考點(diǎn)30中考數(shù)字?jǐn)?shù)式圖形規(guī)律問(wèn)題

考點(diǎn)（特色）30：中考數(shù)字、數(shù)式、圖形規(guī)律問(wèn)題重要考點(diǎn)知識(shí)解讀一、概述規(guī)律探索型問(wèn)題也是歸納猜想型問(wèn)題，其特點(diǎn)是：給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，或某一具體的問(wèn)題情境，要求通過(guò)觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論．類型有“數(shù)列規(guī)律”“計(jì)算規(guī)律”“圖形規(guī)律”與“動(dòng)態(tài)規(guī)律”等題型．1．?dāng)?shù)字猜想型：數(shù)字規(guī)律問(wèn)題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問(wèn)題．2．?dāng)?shù)式規(guī)律型：數(shù)式規(guī)律問(wèn)題主要是通過(guò)觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容．3．圖形規(guī)律型：圖形規(guī)律問(wèn)題主要是觀察圖形的組成、分拆等過(guò)程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，要注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合．4．?dāng)?shù)形結(jié)合猜想型：數(shù)形結(jié)合猜想型問(wèn)題首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來(lái)，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決相關(guān)問(wèn)題．二、數(shù)字推理規(guī)律方法

數(shù)字推理題難度較大，但并非無(wú)規(guī)律可循，了解和掌握一定的方法和技巧對(duì)解答數(shù)字推理問(wèn)題大有幫助。

1.快速掃描已給出的幾個(gè)數(shù)字，仔細(xì)觀察和分析各數(shù)之間的關(guān)系，尤其是前三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，大膽提出假設(shè)，并迅速將這種假設(shè)延伸到下面的數(shù)，如果能得到驗(yàn)證，即說(shuō)明找出規(guī)律，問(wèn)題即迎刃而解；如果假設(shè)被否定，立即改變思考角度，提出另外一種假設(shè)，直到找出規(guī)律為止。

2.推導(dǎo)規(guī)律時(shí)往往需要簡(jiǎn)單計(jì)算，為節(jié)省時(shí)間，要盡量多用心算，少用筆算或不用筆算。

3.空缺項(xiàng)在最后的，從前往后推導(dǎo)規(guī)律；空缺項(xiàng)在最前面的，則從后往前尋找規(guī)律；空缺項(xiàng)在中間的可以兩邊同時(shí)推導(dǎo)。4.熟記各種數(shù)字的運(yùn)算關(guān)系。如各種數(shù)字的平方、立方以及它們的鄰居，做到看到某個(gè)數(shù)字就有感覺(jué)。這是迅速準(zhǔn)確解好數(shù)字推理題材的前提。常見(jiàn)的需記住的數(shù)字關(guān)系如下：（1）平方關(guān)系：記憶1、2、3、4……25的平方后數(shù)值（2）立方關(guān)系:記憶1、2、3、4……10的立方后數(shù)值比如：2-8,3-27,4-64,5-125,6-216,7-343,8-512,9-729,10-1000

（3）質(zhì)數(shù)關(guān)系:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29......

