2023年北京高考數(shù)學(xué)仿真卷6(含詳解)

備戰(zhàn)2023年北京高考數(shù)學(xué)仿真卷（6）

選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.（4分）已知集合人=及|曠<7},8={x|-2領(lǐng)k7},則4|JB=（）

A.{x|-2,,x<2}B.{x|兀，7}C.{x\x<l}D.{x|-2?,x<7}

2.（4分）下列函數(shù)中，定義域為R,且在區(qū)間（0,w）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=lnxB.y=4xC.y=sinxD.y=ex''

3.（4分）已知非零實數(shù)“，6滿足a<6,則下列不等式中一定成立的是（）

A.lna<lnbB.->-C.a2<b2D.a3<b}

ah

4.（4分）己知a=log26,b=bil,c=log1-,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

23

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD?c>a>b

5.（4分）設(shè)a,6y是三個不同的平面，相，〃是兩條不同的直線，給出下列三個結(jié)論：

①若mVa〃_L2,則加//〃；

②若m工/3,則夕//月；

③若a_Ly,Bly,則a///7.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

6.（4分）設(shè)比，”為非零向量，則“沅5>0”是“存在整數(shù)幾，使得沅=4萬”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.（4分）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)丁=/我的圖象關(guān)于直線

x=l對稱的是（）

A.y=ln(]-x)B.y=7/1(2-x)C.y=ln(\+x)D.y=ln(2+x)

8.（4分）設(shè)拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點為尸，點P在C上，|PF|=—，若以線段PF為直徑的圓過

4

點（1,0）,則C的方程為（）

A.彳2=丫或*2=8）,B.x2=2^BSCJC2=8y

C.*2=曠或》2=16曠D.爐=2丫或/=16），

9.（4分）已知函數(shù)/（幻=舊3g-3》，f（x,）+/（%）=0,且函數(shù)f（x）在（百，吃）上具有單調(diào)性，則|占+々|

的最小值為（）

A.工B.工C.生D.生

6333

10.（4分）關(guān)于函數(shù)/（幻=（丁+奴-1）",有以下三個結(jié)論：

①函數(shù)恒有兩個零點，且兩個零點之積為-1；

②函數(shù)的極值點不可能是-1；

③函數(shù)必有最小值.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①②③B.①②C.①③D.①

二.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

11.（5分）二項式（l+x）"5eN"）的展開式中/的系數(shù)為15,則〃=.

12.（5分）在等比數(shù)列伍“｝中，a2=l,火=-8,則數(shù)列｛q｝的前4項和$4=.

13.（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐中最長棱的棱長為.側(cè)視圖

14.（5分）等比數(shù)列應(yīng)｝的各項均為實數(shù)，其前〃項和為S“，已知$3=：,S6=^,則&=.

15.（5分）函數(shù)=（其中Q為有理數(shù)集）被稱為狄利克雷函數(shù)，關(guān)于函數(shù)。（x）有如下四個

0”。。

命題：

①ar＞（x））=o；

②函數(shù)O（x）是偶函數(shù)：

③任何非有理數(shù)都有函數(shù)DM的周期；

④存在三個點A&,力（占）），8（X2，。（%）），C（w，。（不）），使得△鉆C為等邊三角形.

其中真命題的是.

三.解答題（共6小題，滿分85分）

16.（14分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面/WCD為菱形，AB^PA,R4_L底面ABC￡）,ZABC=~,

3

￡是PC上任一點，AC^\BD=O.

（I）求證：平面硬￡）_L平面PAC；

E

(H)若E是PC的中點，求￡D與平面EBC所成角的正弦值.B

17.(14分)在AABC中，若〃、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊，已知AABC同時滿足下列4個條件

中的3個:

@sin-=—：

22

@cr+b2-c2+ab=O；

③6=2百；

④c=3.

(1)請指出這3個條件，并說明理由;

(2)求sinA.

