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空間幾何高考試題解答題題型分析題型1利用向量證明直線的位置關(guān)系及空間中的角【例1】(2022年山東理)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF。(Ⅰ)求證:BD⊥平面AED;(Ⅱ)求二面角F-BD-C的余弦值?!纠?】(2022年廣東理)如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,,點(diǎn)在線段上,。(1)、證明:;(2)、若,求二面角的正切值;【例3】(2022年新課標(biāo)全國(guó)卷理)如圖,直三棱柱中,,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小?!纠?】(2022年天津理)如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),,求異面直線與所成角的余弦值;證明平面求二面角的正弦值。題型2利用向量解決立體幾何的探索問(wèn)題【例1】(2022年福建理)如圖,在長(zhǎng)方體中,,為中點(diǎn)。(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由。(Ⅲ)若二面角的大小為,求的長(zhǎng)?!纠?】(2022年遼寧理)如圖,直三棱柱,,,點(diǎn)M,N分別為的中心.=1\*GB2⑴證明:;=2\*GB2⑵若二面角為直二面角,求的值.NNMCBA【例3】(2022年天津理)如圖,在四棱錐中,平面,,,,,.=1\*GB2⑴證明:;=2\*GB2⑵求二面角的正弦值;=3\*GB2⑶設(shè)為棱上的點(diǎn),滿足異面直線與所成的角為,求的長(zhǎng).題型3平面圖形折疊成空間圖形試題探究【例1】(2022北京理)如圖1,在中,,,分別是上的點(diǎn),且∥,,將沿折起到的位置,使,如圖2.(1)求證:⊥平面;(2)若是的中點(diǎn),求與平面所成角的大??;圖1圖2(3)線段上是否存在點(diǎn),使平面與平面垂直?說(shuō)明理由.圖1圖2【例2】(2022湖北理)如圖1,,,過(guò)動(dòng)點(diǎn)作,垂足在線段上且異于點(diǎn),連接,沿將折起,使(如圖2所示),(1)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐的體積最大;(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),試在棱上確定一點(diǎn),使得,并求與平面所成角的大小.題型歸類訓(xùn)練【考題歸類一】利用向量證明直線的位置關(guān)系及空間中的角1.(2022年浙江文)如圖,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱中,,,,,,,是的中點(diǎn),是平面與直線的交點(diǎn).=1\*GB2⑴證明:=1\*GB3①;=2\*GB3②平面;=2\*GB2⑵求與平面所成的角的正弦值.2.(2022年浙江理)如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,且⊥平面,,分別為的中點(diǎn)。(1)證明:平面;(2)過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),求二面角的平面角的余弦值。3.(2022北京理)如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,,CE=EF=1.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:(Ⅲ)求二面角的大小。4.(2022天津文)如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ADEF是正方形,F(xiàn)A⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,∠BAD=∠CDA=45°.(Ⅰ)求異面直線CE與AF所成角的余弦值;(Ⅱ)證明CD⊥平面ABF;(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值。5.(2022天津理)如圖,在五面體ABCDEF中,F(xiàn)A平面ABCD,AD2022山東理)在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形,,⊥平面,∥,∥,∥,.(Ⅰ)若是線段的中點(diǎn),求證:∥平面;ABCDEFGMABCDEFGM【考題歸類2】利用向量解決立體幾何的探索問(wèn)題1.(2022福建理)如圖甲,四棱錐中,,四邊形中,,,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)設(shè).(=1\*romani)若直線與平面所成的角為,求線段的長(zhǎng);(=2\*romanii)在線段上是否存在一個(gè)點(diǎn),使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等?說(shuō)明理由.2.(2022浙江理)如圖,在三棱錐中,,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2(Ⅰ)證明:AP⊥BC;(Ⅱ)在線段AP上是否存在點(diǎn)M,使得二面角A-MC-B為直二面角?若存在,求出AM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。3.(2022福建理)如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,,,且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn)求異面直線NE與AM所成角的余弦值在線段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES平面AMN?若存在,求線段AS的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由4.(2022浙江)如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點(diǎn),,.(I)設(shè)是的中點(diǎn),證明:平面;(II)證明:在內(nèi)存在一點(diǎn),使平面,并求點(diǎn)到,的距離.【考題歸類三】平面圖形折疊成空間圖形試題探究1(2022陜西理)如圖,在△ABC中,∠ABC=,∠BAC,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC.(1)證明:平面ADB⊥平面BDC;(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn),求與夾角的余弦值.2.(2022陜西文)如圖,在中,,,是上的高,沿把折起,使.(Ⅰ)證明:平面ADB⊥平面BDC;(Ⅱ
