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文檔簡介
第七節(jié)函數(shù)的圖象
最新考綱
1.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表
示函數(shù).
2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).
考向預(yù)測
考情分析:本節(jié)的常考點有函數(shù)圖象的辨析、函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用及利用圖
象解方程或不等式,其中函數(shù)圖象的辨析仍是高考考查的熱點,題型以選擇題為主,屬中檔
題.
學(xué)科素養(yǎng):通過函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端
一、必記2個知識點
1.描點法作圖的流程
確定函數(shù)的定義域
化簡函數(shù)解析式
討論函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)
除考慮點的一般性外,尤其要注意特殊點,如:
與坐標軸的交點、頂點、端點、最(極)值點、
對稱點等
面出直角坐標系,準確描出表中點
連線—用光滑的曲線連接所描點
2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
|尸人:)+<:|
上A">0)個單位
移
I產(chǎn)危+一一?系單M尸不)單即'Mx-a)|
下
移4依>0)個單位
(2)對稱變換
y=f(x)的圖象與y=的圖象關(guān)于x軸對稱;
y=f(x)的圖象與y=的圖象關(guān)于y軸對稱;
y=f(x)的圖象與y=的圖象關(guān)于原點對稱;
y=ax(a>0,且a¥l)的圖象與丫=(a>0,且aW1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
(3)伸縮變換
縱坐標不變
)=/(1)---------------------------------------Ay=f(aG.
各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?(a>0)倍
a
橫坐標不變_-
yT℃各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁(A>。倍""一""
(4)翻折變換
式軸下方部分翻折到上方
丁=/(彳)的圖象
■r軸及上方部分不變
的圖象;
“、小m右3軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)
v=r(①)的圖--------------------------->v=
“J原》軸左側(cè)部分去掉,右側(cè)不變J
_________的圖象.
二、必明3個常用結(jié)論
1.記住幾個重要結(jié)論
(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.
(2)函數(shù)y=f(x)與y=2b—f(2a—x)的圖象關(guān)于點(a,b)中心對稱.
(3)若函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足:f(a+x)=f(a—x),則函數(shù)y=f(x)的圖
象關(guān)于直線x=a對稱.
2.圖象的左右平移僅僅是相對于x而言,如果x的系數(shù)不是1,常需把系數(shù)提出來,
再進行變換.
3.圖象的上下平移僅僅是相對于y而言的,利用“上加下減”進行.
三、必練4類基礎(chǔ)題
(一)判斷正誤
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”).
(1)函數(shù)y=f(l-x)的圖象,可由y=f(-x)的圖象向左平移1個單位得到.()
(2)當xG(O,+8)時,函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.()
(3)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對
稱.()
(4)若函數(shù)y=f(x)滿足f(l+x)=f(l—x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.()
(二)教材改編
2.[必修1/35例5改編]函數(shù)f(x)=x+;的圖象關(guān)于()
A.y軸對稱B.x軸對稱
C.原點對稱D.直線y=x對稱
x2xV0
'的圖象的是()
{x—1,x>0
(三)易錯易混
4.(記錯變換規(guī)律出錯)把函數(shù)f(x)=/wx圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍,得到
的圖象的函數(shù)解析式是.
5.(忽視定義城及分段不清出錯)畫出函數(shù)丫=611+|x-1|的圖象.
(四)走進高考
6.[2021.浙江卷]已知函數(shù)f(x)=x2+],g(x)=si〃x,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()
A.y=f(x)+g(x)-]
B.y=f(x)—g(x)一;
C.y=f(x)g(x)
關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法
考點一作函數(shù)的圖象[基礎(chǔ)性]
作出下列函數(shù)的圖象:
⑴y=(護;
(2)y=|/og2(x+l)|;
(3)y=x2—2|x|—1.
反思感悟函數(shù)圖象的3種常用畫法
方法適用條件
當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數(shù)時,就可根據(jù)這些函
直接法
數(shù)的特征找出圖象的關(guān)鍵點直接作出圖象.
轉(zhuǎn)化法含有絕對值符號的函數(shù),可脫掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象.
若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到,可利用
圖象
圖象變換作出,但要注意變換順序,對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要
變換法
先變形,并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.
考點二函數(shù)圖象的辨識[基礎(chǔ)性、綜合性]
[例1|(1)[2020?浙江卷]函數(shù)y=xcosx+s加x在區(qū)間[一乃,劃的圖象大致為()
(2)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可以是()
A.f(x)=x+s,〃x
nc,、COSX
B.f(x)=---
X
af(X)=X(X-=)(X-y)
D.f(x)=xcosx
聽課筆記:
反思感悟
1.抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析:
(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;(2)
從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)從周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù);(4)從函數(shù)的
奇偶性,判斷圖象的對稱性.
2.抓住函數(shù)的特征,定量計算:從函數(shù)的特征點,利用特征點、特殊值的計算分析解
決問題.
【對點訓(xùn)練】
1.[2022?重慶診斷]函數(shù)f(x)=xcos[一]的圖象大致為()
Q\
X
2.
