優(yōu)選課件：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第一冊(cè) 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.掌握空間向量的坐標(biāo)表示.2.掌握空間兩點(diǎn)間距離公式.3.會(huì)用向量的坐標(biāo)解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝_______________________減法a－ba－b＝_______________________數(shù)乘λaλa＝______________，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝________________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3思考空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示有何聯(lián)系？答案

空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致；如：一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)二空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；知識(shí)點(diǎn)三空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，思考已知點(diǎn)A(x，y，z)，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是多少？思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√2題型探究PARTTWO一、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算因此，a＝(0,1，－2).反思感悟空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律及注意點(diǎn)(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定；(2)直接計(jì)算問(wèn)題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入公式計(jì)算.(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，通過(guò)解方程(組)，求出其坐標(biāo).4∴a·b＝1＋0＋3＝4.二、向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用命題角度1空間平行垂直問(wèn)題例2如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn).求證：(1)AM∥平面BDE；證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE，又NE與AM不共線，∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)AM⊥平面BDF.又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，∴AM⊥平面BDF.命題角度2夾角、距離問(wèn)題例3如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng)；解如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，(2)求A1B與B1C所成角的余弦值.解依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，又異面直線所成角為銳角或直角，反思感悟利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫(xiě)出向量的坐標(biāo).(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算.(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練2如圖，長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝

CD，H為C1G的中點(diǎn).(1)求證：EF⊥B1C；證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，(2)求FH的長(zhǎng).(3)求EF與C1G所成角的余弦值；核心素養(yǎng)之邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算HEXINSUYANGZHILUOJITUILIYUSHUXUEYUNSUAN利用空間向量解決探索性問(wèn)題典例正方體ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面ABCD上，且GH∥BD1，試判斷點(diǎn)H的位置.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，因?yàn)辄c(diǎn)H在平面ABCD上，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，n，0)，即當(dāng)H為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，GH∥BD1.素養(yǎng)提升(1)解決本題的關(guān)鍵是建立正確、恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題.(2)通過(guò)計(jì)算解決幾何中的探索性問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3隨堂演練PARTTHREEA.(－1,3，－3) B.(9,1,1)C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)12345√A.5 B.4 C.3 D.2√12345解析λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是√12345解析依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，4.在空間直角坐標(biāo)系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝

，則m的值為_(kāi)_______.12345－7或13所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.所以m＝－7或13.123451.知識(shí)清單：(1)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算.(2)向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.2.方法歸納：類比、轉(zhuǎn)化.3.常見(jiàn)誤區(qū)：(1)由兩向量共線直接得到兩向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比相等.(2)求異面直線所成的角時(shí)易忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b等于A.(2，－4,2) B.(－2,4，－2)C.(－2,0，－2) D.(2,1，－3)√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2).解析設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y，z)，√123456789101112131415163.已知向量a＝(2,3)，b＝(k，1)，若a＋2b與a－b平行，則k的值是√12345678910111213141516解析由題意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝(2－k，2)，又因?yàn)閍＋2b和a－b平行，則2(2＋2k)－5(2－k)＝0，4.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝

，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為A.30° B.60° C.120° D.150°√12345678910111213141516解析a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，所以〈a，c〉＝120°.解析由已知，可得C1(0,2,3)，√123456789101112131415166.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點(diǎn)共線，則m＋n＝_____.123456789101112131415160所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(－1,3,3)得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，即P(－1,3,3).解由空間兩點(diǎn)間的距離公式得1234567891011121314151610.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝

，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點(diǎn).12345678910111213141516(1)求AC與PB所成角的余弦值；解由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，12345678910111213141516(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC，求N點(diǎn)的坐標(biāo).12345678910111213141516解由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)，由NE⊥平面PAC可得，1234567891011121314151611.一束光線自點(diǎn)P(1,1,1)出發(fā)，被xOy平面反射到達(dá)點(diǎn)Q(3,3,6)被吸收，那么光線所經(jīng)過(guò)的距離是√綜合運(yùn)用解析P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)為P′(1,1，－1)，則光線所經(jīng)過(guò)的距離為12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151613.若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________.(－∞，－2)解析由題意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，設(shè)a，b的夾角為θ，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.又a，b不會(huì)反向，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－2).1234567891011121314151614.三棱錐P－ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，則三棱錐P－ABC的體積為_(kāi)___.123456789101112131415161解析由A，B，C，P四