（4）開(kāi)方關(guān)系:記憶4、9、16、25、36、49、64、81、100的開(kāi)平后數(shù)值。三、圖形規(guī)律思維方法圖形規(guī)律問(wèn)題主要是觀察圖形的組成、分拆等過(guò)程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合．首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來(lái)，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系．要將圖形每一次的變化與前一次變化進(jìn)行比較，明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒(méi)有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律．解決規(guī)律探索型問(wèn)題的策略是：通過(guò)對(duì)所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.四、解題步驟方法規(guī)律探索問(wèn)題的解題方法一般是通過(guò)觀察、類比特殊情況(特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等)中數(shù)據(jù)特點(diǎn)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行分解重組、猜想、歸納得出規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這種規(guī)律，同時(shí)要用結(jié)論去檢驗(yàn)特殊情況，以肯定結(jié)論的正確．第一步：審題，仔細(xì)觀察圖形并找到相應(yīng)的規(guī)律；第二步：化形為數(shù)，相當(dāng)于找出數(shù)列的前若干項(xiàng)；第三步：考察相鄰兩項(xiàng)的差異，再根據(jù)這些項(xiàng)或項(xiàng)中某些部分(如分子、分母，整數(shù)、分?jǐn)?shù)等)構(gòu)成何種數(shù)列；第四步：按題中要求寫(xiě)出某一項(xiàng)的結(jié)果或某些項(xiàng)的和．能找到前三項(xiàng)，就能求出任一項(xiàng)；另外，有些圖形或數(shù)的出現(xiàn)是循環(huán)出現(xiàn)或按某種規(guī)律反復(fù)出現(xiàn)等，就需要具體問(wèn)題具體分析了；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟．中考典例解析【例題1】（2021山東濟(jì)寧）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，□，，，，…，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方+1，根據(jù)規(guī)律即可得到答案．觀察這排數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方+1，∴第n個(gè)數(shù)據(jù)為：．當(dāng)n＝3時(shí)，□的分子為5，分母＝32+1＝10，∴這個(gè)數(shù)為＝【例題2】（2021云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．n2an+l B．n2an﹣1 C．nnan+1 D．（n+1）2an【答案】A【解析】觀察字母a的系數(shù)、次數(shù)的規(guī)律即可寫(xiě)出第n個(gè)單項(xiàng)式．∵第1個(gè)單項(xiàng)式a2＝12?a1+1，第2個(gè)單項(xiàng)式4a3＝22?a2+1，第3個(gè)單項(xiàng)式9a4＝32?a3+1，第4個(gè)單項(xiàng)式16a5＝42?a4+1，……∴第n（n為正整數(shù)）個(gè)單項(xiàng)式為n2an+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是分別從系數(shù)、字母指數(shù)尋找其與序數(shù)間的規(guī)律．【例題3】（2022新疆模擬）探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板上每邊的釘子數(shù))，連接任意兩個(gè)釘子所得到的不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)：當(dāng)n＝2時(shí)，釘子板上所連不同線段的長(zhǎng)度值只有1與eq\r(2)，所以不同長(zhǎng)度值的線段只有二種，若用S表示不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)，則S＝2；當(dāng)n＝3時(shí)，釘子板上所連不同線段的長(zhǎng)度值有1，eq\r(2)，2，eq\r(5)，2eq\r(2)五種，比n＝2時(shí)增加了三種，即S＝2＋3＝5.（1）觀察下圖，并填寫(xiě)下表：釘子數(shù)(n×n)S值2×223×32＋34×42＋3＋()5×5()(2)寫(xiě)出(n－1)×(n－1)和n×n的兩個(gè)釘子板上，不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)之間的關(guān)系；(用式子或語(yǔ)言表述均可)(3)對(duì)n×n的釘子板，寫(xiě)出用n表示S的代數(shù)式．【答案】見(jiàn)解析。【解析】錯(cuò)解：(1)4；2＋3＋4＋5；(2)設(shè)(n－1)×(n－1)和n×n兩個(gè)釘子板上不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)分別為Sn－1和Sn，則Sn－1＝2＋3＋4＋…＋(n－1)；Sn＝2＋3＋…＋n；(3)Sn＝2＋3＋4＋…＋n.剖析(1)填對(duì)了；(2)題目要求理解錯(cuò)了，命題要求寫(xiě)出兩個(gè)釘子板上的兩個(gè)S值之間關(guān)系，而不是每個(gè)釘子板上的S值與每邊上的釘子數(shù)n的關(guān)系，顯然，Sn比Sn－1的值大n；(3)寫(xiě)對(duì)了，但應(yīng)化成不含省略號(hào)的代數(shù)式．正解：(1)4；2＋3＋4＋5；(2)設(shè)(n－1)×(n－1)和n×n兩個(gè)釘子板上不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)分別為Sn－1和Sn，則Sn－1＝2＋3＋4＋…＋(n－1)；Sn＝2＋3…＋n，∴Sn－Sn－1＝n.即在(n－1)×(n－1)和n×n的兩個(gè)釘子板上，不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)前者比后者少n種；(3)Sn＝2＋3＋4＋…＋n＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)－1＝eq\f(n（n＋1）,2)－1＝eq\f(n2＋n－2,2).【例題4】（2021湖南懷化）觀察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是．