2023年高考數學總復習第二章函數的概念與基本初等函數第七節(jié)函數的圖象

第七節(jié)函數的圖象

最新考綱

1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表

示函數.

2.會運用函數圖象理解和研究函數的性質.

考向預測

考情分析：本節(jié)的?？键c有函數圖象的辨析、函數圖象和函數性質的綜合應用及利用圖

象解方程或不等式，其中函數圖象的辨析仍是高考考查的熱點，題型以選擇題為主，屬中檔

題.

學科素養(yǎng)：通過函數圖象的識別及應用考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

必備知識——基礎落實贏得良好開端

一、必記2個知識點

1.描點法作圖的流程

確定函數的定義域

化簡函數解析式

討論函數的性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性)

除考慮點的一般性外，尤其要注意特殊點，如:

與坐標軸的交點、頂點、端點、最(極)值點、

對稱點等

面出直角坐標系，準確描出表中點

連線—用光滑的曲線連接所描點

2.利用圖象變換法作函數的圖象

(1)平移變換

|尸人：)+<：|

上A">0)個單位

移

I產危+一一?系單M尸不)單即'Mx-a)|

下

移4依>0)個單位

(2)對稱變換

y=f(x)的圖象與y=的圖象關于x軸對稱；

y=f(x)的圖象與y=的圖象關于y軸對稱；

y=f(x)的圖象與y=的圖象關于原點對稱；

y=ax(a>0,且a￥l)的圖象與丫=(a>0,且aW1)的圖象關于直線y=x對稱.

(3)伸縮變換

縱坐標不變

)=/(1)---------------------------------------Ay=f(aG.

各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?(a>0)倍

a

橫坐標不變_-

yT℃各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁(A>。倍""一""

(4)翻折變換

式軸下方部分翻折到上方

丁=/(彳)的圖象

■r軸及上方部分不變

的圖象;

“、小m右3軸右側部分翻折到左側

v=r(①)的圖--------------------------->v=

“J原》軸左側部分去掉，右側不變J

_________的圖象.

二、必明3個常用結論

1.記住幾個重要結論

(1)函數y=f(x)與y=f(2a—x)的圖象關于直線x=a對稱.

(2)函數y=f(x)與y=2b—f(2a—x)的圖象關于點(a,b)中心對稱.

(3)若函數y=f(x)對定義域內任意自變量x滿足：f(a+x)=f(a—x),則函數y=f(x)的圖

象關于直線x=a對稱.

2.圖象的左右平移僅僅是相對于x而言，如果x的系數不是1,常需把系數提出來，

再進行變換.

3.圖象的上下平移僅僅是相對于y而言的，利用“上加下減”進行.

三、必練4類基礎題

(一)判斷正誤

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”).

(1)函數y=f(l-x)的圖象，可由y=f(-x)的圖象向左平移1個單位得到.()

(2)當xG(O,+8)時,函數y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.()

(3)函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱即函數y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對

稱.()

(4)若函數y=f(x)滿足f(l+x)=f(l—x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=l對稱.()

(二)教材改編

2.［必修1/35例5改編］函數f(x)=x+；的圖象關于()

A.y軸對稱B.x軸對稱

C.原點對稱D.直線y=x對稱

x2xV0

'的圖象的是（）

{x—1,x>0

（三）易錯易混

4.（記錯變換規(guī)律出錯）把函數f（x）=/wx圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到

的圖象的函數解析式是.

5.（忽視定義城及分段不清出錯）畫出函數丫=611+|x-1|的圖象.

（四）走進高考

6.［2021.浙江卷］已知函數f（x）=x2+］,g（x）=si〃x,則圖象為如圖的函數可能是（）

A.y=f(x)+g(x)-]

B.y=f(x)—g(x)一；

C.y=f(x)g(x)

關鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一作函數的圖象［基礎性］

作出下列函數的圖象：

⑴y=（護；

（2）y=|/og2（x+l）|；

（3）y=x2—2|x|—1.

反思感悟函數圖象的3種常用畫法

方法適用條件

當函數表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數時，就可根據這些函

直接法

數的特征找出圖象的關鍵點直接作出圖象.

轉化法含有絕對值符號的函數，可脫掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫圖象.

若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用

圖象

圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉的基本函數的要

變換法

先變形，并應注意平移變換的順序對變換單位及解析式的影響.

考點二函數圖象的辨識［基礎性、綜合性］

［例1|(1)［2020?浙江卷］函數y=xcosx+s加x在區(qū)間［一乃，劃的圖象大致為()

(2)函數f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()

A.f(x)=x+s，〃x

nc,、COSX

B.f(x)=---

X

af(X)=X(X-=)(X-y)

D.f(x)=xcosx

聽課筆記：

反思感悟

1.抓住函數的性質，定性分析：

（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；（2）

從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；（4）從函數的

奇偶性，判斷圖象的對稱性.

2.抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解

決問題.

【對點訓練】

1.［2022?重慶診斷］函數f（x）=xcos［一］的圖象大致為（）

Q\

X

2.

