R時;P=C時.4.=的標準分解式是.5.=2,=4,則(,)=.二、判斷題1.任意數(shù)域上都有不可約多項式.2.若,則或3.是不可約多項式,且,則.三、解答題1.分別在有理數(shù)、實數(shù)域、復數(shù)域上分解為不可約多項式的乘積.2.證明:若不可約,(),,則,且.若可約,上述結(jié)論是否成立?為什么?3.是次數(shù)大于零的多項式,若與任一多項式的關(guān)系只有兩種情況(,)=1,或,是否是不可約的?并說明理由.4.若是次數(shù)大于零的首項系數(shù)為1的多項式,證明是不可約多項式的方冪的充要條件是:對任意的多項式,或者(,)=1,或者存在正整數(shù),使.§5因式分解定理[達標訓練題解答]一、填空題1.;

2.不整除于；3.不可約,不可約,可約;4.;5.

1.二、判斷題

1.T;2.F;3.F.三、解答題1.解在有理數(shù)為不可約多項式,因此在有理數(shù)的分解式為其本身.在實數(shù)域:在復數(shù)域上:.2.證明:若不可約,由,則或.若成立,又(),所以,則成立;同樣地若成立利用()得到成立.總之有與同時成立.若可約,上述結(jié)論不成立.事實上取則且(),但即不整除也不整除.3.是不可約多項式.證明如下:若可約,則存在,使,利用題設可以得出(,)=1或者,而事實上,這兩種結(jié)果都不能成立.因此可約的假設不正確.4．證明:必要性.設(為不可約多項式),顯然對任意的,若,則,若,則,即存在正整數(shù),使.充分性:設,取,則(,)=1不成立,且對任意正整數(shù),不成立.故不成立.即是不可約多項式的方冪.§6重因式[達標訓練題]一、填空題1.設多項式=,則的單項式是,重因式是,它們的重數(shù)分別是.2.若是的5重因式,則是的3重因式,的單項式.3.的微商是.4.與有相同的不可約因式,但無重因式.5,是(,)的重因式,則是的重因式.一、判斷題1.是的重因式,則是的重因式2.,是的重因式,則是的重因式.2．多項式的重因式不因數(shù)域的擴大改變.四、解答題1.判斷下列多項式有無重因式,若有,求出重因式.()=;()=2.將=單項式化,然后分解因式.3.證明:=1沒有重因式.4.,滿足什么條件,有重因式.§6重因式[達標訓練題解答]一、填空題1.,

與,

4與3;2.;3.;

4.;

5..二、判斷題1.F;

2.T;

3.F.三、解答題1.解:(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法容易求出,所以=無重因式.(2)同(1).2.解：容易計算，所以是的二重因式，又，故=.3.證明:,.故無重因式.4.解:顯然當時，有三重因式，當時無重因式；當時，當時，，有二重因式§7多項式函數(shù)[達標訓練題]A組一、填空題1.多項式有無窮多個根.2,若=,則=,的根是,重根是,其重數(shù)是.3.是多項式微商的重根,則是的重根.這里5.4.若是的重根,且滿足,是的重根.二、判斷題1.若沒有重根,則沒有重因式.2.若沒有根,則不可約.3.沒有重根,(,)=14.(,)=1,則無重根.三、解答題1.求一個次數(shù)小于3的多因式,使(2)=1,=,(3)=2.2.證明多項式=無重根.B組1.求一個滿足下列條件的三次多項式:();()除的余數(shù)是4;()被,除的余數(shù)相等.2.證明不能表示成的多項式.3.多項式滿足=求證:是常量,這里.4.證明:如果則(1)=0,=1,2,3.5.設和是有理系數(shù)多項式,在Q上不可約,若與有一個公共復根,則.§7多項式函數(shù)[達標訓練題答案]A組一、填空題1．零多項式；2.-12,

0(二重),3,-1,

0,2;

3.;4.是的根;二、判斷題1．F；2.F;3.F;

