生物統(tǒng)計學(xué)課后答案

第一章統(tǒng)計數(shù)據(jù)的收集與整理1.1算術(shù)平均數(shù)是怎樣計算的？為什么要計算平均數(shù)？答：算數(shù)平均數(shù)由下式計算：，含義為將全部觀測值相加再被觀測值的個數(shù)除，所得之商稱為算術(shù)平均數(shù)。計算算數(shù)平均數(shù)的目的，是用平均數(shù)表示樣本數(shù)據(jù)的集中點(diǎn)，或是說是樣本數(shù)據(jù)的代表。1.2既然方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量數(shù)據(jù)變異程度的，有了方差為什么還要計算標(biāo)準(zhǔn)差？答：標(biāo)準(zhǔn)差的單位與數(shù)據(jù)的原始單位一致，能更直觀地反映數(shù)據(jù)地離散程度。1.3標(biāo)準(zhǔn)差是描述數(shù)據(jù)變異程度的量，變異系數(shù)也是描述數(shù)據(jù)變異程度的量，兩者之間有什么不同？答：變異系數(shù)可以說是用平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化了的標(biāo)準(zhǔn)差。在比較兩個平均數(shù)不同的樣本時所得結(jié)果更可靠。1.4完整地描述一組數(shù)據(jù)需要哪幾個特征數(shù)？答：平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、偏斜度和峭度。1.5下表是我國青年男子體重（kg）。由于測量精度的要求，從表面上看像是離散型數(shù)據(jù)，不要忘記，體重是通過度量得到的，屬于連續(xù)型數(shù)據(jù)。根據(jù)表中所給出的數(shù)據(jù)編制頻數(shù)分布表。666964656466686562646961616866576669666570645867666667666662666664626265646566726066656161666762656561646264656265686865676862637065646562666263686568576766686364666864636064696566676767656767666864675966656356666363666763706770626472696767666864657161636164646769706664656463706462697068656365666468696563676370656867696665676674646965646565686765656667726567626771696565756269686865636666656261686564676664606168676359656064636962716960635967616869666469656867646466697368606063386267656569656765726667646164666363666666636563676866626361666163686566696466706970636465646767656662616565606365626664答：首先建立一個外部數(shù)據(jù)文件，名稱和路徑為：E:\data\exer1-5e.dat。所用的SAS程序和計算結(jié)果如下：procformat;valuehfmt56-57='56-57'58-59='58-59'60-61='60-61'62-63='62-63'64-65='64-65'66-67='66-67'68-69='68-69'70-71='70-71'72-73='72-73'74-75='74-75';run;dataweight;infile'E:\data\exer1-5e.dat';inputbw@@;run;procfreq;tablebw;formatbwhfmt.;run;TheSASSystemCumulativeCumulativeBWFrequencyPercentFrequencyPercent-----------------------------------------------------56-5731.031.058-5941.372.360-61227.3299.762-634615.37525.064-658327.715852.766-677725.723578.368-694515.028093.370-71134.329397.772-7351.729899.374-7520.7300100.01.6將上述我國男青年體重看作一個有限總體，用隨機(jī)數(shù)字表從該總體中隨機(jī)抽出含量為10的兩個樣本，分別計算它們的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差并進(jìn)行比較。它們的平均數(shù)相等嗎？標(biāo)準(zhǔn)差相等嗎？能夠解釋為什么嗎？答：用means過程計算，兩個樣本分別稱為和，結(jié)果見下表：TheSASSystemVariableNMeanStdDev----------------------------------------Y11064.50000003.5039660Y21063.90000003.1780497----------------------------------------隨機(jī)抽出的兩個樣本，它們的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都不相等。因為樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都是統(tǒng)計量，統(tǒng)計量有自己的分布，很難得到平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都相等的兩個樣本。1.7從一個有限總體中采用非放回式抽樣，所得到的樣本是簡單的隨機(jī)樣本嗎？為什么？本課程要求的樣本都是隨機(jī)樣本，應(yīng)當(dāng)采用哪種抽樣方法，才能獲得一隨機(jī)樣本？答：不是簡單的隨機(jī)樣本。從一個有限總體中以非放回式抽樣方法抽樣，在前后兩次抽樣之間不是相互獨(dú)立的，后一次的抽樣結(jié)果與前一次抽樣的結(jié)果有關(guān)聯(lián)，因此不是隨機(jī)樣本。應(yīng)采用隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，具體說應(yīng)當(dāng)采用放回式抽樣。1.8證明若用或編碼時，前式是否仍然相等？答：（1）令則平均數(shù)特性之③。（2）令則平均數(shù)特性之②。用第二種編碼方式編碼結(jié)果，兩式不再相等。