高中數(shù)學(xué)概率重點(diǎn)問題探討2

高中數(shù)學(xué)中古典概率應(yīng)用上之易錯(cuò)處研究之勘阻及廣創(chuàng)作一、基本觀點(diǎn)（1）分類計(jì)數(shù)原理：Nm1m2mn2）分步計(jì)算原理：Nm1m2mn3）擺列:一般地，從n個(gè)元素中拿出m個(gè)元素（mn），依據(jù)一定的次序排成一列，叫做從n個(gè)元素中拿出m個(gè)元素的一個(gè)擺列。從n個(gè)元素中拿出m個(gè)元素（mn）的全部擺列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)分歧元素中拿出m個(gè)元素的擺列數(shù)，用符號(hào)Anm示意，Anmn(n1)(n2)(nm1)。4）組合：一般地，從n個(gè)分歧元素中拿出m個(gè)元素（mn）并成一組，叫做從n個(gè)元素中拿出m個(gè)元素的一個(gè)組合。從n個(gè)元素中拿出個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)分歧元素中拿出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cnm示意。mAnmn(n1)(n2)(nm1)Cnm!Amm。5）必然事件：在必定的條件下必然要發(fā)生的事件。6）不可能事件：在必定的條件下不可能發(fā)生的事件。7）隨機(jī)事件：在必定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。8）在同樣的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件AnA發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值n稱為事件A發(fā)生的頻次。nA（9）一般地，在大批重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻次

n老是靠近于某個(gè)常數(shù)，在它鄰近搖動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件

A的頻次，記作P(A)，且一次實(shí)驗(yàn)連同此中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件，往常此試驗(yàn)中的某一個(gè)事件A由幾個(gè)基本事件構(gòu)成，假如一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，即此實(shí)驗(yàn)由n個(gè)基本事件構(gòu)成。并且1全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是n。假如某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)

mn

。二、要點(diǎn)問題解析“有放回摸球”與“無放回摸球”“有放回摸球”與“無放回摸球”主要有以下差別：1）無放回摸球主假如指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球時(shí)總數(shù)比上次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋內(nèi)，下次再摸球時(shí)袋內(nèi)球的總數(shù)不變。2）“無放回摸球”各次抽取不是相互獨(dú)立的，而“有放回摸球”每次是相互獨(dú)立的。下邊經(jīng)過一個(gè)例題來進(jìn)一步的說明“無放回摸球”與“有放回摸球”的差別。例1袋中有1，2，3，，N號(hào)球各一個(gè)，采納①無放回，②有放回的兩種方式摸球，試求在第k次摸球時(shí)第一摸到一號(hào)球的概率。解：設(shè)Bi為事件“第i次摸到一號(hào)球”(i1,2,k)。①無放回摸球若把k次摸出的k個(gè)球排成一排，則從N個(gè)球任取k個(gè)球的每個(gè)擺列就是一個(gè)基本事件，所以基本事件的總數(shù)為以數(shù)碼1，2，，N中任取k個(gè)數(shù)碼的擺列數(shù)，nPNk。下邊求事件Bk包括的基本事件數(shù)m，事件Bk可分兩步達(dá)成：先在第k個(gè)地點(diǎn)上排上1號(hào)球，只有一種排法，再在前k1個(gè)地點(diǎn)排其余N1個(gè)球，共有PNk11種排法，由乘法原理知，事件Bk包括的基本事件數(shù)為m1PNk11PNk11，進(jìn)而mPNk111P(Bk)PNkN。n②有放回的摸球因?yàn)橛蟹呕孛?，每次袋中都有N個(gè)球，共摸k次，故共有Nk種可能結(jié)果，既基本事件總數(shù)為nNk。事件Bk可分為兩步達(dá)成：前k1次未摸到1號(hào)球，共有mNk1，于是m(N1)k1P(Br)Nkn

