角平分線定理的多種證明方法

時間：二O二一年七月二十九日三角形內角均分線定理的多種證明方法之邯鄲勺丸創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日已知,如圖,AM為△ABC的角均分線,求證AB／AC=MB／MC證明：方法一：（面積法）三角形ABM面積S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,三角形ACM面積S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,因此三角形ABM面積S：三角形ACM面積S=AB:AC又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形,面積的比等于底的比,即三角形ABM面積S：三角形ACM面積S=BM:CM因此AB／AC=MB／MC方法二（相像形）過C作CN平行于AB交AM的延伸線于N三角形ABM相像三角形NCM,AB/NC=BM/CM,又可證明∠CAN=∠ANC因此AC=CN,因此AB／AC=MB／MC時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日方法三（相像形）過M作MN平行于AB交AC于N三角形ABC相像三角形NMC,AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可證明∠CAM=∠AMN因此AN=MN,因此AB/AC=AN/NC因此AB／AC=MB／MC方法四（正弦定理）作三角形的外接圓,AM交圓于D,由正弦定理,得,AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,因此AB／AC=MB／MC閱讀下邊資料,按要求達成后邊作業(yè).三角形內角均分線性質定理：三角形內角均分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比率.已知：△ABC中,AD是角均分線（如圖1）,求證：=.闡發(fā)：要證=,一般只需證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相像,此刻B、D、C在一條直線,△ABD與△ADC不相像,需要考慮用別的方法換比.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日在比率式=中,AC恰巧是BD、DC、AB的第四比率項,因此考慮過C作CE∥AD交BA的延伸線于E,進而獲得BD、DC、AB的第四比率項AE,這樣,證明=,便可轉變證=.1）達成證明過程：證明：2）上述證明過程中,用到了哪些定理（寫對兩個即可）答：用了：①____________；②_____________.（3）在上述闡發(fā)和你的證明過程中,主要用到了以下三種數(shù)學思想的哪一種：①數(shù)形聯(lián)合思想②轉變思想③分類議論思想答：____________.（4）用三角形內角均分線定理解答問題：如圖2,△ABC中,AD是角均分線,AB=5cm,AC=4cm,BD=7cm,求BC之長.（1）證明：過點C作CE//AD交BA的延伸線于點E,則∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA,因此AE=AC,由CE//AD,可得=,∴=.2）兩直線平行,同位角相等；等腰三角形的判斷；三角形相像的判斷的定理：平行于三角形一