1.9有一個樣本：，設(shè)B為其中任意一個數(shù)值。證明只有當(dāng)最小。這是平均數(shù)的一個重要特性，在后面講到一元線型回歸時還會用到該特性。答：令，為求使p達(dá)最小之B，令則。1.10檢測菌肥的功效，在施有菌肥的土壤中種植小麥，成苗后測量苗高，共100株，數(shù)據(jù)如下[1]：10.09.37.29.18.58.010.510.69.610.17.06.79.57.810.57.98.19.67.69.410.07.57.25.07.38.77.16.15.26.810.09.97.54.57.67.09.76.28.06.98.38.610.04.84.97.08.38.47.87.56.610.06.59.58.511.09.76.610.05.06.58.08.48.37.47.48.17.77.57.17.87.68.66.07.06.46.76.36.411.010.57.85.08.07.07.45.26.79.08.64.66.93.56.29.76.45.86.49.36.4編制苗高的頻數(shù)分布表，繪制頻數(shù)分布圖，并計算出該樣本的四個特征數(shù)。答：首先建立一個外部數(shù)據(jù)文件，名稱和路徑為：E:\data\exr1-10e.dat。SAS程序及結(jié)果如下：optionsnodate;procformat;valuehfmt3.5-4.4='3.5-4.4'4.5-5.4='4.5-5.4'5.5-6.4='5.5-6.4'6.5-7.4='6.5-7.4'7.5-8.4='7.5-8.4'8.5-9.4='8.5-9.4'9.5-10.4='9.5-10.4'10.5-11.4='10.5-11.4';run;datawheat;infile'E:\data\exr1-10e.dat';inputheight@@;run;procfreq;tableheight;formatheighthfmt.;run;proccapabilitygraphicsnoprint;varheight;histogram/vscale=count;insetmeanvarskewnesskurtosis;run;TheSASSystemTheFREQProcedureCumulativeCumulativeheightFrequencyPercentFrequencyPercent---------------------------------------------------------------------3.5-4.411.0011.004.5-5.499.001010.005.5-6.41111.002121.006.5-7.42323.004444.007.5-8.42424.006868.008.5-9.41111.007979.009.5-10.41515.009494.0010.5-11.466.00100100.001.11北太平洋寬吻海豚羥丁酸脫氫酶（HDBH）數(shù)據(jù)的接收范圍頻數(shù)表[2]如下：（略作調(diào)整）HDBH數(shù)據(jù)的接收范圍/(U·L-1)頻數(shù)<2141<245.90913<277.818211<309.727319<341.636426<373.545522<405.454511<437.363613<469.27276<501.18183<533.09092根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)作出直方圖。答：以表中第一列所給出的數(shù)值為組界，直方圖如下：1.12靈長類手掌和腳掌可以握物一側(cè)的皮膚表面都有突起的皮膚紋嵴。紋嵴有許多特征，這些特征在胚胎形成之后是終生不變的。人類手指尖的紋型，大致可以分為弓、箕和斗三種類型。在手指第一節(jié)的基部可以找到一個點(diǎn)，從該點(diǎn)紋嵴向三個方向輻射，這個點(diǎn)稱為三叉點(diǎn)。弓形紋沒有三叉點(diǎn)，箕形紋有一個三叉點(diǎn)，斗形紋有兩個三叉點(diǎn)，記錄從三叉點(diǎn)到箕或斗中心的紋嵴數(shù)目稱為紋嵴數(shù)（fingerridgecount,FRC）。將雙手十個指尖的全部箕形紋的紋嵴數(shù)和/或斗形紋兩個紋嵴數(shù)中較大者相加，稱為總紋嵴數(shù)（totalfingerridgecount,TFRC）。下表給出了大理白族人群總紋嵴數(shù)的頻數(shù)分布[3]：TFRC分組中值頻數(shù)11~3020231~5040151~7060871~90802991~110100541111501406815119018018191~2102006首先判斷數(shù)據(jù)的類型，然后繪出樣本頻數(shù)分布圖，計算樣本的四個特征數(shù)并描述樣本分布形態(tài)。答：總紋脊數(shù)屬計數(shù)數(shù)據(jù)。計數(shù)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布圖為柱狀圖，頻數(shù)分布圖如下：樣本特征數(shù)（以TFRC的中值計算）SAS程序：optionsnodate;datatfrc;doi=1to10;inputy@@;inputn@@;doj=1ton;output;end;end;cards;202401608802910054120631406816051180182006;run;procmeansmeanstdskewnesskurtosis;vary;run;結(jié)果見下表：TheSASSystemAnalysisVariable:YMeanStdDevSkewnessKurtosis------------------------------------------------------126.533333332.8366112-0.2056527-0.0325058------------------------------------------------------從頻數(shù)分布圖可以看出，該分布的眾數(shù)在第七組，即總紋脊數(shù)的中值為140的那一組。分布不對稱，平均數(shù)略小于眾數(shù)，有些負(fù)偏。偏斜度為-0.2056527，偏斜的程度不是很明顯，基本上還可以認(rèn)為是對稱的，峭度幾乎為零。1.13海南粗榧葉長度的頻數(shù)分布[4]：葉長度/mm中值頻數(shù)2.0~2.22.13902.2~2.42.314342.4~2.62.526432.6~2.82.735462.8~3.02.956923.0~3.23.151873.2~3.43.343333.4~3.63.527673.6~3.83.716773.8~4.03.91137nag4.0~4.24.16674.2~4.44.33464.4~4.64.5181繪出頻數(shù)分布圖，并計算偏斜度和峭度。