【答案】m2﹣m．【解析】歸納出數(shù)字的變化規(guī)律，給已知數(shù)列求和，并用含m的代數(shù)式表示出來(lái)即可．由題意得：2100+2101+2102+…+2199，＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m【例題5】（2021內(nèi)蒙古鄂爾多斯）將一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的“〇”的個(gè)數(shù)，則第30個(gè)“龜圖”中有個(gè)“〇”．【答案】875．【解析】分析數(shù)據(jù)可得：第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+4＝5；第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+5+1＝7；第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+6+4＝11；第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+7+9＝17；…由此得出第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+（n+3）+（n﹣1）2．據(jù)此可以求得答案．解：∵第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+4＝5；第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+5+1＝7；第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+6+4＝11；第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+7+9＝17；…∴第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+（n+3）+（n﹣1）2．∴第30個(gè)“龜圖”中的“〇”的個(gè)數(shù)為1+（30+3）+（30﹣1）2＝1+33+841＝875．【例題6】（2021山東泰安）如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過(guò)點(diǎn)B1作B1A1⊥l，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長(zhǎng)B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長(zhǎng)B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長(zhǎng)B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)正方形AnBnBn+1?n的邊長(zhǎng)為（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．【答案】×()n﹣1．【解析】設(shè)直線y＝x與x軸夾角為α，過(guò)B1作B1H⊥x軸于H，由點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，可得OH＝2，B1H＝1，OB1＝＝，tanα＝＝,Rt△A1B1O中，求得A1B1＝OB1?tanα＝，即第1個(gè)正方形邊長(zhǎng)是，在Rt△A2B2O中，求得第2個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×，在Rt△A3B3O中，求得第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×（）2，在Rt△A4B4O中，求得第4個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×()3，......觀察規(guī)律即可得：第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×()n﹣1．解：設(shè)直線y＝x與x軸夾角為α，過(guò)B1作B1H⊥x軸于H，如圖：∵點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，令x＝2得y＝1,∴OH＝2，B1H＝1，OB1＝＝，∴tanα＝＝,Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1?tanα＝，即第1個(gè)正方形邊長(zhǎng)是，∴OB2＝OB1+B1B2＝+＝×3，Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2?tanα＝×3×＝×，即第2個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×，∴OB3＝OB2+B2B3＝×3+×＝×，Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3?tanα＝××＝×，即第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×（）2，∴OB4＝OB3+B3B4＝×+×＝×，Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4?tanα＝＝××＝×，即第4個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×()3，.....．觀察規(guī)律可知：第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×()n﹣1，故答案為：×()n﹣1．【例題7】（2022哈爾濱模擬）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：設(shè)S＝1+2+22+…+22017+22018①則2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問(wèn)題：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）．【答案】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?）利用題中的方法設(shè)S＝1+2+22+…+29，兩邊乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把兩式相減計(jì)算出S即可；（2）利用題中的方法設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+310，兩邊乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311，然后把兩式相減計(jì)算出S即可；（3）利用（2）的方法計(jì)算．