[2022.開封市第一次模擬考試]某函數(shù)的部分圖象如圖所示,則該函數(shù)的解析式可能是
)
A.f(x)=(eK-ex)cosx
B.f(x)=(eK—ex)\cosx|
C.f(x)=(ex+eK)cosx
D.f(x)=(ex+eK)sinx
考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用[綜合性]
角度1研究函數(shù)的性質(zhì)
[例2]在平面直角坐標系xOy中,如圖放置的邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動(無
滑動滾動),點D恰好經(jīng)過坐標原點.設(shè)頂點B(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則對函數(shù)y=f(x)
的判斷不正確的是()
A.函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)
B.對任意的xGR,都有/(x+4)=/(x—4)
C.函數(shù)y=/(x)的值域為[0,2V2]
D.函數(shù)y=/3)在區(qū)間[6,8]上單調(diào)遞增
反思感悟利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
對于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其性質(zhì)常借助圖象研究:
(1)從圖象的最高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值;
(2)從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性;
(3)從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.
角度2函數(shù)圖象在不等式中的應(yīng)用
[例3](1)若函數(shù)式x)=log2(x+l),且則等,等,,的大小關(guān)系是()
A.衛(wèi)幽,㈣
abc
B.幽幽巫
cba
C,3巫>螞
bac
.衛(wèi)幽
Dacb
(2)[2020?北京卷]已知函數(shù)./U)=2'—x—l,則不等式凡v)>0的解集是()
A.(-1,1)
B.(—8,-l)U(1,+8)
C.(0,1)
D.(—8,0)U(1,+8)
角度3求參數(shù)的取值范圍
2X>2
=X-'若關(guān)于X的方程氏0=人有兩個不同的實根,
((x-I)3,x<2.
則實數(shù)k的取值范圍是.
(2)已知函數(shù)yU)=M+3x|,xdR.若方程犬x)—“任一1|=0恰有4個互異的實數(shù)根,則實
數(shù)a的取值范圍為.
聽課筆記:
反思感悟利用函數(shù)的圖象研究不等式的基本思路
當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時,常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象
的上下關(guān)系問題或函數(shù)圖象與坐標軸的位置關(guān)系問題,從而利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【對點訓(xùn)練】
1.設(shè)函數(shù)_/Cx)=|x+a|,g(x)=x—1,對于任意的x^R,不等式y(tǒng)(x)》g(x)恒成立,則實
數(shù)。的取值范圍是.
2.已知奇函數(shù)./W在x20時的圖象如圖所示,則不等式歡x)<0的解集為.
3.[2022.淄博模擬]關(guān)于函數(shù)Ar)=|ln|2-x||,下列描述不正確的有()
A.函數(shù)應(yīng)外在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增
B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱
C.若X|WX2,但/(Xl)=y(X2),則犬1+及=4
D.函數(shù)兀v)有且僅有兩個零點
微專題O破解抽象函數(shù)圖象的對稱性
[例]下列說法中,正確命題的個數(shù)為()
①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-兀0的圖象關(guān)于直線y=0對稱;
②函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=一八一x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱;
③如果函數(shù)y=/(x)對于一切xWR,都有犬。+》)=/(〃一x),那么y=#x)的圖象關(guān)于直線
x-a對稱;
④函數(shù)_y=?r—1)與y=y(l—x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.
A.1B.2
C.3D.4
解析:對于①,把函數(shù)y=/(x)中的y換成一y,x保持不變,得到的函數(shù)的圖象與原函
數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱;對于②,把函數(shù)y=/&)中的x換成一x,y換成一y,得到的函數(shù)的
圖象與原函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;對于③,若對于一切xWR,都有./(a+x)=/(a-x),則
兀0的圖象關(guān)于直線X=(a+x);(a-x)="對稱;對于④,因為函數(shù)),=火防與y=/(-x)的圖象關(guān)
于y軸對稱,它們的圖象分別向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=/U—1)與x)的圖
象,即y=/(x-i)與y=y(i—%)的圖象關(guān)于直線x=i對稱.
答案:D
名師點評函數(shù)對稱性的常用結(jié)論
(1)函數(shù)圖象自身的軸對稱
①/(一x)=7(x)0函數(shù)),=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;
②函數(shù)y=_/(x)的圖象關(guān)于x=a對稱=y(a+x)=/(“一x)=7(x)=y(24—x)=K—x)=y(2a+
x);
③若函數(shù)y=?r)的定義域為R,且有y(“+x)=yS—x),則函數(shù)y=y(x)的圖象關(guān)于直線x
(2)兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系
①函數(shù)y=y(a+x)與y=ys—x)的圖象關(guān)于直線》=呼對稱;函數(shù)y=7W與
的圖象關(guān)于直線x=a對稱;
②函數(shù)y=/(x)與y=28—/(x)的圖象關(guān)于直線y=b對稱.
[變式訓(xùn)練]已知下圖(1)中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=J(x),則下圖(2)中的圖象對應(yīng)的函
數(shù)在下列給出的四個式子中,可能是(填序號).