答：表中第一列所給出的數(shù)值為組限，下圖為海南粗榧葉長度的頻數(shù)分布圖。計算偏斜度和峭度的SAS程序和計算結(jié)果如下：optionsnodate;datalength;doi=1to13;inputy@@;inputn@@;doj=1ton;output;end;end;cards;2.13902.314342.526432.735462.956923.151873.343333.527673.716773.911374.16674.33464.5181;run;procmeansnskewnesskurtosis;vary;run;TheSASSystemAnalysisVariable:YnSkewnessKurtosis---------------------------------300000.41064580.0587006---------------------------------樣本含量n＝30000，是一個很大的樣本，樣本的偏斜度和峭度都已經(jīng)很可靠了。偏斜度為0.41，有一個明顯的正偏。1.14馬邊河貝氏高原鰍繁殖群體體重分布如下[5]：體質(zhì)量/g中值雌魚雄魚2.00~3.002.50143.00~4.003.50674.00~5.004.5013115.00~6.005.5030256.00~7.006.5025257.00~8.007.5016238.00~9.008.5021179.00~10.009.50181610.00~11.0010.5012411.00~12.0011.50312.00~13.0012.502首先判斷數(shù)據(jù)的類型，然后分別繪制雌魚和雄魚的頻數(shù)分布圖，計算樣本平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、偏斜度和峭度并比較兩者的變異程度。答：魚的體重為度量數(shù)據(jù)，表中第一列所給出的數(shù)值為組限。在下面的分布圖中雌魚和雄魚的分布繪在了同一張圖上，以不同的顏色表示。計算統(tǒng)計量的SAS程序與前面的例題類似，這里不再給出，只給出結(jié)果。雌魚：TheSASSystemAnalysisVariable:YNMeanStdDevSkewnessKurtosis-----------------------------------------------------------1477.24149662.14568200.2318337-0.6758677-----------------------------------------------------------雄魚：TheSASSystemAnalysisVariable:YNMeanStdDevSkewnessKurtosis-----------------------------------------------------------1326.78030301.9233971-0.1322816-0.5510332-----------------------------------------------------------直觀地看，雄魚的平均體重低于雌魚。雌魚有一正偏，雄魚有一負(fù)偏。因此，相對來說雌魚低體重者較多，雄魚高體重者較多。但兩者都有很明顯的負(fù)峭度，說明“曲線”較平坦，兩尾翹得較高。1.15黃胸鼠體重的頻數(shù)分布[6]：組界/g頻數(shù)0<≤151015<≤302630<≤453045<≤602260<≤752275<≤901790<≤10516105<≤12014120<≤1356135<≤1504150<≤1652總數(shù)169繪制頻數(shù)分布圖，從圖形上看分布是對稱的嗎，說明什么問題？答：下面是頻數(shù)分布圖：從上圖可見，圖形不是對稱的，有一些正偏。說明在該黃雄鼠群體中，低體重者分布數(shù)量，高于高體重者的數(shù)量。另外，似乎峭度也有些低。1.1625名患者入院后最初的白細(xì)胞數(shù)量（×103）[7]如下表：851241168771273111411966561014455計算白細(xì)胞數(shù)量的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。答：用means過程計算，程序不再給出，只給出運(yùn)行結(jié)果。TheSASSystemAnalysisVariable:YNMeanVarianceStdDev-------------------------------------------257.840000010.30666673.2103998--------------------------------------------1.17細(xì)胞珠蛋白基因（CYGB）可能是非小細(xì)胞肺癌（NSCLC）的抑制基因之一。一個研究小組研究了該基因的表達(dá)、啟動子甲基化和等位基因不平衡狀態(tài)等，以便發(fā)現(xiàn)它與腫瘤發(fā)病間的關(guān)聯(lián)。下面列出了其中15名患者的基因表達(dá)（腫瘤患者/正常對照，T/N），腫瘤患者與正常對照甲基化指數(shù)差（MtIT-MtIN）[8]：樣本號T/NMtIT-MtIN3570.0140.4193700.0190.0173670.0350.1053160.0440.3333690.0540.1703580.0840.2463030.1110.2423140.1350.3643080.2360.0513100.2530.5203410.2640.2003480.3150.1033230.3590.1673600.4220.1763360.4420.037計算以上兩項指標(biāo)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差并計算兩者的變異系數(shù)，這兩個變異系數(shù)可以比較嗎？為什么？答：記T/N為，MtIT-MtIN為，用means過程計算，SAS運(yùn)行的結(jié)果見下表：TheSASSystemVariableNMeanStdDevCV------------------------------------------------------Y1150.18580000.150562481.0346471Y2150.21000000.146527469.7749634------------------------------------------------------兩個變異系數(shù)是可以比較的，因為它們的標(biāo)準(zhǔn)差都是用平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化了的，已經(jīng)不存在不同單位的影響了。