4.T.三、解答題1．解利用拉格朗日插枝公式2.證明：，所以=1.所以無重根.B組1．解：設，，則利用綜合除法得到用除得余數(shù),用除得到的余式分別是.由題設得到下列方程組由此解出一個解.2．證明：若表示成一個次多項式，則它最多只能有個根因此它是0.事實上.3．證明令，則若不是零多項式，則其常數(shù)項為，從而都是根，這樣.若不是0多項式，而它有無窮多個根.4．證明：考慮四次單位根，顯然，則是的根，即進一步得.5．證明首先多項式的最大公因式不因數(shù)域的擴大而改變.因此若在有理數(shù)域上不能整除于，則無論在有理數(shù)域還是復數(shù)域均有而事實上在復數(shù)域上不成立.因此在有理數(shù)域上整除于.§8復數(shù)域與實數(shù)域上多項式的因式分解[達標訓練題]A組一、填空題1．復數(shù)域上不可約多項式是，實數(shù)域上不可約多項式是.2.是首項系數(shù)為1的7次多項式,且有2重根,單根0、1、-2，則的標準分解式是.3.=,有一須根則的所有根是.4.在復數(shù)域上分解式是.在實數(shù)域上的分解式是.二、解答題1.求有單根及2重根1懂得次數(shù)最低的受項系數(shù)為1的復系數(shù)多項式和實系數(shù)多項式.2.證明:奇數(shù)次實系數(shù)多項式必有實根.3.設是R上不可約多項式,對于,如果與在C中有多項式,證明.B組1.(選擇填空)若多項式的各項系數(shù)都同號,那么.(i)無實根;(ii)無復實根;(iii)無正實根;(iv)既有正根又有負根.2.在C和R上分解為不可約因式之積.3.設表示把多項式的系數(shù)換成它們的公軛復數(shù)所得到的多項式.證明:(i)若,則;

(ii)(,)=是實系數(shù)多項式.§8復數(shù)域與實數(shù)域上多項式的因式分解[達標訓練題解答]A組一、填空題1．一次多項式，一次與部分二次不可約多項式；2.；3.2，；4.，.二、解答題1．解：在復數(shù)域上,在實數(shù)域上.2.證明:若無實根,則該多項式全是虛根,而實系數(shù)多項式的虛根成對出現(xiàn),因此與多項式是奇數(shù)次的矛盾.3．證明:首先多項式的最大公因式不因數(shù)域的擴大而改變.因此若在實數(shù)數(shù)域上不能整除于，則無論在實數(shù)數(shù)域還是復數(shù)域均有而事實上在復數(shù)域上不成立.因此在實數(shù)域上整除于.B組1．（iii）2．解：在實數(shù)域上，在復數(shù)域上.3．證明(i)若,則存在，利用共軛復數(shù)的運算性質(zhì)喝多項式乘法法則，有，故;

(ii)由于是實系數(shù)多項式，,，故是實系數(shù)多項式.§9有理數(shù)域上多項式[達標訓練題]A組一、填空題1.設是數(shù)域P上的不可約多項式,=,若P=C,則=.;若P=R,則=;若P=Q,則=.2.若整系數(shù)多項式不存在素數(shù)滿足艾氏判別法的條件,則的Q上.3.所有可能的有理數(shù)根是.二、判斷題1.若不存在素數(shù)能整除整系數(shù)多項式的所有系數(shù),則是本原的2.任何一個有理系數(shù)多項式都能表示成一個有理數(shù)與本原多項式之積.3.若是次數(shù)1的整系數(shù)多項式,則在Q上可約能分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積.4.Q有無理根,則在Q上不可約.三、解答題1.把下列多項式表示成一個有理數(shù)與本原多項式的乘積.2.證明下列多項式在Q上不可約.3.用試根法求的有理根.4.證明是無理數(shù).B組1.

5次有理系數(shù)多項式在Q上可約,則下類斷言正確的是.(A)至少有一個有理根;(B)不一定有有理根;(C)恰有一個有理根;(D)含有一個2次不可約因式.2.證明=在有理數(shù)域Q上不可約(是素數(shù)).3.求的有理根.4.設是次數(shù)為的有理系數(shù)多項式,(i)當>1時,說明是否有有理根與其可約性的關(guān)系;(ii)=3時,上述關(guān)系如何?

(iii)=4時,給出一個無有理根,但可約的例子.5.整系數(shù)多項式對某一整數(shù)有和都是奇數(shù),證明無整數(shù)根.§9有理數(shù)域上多項式[達標訓練題答案]A組一、填空題1．1，1或2，任意正整數(shù)；2.可能可約也可能不可約；3.二、判斷題1．T；2.F（若是非零多項式正確）；3.T.三、解答題1．解：；2．解：，取，利用Eisenstien判別法即得不可約；，令，則，取，利用Eisenstien判別法即得不可約，從而不可約；，令，則，取利用Eisenstien判別法即得不可約，從而不可約.3.解：的所有可能根是：，因為的各項系數(shù)之和不等于0，奇次項系數(shù)之和等于0，所以-1是根，1不是根.容易利用綜合除法驗證都不是根.4．證明：因為無有理根，而是的根，因此它不是有理數(shù)，從而是無理數(shù).B組1.（B）2．證明：=對多項式利用Eisenstien判別法即得在有理數(shù)域Q上不可約(是素數(shù))..3.解：，而的所有可能有理根為，然后可用試根法得出全部有理根為：-1，2,.4..解設是次數(shù)為的有理系數(shù)多項式,(i)當=2、=3時,有有理根是可約的充要條件.當時,有有理根是可約充分條件,但不是必要條件.=4時,例如無有理根,但可約.5.證明:設是多項式的整數(shù)根,則,是整系數(shù)多項式.從而都是奇數(shù).這是