解：（1）設(shè)S＝1+2+22+…+29①則2S＝2+22+…+210②②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；故答案為：210﹣1（2）設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+310①，則3S＝3+32+33+34+35+…+311②，②﹣①得2S＝311﹣1，所以S＝，即1+3+32+33+34+…+310＝；故答案為：；（3）設(shè)S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，則aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，所以S＝，即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想，利用類比的方法是解決這類問(wèn)題的方法．考點(diǎn)問(wèn)題綜合訓(xùn)練一、選擇題1．（2021廣西玉林）觀察下列樹(shù)枝分杈的規(guī)律圖，若第n個(gè)圖樹(shù)枝數(shù)用Yn表示，則Y9﹣Y4＝（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24【答案】B【解析】根據(jù)已知圖中規(guī)律可得：Yn＝1+2+22+23+24+25+26+27+???+2n﹣1，相減可得結(jié)論．由題意得：第1個(gè)圖：Y1＝1，第2個(gè)圖：Y2＝3＝1+2，第3個(gè)圖：Y3＝7＝1+2+22，第4個(gè)圖：Y4＝15＝1+2+22+23，???第9個(gè)圖：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×312．（2021湖北鄂州）已知a1為實(shí)數(shù)，規(guī)定運(yùn)算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，…，an＝1﹣．按上述方法計(jì)算：當(dāng)a1＝3時(shí)，a2021的值等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．【答案】D【解析】化簡(jiǎn)前幾個(gè)數(shù)，得到an以三個(gè)數(shù)為一組，不斷循環(huán)，因?yàn)?021÷3＝673...2，所以a2021＝a2，再代數(shù)求值即可．解：a1＝a1，a2＝1﹣，a3＝1﹣＝1﹣＝＝，a4＝1﹣（1﹣a1）＝a1，∴an以三個(gè)數(shù)為一組，不斷循環(huán)，∵2021÷3＝673...2，∴a2021＝1﹣＝1﹣＝．3.（2022湖北荊門(mén)模擬）已知：順次連接矩形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)菱形，如圖①；再順次連接菱形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)新的矩形，如圖②；然后順次連接新的矩形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)新的菱形，如圖③；如此反復(fù)操作下去，則第2012個(gè)圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)有（）A．8048個(gè)B．4024個(gè)C．2012個(gè)D．1066個(gè)【答案】B?！窘馕觥繉?xiě)出前幾個(gè)圖形中的直角三角形的個(gè)數(shù)，并找出規(guī)律：第1個(gè)圖形，有4個(gè)直角三角形，第2個(gè)圖形，有4個(gè)直角三角形，第3個(gè)圖形，有8個(gè)直角三角形，第4個(gè)圖形，有8個(gè)直角三角形，…，依次類推，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是2（n+1），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是2n個(gè)，所以，第2012個(gè)圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)是2×2012=4024。故選B。4．（2022陜西模擬）在公園內(nèi)，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，如圖反映了牡丹的列數(shù)(n)和芍藥的數(shù)量規(guī)律，那么當(dāng)n＝11時(shí)，芍藥的數(shù)量為（） A．84株 B．88株 C．92株 D．121株【答案】B【解析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)芍藥圍成的圖形是正方形，每條邊上的芍藥數(shù)量與牡丹的列數(shù)(n)的關(guān)系是2n＋1，芍藥的總數(shù)量可表示為4(2n＋1)－4＝8n，因此，當(dāng)n＝11時(shí)，芍藥的數(shù)量為88．5.（2020湖北十堰）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中出現(xiàn)數(shù)字396，則（）

A.17 B.18 C.19 D.20【答案】B【解析】觀察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的規(guī)律，讓其等于396，解得為正整數(shù)即成立，否則舍去．根據(jù)圖形規(guī)律可得：上三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：，若，解得不為正整數(shù)，舍去；下左三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：，若，解得不為正整數(shù)，舍去；下中三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：，若，解得不為正整數(shù)，舍去；下右三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：，若，解得，或，舍去。6.（2020湖北武漢）下列圖中所有小正方形都是全等的．圖（1）是一張由4個(gè)小正方形組成的“”形紙片，圖（2）是一張由6個(gè)小正方形組成的方格紙片．把“”形紙片放置在圖（2）中，使它恰好蓋住其中的4個(gè)小正方形，共有如圖（3）中的4種不同放置方法，圖（4）是一張由36個(gè)小正方形組成的方格紙片，將“”形紙片放置在圖（4）中，使它恰好蓋住其中的4個(gè)小正方形，共有種不同放置方法，則的值是（）A.160 B.128 C.80 D.48【答案】A【解析】先計(jì)算出方格紙片中共含有多少個(gè)方格紙片，再乘以4即可得．由圖可知，在方格紙片中，方格紙片個(gè)數(shù)為（個(gè)）則二、填空題1.（2022年南京模擬）用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案：（1）第4個(gè)圖案中有白色紙片__________張；（2）第n個(gè)圖案中有白色紙片__________張．【答案】（1）13（2）3n＋1【解析】從圖中可以看出每增加1張黑色紙片，對(duì)應(yīng)增加3張白色紙片．