第二章概率和概率分布2.1做這樣一個試驗，取一枚五分硬幣，將圖案面稱為A，文字面稱為B。上拋硬幣，觀察落下后是A向上還是B向上。重復(fù)10次為一組，記下A向上的次數(shù)，共做10組。再以100次為一組，1000次為一組，各做10組，分別統(tǒng)計出A的頻率，驗證2.1.3的內(nèi)容。答：在這里用二項分布隨機(jī)數(shù)模擬一個抽樣試驗，與同學(xué)們所做的抽樣試驗并不沖突。以變量Y表示圖向上的次數(shù)，n表示重復(fù)的次數(shù)，m表示組數(shù)，每次落下后圖向上的概率φ＝1/2。SAS程序如下，該程序應(yīng)運(yùn)行3次，第一次n＝10，第二次n＝100，第三次n＝1000。optionsnodate;datavalue;n=10;m=10;phi=1/2;doi=1tom;retainseed3053177;doj=1ton;y=ranbin(seed,n,phi);output;end;end;datadisv;setvalue;byi;iffirst.ithensumy=0;sumy+y;meany=sumy/n;py=meany/n;iflast.ithenoutput;keepnmphimeanypy;run;procprint;title'binomialdistribution:n=10m=10';run;procmeansmean;varmeanypy;title'binomialdistribution:n=10m=10';run;以下的三個表是程序運(yùn)行的結(jié)果。表的第一部分為每一個組之Y的平均結(jié)果，包括平均的頻數(shù)和平均的頻率，共10組。表的第二部分為10組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。從結(jié)果中可以看出，隨著樣本含量的加大，樣本的頻率圍繞0.5做平均幅度越來越小的波動，最后穩(wěn)定于0.5。binomialdistribution:n=10m=10OBSNMPHIMEANYPY110100.55.70.57210100.54.50.45310100.55.10.51410100.56.10.61510100.56.10.61610100.54.30.43710100.55.60.56810100.54.70.47910100.55.20.521010100.55.60.56binomialdistribution:n=10m=10VariableMean----------------------MEANY5.2900000PY0.5290000----------------------binomialdistribution:n=100m=10OBSNMPHIMEANYPY1100100.549.710.49712100100.549.580.49583100100.550.370.50374100100.550.110.50115100100.549.700.49706100100.550.040.50047100100.549.200.49208100100.549.740.49749100100.549.370.493710100100.549.860.4986binomialdistribution:n=100m=10VariableMean----------------------MEANY49.7680000PY0.4976800----------------------binomialdistribution:n=1000m=10OBSNMPHIMEANYPY11000100.5499.2780.4992821000100.5499.6790.4996831000100.5499.1080.4991141000100.5500.0460.5000551000100.5499.8170.4998261000100.5499.2360.4992471000100.5499.5310.4995381000100.5499.9360.4999491000100.5500.0110.50001101000100.5500.3040.50030binomialdistribution:n=1000m=10VariableMean----------------------MEANY499.6946000PY0.4996946----------------------2.2每個人的一對第1號染色體分別來自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的X染色體來自外祖父的概率是多少？來自祖父的概率呢？答：（1）設(shè)A為一對第1號染色體分別來自祖母和外祖母的事件，則（2）設(shè)B為男性的X染色體來自外祖父的事件，則（3）設(shè)C為男性的X染色體來自祖父的事件，則2.3假如父母的基因型分別為IAi和IBi。他們的兩個孩子都是A型血的概率是多少？他們生兩個O型血女孩的概率是多少？答：父：母：2.4白化病是一種隱性遺傳病，當(dāng)隱性基因純合時（aa）即發(fā)病。已知雜合子（Aa）在群體中的頻率為1/70，問一對夫妻生出一名白化病患兒的概率是多少？假如妻子是白化病患者，她生出白化病患兒的概率又是多少？答：（1）已知所以（2）已知所以2.5在圖2－3中，III1為Aa個體，a在群體中的頻率極低，可排除a多于一次進(jìn)入該系譜的可能性，問III2亦為a的攜帶者的概率是多少？答：設(shè)：事件A：III1含a，事件B：II2含a，事件C：I3含a，事件D：II2含a，事件E：III2含a，事件C’：I4含a，圖2－3同理可得：故III2含a總的概率為：2.6一個雜合子AaBb自交，子代基因型中有哪些基本事件？可舉出哪些事件？各事件的概率是多少？答：1．共有16種基因型，為16個基本事件。AABBAAbBaABBaAbBAABbAAbbaABbaAbbAaBBAabBaaBBaabBAaBbAabbaaBbaabb2．可舉出的事件及其概率：A1：包含四個顯性基因={AABB}A2：包含三個顯性基因={AABb,AAbB,AaBB,aABB}A3：至少包含三個顯性基因={AABb,AAbB,AaBB,aABB,AABB}A4：包含兩個顯性基因={AaBb,AabB,aABb,aAbB,AAbb,aaBB}A5：至少包含兩個顯性基因={AaBb,AabB,aABb,aAbB,AAbb,aaBBAABb,AAbB,AaBB,aABB,AABB}A6：包含兩個不同的顯性基因={AaBb,AabB,aABb,aAbB}A7：包含兩個相同的顯性基因={AAbb,aaBB}?2.7一對表型正常的夫妻共有四名子女，其中第一個是隱性遺傳病患者。問其余三名表型正常的子女是隱性基因攜帶者的概率是多少？答：樣本空間W={AA,Aa,aA}2.8自毀容貌綜合征是一種X連鎖隱性遺傳病，圖2－4是一個自毀容貌綜合征患者的家系圖。