?y=fi.\x\);②》=貝》)|;③>=一/(園);
第七節(jié)函數(shù)的圖象
積累必備知識
2.(1次x)一%(2)—/x)火一x)—x)logd(4)[/(x)|XM)
、
I.答案:(l)x(2)X(3)x(4)V
2.解析:函數(shù)y(x)的定義域為(一8,0)U(0,+8)且八一x)=-y(x),即函數(shù)式x)為奇
函數(shù),關(guān)于原點對稱.
答案:c
3.解析:其圖象是由y=/圖象中x<0的部分和y=x-l圖象中x20的部分組成.
答案:C
4.解析:根據(jù)伸縮變換方法可得,所求函數(shù)解析式為y=1ngx).
答案:y=ln《x)
5.解析:y=[l'°<X<1,其圖象如圖所示.
(2x-1,x>1,
6.解析:y=Xx)+^)-i=x2+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除
A;y=f(x)—g(x)——x2—sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除B;y=J(x)g(x)
=8+^)sinx,
貝!!y,=2xsinx+(x2+Jcosx,
當x=:時,x£+(三+。x當>0,與圖象不符,排除c.
422\164/2
答案:D
提升關(guān)鍵能力
考n占八、、一
解析:(1)先作出),=《尸的圖象,保留y=e“圖象中的部分,再作出y=(}'的圖
象中x>0部分關(guān)于),軸的對稱部分,即得的圖象,如圖①實線部分.
(2)將函數(shù)y=log>的圖象向左平移一個單位,再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,
即可得到函數(shù)y=|log2(x+1)1的圖象,如圖②.
乂2—
Xzx—1I,Xx>_u0,且函數(shù)為偶函數(shù),先用描點法作出[0,+8)上的圖象,
(x2+2x-1,x<0,
再根據(jù)對稱性作出(-8,0)上的圖象,得圖象如圖③.
考占一
例1解析:(1)因為於)=%cosx+sinx,則八一x)=—xcosx—sinx=—/(x),又x£[一
71,7T1,所以八X)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標原點對稱,則C,D錯誤.當x=7F時,y=ncos
n+sin7i=-7t<0,知B錯誤;只有A滿足.
(2)從圖象看,y=/U)應(yīng)為奇函數(shù),排除C;
又府)=0,知段)=x+sinx不正確;
對于B,4匕)=罷,得/(X)=rs『sx,
當0<嗎時,/(x)<0,
所以/)==與廣在(0,上遞減,B不正確;
只有?r)=xcosx滿足圖象的特征.
答案:(1)A(2)D
對點訓(xùn)練
1.解析:根據(jù)題意,./U)=xcos(x-1)=xsinx,定義域為R,關(guān)于原點對稱.有人一
x)=(-x)sin(―x)=xsinx=j(x),即函數(shù)>=段)為偶函數(shù),排除B,D.
當不£(0,兀)時,x>0,sinx>0,有?r)>0,排除C.只有A適合.
答案:A
2.解析:當x=0時,C選項中大0)=2,不合題意,排除C.當工=兀時,B選項中八兀)
=(ex-^)Xl>0,不合題意,排除B.D選項中五兀)=0,不合題意,排除D.
答案:A
考點三
例2解析:由題意得,當一4Wx<-2時,點8的軌跡為以(-2,0)為圓心,2為半徑
的;圓;當一2Wx<2時,點3的軌跡為以原點為圓心,2打為半徑的;圓;當2Wx<4時,
點8的軌跡為以(2,0)為圓心,2為半徑的;圓,如圖所示;以后依次重復(fù),所以函數(shù)./U)是
以8為周期的周期函數(shù).由圖象可知,函數(shù)火x)為偶函數(shù),故A錯誤;因為7U)的周期為8,
所以共x+8)=/(x),即/(x+4)=Ax—4),故B正確;由圖象可知,y(x)的值域為[0,2V2],故
C正確;由圖象可知,y(x)在[―2,0]上單調(diào)遞增,因為y(x)在[6,8]的圖象和在[—2,0]的圖
象相同,故D正確.
答案:A
例3解析:(1)由題意可得,等,華分別看作函數(shù)兀v)=log2(x+l)圖象上的點3,
/(a)),(b,a)),c(/(c))與原點連線的斜率.
結(jié)合圖象可知,當a>b>c>0時,㈣<等〈螞.
abc
(2)函數(shù)<x)=2,-x-l,則不等式式x)>0的解集即2,>x+l的解集,在同一平面直角坐
標系中畫出函數(shù)y=2*y=x+l的圖象(圖略),結(jié)合圖象易得2,>x+l的解集為(-8,o)U
(1,+8),故選D.
答案:(1)B(2)D
例4解析:(1)畫出分段函數(shù)段)的圖象如圖所示,結(jié)合圖象可以看出,若/(x)=4有兩
個不同的實根,也即函數(shù)y=/(x)的圖象與y=k有兩個不同的交點,k的取值范圍為(0,1).
(2)設(shè)/=。k一1|.
在同一直角坐標系中作出yi=4+3x|,
》2=“僅一1|的圖象如圖所示.
由圖可知y(x)—a|x—1|=0有4個互異的實數(shù)根等價于力=片+3兄與1|的圖象
有4個不同的交點,且4個交點的橫坐標都小于1,
所以①卜=-Xj
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