18.(14分)某電商平臺聯(lián)合手機(jī)廠家共同推出“分期購”服務(wù)，付款方式分為四個檔次：1期、2期、3

期和4期.記隨機(jī)變量占、匕分別表示顧客購買"型手機(jī)和V型手機(jī)的分期付款期數(shù)，根據(jù)以往銷售數(shù)據(jù)

統(tǒng)計，%和七的分布列如表所示：

X、1234

P0.10.40.40.1

X21234

P0.40.10.10.4

(I)若某位顧客購買〃型和丫手機(jī)各一部，求這位顧客兩種手機(jī)都選擇分4期付款的概率;

(II)電商平臺銷售一部V型手機(jī)，若顧客選擇分1期付款，則電商平臺獲得的利潤為300元；若顧客選

擇分2期付款，則電商平臺獲得的利潤為350元；若顧客選擇分3期付款，則電商平臺獲得的利潤為400

元；若顧客選擇分4期付款，則電商平臺獲得的利潤為450元.記電商平臺銷售兩部V型手機(jī)所獲得的利

潤為X(單位：元)，求X的分布列；

(III)比較。(占)與0(%)的大小.(只需寫出結(jié)論)

19.(14分)已知橢圓C:土+匕=1.

42

(I)求橢圓C的離心率和長軸長；

(II)已知直線y=fcr+2與橢圓。有兩個不同的交點A,B,P為x軸上一點.是否存在實數(shù)3使得

是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出火的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

20.(15分)已知函數(shù)/(x)=ox2+(x2-2x+2)e*.

(I)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)若0為函數(shù)/(x)的極小值點，求。的取值范圍；

(III)曲線y=/(x)是否存在兩個不同的點關(guān)于y軸對稱，若存在，請給出這兩個點的坐標(biāo)及此時。的值,

若不存在，請說明理由.

21.(14分)已知數(shù)列a,,…，%(〃..2)滿足：①|(zhì)q|=l;②必/=2伏=1,2,???,n-1).

\ak\

記S(A,)=4+a?

(I)直接寫出s(4)的所有可能值；

(H)證明：S(A“)>0的充要條件是%>0；

(III)若S(A“)>0,求S(A“)的所有可能值的和.

備戰(zhàn)2023年北京高考數(shù)學(xué)仿真卷（6）

選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.（4分）已知集合4=垃|丫<7},8={x|-2領(lǐng)k7},則4|JB=（）

A.{x|-2,,x<2}B.{x|兀，7}C.{x\x<l}D.{x|-2,,x<7}

【答案】B

【詳解】解：?.?A={y|y<7}={x|x<7},8={x|-2領(lǐng)k7},

A|jB={x|x<7}U{x|-2^!k7}={X|A?7}.

故選：B.

2.（4分）下列函數(shù)中，定義域為R,且在區(qū)間（0,物）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=lnxB.y=4xC.y=sinxD.y=ex''

【答案】D

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,y=lnx,是對數(shù)函數(shù)，其定義域為。內(nèi)），不符合題意；

對于3,y=?,其定義域為［0,+00）,不符合題意；

對于C，y=sinx,其定義域為R,在區(qū)間（0,”）上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；

對于。，y=ei,其定義域為A,且在區(qū)間（0,yo）上單調(diào)遞增，符合題意；

故選：D.

3.（4分）已知非零實數(shù)a,b滿足a<6,則下列不等式中一定成立的是（）

A.lna<lnbB.->-C.a2<b2D.a3<h3【答案】D

ab

【詳解】解：對于A,若則對數(shù)/〃“，/,必?zé)o意義，故A錯誤；

對于3,若a<0<6,則故3錯誤；

ah

對于C,a<b,取〃=一2,b=\,則/>從，故。錯誤；

對于O,由avb,可得"<〃3,故。正確.

故選：D.