該家系中III2的兩位舅父患有該病，III2想知道她的兒子患該病的概率是多少？（提示：用Bayes定理計算II5在已生四名正常男孩的條件下是攜帶者的條件概率）圖2－4答：若IV1是患者，III2必定是攜帶者，II5亦必定是攜帶者。已知II2和II3為患者，說明I2為雜合子，這時II5可能是顯性純合子也可能是雜合子。稱II5是雜合子這一事件為A1，II5是顯性純合子這一事件為A2，則：圖2－4設(shè)II5生4名正常男孩的事件為事件B，則II5為雜合子的條件下，生4名正常男孩（III3至III6）的概率為：II5為顯性純合子的條件下，生4名正常男孩的概率為：將以上各概率代入Bayes公式，可以得出在已生4名正常男孩條件下，II5為雜合子的概率：由此得出III2為雜合子的概率：P（III2為雜合子）以及III2的兒子（IV1）為受累者的概率：P（IV1為患者）2.9Huntington舞蹈病是一種由顯性基因引起的遺傳病，發(fā)病年齡較遲，圖2－5為一Huntington舞蹈病的家系圖。III1的外祖父I1患有該病，III1現(xiàn)已25歲，其母II2已43歲，均無發(fā)病跡象。已知43歲以前發(fā)病的占64%，25歲以前發(fā)病的占8%，問III1將發(fā)病的概率是多少？（提示：用Bayes定理先求出II2尚未發(fā)病但為雜合子的條件概率）答：根據(jù)以上資料可以得出：II2為雜合子的概率II2為正常純合子的概率II2為雜合子，但尚未發(fā)病的概率=0.36II2為正常純合子，但尚未發(fā)病的概率圖2－5因此，II2尚未發(fā)病但為雜合子的概率III1為雜合子的概率III1為正常純合子的概率III1為雜合子，但尚未發(fā)病的概率III1為正常純合子，但尚未發(fā)病的概率因此，III1尚未發(fā)病，但為雜合子的概率所以，III1為該病患者的概率為12%。2.10一實驗動物養(yǎng)殖中心，將每30只動物裝在一個籠子中，已知其中有6只動物體重不合格。購買者從每一籠子中隨機(jī)抽出2只稱重，若都合格則接受這批動物，否則拒絕。問：（1）檢查第一只時就不合格的概率？（2）第一只合格，第二只不合格的概率？（3）接受這批動物的概率？答：（1）設(shè)A為第一只不合格的事件，則（2）設(shè)B為第二只不合格的事件，則（3）接受這批動物的概率2.11一名精神科醫(yī)生聽取6名研究對象對近期所做夢的敘述，得知其中有3名為憂郁癥患者，3名是健康者，現(xiàn)從6名研究對象中選出3名，問：（1）一共有多少種配合？（2）每一種配合的概率？（3）選出3名憂郁癥患者的概率？（4）至少選出兩名憂郁癥患者的概率？答：（1）（2）（3）（4）2.12圖2－6為包含兩個平行亞系統(tǒng)的一個組合系統(tǒng)。每一個亞系統(tǒng)有兩個連續(xù)控制單元，只要有一個亞系統(tǒng)可正常工作，則整個系統(tǒng)即可正常運(yùn)行。每一單元失靈的概率為0.1，且各單元之間都是獨(dú)立的。問：（1）全系統(tǒng)可正常運(yùn)行的概率？（2）只有一個亞系統(tǒng)失靈的概率？圖2－6（3）系統(tǒng)不能正常運(yùn)轉(zhuǎn)的概率？答：（1）P（全系統(tǒng)可正常運(yùn)行）=0.94+0.93×0.1×4+0.92×0.12×2=0.9639（2）P（只有一個亞系統(tǒng)失靈）=0.92×0.12×2+0.93×0.1×4=0.3078（3）P（系統(tǒng)不能正常運(yùn)轉(zhuǎn)）=0.14+0.13×0.9×4+0.12×0.92×4=0.0361或=1–0.9639=0.03612.13做醫(yī)學(xué)研究需購買大鼠，根據(jù)研究的不同需要，可能購買A，B，C，D四個品系中的任何品系。實驗室需預(yù)算下一年度在購買大鼠上的開支，下表給出每一品系50只大鼠的售價及其被利用的概率：品系每50只的售價/元被利用的概率A500.000.1B750.000.4C875.000.3D100.000.2問：（1）設(shè)Y為每50只大鼠的售價，期望售價是多少？（2）方差是多少？答：（1）（2）2.14Y為垂釣者在一小時內(nèi)釣上的魚數(shù)，其概率分布如下表：y0123456p(y)0.0010.0100.0600.1850.3240.3020.118問：（1）期望一小時內(nèi)釣到的魚數(shù)？（2）它們的方差？答：0×0.001+1×0.010+2×0.060+3×0.185+4×0.324+5×0.302+6×0.118=4.2σ2=02×0.001+12×0.010+22×0.060+32×0.185+42×0.324+52×0.302+62×0.118–4.22=1.2572.15一農(nóng)場主租用一塊河灘地，若無洪水，年終可望獲利20000元。若出現(xiàn)洪災(zāi)，他將賠掉12000元（租地費(fèi)、種子、肥料、人工費(fèi)等）。根據(jù)常年經(jīng)驗，出現(xiàn)洪災(zāi)的概率為0.4。問：（1）農(nóng)場主期望贏利？（2）保險公司應(yīng)允若投保1000元，將補(bǔ)償因洪災(zāi)所造成的損失，農(nóng)場主是否買這一保險？（3）你認(rèn)為保險公司收取的保險金是太多還是太少？答：（1）未投保的期望贏利：E（X）=20000×0.6+(12000)×0.4=7200（元）（2）投保后的期望贏利：E（X）=(20000–1000)×0.6+(?1000)×0.4=11000（元）。當(dāng)然要買這一保險。（3）保險公司期望獲利：E（X）=1000×0.6+(?12000+1000)×0.4=?3800（元）收取保險金太少。第三章幾種常見的概率分布律3.1有4對相互獨(dú)立的等位基因自由組合，問有3個顯性基因和5個隱性基因的組合有多少種？每種的概率是多少？這一類型總的概率是多少？答：代入二項分布概率函數(shù)，這里φ=1/2。結(jié)論：共有56種，每種的概率為0.00390625(1/256)，這一類型總的概率為0.21875。3.25對相互獨(dú)立的等位基因間自由組合，表型共有多少種？它們的比如何？答：（1）表型共有1+5+10+10+5+1=32種。（2）它們的比為：243∶81(×5)∶27(×10)∶9(×10)∶3(×5)∶1。3.3在輻射育種實驗中，已知經(jīng)過處理的單株至少發(fā)生一個有利突變的概率是φ，群體中至少出現(xiàn)一株有利突變單株的概率為Pa，問為了至少得到一株有利突變的單株，群體n應(yīng)多大？答：已知φ為單株至少發(fā)生一個有利突變的概率，則1―φ為單株不發(fā)生一個有利突變的概率為：3.4根據(jù)以往的經(jīng)驗，用一般的方法治療某疾病，其死亡率為40%，治愈率為60%。今用一種新藥治療染上該病的5名患者，這5人均治愈了，問該項新藥是否顯著地優(yōu)于一般療法？