)設(shè),求三棱錐的表面積.題型1利用向量證明直線的位置關(guān)系及空間中的角例1解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,由余弦定理可知,即,在中,∠DAB=60°,,則為直角三角形,且.又AE⊥BD,平面AED,平面AED,且,故BD⊥平面AED;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,設(shè),則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)向量為平面的法向量,則,即,取,則,則為平面的一個(gè)法向量.,而二面角F-BD-C的平面角為銳角,則二面角F-BD-C的余弦值為.解法二:取的中點(diǎn),連接,由于,因此,又平面,平面,所以由于平面,所以平面故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因?yàn)?又,所以,故,因此二面角的余弦值為.例2解析:(Ⅰ)因?yàn)槠矫?平面,所以.又因?yàn)槠矫?平面,所以.而,平面,平面,所以平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而為矩形,所以為正方形,于是.法1:以點(diǎn)為原點(diǎn),、、為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則、、、,于是,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,從而,令,得.而平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為,于是二面角的正切值為3.法2:設(shè)與交于點(diǎn),連接.因?yàn)槠矫?平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因?yàn)槠矫?平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值為.例3【解析】(1)在中,得:同理:得:面(2)面取的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,面面面得:點(diǎn)與點(diǎn)重合且是二面角的平面角設(shè),則,既二面角的大小為例4方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得,,,解:易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為證明:已知,,于是·=0,·=0.因此,,,又所以平面(3)解:設(shè)平面的法向量,則,即不妨令X=1,可得。由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量。于是,從而所以二面角的正弦值為方法二:(1)解:設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF==鏈接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角,易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為(2)證明:連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)?,所以,從而,又由?所以,故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?,所以AF⊥平面A1ED(3)解:連接,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知,所以,又所以,在連接A1C1,A1F在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為題型2利用向量解決立體幾何的探索問(wèn)題例1解:(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,故(2)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則設(shè)平面的法向量為,則有,取,可得,要使平面,只要,又平面,存在點(diǎn)使平面,此時(shí).(3)連接,由長(zhǎng)方體,得,,由(1)知,故平面.是平面的法向量,而,則二面角是,所以,即例2(1) 證明:取中點(diǎn)P,連結(jié)MP,NP,而M,N分別是A與的中點(diǎn),所以,MP∥A,PN∥,所以,MP∥平面AC,PN∥平面AC,又,因此平面MPN∥平面AC,而MN平面MPN,所以,MN∥平面AC,例3方法一:(1)以為正半軸方向,建立空間直角左邊系則(2),設(shè)平面的法向量則取是平面的法向量得:二面角的正弦值為(3)設(shè);則,即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.(2)解:如圖,作于點(diǎn),連接,由,可得平面.因此,,從而為二面角的平面角.在中,,由此得,由(1)知,故在中,,因此,所以二面角的正弦值為.題型3平面圖形折疊成空間圖形試題探究例1解:(1),平面,又平面,又,平面(2)如圖建系,則,,,∴,設(shè)平面法向量為,則∴∴∴又∵∴∴∴與平面所成角的大小(3)設(shè)線段上存在點(diǎn),設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則則,設(shè)平面法向量為,則∴∴假設(shè)平面與平面垂直,則,∴,,∵∴不存在線段上存在點(diǎn),使平面與平面垂直例2(Ⅰ)解法1:在如圖1所示的△中,設(shè),則.由,知,△為等腰直角三角形,所以.由折起前知,折起后(如圖2),,,且,所以平面.又,所以.于是,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故當(dāng),即時(shí),三棱錐的體積最大.解法2:同解法1,得.