第1個(gè)圖案有4＝1＋3張白色紙片，第2個(gè)圖案有7＝1＋2×3張白色紙片，第3個(gè)圖案有10＝1＋3×3張白色紙片，按照這樣的規(guī)律，第4個(gè)圖案有1＋4×3＝13張白色紙片，第n個(gè)圖案有1＋n×3張白色紙片．2．（2021浙江嘉興）觀察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此規(guī)律，則第n個(gè)等式為2n﹣1＝．【答案】n2﹣（n﹣1）2．【解析】根據(jù)題目中的式子可以發(fā)現(xiàn)：等號(hào)左邊是一些連續(xù)的奇數(shù)，等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)是和左邊是第幾個(gè)奇數(shù)一樣，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)少1，然后即可寫(xiě)出第n個(gè)等式．∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，∴第n個(gè)等式為2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2．3．（2021四川眉山）觀察下列等式：x1＝＝＝1+；x2＝＝＝1+；x3＝＝＝1+；…根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝．【答案】﹣．【解析】根據(jù)已知等式，歸納總結(jié)得到拆項(xiàng)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律展開(kāi)，最后合并，即可求出答案．解：∵x1＝＝＝1+；x2＝＝＝1+；x3＝＝＝1+；…∴x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝1++1++1++…+1+﹣2021＝2020+1﹣+﹣+﹣+…﹣﹣2021＝﹣。4．（2021山東菏澤）如圖，一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA，交x軸于點(diǎn)B；作BA1∥OA，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A1；過(guò)點(diǎn)A1作A1B1⊥A1B交x軸于點(diǎn)B；再作B1A2∥BA1，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A2，依次進(jìn)行下去，…，則點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為．【答案】+．【解析】由一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，可得A（1，1）；易得△OAB是等腰直角三角形，則OB＝2；分別過(guò)點(diǎn)A，A1，A2，作x軸的垂線，垂足分別為C，D，E，則△ABD是等腰直角三角形，設(shè)BD＝m，則A1D＝m，則A1（m+2，m），點(diǎn)A1在反比例函數(shù)上，可得m的值，求出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，同理可得A2的坐標(biāo)，以此類推，可得結(jié)論．如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，A1，A2，作x軸的垂線，垂足分別為C，D，E，∵一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，∴聯(lián)立，解得A（1，1），∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，∵AB⊥OA，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OB＝2OC＝2，∵A1B∥OA，∴∠A1BD＝45°，設(shè)BD＝m，則A1D＝m，∴A1（m+2，m），∵點(diǎn)A1在反比例函數(shù)y＝上，∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+，（m＝﹣1﹣，負(fù)值舍去），∴A1（+1，﹣1），∵A1B1⊥A1B，∴BB1＝2BD＝2﹣2，∴OB1＝2．∵B1A2∥BA1，∴∠A2B1E＝45°，設(shè)B1E＝t，則A2E＝t，∴A2（t+2，t），∵點(diǎn)A2在反比例函數(shù)y＝上，∴t（t+2）＝1，解得t＝﹣+，（t＝﹣﹣，負(fù)值舍去），∴A2（，﹣），同理可求得A3（2+，2﹣），以此類推，可得點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為+．故答案為：+．5．（2021湖北荊門(mén)）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2021是表中第行第列．【答案】64，5．【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出前幾行的數(shù)字個(gè)數(shù)，然后即可寫(xiě)出前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)，從而可以得到2021在圖中的位置．由圖可知，第一行1個(gè)數(shù)字，第二行2個(gè)數(shù)字，第三行3個(gè)數(shù)字，…，則第n行n個(gè)數(shù)字，前n行一共有個(gè)數(shù)字，∵＜2021＜，2021﹣＝2021﹣2016＝5，∴2021是表中第64行第5個(gè)列．6．（2021貴州銅仁）觀察下列各項(xiàng)：1，2，3，4，…，則第n項(xiàng)是．【答案】n．【解析】根據(jù)題目中數(shù)字的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的整數(shù)部分是連續(xù)的整數(shù)，從1開(kāi)始，而分?jǐn)?shù)部分的分母是2的n次方，n從1開(kāi)始，分子都是1，然后即可寫(xiě)出第n項(xiàng)對(duì)應(yīng)的數(shù)字．∵一列數(shù)為1，2，3，4，…，、∴這列數(shù)可以寫(xiě)成：1，2，3，4，…，∴第n項(xiàng)是n．7．（2021黑龍江鶴崗）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延長(zhǎng)CD至A1，使DA1＝CD，以A1C為一邊，在BC的延長(zhǎng)線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長(zhǎng)C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長(zhǎng)線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2…按此規(guī)律，得到△A2020D2020A2021，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2…，△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021＝．