（提示：計算一般療法5人均治愈的概率，習(xí)慣上當(dāng)P（5人均治愈）>0.05時，則認(rèn)為差異不顯著；當(dāng)P（5人均治愈）<0.05時，則認(rèn)為差異顯著）。答：設(shè)P（治愈）=φ=0.60，則5人均治愈的概率為：P=p5=(0.60)5=0.07776P>0.05所以該藥物并不優(yōu)于一般療法。3.5給一組雌雄等量的實驗動物服用一種藥物，然后對存活的動物分成5只為一組，進(jìn)行抽樣試驗。試驗結(jié)果表明，5只均為雄性的頻率為1/243，問該藥物對雌雄的致死作用是否一致？答：設(shè)p為處理后雄性動物存活的概率，則因此，對雄性動物的致死率高于對雌性動物的致死率。3.6把成年椿象放在?8.5℃下冷凍15分鐘，然后在100個各含10死蟲數(shù)012345678910合計樣本數(shù)421282214821000100計算理論頻數(shù)，并與實際頻數(shù)做一比較。答：先計算死蟲數(shù)C：C=0×4+1×21+2×28+3×22+4×14+5×8+6×2+7×1=258死蟲率φ=258/1000=0.258活蟲率1–φ=0.742展開二項式（0.742+0.258）10得到以下結(jié)果：0.05059+0.17590+0.27522+0.25519+0.15528+0.06479+0.018774+3.7302×10-3+4.8638×10-4+3.7582×10-5+1.307×10-6將以上各頻率乘以100得到理論頻數(shù)，并將實際數(shù)與理論數(shù)列成下表。死蟲數(shù)實際數(shù)理論數(shù)偏差045.1-1.112117.23.822827.50.532225.5-3.541415.5-1.5586.51.5621.90.1710.40.680009000100003.7人類染色體一半來自父親，一半來自母親。在減數(shù)分裂時，46條染色體隨機(jī)分配到兩極，若不考慮染色體內(nèi)重組，父親的22條常染色體重新聚集在一極的概率是多少？12條父親染色體和11條母親染色體被分配到同一極的概率又是多少？常染色體的組合共有多少種？從上述的計算可以看出變異的廣泛性，若再考慮染色體內(nèi)重組，新組合染色體的數(shù)目就更驚人了。答：（1）P（父親22條常染色體重新聚集于同一極）=（2）P（12條父親染色體和11條母親染色體被分配到同一極）=（3）共有222=4194304種。3.8生男生女的概率各為1/2，問在一個醫(yī)院中，連續(xù)出生30名男孩及30名性別交錯的新生兒的概率各為多少？答：P（連續(xù)出生30名男孩）=P（30名性別交錯不同者）=3.9在顯性基因頻率很低時，出現(xiàn)顯性性狀的個體一般為雜合子。一名女子是蓬發(fā)者（顯性性狀），在她的全部六名孩子中，（1）其中第一名孩子，（2）其中第一和第二名孩子，（3）全部六名孩子，（4）任何一名曾孫（或曾孫女）中，發(fā)生蓬發(fā)的概率是多少？答：設(shè)：P（子女蓬發(fā)）=φ=1/2P（子女非蓬發(fā)）=1–φ=1/2則（1）P（其中第一名子女蓬發(fā)）=(1/2)(1/2)5=0.015625（2）P（只有第一和第二名孩子蓬發(fā)）=(1/2)2(1/2)4=0.015625（3）P（全部六名子女）=(1/2)6=0.015625（4）P（任何一名曾孫蓬發(fā)）=P（任何一名兒子蓬發(fā)）P（任何一名孫子蓬發(fā)|蓬發(fā)的兒子）P（任何一名曾孫蓬發(fā)|蓬發(fā)的孫子）=(1/2×1/2)(1/2×1/2)(1/2×1/2)=0.0156253.10在數(shù)量性狀遺傳中，F(xiàn)1的性狀介于雙親之間，F(xiàn)2的性狀向雙親方向分離。這是一個二項分布問題，根據(jù)二項展開式，計算控制某性狀的基因個數(shù)，假設(shè)出現(xiàn)親本性狀的頻率為a。答：設(shè)：P（正效應(yīng)基因頻率）=p則3.11計算μ=0.1，0.2，1，2，5時，泊松分布的γ1和γ2，繪制概率分布圖并做比較。答：泊松分布的概率函數(shù)：將μ=0.1，0.2，1，2，5分別代入上式。（1）μ=0.1時yp(y)00.904810.0904820.00452430.000150840.00000377（2）μ=0.2時yp(y)00.818710.163720.0163930.00109240.00005458（3）μ=1時yp(y)00.367910.367920.183930.0613140.0153350.00306660.000510970.00007299（4）μ=2時yp(y)yp(y)00.135360.0120310.270770.00343720.270780.000859330.180490.000190940.09022100.0000381950.03609（5）μ=5時yp(y)yp(y)00.00673890.0362710.03369100.0181320.08422110.00842430.1404120.00343440.1755130.00132150.1755140.000471760.1462150.000157270.1044160.0000491480.06528可見，隨著μ的增大泊松分布越來越接近于“正態(tài)”的。3.12隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N(5,42)，求P(Y≤0)，P(Y≤10)，P(0≤Y≤15)，P(Y≥5)，P(Y≥15)的值。答：或者使用SAS程序計算，結(jié)果見下表：OBSMUSIGMAY1LOWERPY2UPPERPMIDP154100.89435...25400.10565...35400.10565150.006210.88814454..50.50000.554..150.00621.3.13已知隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N(0,52)，求y0分別使得P(Y≤y0)=0.025，P(Y≤y0)=0.01，P(Y≤y0)=0.95及P(Y≥y0)=0.90。答：3.14細(xì)菌突變率是指單位時間（細(xì)菌分裂次數(shù)）內(nèi)，突變事件出現(xiàn)的頻率。然而根據(jù)以上定義直接計算突變率是很困難的。例如，向一試管中接種一定量的細(xì)菌，振蕩培養(yǎng)后鋪平板。在平板上發(fā)現(xiàn)8個突變菌落。這8個突變細(xì)菌究竟是8個獨(dú)立的突變事件呢，還是一個突變細(xì)胞的8個子細(xì)胞是很難確定的。但是有一點(diǎn)是可以肯定的，即，沒有發(fā)現(xiàn)突變細(xì)胞的平皿一定沒有突變事件出現(xiàn)。向20支試管中分別接種2×107

