高數(shù)下冊(cè)公式總結(jié)修改版

幾何定義模定義模在直角坐標(biāo)系下的表示xryzrxyzrjaxxyyzzxyzxxyyzz定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)差xyxyzaaaxyzaaaaa方向余弦方向余弦axxyyzzijkxyzbbbxyz角向量c與a，b都垂直且右手系xxyyzzaaa交角余弦a//b一x=y=a//b一x=y=zbbbxyzbbbxyzxxyyzzxyzxyzab+ab+abprja=xxyyzz向量a在非零向量b上的投影xxyzbb方程形式及特征(Ax+By+Cz+D=0lAx+By+Cz+D=0法向量n={A,B,C}點(diǎn)M(x,y,z)0000方程形式及特征點(diǎn)M(x,y,z)0000方程名稱一般式方程名稱一般式112222dddd三點(diǎn)式截距式面面垂直面面平行線面垂直000參數(shù)式兩點(diǎn)式線線垂直線線平行線面平行xxyyzz111xxyyzz02121xxyyzzxyz1abcAABBCC0121212ABC11ABC222ABCmnp點(diǎn)面距離M(x,y,z)0000000面面夾角cos121212線線夾角s{m,n,p}s{m,n,p}11112222m2n2p2m2n2p211222xxyyzz000mnpxxmt0yyntzz0ptxxyyzz000101010mmnnpp0121212mnp11mnp222面面距離2DD12A2B2C2線面夾角A2B2C2m2n2p2111222cos12xxyyzz111122220xxxyyzz切“線”方程：(t0)(t0)(t0)000(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz)0000000xxyyzz切“線”方程：PPPmnpPPPF(x,y,z)(xx)F(x,y,z)(yy)x0000x0000F(x,y,z)(zz)0x0000xxyyzz000F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000y000z000T((t),(t),(t))000kFzG法向量(F(x,y,z),x000F(x,y,z),y000F(x,y,z))z000x(t)， z(t)，(t)Fxyz0空間曲間曲面rTFGxjFGiy積分類型二重積分D平面薄片的質(zhì)量重積分計(jì)算方法(1)利用直角坐標(biāo)系X—型jjf(x,y)dxdy=jbdxj02(x)f(x,y)dya0(x)xDD(2)利用極坐標(biāo)系使用原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段)；(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含(x2+y2)a,a為實(shí)數(shù))典型例題質(zhì)量=面密度三重積分I=業(yè)DD標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙方法：圖示法先積一條線，后掃積分域(投影法l截面法l截面法ccz(2(2)利用柱面坐標(biāo)相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適用范圍:空間立體物的質(zhì)量面積(3)利用球面坐標(biāo)空間立體物的質(zhì)量面積(3)利用球面坐標(biāo)適用范圍:適用范圍:○1積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;如，球體，錐體.aa積分類型第一類曲線積分第一類曲線積分L的質(zhì)量平面第二類曲線積分L變力沿曲線所做的功曲線積分與曲面積分計(jì)算方法aly=v(t) ly=v(t)I=jbf(Q(t),v(t))Q,2(t)+v,2(t)dta (1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)L:〈ly=vL:〈ly=v(t)(t:a)b)LaTatvtototdtTa(2)利用格林公式(轉(zhuǎn)化為二重積分)條件：①L封閉，分段光滑，有向(左手法則圍成平面區(qū)域D)L?x?yL?x?yD(滿足條件直接應(yīng)用例題(滿足條件直接應(yīng)用(滿足條件直接應(yīng)用xx (3)利用路徑無(wú)關(guān)定理(特殊路徑法)等價(jià)條件：①?Q=?P②jPdx+Qdy=0?x?yL③j(特殊路徑法，偏積分法，湊微分法)(4)兩類曲線積分的聯(lián)系(4)兩類曲線積分的聯(lián)系LL第一類曲面積分x第二類曲面積分x流體流向曲面一側(cè)的流量xyxDx類似的還有投影到xyyoz面和zox面的公式 (1)投影法x：x：x=x(y,z)ya為x的法向量與x軸的夾角DxD(2)高斯公式x圍空間閉區(qū)域業(yè)的外側(cè)R?x?y?z?x?y?zx業(yè)xl (3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系x○1定義：四步法——分(任意分割)、勻(任意取點(diǎn))、和(求和)、精(求極限)；無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)周期延拓兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂推論如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散則原來(lái)級(jí)數(shù)nn若uu且limu0，則(1)n1u收斂nn1nnn比較判別法比較判別法的極限形式根值判別法u和v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且uv.若v收斂，則nnnnnu也收斂；若u發(fā)散，則v也發(fā)散.nnnnvnvn0l,u與v同斂或同散;若l0,v收nnnulv發(fā)散，u也發(fā)散。nnnnnnnnnunnnn0anxn,lina1,R,0;R,0;R0,.間接展開(kāi):六個(gè)常用展開(kāi)