【答案】22019．【解析】由題意得△ADA1為等邊三角形且邊長(zhǎng)為1、△A1D1A2為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2、△A2D2A3為等邊三角形且邊長(zhǎng)為4、△A3D3A4為等邊三角形且邊長(zhǎng)為8，…，△A2021D2021A2022為等邊三角形且邊長(zhǎng)為22021，所以S1＝×12，S2＝×22，S3＝×23，…，S2021＝×22021，計(jì)算出結(jié)果即可．解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，∴∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，∴∠ADA1＝60°，∵DA1＝CD，∴AD＝DA1，∴△ADA1為等邊三角形且邊長(zhǎng)為1，同理：△A1D1A2為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，△A2D2A3為等邊三角形且邊長(zhǎng)為4，△A3D3A4為等邊三角形且邊長(zhǎng)為8，…，△A2021D2021A2022為等邊三角形且邊長(zhǎng)為22021，∴S1＝×12，S2＝×22，S3＝×23，…，S2021＝×22021＝22019．8．（2021黑牡雞）如圖，正方形A0B0C0A1的邊長(zhǎng)為1，正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)為2，正方形A2B2C2A3的邊長(zhǎng)為4，正方形A3B3C3A4的邊長(zhǎng)為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形AnBn?nAn+1，且點(diǎn)A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一條直線上，連接A0C1交，A1B1于點(diǎn)D1，連接A1C2，交A2B2于點(diǎn)D2，連接A2C3，交A3B3于點(diǎn)D3，…記四邊形A0B0C0D1的面積為S1，四邊形A1B1C1D2的面積為S2，四邊形A2B2C2D3的面積為S3，…，四邊形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面積為Sn，則S2021＝．【答案】．【解析】由正方形的性質(zhì)得出A1D1∥A2C1，則，得出，同理可得，，，…，，即可得出結(jié)果．解：∵四邊形A0B0C0A1與四邊形A1B1C1A2都是正方形，∴A1D1∥A2C1，∴，∴，∴，同理可得：，∴，，，…，，∴，故答案為：．9.（2021齊齊哈爾）如圖，拋物線的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接：過(guò)A1作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、：過(guò)作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、；過(guò)作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、…：按照如此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)是_________．【答案】【解析】根據(jù)待定系數(shù)法分別求出直線、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐標(biāo)，得出規(guī)律，從而求得點(diǎn)Pn的坐標(biāo)．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴直線的解析式為，∵，∴，∴，設(shè)的解析式為，∴，解得，所以直線的解析式為，解，求得，∵，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，解求得，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，．．．∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10.（2021黑龍江綏化）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個(gè)三角形，圖②中有5個(gè)三角形，圖③中有11個(gè)三角形，圖④中有19個(gè)三角形…，依此規(guī)律，則第個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)是_______．【答案】【解析】此題只需分成上下兩部分即可找到其中規(guī)律，上方的規(guī)律為(n-1)，下方規(guī)律為n2，結(jié)合兩部分即可得出答案．將題意中圖形分為上下兩部分，則上半部規(guī)律為：0、1、2、3、4……n-1，下半部規(guī)律為：12、22、32、42……n2，∴上下兩部分統(tǒng)一規(guī)律為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是將圖形分為上下兩部分分別研究．11．（2021湖北恩施州）古希臘數(shù)學(xué)家定義了五邊形數(shù)，如下表所示，將點(diǎn)按照表中方式排列成五邊形點(diǎn)陣，圖形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即五邊形數(shù)；圖形…五邊形數(shù)1512223551…將五邊形數(shù)1，5，12，22，35，51，…，排成如下數(shù)表；觀察這個(gè)數(shù)表，則這個(gè)數(shù)表中的第八行從左至右第2個(gè)數(shù)為．【答案】1335．【解析】觀察表中圖形及數(shù)字的變化規(guī)律可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)五邊形數(shù)可表示為：1+2+3+...+（n﹣1）+n2，觀察數(shù)表找到規(guī)律，計(jì)算出這個(gè)數(shù)表中的第八行從左至右第2個(gè)數(shù)是第幾個(gè)五邊形數(shù)即n的值，代入上面的代數(shù)式即可求得答案．解：觀察表中圖形及數(shù)字的變化規(guī)律可得第n個(gè)五邊形數(shù)可表示為：1+2+3+...+（n﹣1）+n2，由數(shù)表可知前七行數(shù)的個(gè)數(shù)和為：1+2+3+...+7＝28，∴數(shù)表中的第八行從左至右第2個(gè)數(shù)是第30個(gè)五邊形數(shù)即n＝30，∴把n＝30代入得：1+2+3+...+29+302，＝1335，故答案為：1335．12．（2021山東東營(yíng)）如圖，正方形ABCB1中，AB＝，AB與直線l所夾銳角為60°，延長(zhǎng)CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長(zhǎng)C1B2交直線l于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2B3，延長(zhǎng)C2B3交直線l于點(diǎn)A3，作正方形A3B3C3B4…，依此規(guī)律，則線段A2020A2021＝．