4.（4分）已知o=log2e,b=ln2,c=logj-,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

23

A.a>b>cB.h>a>cC.c>h>aD.c>a>b

【答案】D

【詳解】解：a=log2e>10<b=ln2<l,c=log,=log23>log2e=a

23

則a,b,c的大小關(guān)系

故選：D.

5.（4分）設(shè)a,°,y是三個不同的平面，〃?，〃是兩條不同的直線，給出下列三個結(jié)論:

①若mYaf〃_La,則加//〃；

②若m_LQ,m工f},則a/R；

③若a_Ly,01丫，則a/R.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】解：對于①，若相_La,nLa>則機(jī)//〃，故①正確；對于②，若mJ_a,則a//￡,故

②正確;

對于③，若a_Ly,。Ly,則tz///?或a與/?相交，故③錯誤.

故選：C.

6.(4分)設(shè)所，萬為非零向量，則'‘，元?方＞0"是'’存在整數(shù)2,使得而=，為”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】解：①若非零向量比，萬的夾角為銳角，滿足歷?拓＞0.而玩=4為不成立，.,.充分性不成立，

②若非零向量而，n.存在負(fù)整數(shù)4,使得訪=2萬，則向量而，萬共線且方向相反，可得用?為＜0，.?.必要

性不成立，

，慶?萬＞0是存在整數(shù)義，使得沅=4萬的既不充分也不必要條件，

故選：D.

7.(4分)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=//tr的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是()

A.y=ln(l-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

【答案】B

【詳解】解：首先根據(jù)函數(shù)y=的圖象，

則：函數(shù)y=/ar的圖象與y=ln(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱.

由于函數(shù)y=/nr的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

則：把函數(shù)"/〃(一)的圖象向右平移2個單位即可得到：y=ln(2-x).

即所求得解析式為：y=/〃(2-x).

故選：B.8.(4分)設(shè)拋物線C:/=2py(p＞0)的焦點為尸，點P在C上，|P尸|=口，若以線段PF為

直徑的圓過點(1,0),則C的方程為()

A.x2=y^x2=8yB.x2=2y或f=8y

C.x2=y^x2=16yD.f=2y或f=16y

【答案】C

【詳解】解：由題意可知F（0,§,準(zhǔn)線方程為y=',

設(shè)點P（m.n）,\PF\=n+^-=—,又線段尸尸為直徑的圓過點（1,0）,

24

圓的半徑為口，圓心坐標(biāo)為（',□）,J（--i）2+（—-0）2=-,

828V288

.-.m=2,即P（2,?—§代入拋物線方程得，4=2px（7—爭，

解得片8或;，

故選：C.

9.（4分）已知函數(shù)f（x）=&sinX-cosx,/（西）+/（工2）=。，且函數(shù)/（x）在（％，x2）上具有單調(diào)性，則|玉+x21

的最小值為（）

A.-B.-C.—D.—

6333

【答案】B

【詳解】解：/（x）=\/3sinx-cosx=2sin（x-—）,

6

x--=krr{keZ）,得元=R乃+工伏EZ）,

66

?JT

.,J（x）的對稱中心為（左乃+—，0）,???/（西）+/（*2）=0，且函數(shù)/（X）在（占，左）上具有單調(diào)性，

6

71

：\X]+工21=2|%萬H——I,

6

當(dāng)左=0時，|4+3|的最小值為2.

故選：B.

10.(4分)關(guān)于函數(shù)/(x)=，+ax-l)e*,有以下三個結(jié)論：

①函數(shù)恒有兩個零點，且兩個零點之積為-1;

②函數(shù)的極值點不可能是-1;

③函數(shù)必有最小值.