。解析：關(guān)于有放回摸球與無放回摸球題型，在審題時(shí)必定要注意是有放回仍是無放回，而后依據(jù)題意來考慮擺列與組合的應(yīng)用，總之，必定要抓住題目的隱含條件與已知條件的關(guān)系，所要求的問題與已知條件之間的連結(jié)點(diǎn)，這樣才華夠很快的解決問題而不至于錯(cuò)誤。“隔板法”隔板法是插空法的一種特別狀況，它的使用特別寬泛，能解決一大類組合問題。下邊用一個(gè)詳細(xì)的例子來說明它的使用的優(yōu)勝性。例2將9個(gè)同樣的小球放到六個(gè)分歧的盒子里，每個(gè)盒子起碼放一個(gè)球，有多少種分歧放法。解法一：先在盒子里各放一個(gè)球，再把剩下的3個(gè)球放到6個(gè)盒子里，分三類：①3個(gè)球放到一個(gè)盒子里，有C61種放法；②3個(gè)球放到兩個(gè)盒子里，球數(shù)分別為2，1，共P62種放法；③3個(gè)球放到3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子各一個(gè)球，共C63種放法。依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有C61P62C6256種放法。解法二（隔板法）：把6個(gè)盒子看做由平行的7個(gè)隔板構(gòu)成的，每一個(gè)知足要求的放法、相當(dāng)于9個(gè)小球和7個(gè)隔板的一個(gè)擺列，其中2個(gè)隔板在兩端，任何2個(gè)隔板之間起碼有1個(gè)球（既任何2個(gè)隔板不相鄰），把兩端的2個(gè)隔板拿掉，每一個(gè)知足要求的放法還相當(dāng)于再排成一列的9個(gè)小球間8個(gè)空檔中拔出5個(gè)隔板，分歧的放球方法即插隔板的方法，共有C8556種。解析：關(guān)于用隔板法解決概率問題，一般都是將問題的思慮角度進(jìn)行轉(zhuǎn)變，使問題從多向思想向單調(diào)思想轉(zhuǎn)變，而后把問題的實(shí)質(zhì)找出來進(jìn)行解析，問題自然就很好理解了。上述解法2應(yīng)用了對(duì)應(yīng)的方法，轉(zhuǎn)化為插空問題，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但不簡(jiǎn)單理解，等理解透辟后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隔板法是特別好用的，是擁有普適性的方法。但必定要注意的是應(yīng)用此法的前提是小球是完整同樣（不加劃分），盒子是分歧的，每個(gè)盒子起碼放一球。例3要從高一年級(jí)8個(gè)班中發(fā)生12學(xué)生代表，每個(gè)班起碼發(fā)生一名代表，則代表名額的分派的方案起碼有多少種?解：這個(gè)問題假如用原始的方法來解析，是比較麻煩的額，但假如轉(zhuǎn)變問題的角度，用“隔板法”來理解，這個(gè)問題就簡(jiǎn)單解決了。把12個(gè)名額看做12個(gè)同樣小球，8個(gè)班看做8個(gè)分歧的盒子，用隔板法知道名額分派方法共有C117種。分組問題分組問題時(shí)擺列組合中的一個(gè)難點(diǎn)，主要有以下兩種狀況。1）非均勻分組問題在非均勻分組問題中，不論是給出組名或不給出組名，其分組的方法同樣。例4把12人分紅以下三組，分別求出以下各樣分組的方法數(shù)：①分紅甲、乙、丙三組，此中甲組7人、乙組3人、丙組2人。②分紅三組，此中一組7人、一組3人、一組2人。解：①先從12人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人為丙組，則共有C127C53C22種分歧的方法。②先從12人中任選7人為一組有C127種選法，再?gòu)挠嘞?人中任選3人有C53種選法，剩下的兩人為一組，共有C127C53C22種分歧的選法。解析：在第一個(gè)問題中，學(xué)生很簡(jiǎn)單遇到擾亂，就是關(guān)于甲、乙、丙三組，和分紅三組時(shí)否需要乘以A33的問題。可是因?yàn)楦鹘M的人數(shù)分歧，這個(gè)問題屬于非均勻分組問題，固然第一小問給出了分組的名稱，可是這個(gè)其實(shí)不影響最后的結(jié)果，它們的分組方法都是同樣的。2）均勻分分組問題。解析：上邊的非均勻分組問題中，能否給出組名對(duì)結(jié)果沒有影響，但在均勻分組問題中必定要注意問題能否給出了詳細(xì)的組名，它們的結(jié)果是分歧的。例5有6安分歧的書，按以下要求分派，各有多少種散發(fā)。①分給甲、乙、丙三人，每人2本；②均勻分紅三份。解：①?gòu)?本書中任取2本給一個(gè)人，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本給此外一個(gè)人，剩下的2本給最后一個(gè)人，共有C62C42C2290種分法。②設(shè)均勻分紅三堆有x種分法，在分給甲乙、丙三人每人各2本，xC62C42C22則應(yīng)有xA33C62C42C22種分法。所以有A33種分歧的分法。說明：上邊例子中能夠看出：兩個(gè)問題都是分紅三堆，每堆兩本，屬于均勻分組問題，而（1）分到甲、乙、丙三人，屬于到位問題，相當(dāng)于給出了甲、乙、丙三個(gè)指定的組，但（2）沒有給出組名，因此是分歧的。