［2022.開封市第一次模擬考試］某函數的部分圖象如圖所示，則該函數的解析式可能是

)

A.f(x)=(eK-ex)cosx

B.f(x)=(eK—ex)\cosx|

C.f(x)=(ex+eK)cosx

D.f(x)=(ex+eK)sinx

考點三函數圖象的應用［綜合性］

角度1研究函數的性質

［例2］在平面直角坐標系xOy中，如圖放置的邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動（無

滑動滾動)，點D恰好經過坐標原點.設頂點B(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則對函數y=f(x)

的判斷不正確的是()

A.函數y=f(x)是奇函數

B.對任意的xGR,都有/(x+4)=/(x—4)

C.函數y=/(x)的值域為［0,2V2］

D.函數y=/3)在區(qū)間［6,8］上單調遞增

反思感悟利用函數的圖象研究函數的性質

對于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數，其性質常借助圖象研究：

(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；

(2)從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；

(3)從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性.

角度2函數圖象在不等式中的應用

［例3］(1)若函數式x)=log2(x+l),且則等，等，，的大小關系是()

A.衛(wèi)幽,㈣

abc

B.幽幽巫

cba

C,3巫>螞

bac

.衛(wèi)幽

Dacb

(2)［2020?北京卷］已知函數./U)=2'—x—l,則不等式凡v)>0的解集是()

A.(-1,1)

B.(—8,-l)U(1,+8)

C.(0,1)

D.(—8,0)U(1,+8)

角度3求參數的取值范圍

2X>2

=X-'若關于X的方程氏0=人有兩個不同的實根,

((x-I)3,x<2.

則實數k的取值范圍是.

(2)已知函數yU)=M+3x|,xdR.若方程犬x)—“任一1|=0恰有4個互異的實數根，則實

數a的取值范圍為.

聽課筆記：

反思感悟利用函數的圖象研究不等式的基本思路

當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象

的上下關系問題或函數圖象與坐標軸的位置關系問題，從而利用數形結合法求解.

【對點訓練】

1.設函數_/Cx）=|x+a|,g（x）=x—1,對于任意的x^R,不等式y(tǒng)（x）》g（x）恒成立，則實

數。的取值范圍是.

2.已知奇函數./W在x20時的圖象如圖所示，則不等式歡x）＜0的解集為.

3.［2022.淄博模擬］關于函數Ar）=|ln|2-x||,下列描述不正確的有（）

A.函數應外在區(qū)間（1,2）上單調遞增

B.函數y=/（x）的圖象關于直線x=2對稱

C.若X|WX2，但/（Xl）=y（X2）,則犬1+及=4

D.函數兀v）有且僅有兩個零點

微專題O破解抽象函數圖象的對稱性

［例］下列說法中，正確命題的個數為（）

①函數y=/（x）與函數y=-兀0的圖象關于直線y=0對稱；

②函數y=/（x）與函數y=一八一x）的圖象關于坐標原點對稱；

③如果函數y=/（x）對于一切xWR,都有犬。+》）=/（〃一x）,那么y=#x）的圖象關于直線

x-a對稱；

④函數_y=?r—1）與y=y（l—x）的圖象關于直線x=l對稱.

A.1B.2

C.3D.4

解析：對于①，把函數y=/（x）中的y換成一y,x保持不變，得到的函數的圖象與原函

數的圖象關于x軸對稱；對于②，把函數y=/&）中的x換成一x,y換成一y,得到的函數的

圖象與原函數的圖象關于原點對稱；對于③，若對于一切xWR,都有./（a+x）=/（a-x）,則

兀0的圖象關于直線X=（a+x）；（a-x）="對稱;對于④，因為函數）,=火防與y=/（-x）的圖象關

于y軸對稱，它們的圖象分別向右平移1個單位長度得到函數y=/U—1）與x）的圖

象，即y=/（x-i）與y=y（i—%）的圖象關于直線x=i對稱.

答案：D

名師點評函數對稱性的常用結論

(1)函數圖象自身的軸對稱

①/(一x)=7(x)0函數)，=/(x)的圖象關于y軸對稱；

②函數y=_/(x)的圖象關于x=a對稱=y(a+x)=/(“一x)=7(x)=y(24—x)=K—x)=y(2a+

x)；

③若函數y=?r)的定義域為R,且有y(“+x)=yS—x),則函數y=y(x)的圖象關于直線x

(2)兩個函數圖象之間的對稱關系

①函數y=y(a+x)與y=ys—x)的圖象關于直線》=呼對稱；函數y=7W與

的圖象關于直線x=a對稱；

②函數y=/(x)與y=28—/(x)的圖象關于直線y=b對稱.

［變式訓練］已知下圖(1)中的圖象對應的函數為y=J(x),則下圖(2)中的圖象對應的函

數在下列給出的四個式子中，可能是(填序號).

