2022年考研數(shù)學(xué)三真題

2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)試題（數(shù)學(xué)三）

（科目代碼:303）

一、選擇題：「10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的，請將所有選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置

①當(dāng)x'（）時，a（x）,0（x）是非零無窮小量，給出以下四個命題

①若a(x)?B(x),則a2(x)?的㈤

②若a?(x)?p2(x),則a(x)~P(x)

③若a(x)?p(x),則a(x)-B(x)=o(a(x))

④若a(x)-p(x)=o(a(x)),則a(x)?p(x)

其中正確的是()

(A)①②(B)①④(C)①③④(D)②③④

(一1)"

②已知a=JT------(71=1,2,...),則{a}()

（A）有最大值，有最小值（B）有最大值，沒有最小值

（C）沒有最大值，有最小值（D）沒有最大值，沒有最小值

S設(shè)函數(shù)/⑺連續(xù)，令尸（工,歷=尸7（工一）一。/（。山，則（）

(A)訐=?FdiF_diF(B)"=dFd2F__diF

dxdy?d2x82ydxdy'd2x32y

dF

(C)__dFdiF_diF(D)__dFdiF__d2F

dxdy'd2xA2ydxdy'd2x32y

%

④已知/=J?dx,IJ】ln(l+x)也/J■呢則()

1

o2(l+cosx)20l+cosx'301+sinx

(A)I<I<1(B)I<1<1

123213

(C)I<1<1(D)I<1<1

13232I

oo

（11o

?設(shè)4為3階矩陣，A=0-1則4的特征值為1,-1,（）的充分必要條件

1000,

是（）

@存在可逆矩陣P,Q,使得A=PIQ

0存在可逆矩陣P,使得4=以PT

0存在正交矩陣Q,使得

0存在可逆矩陣P,使得4=P/Pr

p11]3

?設(shè)矩陣4」|1a成，b=2,則線性方程組Ax=b解的情況為（)

（A）無解（B）有解

（C）有無窮多解或無解（D）有唯一解或無解

:,?與以，a,a

23124

九?2}

(C){九|九￡R,入w—1,1w—2}(D){九|九wR,九w—1}

(8)設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,4),隨機(jī)變量Y~B(3,L,且X與丫不相關(guān)，則

3

O(X-3Y+1)=()

(A)2(B)4(C)6(D)10

(9)設(shè)隨機(jī)變量序列X,X,X,…獨(dú)立同分布，且X的概率密度為

I2n1

fl-|x|,|xl<l1,

f(x)=^,則“foo時，_nZX2依概率收斂于()

[0,其他〃汩,

(A)1(B)J(C)J(D)J

8632

（10）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,F）的概率分布

012

-10.10.1b

1a0.1().1

若事件{max{X,V}=2}與事件(min{X,V}=l}相互獨(dú)立,則Cov(X,Y)=

()

(A)-0.6(B)-0.36(C)0(D)0.48

二、填空題：11-16小題，每小題5分，共30分

1+er________

(11)lim(---)cot.r=.

XTO2

(12)

o4+2x+4

(13)已知函數(shù)f(X)=esinA4-e-sinx,則f'(2兀)=口.

已知函數(shù)/(x)=,°-X-1,則卜x)dy=d

(14)

[0,其他-00-00

(6)設(shè)A為3階矩陣，交換A的第2行和第3行，再將第2列的-1倍加到第1列，

'-21-1、

得到矩陣1-10,則AT的跡"(AT)包口.

、T0oj

?設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件，且A與8互不相容，A與C互不相容，8與。相互

獨(dú)立，P(A)=P(B)=P(C)=L,則P(BUC|AU8UQ=U

3

三、解答題：17-22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

(17)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)y(x)是微分方程y'+」產(chǎn)y=2+《滿足條件

)，(1)=3的解，求曲線y=y(x)的漸近線.

(18)(本題滿分12分)

設(shè)某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q由資本投入量x和勞動投入量y決定，生產(chǎn)函數(shù)為。=125/,

該產(chǎn)品的銷售單價(jià)產(chǎn)與。的關(guān)系為P=1160-L5Q,若單位資本投入和單位勞動

投入的價(jià)格分別為6和8,求利潤最大時的產(chǎn)量.

(19)(本題滿分12分)已知平面區(qū)域D={(x,y)|y-24’4產(chǎn)^^,04y42},

計(jì)算/=U0二y"dxdy.

X2+y2

D

?(-4)?+1

(20)(本題滿分12分)求廨級數(shù)工一的收斂域及和函數(shù)S(x).

n=04?(2n+l)

(21)已知二次型/(x,x,x)=3x2+4x2+3x2+2xx

123I2313

&求正交變換x=0y將/(x,x,x)化為標(biāo)準(zhǔn)形;

123

GO證明min〃*=2.

於0e

（22）設(shè)X,X