規(guī)律：一般地，把nm個(gè)元素均勻分到m個(gè)分歧的地點(diǎn)，有CnmnCnn(m1)Cnn2Cnn種方法，把nm個(gè)分歧元素均勻分紅m組有CnmnCnn(m1)Cnn2Cnnm!種分法。（1）圓擺列定義1：從n個(gè)分歧的元素中任取m(mn)個(gè)，依據(jù)必定的次序排成圓形，叫做一個(gè)圓擺列。定義2：從n個(gè)分歧的元素中拿出m(mn)個(gè)元素的全部圓擺列的個(gè)數(shù)，叫做圓擺列數(shù)，用符號(hào)Rnm示意。例65個(gè)朋友坐在圓桌四周時(shí)，席位擺列方法有幾種？解：設(shè)5個(gè)人分別為a，b，c，d，e，把他們排成一排時(shí)，擺列的數(shù)量是5！，排成圓形時(shí)，像以下圖那樣不過轉(zhuǎn)了一個(gè)地方的排法被看做是同樣的，所以依據(jù)乘法原理得：所以R555!245答：席位的擺列方法有24種。命題1：n個(gè)分歧的元素的圓擺列數(shù)Rnn(n1)!。例7有6名同學(xué)做成一圓圈做游戲，有多少種做法？解:據(jù)命題一，R66(61)!120種。答：共有120種。命題2：從n個(gè)元素中拿出m(mn)個(gè)元素的圓擺列數(shù)RnmCnm(m1)!。證明：從n個(gè)分歧元素中拿出m個(gè)元素的組合數(shù)為Cnm種，而將這m個(gè)元素排成圓形由命題1共有(m1)!種方法，于是由乘法原理得RnmCnm(m1)!.（2）重復(fù)組合定義3：從n個(gè)分歧的元素中任取m個(gè)元素，元素能夠重復(fù)選用，不管如何的次序并成一組，叫做重復(fù)組合。定義4：從n個(gè)分歧的元素中拿出m個(gè)元素的全部重復(fù)組合的個(gè)數(shù)，叫做重復(fù)組合數(shù)，用符號(hào)Hnm示意。例8有5個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，同一個(gè)數(shù)同意采用隨意次，求從中選出3個(gè)的重復(fù)組合數(shù)。解：假如從5此中選出3個(gè)時(shí)，選的都是分歧的數(shù)，那么很明顯組合數(shù)為C53，可是同一個(gè)數(shù)同意采用隨意次，所以像（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5），的組合也應(yīng)在算內(nèi)，所以要想辦法，把問題轉(zhuǎn)變成選用的全部是分歧元素的問題，為了把上述（1，1，1），1，2，1），（4，4，5）改成全部是分歧的數(shù)，先把這些數(shù)按從小到大的次序擺列起來獲得（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）。然后第一個(gè)數(shù)不變，在第二個(gè)數(shù)上加1，在第三個(gè)數(shù)上加2，這就釀成：（1，2，3），（1，2，4），（4，6，7）。一般地(a,b,c)(a,b1,c2)，能夠證明左右兩邊是一一對(duì)應(yīng)的（左右各有一組相互對(duì)應(yīng)，一組不克不及和兩組以上對(duì)應(yīng)）。這樣，a,b,c中即便有同樣的元素，在上述的一一對(duì)應(yīng)中，也能夠改釀成沒有同樣的元素組，所以從整體上來說，結(jié)果就成了從1，2，3，4，5，6，7的7個(gè)數(shù)中選用3個(gè)分歧的元素的組合問題了，即H53C7376535123。答：從1，2，3，4，5中選用3個(gè)數(shù)的重復(fù)組合數(shù)為35。命題3：從n個(gè)分歧的元素中選用出m個(gè)元素的重復(fù)組合數(shù)為HnmCnmm1。例9從3，5，7，11這4個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)相乘，同一個(gè)數(shù)同意重復(fù)使用，能夠獲得多少個(gè)不同樣的乘積？解：依據(jù)命題3有：H43C422110個(gè)。答：能夠獲得10個(gè)不相等的乘積。解析：圓擺列和重復(fù)組合問題時(shí)高考取的難點(diǎn)，學(xué)生在平常的理解過程中常常也存在好多的理解上的問題，主假如因?yàn)樗麄冊(cè)谄匠５挠?xùn)練中間已經(jīng)習(xí)慣性的接受了全擺列和不重復(fù)組合的好多的例題，致使了思想的本性反響而致使錯(cuò)誤，老師在解說這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候最好能夠從頭給學(xué)生成立相應(yīng)的知識(shí)系統(tǒng)，在講完這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)此后再與前兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的比較理解和學(xué)習(xí)，這樣可能更好的促使教課，學(xué)生也能夠很好的接受。擺列中的“連排”問題（我們稱要求某些元素一定排在一同的排列問題為“連排”問題）：例10某班有學(xué)生38人，此中男生24人，女生14人，現(xiàn)將他們排成一排，女生一定排在一同的排法有多少種？我們稱要求某些元素一定排在一同的擺列問題為“連排”問題。解：因?yàn)?4名學(xué)生一定排在一同，所以我們能夠?qū)?4名學(xué)生當(dāng)作1個(gè)“人”，把