【答案】2×（）2020．【解析】根據(jù)題意可知圖中斜邊在直線l上的直角三角形都是含30度角的直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)得出三邊的長(zhǎng)度，以此類推可找到規(guī)律：AnBn＝（）n﹣1，An﹣1An＝2AnBn＝2×（）n﹣1．解：根據(jù)題意可知AB1＝AB＝，∠B1AA1＝90°﹣60°＝30°，∴tan∠B1AA1＝＝，∴A1B1＝AB1×＝×＝1，AA1＝2A1B1＝2，A2B2＝A1B2×＝A1B1×＝，A1A2＝2A2B2＝2×，A3B3＝A2B3×＝A2B2×＝×＝（）2，A2A3＝2A3B3＝2×（）2，∴A2021B2021＝A2020B2021×＝（）2020，A2020A2021＝2A2021B2021＝2×（）202013.（2022福建模擬）如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，…，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形由________個(gè)圓組成．【答案】217【解析】(1)根據(jù)每一個(gè)圖形都是一個(gè)正方形和右邊的一個(gè)矩形構(gòu)成，得到左邊的正方形中小正方形的個(gè)數(shù)和右邊的矩形中的小正方形的個(gè)數(shù)的和即可．仔細(xì)觀察圖形知道：每一個(gè)陰影部分由左邊的正方形和右邊的矩形構(gòu)成，分別為：第1個(gè)圖有：1＋3個(gè)；第2個(gè)圖有：4＋4個(gè)；第3個(gè)圖有：9＋5個(gè)；……故第n個(gè)圖有：[n2＋(n＋2)]個(gè)．(2)觀察不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)等于圖形序號(hào)乘以比序號(hào)大1的數(shù)，根據(jù)此規(guī)律解答即可．第①個(gè)圖有2個(gè)相同的小正方形：2＝1×2；第②個(gè)圖有6個(gè)相同的小正方形：6＝2×3；第③個(gè)圖有12個(gè)相同的小正方形：12＝3×4；第④個(gè)圖有20個(gè)相同的小正方形：20＝4×5；……按此規(guī)律，第個(gè)圖有n(n＋1)個(gè)相同的小正方形．(3)首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．觀察分析可得：第1個(gè)圖有1個(gè)圓；第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，7＝1＋6；第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，19＝1＋6＋2×6；……故第9個(gè)圖由1＋6＋2×6＋3×6＋…＋8×6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)×6＝217(個(gè))圓組成．14．（2019?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以O(shè)A2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以O(shè)A3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】（-22017，22017）【解析】由題意得，A1的坐標(biāo)為（1，0），A2的坐標(biāo)為（1，），A3的坐標(biāo)為（-2，2），A4的坐標(biāo)為（-8，0），A5的坐標(biāo)為（-8，-8），A6的坐標(biāo)為（16，-16），A7的坐標(biāo)為（64，0），…由上可知，A點(diǎn)的方位是每6個(gè)循環(huán)，與第一點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x正半軸上，其橫坐標(biāo)為2n-1，其縱坐標(biāo)為0，與第二點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n-2，縱坐標(biāo)為2n-2，與第三點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2n-2，縱坐標(biāo)為2n-2，與第四點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x負(fù)半軸上，其橫坐標(biāo)為-2n-1，縱坐標(biāo)為0，與第五點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2n-2，縱坐標(biāo)為-2n-2，與第六點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n-2，縱坐標(biāo)為-2n-2，∵2019÷6=336……3，∴點(diǎn)A2019的方位與點(diǎn)A23的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2n-2=-22017，縱坐標(biāo)為22017，故答案為：（-22017，22017）．15．（2022江蘇連云港模擬）如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過(guò)B1作B1A1⊥1，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長(zhǎng)B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長(zhǎng)B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3延長(zhǎng)B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)?n的橫坐標(biāo)為（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)B1、C1、C2、C3、C4分別作B1D⊥x軸，C1D1⊥x軸，C2D2⊥x軸，C3D3⊥x軸，C4D4⊥x軸，……垂足分別為D、D1、D2、D3、D4……∵點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)為1，即：OD＝2，B1D＝1，圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2，∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為：2++（）0，點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2點(diǎn)C4的橫坐標(biāo)為：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3……點(diǎn)?n的橫坐標(biāo)為：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1＝故答案為：16.