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②③B.①②C.①③D.①

【答案】A

【詳解】解：/(x)=(x?+ax-l)e*=0可化為V+ar-l=0,

2

△=。2-4x(-1)=a+4>0,

故方程Y+6-1=0有且只有兩個不同的解，不妨設(shè)為百，馬,

由根與系數(shù)的關(guān)系知玉?工2=-1,故①正確；

f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-V)ex=(x2+(a+2)x+a-l)ex,

=(1-(a+2)+a-1)1=-2e-]<0,

故函數(shù)的極值點不可能是-1,故②正確；

vf\x)=(x2+(a+2)x+a-l)e*,R.△=(a+2)2-4(a-1)=a2+8>0,故方程f+(a+2)x+a-l=0有且只

有兩個不同的解，不妨設(shè)為對，匕，

故/(X)在(-8,X3)上單調(diào)遞增，在(X3,天)上單調(diào)遞減，在(匕，+8)上單調(diào)遞增；

而當(dāng)xf-8時，/(x)>0,xf+8時，/(x)>0,/(0)=-1<0,

故/(X)在X=X4處有最小值，故③正確；

故選：A.

二.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

11.(5分)二項式(l+x)"(〃eN")的展開式中/的系數(shù)為15,則〃=.

【答案】6

【詳解】解：二項式(l+x)"(〃eN*)的通項公式為&=C",

由二項式(l+x)"(〃wN*)的展開式中r的系數(shù)為15.

可得C；=15,即〃("一1)("-2)("-3)=15,

4x3x2xl

可得[n(n-3)]4(〃-l)(n-2)]=360,

即為(M2-3〃)2+2(1-3/?)-360=0,

即有"2一3”=一20,或“2-3〃=18,

由〃為正整數(shù)，可得”=6.

故答案為：6.

12.(5分)在等比數(shù)列｛4｝中，a2=\,4=-8,則數(shù)列｛4｝的前4項和，=

【答案】-

2

【詳解】解：因為等比數(shù)列｛4｝中，a,=l，見=-8,所以/=%=-8,

。2

所以4=一2,%=—g,

—4、—(1—16)q

則數(shù)列｛4｝的前4項和S4=空匚山=2=三.

1-q1+22

故答案為：—??

2

13.（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐中最長棱的棱長為

側(cè)視圖【答案】2石

【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐體A-3CDE.

如圖所示：ABL平面BCDE,

所以：AB=BC=CD=2,AE=DE=422+f=后,AD=>J22+22+22=273,AC=&+22=20,

故最大棱長為2G.

故答案為：20。

14.（5分）等比數(shù)列｛a,,｝的各項均為實數(shù)，其前"項和為S"，已知邑=：,$6吟，則4=

【答案】32

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為qwl,

?7?634（1一/）7q（l-/63

3464\-q4\-q4

解得4=；，q=2.

7

則a8=—x2=32.

故答案為：32.

15.(5分)函數(shù)。=(其中。為有理數(shù)集)被稱為狄利克雷函數(shù)，關(guān)于函數(shù)D(x)有如下四個

命題：

①Z)(￡>(x))=O:

②函數(shù)￡>(x)是偶函數(shù)；

③任何非有理數(shù)都有函數(shù)￡>(x)的周期；

④存在三個點A(±,。(5))，B(X2,￡>(%)),C(x3,O(xJ)，使得A48c為等邊三角形.

其中真命題的是.

【答案】②③④【詳解】解：①?.?當(dāng)x為有理數(shù)時，D(x)=l；當(dāng)x為無理數(shù)時，O(x)=0,

.,.當(dāng)x為有理數(shù)時，￡>(￡>(%))=D(1)=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，￡>(D(x))=D(O)=l

即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有￡>(￡>(x))=l,故①不正確；

②?.?有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，

對任意xeR,都有。(-x)=O(x),故②正確；

③任意非有理數(shù)%,即與為無理數(shù)，則取一個非零有理數(shù)T,所以x0+T為無理數(shù)，所以5入0)=。(％+7),

即，為函數(shù)。(x)的一個周期，故③正確：

④取士=---,毛=0,犬3=M，可得『(占)=0，7(-^2)=1?/(玉)=。

,0),8(0,1),C(—半，0),恰好A4BC為等邊三角形，故④正確.