38人的擺列問題當(dāng)作

24+1=25

人的問題，共有

P2525

種，再考慮到

14名學(xué)生之間的排法

P1414

，所以女生一定排在一同的排法種數(shù)為P25P14種。2514一般地，在n個(gè)分歧的元素中，某k個(gè)元素排在一同的排法種數(shù)有Pnnkk11Pkk種。例11某班有38名同學(xué)，此中第一組的12名同學(xué)一定排在一同且第一組中的5名女同學(xué)又一定排在一同的擺列方法有多少種？解：將第一組的12名同學(xué)當(dāng)作一個(gè)“人”。將38名同學(xué)的擺列問題當(dāng)作27人的擺列的問題，共有排法P2727種，再考慮到12名同學(xué)的排列方法，依據(jù)例1，可知第一組的12名同學(xué)要求5名女生排在一同的排法共有P88P55種。所以總的排法種數(shù)有P2727P88P55種。命題4：一般地，n個(gè)分歧元素的擺列中，某k個(gè)元素一定排在一同的且在這k個(gè)元素中的某l個(gè)元素有一定排在一同的排法共有Pnnkk11Pkkll11Pkk種。解析：“連排”問題的種類好多，不可能一一例舉，辦理“連排”問題的基本方法，就是將要求擺列在一同的元素當(dāng)作一個(gè)整體，將它作為一個(gè)元素放到問題中去辦理，以后再考慮這個(gè)整體的內(nèi)部擺列。（2）“間隔排”問題我們稱要求某些元素中的任何兩個(gè)都不克不及擺列在一同的擺列問題為“間隔排”問題。例12某班有59名同學(xué)，此中第一小組有名，現(xiàn)將他們排成一排且要求第一小組的任何兩名同學(xué)都不排在一同的排法有多少種？解：第一將不要求間隔的同學(xué)先擺列有P4545種排法，而后再將要求間隔排的同學(xué)拔出已排的45位同學(xué)的46個(gè)空檔（包括兩端）中去，有P4614種拔出方法，所以總的排法種數(shù)共有P4614P4545種。k(kn1)命題5：一般地，在n個(gè)分歧元素的擺列中，某2個(gè)元素中的任何兩個(gè)元素不擺列在一同的排法有PnnkkPnkk1種。例13現(xiàn)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，用它們（不重復(fù)）可構(gòu)成多少個(gè)各位上奇偶相間的六位數(shù)？解：第一將1，3，5先排共有P33種排法，再將2，4，6拔出已排的1，3，5的空檔中去，考慮到奇偶數(shù)字要相間擺列，故只有兩大插法。在2，4，6之間還要考慮次序關(guān)系，所以插法共有2P33種，故可構(gòu)成2P33P33個(gè)奇偶相間的六位數(shù)。解析：辦理“間隔排”問題的基本方法是將不要求間排的元素先排，以后再考慮將要求間隔排的元素拔出已排元素的空檔中間去。重復(fù)計(jì)算或許漏計(jì)算求解擺列組合問題時(shí)，常有遺漏或重復(fù)的狀況，致使解答錯(cuò)誤，下面將求解擺列組合問題時(shí)幾類稀有的錯(cuò)誤進(jìn)行解析，以惹起注意。對(duì)一些數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的意義掌控禁止，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。例14數(shù)2310有多少個(gè)正約數(shù)？錯(cuò)解：因?yàn)?310235711，所以從這5個(gè)質(zhì)數(shù)中分別取1個(gè)，取2個(gè)，取3個(gè)，取4個(gè)，取5個(gè)的積都是2310的正約數(shù)，故正約數(shù)有C51C52C53C54C5531（個(gè)）。解析：上述解法其實(shí)有遺漏，原由對(duì)正約數(shù)的觀點(diǎn)掌握不深入，所謂的正約數(shù)是指：如有一個(gè)正約數(shù)c（此處的整數(shù)指正整數(shù)），使得整數(shù)a與b之間合適abc，則稱b可整除a，記作b︱a，這時(shí)a稱為b的倍數(shù)，b稱為a的約數(shù)，因?yàn)?︱2310，所以1也是2310的一個(gè)正約數(shù)，所以正確的解答為C51C52C53C54C55132（個(gè)）。對(duì)題意要求或拘束條件考慮不周，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)或許不符題意的解答。例15用數(shù)字0，1，2，3，4，5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，能夠組成多少個(gè)大于240135的正整數(shù)？錯(cuò)解：用這