個大腸桿菌，振蕩培養(yǎng)后鋪平板，同時接種T1噬菌體。結(jié)果在9個平皿中出現(xiàn)數(shù)量不等的抗T1噬菌體菌落。11個平皿上沒有出現(xiàn)。已知平皿上突變菌落數(shù)服從泊松分布并且細(xì)胞分裂次數(shù)近似等于鋪平板時的細(xì)胞數(shù)。利用泊松分布概率函數(shù)計算抗T1突變率。答：已知接種細(xì)胞數(shù)為n，n即可認(rèn)為是細(xì)胞分裂次數(shù)。若每一次細(xì)胞分裂的突變率為u，那么每一試管中平均有un次突變事件發(fā)生（μ）。從泊松分布概率函數(shù)可知，無突變發(fā)生的概率f(0)=E-un。實驗結(jié)果無突變的平皿數(shù)為11個，即f(0)=11/20=0.55。解下式即可求出突變率u。已知n=0.2×108，代入上式得到u=3×10-8。3.15一種新的血栓溶解藥t-pA，據(jù)說它能消除心臟病發(fā)作。在一次檢測中的7名檢測對象，年齡都在50歲以上，并有心臟病發(fā)作史。他們以這種新藥治療后，6人的血栓得到溶解，1人血栓沒有溶解。假設(shè)t-pA溶解血栓是無效的，并假設(shè)，不用藥物在短時間內(nèi)心臟患者血栓自己溶解的概率φ是很小的，如φ=0.1。設(shè)y為7名心臟患者中血栓在短時間內(nèi)可以自動溶解的患者數(shù)。問：（1）若藥物是無效的，7名心臟患者中的6名血栓自動溶解的概率是多少？（2）Y≥6是否為一稀有事件，你認(rèn)為藥物是否有效？答：（1）ф=0.11－ф=0.9n=7y=6，（2）P(Y≥6)=0.0000063+0.0000001=6.4×10-6。結(jié)論：在不用藥的情況下，7名病人中6名患者的血栓自動溶解的事件是一個小概率事件，因此藥物有效。3.16一農(nóng)藥商聲稱，用他的農(nóng)藥噴灑玉米后，90%的玉米植株中不再有活的玉米螟。為了驗證這種說法，噴藥后隨機(jī)抽出25株玉米，發(fā)現(xiàn)7株中仍有活的玉米螟。（1）若農(nóng)藥商的說法是正確的，在25株玉米中包含7株和7株以上有活玉米螟的概率是多少？（2）在25株玉米中有7株有活玉米螟，你是否認(rèn)為農(nóng)藥有效率達(dá)不到90%？答：（1）（2）是3.17設(shè)計一實驗用來檢驗號稱心靈感應(yīng)者是否有特異功能(ESP)。將5張卡片洗勻隨機(jī)抽出一張，不準(zhǔn)心靈感應(yīng)者看，讓他判斷是哪一張。實驗共重復(fù)20次，記錄正確判斷次數(shù)（假設(shè)20次重復(fù)間是隨機(jī)的）。假設(shè)心靈感應(yīng)者是猜的，沒有ESP，那么（1）每次得到正確結(jié)果的概率是什么？（2）在20次重復(fù)中，期望正確判斷數(shù)是多少？（3）正確判斷6次和6次上的概率是多少？（4）假設(shè)心靈感應(yīng)者在20次重復(fù)中判斷正確6次，是否可以證明心靈感應(yīng)者不是猜的，而是真正的ESP？答：（1）p=1/5。（2）E(Y)=np=20×1/5=4。（3）（4）不能。因為在猜想的情況下，20次重復(fù)中判斷正確6次的概率為0.196，將近20%，已不是小概率事件，非心靈感應(yīng)者有可能得到這樣的結(jié)果。3.18據(jù)一個生化制藥廠報告，在流水線上每8小時的一個班中，破碎的安瓿瓶數(shù)服從泊松分布，μ=1.5。問：（1）夜班破碎2個瓶子的概率是多少？（2）在夜班打碎2個以下的概率是多少？（3）在早班破碎2個以上的概率是多少？（4）在一天連續(xù)三班都沒有破碎的概率（假設(shè)三班間是獨(dú)立的）？答：（1）（2）（3）（4）記A為每個班沒有破碎的事件，則第三章幾種常見的概率分布律3.1有4對相互獨(dú)立的等位基因自由組合，問有3個顯性基因和5個隱性基因的組合有多少種？每種的概率是多少？這一類型總的概率是多少？答：代入二項分布概率函數(shù)，這里φ=1/2。結(jié)論：共有56種，每種的概率為0.00390625(1/256)，這一類型總的概率為0.21875。3.25對相互獨(dú)立的等位基因間自由組合，表型共有多少種？它們的比如何？答：（1）表型共有1+5+10+10+5+1=32種。（2）它們的比為：243∶81(×5)∶27(×10)∶9(×10)∶3(×5)∶1。3.3在輻射育種實驗中，已知經(jīng)過處理的單株至少發(fā)生一個有利突變的概率是φ，群體中至少出現(xiàn)一株有利突變單株的概率為Pa，問為了至少得到一株有利突變的單株，群體n應(yīng)多大？答：已知φ為單株至少發(fā)生一個有利突變的概率，則1―φ為單株不發(fā)生一個有利突變的概率為：3.4根據(jù)以往的經(jīng)驗，用一般的方法治療某疾病，其死亡率為40%，治愈率為60%。今用一種新藥治療染上該病的5名患者，這5人均治愈了，問該項新藥是否顯著地優(yōu)于一般療法？（提示：計算一般療法5人均治愈的概率，習(xí)慣上當(dāng)P（5人均治愈）>0.05時，則認(rèn)為差異不顯著；當(dāng)P（5人均治愈）<0.05時，則認(rèn)為差異顯著）。答：設(shè)P（治愈）=φ=0.60，則5人均治愈的概率為：P=p5=(0.60)5=0.07776P>0.05所以該藥物并不優(yōu)于一般療法。3.5給一組雌雄等量的實驗動物服用一種藥物，然后對存活的動物分成5只為一組，進(jìn)行抽樣試驗。試驗結(jié)果表明，5只均為雄性的頻率為1/243，問該藥物對雌雄的致死作用是否一致？答：設(shè)p為處理后雄性動物存活的概率，則因此，對雄性動物的致死率高于對雌性動物的致死率。3.6把成年椿象放在?8.5℃下冷凍15分鐘，然后在100個各含10死蟲數(shù)012345678910合計樣本數(shù)421282214821000100計算理論頻數(shù)，并與實際頻數(shù)做一比較。答：先計算死蟲數(shù)C：C=0×4+1×21+2×28+3×22+4×14+5×8+6×2+7×1=258死蟲率φ=258/1000=0.258活蟲率1–φ=0.742展開二項式（0.742+0.258）10得到以下結(jié)果：0.05059+0.17590+0.27522+0.25519+0.15528+0.06479+0.018774+3.7302×10-3+4.8638×10-4+3.7582×10-5+1.307×10-6將以上各頻率乘以100得到理論頻數(shù)，并將實際數(shù)與理論數(shù)列成下表。死蟲數(shù)實際數(shù)理論數(shù)偏差045.1-1.112117.23.822827.50.532225.5-3.541415.5-1.5586.51.5621.90.1710.40.680009000100003.7人類染色體一半來自父親，一半來自母親。在減數(shù)分裂時，46條染色體隨機(jī)分配到兩極，若不考慮染色體內(nèi)重組，父親的22條常染色體重新聚集在一極的概率是多少？