故答案為：②③④.

三.解答題（共6小題，滿分85分）

16.（14分）如圖，在四棱錐P—45CD中，底面舫8為菱形，AB=PA,E4_L底面ASCD,ZABC=-,

3

E是PC上任一點，AC^\BD=O.

（I）求證：平面平面PAC；

（II）若E是PC的中點，求EO與平面E8C所成角的正弦值.

【答案】⑴見解析（H）粵

【詳解】解：（I）%_1平面98=＞上4_18〃，（1分）底面/WCD菱形,

可得8￡>J_AC,（1分）

又「Ap|AC=A,

又B4_L皮>，BD1AC,

Rlu平面E4C,ACu平面E4C,B￡)_L平面R4C,（2分）

BDu平面EBD，平面E8DJ_平面P4C...............（2分）

（II）若E是PC的中點，連結(jié)OE,則?！?/84=＞?！阓1平面488,（1分）

OB,OC,OE兩兩垂直，建立如圖所示的坐標(biāo)系，______（1分）

不妨設(shè)AB=2,則8(6,0,0),。(-百,0,0),C(0,1,0),E(0,0,1)…(2分)

n-BE=-\/3x+z=0

設(shè)平面的法向量為為=（x,y,z）,<

n-BC=-也x+y=Q

取x=l,則y=z=g,所以，元=（1,G，6），

直線。石的方向向量為比=（G，0,1）,

一一mn>/21

cos<m,n>=------=----

\m\\n\7

團(tuán)與平面EBC所成角的正弦值為：—.

7

17.（14分）在AABC中，若〃、b、。分別是內(nèi)角A、B、C的對邊,已知AABC同時滿足下列4個條件

中的3個：①sin0=」；

22

@a2+tr-c2+ab=0；

③匕=26；

@c=3.

（1）請指出這3個條件，并說明理由；

（2）求sinA.

【答案】（1）①，③，④（2）犯巨

8

【詳解】解：（1）AABC同時滿足條件①，③，④.（1分）

理由如下：若A4BC同時滿足①，②.

因為sin0=1,且0e（0,￥）,所以&=軍，即8=巳（2分）

2222263

因為8SC=/+02L=_J.,且Ce（0z）,所以C=紜（4分）

2ab23

所以8+C=兀，矛盾（5分）

所以A4BC只能同時滿足③，④.