?y=fi.\x\）；②》=貝》）|；③>=一/（園）;

第七節(jié)函數的圖象

積累必備知識

2.(1次x)一%(2)—/x)火一x)—x)logd(4)［/(x)|XM)

、

I.答案：(l)x(2)X(3)x(4)V

2.解析：函數y(x)的定義域為(一8,0)U(0,+8)且八一x)=-y(x),即函數式x)為奇

函數，關于原點對稱.

答案：c

3.解析：其圖象是由y=/圖象中x<0的部分和y=x-l圖象中x20的部分組成.

答案：C

4.解析：根據伸縮變換方法可得，所求函數解析式為y=1ngx).

答案：y=ln《x)

5.解析：y=[l'°<X<1,其圖象如圖所示.

(2x-1,x>1,

6.解析：y=Xx)+^)-i=x2+sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除

A；y=f(x)—g(x)——x2—sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B；y=J(x)g(x)

=8+^)sinx,

貝!!y,=2xsinx+(x2+Jcosx,

當x=:時，x￡+(三+。x當＞0,與圖象不符，排除c.

422\164/2

答案：D

提升關鍵能力

考n占八、、一

解析：(1)先作出)，=《尸的圖象，保留y=e“圖象中的部分，再作出y=(}'的圖

象中x＞0部分關于)，軸的對稱部分，即得的圖象，如圖①實線部分.

(2)將函數y=log＞的圖象向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,

即可得到函數y=|log2(x+1)1的圖象，如圖②.

乂2—

Xzx—1I,Xx>_u0,且函數為偶函數，先用描點法作出［0,+8)上的圖象，

(x2+2x-1,x<0,

再根據對稱性作出(-8,0)上的圖象，得圖象如圖③.

考占一

例1解析：(1)因為於)=%cosx+sinx,則八一x)=—xcosx—sinx=—/(x),又x￡［一

71,7T1，所以八X)為奇函數,其圖象關于坐標原點對稱，則C,D錯誤.當x=7F時，y=ncos

n+sin7i=-7t<0,知B錯誤；只有A滿足.

(2)從圖象看，y=/U)應為奇函數，排除C；

又府)=0,知段)=x+sinx不正確；

對于B,4匕)=罷，得/(X)=rs『sx,

當0<嗎時，/(x)<0,

所以/)==與廣在(0，上遞減，B不正確；

只有?r)=xcosx滿足圖象的特征.

答案：(1)A(2)D

對點訓練

1.解析：根據題意，./U)=xcos(x-1)=xsinx,定義域為R,關于原點對稱.有人一

x)=(-x)sin(―x)=xsinx=j(x),即函數>=段)為偶函數，排除B,D.

當不￡(0,兀)時，x>0,sinx>0,有?r)>0,排除C.只有A適合.

答案：A

2.解析：當x=0時，C選項中大0)=2,不合題意，排除C.當工=兀時，B選項中八兀)

=(ex-^)Xl>0,不合題意，排除B.D選項中五兀)=0,不合題意，排除D.

答案：A

考點三

例2解析：由題意得，當一4Wx<-2時，點8的軌跡為以(-2,0)為圓心，2為半徑

的;圓；當一2Wx<2時，點3的軌跡為以原點為圓心，2打為半徑的;圓；當2Wx<4時，

點8的軌跡為以(2,0)為圓心，2為半徑的;圓，如圖所示；以后依次重復，所以函數./U)是

以8為周期的周期函數.由圖象可知，函數火x)為偶函數,故A錯誤；因為7U)的周期為8,

所以共x+8)=/(x),即/(x+4)=Ax—4),故B正確；由圖象可知，y(x)的值域為［0,2V2］,故

C正確；由圖象可知，y(x)在［―2,0］上單調遞增，因為y(x)在［6,8］的圖象和在［—2,0］的圖

象相同，故D正確.

答案：A

例3解析：(1)由題意可得，等，華分別看作函數兀v)=log2(x+l)圖象上的點3,

/(a)),(b,a)),c(/(c))與原點連線的斜率.

結合圖象可知，當a＞b＞c＞0時，㈣＜等〈螞.

abc

(2)函數＜x)=2，-x-l,則不等式式x)＞0的解集即2，＞x+l的解集，在同一平面直角坐

標系中畫出函數y=2*y=x+l的圖象(圖略)，結合圖象易得2，＞x+l的解集為(-8,o)U

(1,+8),故選D.

答案：(1)B(2)D

例4解析：(1)畫出分段函數段)的圖象如圖所示，結合圖象可以看出，若/(x)=4有兩

個不同的實根，也即函數y=/(x)的圖象與y=k有兩個不同的交點，k的取值范圍為(0,1).

(2)設/=。k一1|.

在同一直角坐標系中作出yi=4+3x|,

》2=“僅一1|的圖象如圖所示.

由圖可知y(x)—a|x—1|=0有4個互異的實數根等價于力=片+3兄與1|的圖象

有4個不同的交點，且4個交點的橫坐標都小于1,

所以①卜=-Xj