令,由,且,解得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),取得最大值.故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大.(Ⅱ)解法1:以為原點(diǎn),建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系.由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),,.于是可得,,,,,,且.設(shè),則.因?yàn)榈葍r(jià)于,即,故,.所以當(dāng)(即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí),.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由及,得可取.設(shè)與平面所成角的大小為,則由,,可得,即.故與平面所成角的大小為CCADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN圖cBDPCFNEBGMNEH圖dN解法2:由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),,.如圖b,取的中點(diǎn),連結(jié),,,則∥.由(Ⅰ)知平面,所以平面.如圖c,延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得,連,,則四邊形為正方形,所以.取的中點(diǎn),連結(jié),又為的中點(diǎn),則∥,所以.因?yàn)槠矫?又面,所以.又,所以面.又面,所以.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng),而點(diǎn)F是唯一的,所以點(diǎn)是唯一的.即當(dāng)(即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)),.連接,,由計(jì)算得,所以△與△是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形,如圖d所示,取的中點(diǎn),連接,,則平面.在平面中,過(guò)點(diǎn)作于,則平面.故是與平面所成的角.在△中,易得,所以△是正三角形,故,即與平面所成角的大小為題型歸類訓(xùn)練考題歸類一利用向量證明直線的位置關(guān)系及空間中的角1、(1)(i)因?yàn)?,平面ADD1A1,所以平面ADD1A1.又因?yàn)槠矫嫫矫鍭DD1A1=,所以.所以.因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,在矩形中,F(xiàn)是AA的中點(diǎn),即.即,故.所以平面.(2)設(shè)與交點(diǎn)為H,連結(jié).由(1)知,所以是與平面所成的角.在矩形中,,,得,在直角中,,,得,所以BC與平面所成角的正弦值是.2、【解析】本題主要考察線面平行的證明方法,建系求二面角等知識(shí)點(diǎn).(Ⅰ)如圖連接BD.∵M(jìn),N分別為PB,PD的中點(diǎn),∴在PBD中,MN∥BD.又MN平面ABCD,∴MN∥平面ABCD;(Ⅱ)如圖建系:A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),N(,0,0),C(,3,0).設(shè)Q(x,y,z),則.∵,∴.由,得:.即:.對(duì)于平面AMN:設(shè)其法向量為.∵.則.∴.同理對(duì)于平面AMN得其法向量為.記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為,則.∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為.3、證明:(I)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G,因?yàn)镋F∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形。所以AF∥EG。因?yàn)镋GP平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE。(II)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD。如圖,以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。則C(0,0,0),A(,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F(xiàn)(,,1)。所以=(,,1),=(0,-,1),=(-,0,1)。所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0。所以CF⊥BE,CF⊥DE,所以CF⊥平面BDE(III)由(II)知,=(,,1),是平面BDE的一個(gè)法向量,設(shè)平面ABE的法向量=(x,y,z),則·=0,·=0。即所以x=0,且z=y。令y=1,則z=。所以n=(),從而cos(,)=因?yàn)槎娼茿-BE-D為銳角,所以二面角A-BE-D為。4、(I)解:因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形,所以FA為異面直線CE與AF所成的角.因?yàn)镕A平面ABCD,所以FACD.故EDCD.在Rt△CDE中,CD=1,ED=,CE==3,故cos==.所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為.(Ⅱ)證明:過(guò)點(diǎn)B作BG,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(Ⅲ)解:由(Ⅱ)及已知,可得AG=,即G為AD的中點(diǎn).取EF的中點(diǎn)N,連接GN,則GNEF,因?yàn)锽C點(diǎn)N作NMEF,則為二面角B-EF-A的平面角。連接GM,可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知,可得GM=.由NG在Rt△NGM中,tan,所以二面角B-EF-A的正切值為.5、方法一:(Ⅰ)解:由題設(shè)知,BF(=2\*ROMANII)證明:,(=3\*ROMANIII)又由題設(shè),平面的一個(gè)法向量為6、19.(I)證法一:因?yàn)镋
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