因為。>c,所以8>C,故A48C不滿足②

故AABC滿足①，③，④（7分）

（2）在MBC中，b=2+,c=3,B=-

3

又由正弦定理知：—竺=—匚，所以sinC=^2=2（9分）

sinBsinCb4

又因為8>C,所以Ce（O,代），所以cosC=E（10分）

24

所以sinA=sin（B+C）=sin（工+C）=gx72+，x3=史史（12分）18.（14分）某電商平臺聯(lián)合手機(jī)廠

324248

家共同推出“分期購”服務(wù)，付款方式分為四個檔次：1期、2期、3期和4期.記隨機(jī)變量玉、X2分別表

示顧客購買"型手機(jī)和V型手機(jī)的分期付款期數(shù)，根據(jù)以往銷售數(shù)據(jù)統(tǒng)計，占和超的分布列如表所示：

1234

P0.10.40.40.1

X?1234

P0.40.10.10.4

（I）若某位顧客購買H型和V手機(jī)各一部，求這位顧客兩種手機(jī)都選擇分4期付款的概率；

（II）電商平臺銷售一部V型手機(jī)，若顧客選擇分1期付款，則電商平臺獲得的利潤為300元；若顧客選

擇分2期付款，則電商平臺獲得的利潤為350元；若顧客選擇分3期付款，則電商平臺獲得的利潤為400

元；若顧客選擇分4期付款，則電商平臺獲得的利潤為450元.記電商平臺銷售兩部V型手機(jī)所獲得的利

潤為X（單位：元），求X的分布列；

（III）比較。（％）與。（々）的大小.（只需寫出結(jié)論）

【答案】（I）0.1x0.4=0.04（II）見解析（IB）D（X,）<D（X2）

【詳解】解：（I）某位顧客購買"型和丫手機(jī)是相互獨立事件，這位顧客兩種手機(jī)都選擇分4期付款的概

率為0.1x0.4=0.04；

(II)X的可能取值為:600,650,700,750,800,850,900,

P(X=600)=0.4x0.4=0.16,

P(X=650)=C；x0.4x0.1=0.08,

P(X=7(X))=O.lxO.l+C^xO.lxO.4=O.O9,

P(X=750)=C]x0.4x0.4+x0.1x0.1=0.34,P(X=800)=O.lxO.l+C；xO.lxO.4=0.09,

P(X=850)=C；x0Jx04=0.08,

P(X=900)=04x0.4=0.16.

則X的分布列為

X600650700750800850900

P0.16().080.090.340.090.080.16

(III)D(x,)<D(X2).

22

19.(14分)已知橢圓C:土+匕=1.

42

(I)求橢圓C的離心率和長軸長；

(11)已知直線>=依+2與橢圓。有兩個不同的交點4,B,尸為x軸上一點.是否存在實數(shù)及，使得

是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出上的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】(I)立4(II)見解析

2>.

【詳解】解：(I)由題意：/=4,〃=2,所以。=2............(1分)

因為/=尸+/,所以/=2,c—,_________(2分)

所以e=￡=也............（3分）

a2

所以橢圓C離心率為絲，長軸長為4......................（4分）

2

y=kx+2,

（II）聯(lián)立9消y整理得：（2公+1次2+8日+4=0................（5分）因為直線與橢圓交于A,

---1-----=1

14-----2

B兩點,故△＞（）,解得............（6分）

2

設(shè)4E，乂），8（X2，%），則X+毛=2，xix2[........................（8分）

設(shè)Afi中點G（x0,為），

則x0=士咨=—^，%=心+2=一一，

022k2+102k2+1

-Ab7

故^―）.................（9分）

2k2+\2k2+1

假設(shè)存在A和點尸（，*0），使得A/%3是以P為直角頂點的等腰直角三角形，

則尸G_LA8,故須°?心B=-1,

2

所以2QI/=_1,解得機(jī)=二^,故尸（二^0）..................co分）

-4k2k2+12k2+1

―-------m

2k1+\

又因為ZAPB=X,所以P4P*=0.

2

所以（占-機(jī)，,%）=°，即（％-nz）（%,-“D+x%=0.

22

整理得（k+1）X]X2+（2k-w）（x,+x2）+m+4=0.

所以（〃+l）———Qk-m）號一+蘇+4=0,....................（12分）

2k-+12F+1

代入％=二^-,整理得&4=1,即公=1......................（14分）

2k2+\

79

當(dāng)氏=一1時，尸點坐標(biāo)為(二0)；當(dāng)左=1時，尸點坐標(biāo)為(-J0).

33

此時，AftS是以P為直角頂點的等腰直角三角形............(15分)

20.(15分)已知函數(shù)=+，-2x+2)e*.

(I)求曲線y=/(x)在點(0,八0))處的切線方程；(II)若0為函數(shù)/(幻的極小值點，求a的取值范圍；

(III)曲線y=f(x)是否存在兩個不同的點關(guān)于y軸對稱，若存在，請給出這兩個點的坐標(biāo)及此時“的值,

若不存在，請說明理由.

【答案】(I)曲線y=/(x)的切線為y=2(11)ae(0,+oo)(III)不存在

【詳解】解：(I)f'(x)=2ax+(x2-2x+2+2x-2)ex=2ax+x2ex,

r(0)=0,f(0)=