橢圓專題復(fù)習(xí)講義

1/16第1頁(yè)共16頁(yè)Q橢圓專題復(fù)習(xí)Q★知識(shí)梳理★(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F的距離之和為常數(shù)2a(2a>|FF|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定1222(2)橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)F與定直線l(定點(diǎn)F不在定直線l上)的距離之比是常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡為橢圓(利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化).2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):++=1(a>b>0)+=1(a>b>0)abab2ab+c2x=士cca對(duì)稱性離心率xyy2x2性質(zhì)22考點(diǎn)1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型1:橢圓定義的運(yùn)用反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計(jì))，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是yCAOBxA．4aB．2(a－c)C．2(a+c)CAOBx[解析]按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:2作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF的周長(zhǎng)為()1.短軸長(zhǎng)為5，離心率e=作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF的周長(zhǎng)為()231212A.3B.62/16第2頁(yè)共16頁(yè)x2y2y2x2y2x2x2y216x2y2y2x2y2x2x2y2PM+PN的最小值為()4．橢圓9x2+y2=9的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A．2B.3C.6D.9xyabFFFFa2b2121212題型2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[例2]設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為42－4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a,b,c的式子“描述”出來(lái)||xyxy2解之得：a=42，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為+=xyxy2【名師指引】準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)a,b,c的數(shù)量關(guān)系．[警示]易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況．1212程為()43432()3/16第3頁(yè)共16頁(yè)DA求這個(gè)橢圓方程.考點(diǎn)2橢圓的幾何性質(zhì)題型1:求橢圓的離心率(或范圍)【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率1[解析]S=|AB|.|AC|sinA=3，e===e【名師指引】(1)離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定(2)只要列出a、b、c的齊次關(guān)系式，就能求出離心率(或范圍)(3)“焦點(diǎn)三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注【新題導(dǎo)練】1.如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為B.....4x2y22.已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓+=x2y2mn，橢圓，橢圓上點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離是2，N是MF的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，那么1橢圓方程線段ON的長(zhǎng)是()AA.2B.4C.8.12a2b21若三PFF=30。，則橢圓C的離心率為()121 61 333633312b2124/16第4頁(yè)共16頁(yè)且三FPF=90。,則橢圓的離心率為()66(B)(C)((B)(C)(D)66．已知橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為B、B，左、右焦點(diǎn)分別為F、F，若四邊形BFBF是正方形，則此橢圓1211221A．31B．2222332橢圓C的離心率為()121212()111111244242x2y29．橢圓＋＝1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點(diǎn)為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，a2b22211+5411+34題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用(范圍、對(duì)稱性等)【解題思路】把x2+y2x看作x的函數(shù)x2y21x2y2142212x202x22113x2+y2x=x2x+2=(x1)2+,x[2,2]222325/16第5頁(yè)共16頁(yè)x【新題導(dǎo)練】xm2n2則PF+PF+PF+PF+PF+P則PF+PF+PF+PF+PF+PF+PF=________________12345677考點(diǎn)3橢圓的最值問(wèn)題[例5]橢圓+=1上的點(diǎn)到直線l:x+y9=【解題思路】把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)12+122【名師指引】也可以直接設(shè)點(diǎn)P(x,y)，用x表示y后，把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為x的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”【新題導(dǎo)練】1.橢圓+169a2b2121224PB6/16第6頁(yè)共16頁(yè)x2y2x43x2y2xA.4B.5C.2D.35．點(diǎn)P(x,y)是橢圓2x2+3y2=12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則x+2y的最大值為()．222221 222D．1 227．動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在橢圓x+y=1上,若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),|AM|=1,且PM.AM=0,則|PM|的最小值是(222516A.2B.3C.2D.38．在橢圓x2+y2=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q，E(3,0)為定點(diǎn)，EP」EQ，則EP.QP的最小值為()369A.6B.33C.9x2y29．[2014·福建調(diào)研]若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則43A.2B.3C.6D.8x2y21．已知橢圓+=1，則以點(diǎn)M(1,1)x2y243C．4x3y+7=0D．4x+3y+1=02．已知橢圓x2+y2=1，則以點(diǎn)M(1,2)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為()．C．2x3y+8=0D．2x+3y4=03697/16第7頁(yè)共16頁(yè)若率為________．考點(diǎn)4橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題(1)求橢圓方程；(2)求m的取值范圍．式[解析](1)由題意可知橢圓C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可設(shè)C:y2+x2=1(a>b>0)a2b2由條件知a=1且b=c，又有a2=b2+c2，解得a=1,b=c=22ya21 2〈|(y＝kx＋m得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0(*)－2kmm2－1kxxkx|x1x2＝－3x－2kmm2－1消去x2，得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴3(k2＋2)2＋4k2＋2＝0112－2m2m2＝4時(shí)，上式不成立；m2≠4時(shí)，k2＝4m2－1容易驗(yàn)證k2>2m2－2成立，所以(*)成立11即所求m的取值范圍為(－1，－2)∪(2，1)【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能【新題導(dǎo)練】O222222.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過(guò)點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|2(2)設(shè)直線l的斜率為(2)設(shè)直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。22x2(2)直線MN的方程為y=k(x+1),設(shè)M(x,y),設(shè)M(x,y,),N(x,y)111122∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根8/16第8頁(yè)共16頁(yè)9/16第9頁(yè)共16頁(yè)x：x+x=一x.xx22+2k2,121+2k212212121211121277777777基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練11AA2B2C2D3222.設(shè)F1、F2為橢圓4+y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)△F1PF2面積為1時(shí)，412122112_________.6.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓x2+y2=1(a>b>0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)(|a2,0)|作圓a2b2(c)的兩切線互相垂直，則離心率e=．綜合提高訓(xùn)練10/16第10頁(yè)共16頁(yè)xy2y直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由xy2y直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.CA2ab22(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求的值。O42421122聯(lián)立方程:〈1212121212128-4k2a2b21⑴、求該橢圓的離心率.1PcycPcycPF=b2，：b=c,a2b21a2BOOAa1222.2、設(shè)F,F是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，2c105爪P是橢圓上一點(diǎn)，若三FPF=，證明：AFPF的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)231212123AF1PF211/16第11頁(yè)共16頁(yè)22123b2，命題得證312/16第12頁(yè)共16頁(yè)61．已知橢圓(a＞b＞0)和直線l：y＝bx＋2，橢圓的離心率e＝，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為2．3(1)求橢圓的方程；(2)已知定點(diǎn)E(﹣1，0)，若直線y＝kx＋2(k≠0)與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，試判斷是否存在實(shí)數(shù)k，使得以k12．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=83y的焦點(diǎn).2(Ⅰ)求橢圓C的方程；122xa2b222x(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：2(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過(guò)原點(diǎn)O，若kAC.kBD=a22(ⅰ)求OA.OB的最值：(ⅱ)求證：四邊形ABCD的面積為定值.a2b222(1)求橢圓E的方程；14212左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)．(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l:y=kx+BOk213/16第13頁(yè)共16頁(yè)14/16第14頁(yè)共16頁(yè)(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)四邊形AEBF(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)四邊形AEBF面積取最大值時(shí)，求k的值．x2y2x6．設(shè)F,F分別是橢圓+y2=1的左，右焦點(diǎn).1245(1)若P是橢圓在第一象限上一點(diǎn)，且PF.PF=，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A,B，且三AOB為銳角(其中O為原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍.y2x237．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線a2b2