12條父親染色體和11條母親染色體被分配到同一極的概率又是多少？常染色體的組合共有多少種？從上述的計算可以看出變異的廣泛性，若再考慮染色體內(nèi)重組，新組合染色體的數(shù)目就更驚人了。答：（1）P（父親22條常染色體重新聚集于同一極）=（2）P（12條父親染色體和11條母親染色體被分配到同一極）=（3）共有222=4194304種。3.8生男生女的概率各為1/2，問在一個醫(yī)院中，連續(xù)出生30名男孩及30名性別交錯的新生兒的概率各為多少？答：P（連續(xù)出生30名男孩）=P（30名性別交錯不同者）=3.9在顯性基因頻率很低時，出現(xiàn)顯性性狀的個體一般為雜合子。一名女子是蓬發(fā)者（顯性性狀），在她的全部六名孩子中，（1）其中第一名孩子，（2）其中第一和第二名孩子，（3）全部六名孩子，（4）任何一名曾孫（或曾孫女）中，發(fā)生蓬發(fā)的概率是多少？答：設(shè)：P（子女蓬發(fā)）=φ=1/2P（子女非蓬發(fā)）=1–φ=1/2則（1）P（其中第一名子女蓬發(fā)）=(1/2)(1/2)5=0.015625（2）P（只有第一和第二名孩子蓬發(fā)）=(1/2)2(1/2)4=0.015625（3）P（全部六名子女）=(1/2)6=0.015625（4）P（任何一名曾孫蓬發(fā)）=P（任何一名兒子蓬發(fā)）P（任何一名孫子蓬發(fā)|蓬發(fā)的兒子）P（任何一名曾孫蓬發(fā)|蓬發(fā)的孫子）=(1/2×1/2)(1/2×1/2)(1/2×1/2)=0.0156253.10在數(shù)量性狀遺傳中，F(xiàn)1的性狀介于雙親之間，F(xiàn)2的性狀向雙親方向分離。這是一個二項分布問題，根據(jù)二項展開式，計算控制某性狀的基因個數(shù)，假設(shè)出現(xiàn)親本性狀的頻率為a。答：設(shè)：P（正效應(yīng)基因頻率）=p則3.11計算μ=0.1，0.2，1，2，5時，泊松分布的γ1和γ2，繪制概率分布圖并做比較。答：泊松分布的概率函數(shù)：將μ=0.1，0.2，1，2，5分別代入上式。（1）μ=0.1時yp(y)00.904810.0904820.00452430.000150840.00000377（2）μ=0.2時yp(y)00.818710.163720.0163930.00109240.00005458（3）μ=1時yp(y)00.367910.367920.183930.0613140.0153350.00306660.000510970.00007299（4）μ=2時yp(y)yp(y)00.135360.0120310.270770.00343720.270780.000859330.180490.000190940.09022100.0000381950.03609（5）μ=5時yp(y)yp(y)00.00673890.0362710.03369100.0181320.08422110.00842430.1404120.00343440.1755130.00132150.1755140.000471760.1462150.000157270.1044160.0000491480.06528可見，隨著μ的增大泊松分布越來越接近于“正態(tài)”的。3.12隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N(5,42)，求P(Y≤0)，P(Y≤10)，P(0≤Y≤15)，P(Y≥5)，P(Y≥15)的值。答：或者使用SAS程序計算，結(jié)果見下表：OBSMUSIGMAY1LOWERPY2UPPERPMIDP154100.89435...25400.10565...35400.10565150.006210.88814454..50.50000.554..150.00621.3.13已知隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N(0,52)，求y0分別使得P(Y≤y0)=0.025，P(Y≤y0)=0.01，P(Y≤y0)=0.95及P(Y≥y0)=0.90。答：3.14細(xì)菌突變率是指單位時間（細(xì)菌分裂次數(shù)）內(nèi)，突變事件出現(xiàn)的頻率。然而根據(jù)以上定義直接計算突變率是很困難的。例如，向一試管中接種一定量的細(xì)菌，振蕩培養(yǎng)后鋪平板。在平板上發(fā)現(xiàn)8個突變菌落。這8個突變細(xì)菌究竟是8個獨(dú)立的突變事件呢，還是一個突變細(xì)胞的8個子細(xì)胞是很難確定的。但是有一點(diǎn)是可以肯定的，即，沒有發(fā)現(xiàn)突變細(xì)胞的平皿一定沒有突變事件出現(xiàn)。向20支試管中分別接種2×107

個大腸桿菌，振蕩培養(yǎng)后鋪平板，同時接種T1噬菌體。結(jié)果在9個平皿中出現(xiàn)數(shù)量不等的抗T1噬菌體菌落。11個平皿上沒有出現(xiàn)。已知平皿上突變菌落數(shù)服從泊松分布并且細(xì)胞分裂次數(shù)近似等于鋪平板時的細(xì)胞數(shù)。利用泊松分布概率函數(shù)計算抗T1突變率。答：已知接種細(xì)胞數(shù)為n，n即可認(rèn)為是細(xì)胞分裂次數(shù)。若每一次細(xì)胞分裂的突變率為u，那么每一試管中平均有un次突變事件發(fā)生（μ）。從泊松分布概率函數(shù)可知，無突變發(fā)生的概率f(0)=E-un。實驗結(jié)果無突變的平皿數(shù)為11個，即f(0)=11/20=0.55。解下式即可求出突變率u。已知n=0.2×108，代入上式得到u=3×10-8。3.15一種新的血栓溶解藥t-pA，據(jù)說它能消除心臟病發(fā)作。在一次檢測中的7名檢測對象，年齡都在50歲以上，并有心臟病發(fā)作史。他們以這種新藥治療后，6人的血栓得到溶解，1人血栓沒有溶解。假設(shè)t-pA溶解血栓是無效的，并假設(shè)，不用藥物在短時間內(nèi)心臟患者血栓自己溶解的概率φ是很小的，如φ=0.1。設(shè)y為7名心臟患者中血栓在短時間內(nèi)可以自動溶解的患者數(shù)。問：（1）若藥物是無效的，7名心臟患者中的6名血栓自動溶解的概率是多少？（2）Y≥6是否為一稀有事件，你認(rèn)為藥物是否有效？答：（1）ф=0.11－ф=0.9n=7y=6，（2）P(Y≥6)=0.0000063+0.0000001=6.4×10-6。結(jié)論：在不用藥的情況下，7名病人中6名患者的血栓自動溶解的事件是一個小概率事件，因此藥物有效。3.16一農(nóng)藥商聲稱，用他的農(nóng)藥噴灑玉米后，90%的玉米植株中不再有活的玉米螟。為了驗證這種說法，噴藥后隨機(jī)抽出25株玉米，發(fā)現(xiàn)7株中仍有活的玉米螟。（1）若農(nóng)藥商的說法是正確的，在25株玉米中包含7株和7株以上有活玉米螟的概率是