（2020湖北天門(mén)）如圖，已知直線，直線和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)___．【答案】【解析】根據(jù)題意求出P1,P5,P9…的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求解．∵，在直線上∴（1,1）；∵過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，在直線上∴（-2,1）同理求出P3（-2，-2），P4（4，-2），P5（4，4），P6（-8，4），P7（-8，-8），P8（16，-8），P9（16，16）…可得P4n+1(22n,22n)(n≥1，n為整數(shù))令4n+1=2021解得n=505∴P2021(,)∴的橫坐標(biāo)為．17.（2020貴州黔西南）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【答案】57【解析】根據(jù)題意得出第n個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為；由此代入求得第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，；第②個(gè)圖形中共有7個(gè)菱形，；第③個(gè)圖形中共有13個(gè)菱形，；…，第n個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為：；則第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為．【點(diǎn)撥】本題考查了整式加減的探究規(guī)律—圖形類找規(guī)律，其關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形找出規(guī)律．18．（2022齊齊哈爾模擬）如圖，直線l：y＝x+1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作A1B1⊥l，交x軸于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)B1作B1A2⊥x軸，交直線l于點(diǎn)A2；過(guò)點(diǎn)A2作A2B2⊥l，交x軸于點(diǎn)B2，過(guò)點(diǎn)B2作B2A3⊥x軸，交直線l于點(diǎn)A3，依此規(guī)律…，若圖中陰影△A1OB1的面積為S1，陰影△A2B1B2的面積為S2，陰影△A3B2B3的面積為S3…，則Sn＝．【答案】．【解析】直線l：y＝x+1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝?OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：Sn＝故答案為：．19.（2020湖北恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，．已知，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，…，依此類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】(-1,8)【解析】先求出N1至N6點(diǎn)的坐標(biāo)，找出其循環(huán)的規(guī)律為每6個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次即可求解．由題意得，作出如下圖形：N點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，N點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱的N1點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)，N1點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的N2點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,4)，N2點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱的N3點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,8)，N3點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱的N4點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,8)，N4點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的N5點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-4)，N5點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱的N6點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)，此時(shí)剛好回到最開(kāi)始的點(diǎn)N處，∴其每6個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次，∴，即循環(huán)了336次后余下4，故的坐標(biāo)與N4點(diǎn)的坐標(biāo)相同，其坐標(biāo)為(-1,8)．故答案為：(-1,8)．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律問(wèn)題，本題需要先去驗(yàn)算前面一部分點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而找到其循環(huán)的規(guī)律后即可求解．20．（2020?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)A1（0，2）變換到點(diǎn)A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)A2變換到點(diǎn)A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)A4變換到點(diǎn)A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是．【答案】22020（形式可以不同，正確即得分）．【解析】根據(jù)A1（0，2）確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面積，根據(jù)A2（6，0）確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面積，…，同理，確定規(guī)律可得結(jié)論．∵點(diǎn)A1（0，2），∴第1個(gè)等腰直角三角形的面積2，∵A2（6，0），∴第2個(gè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為2，∴第2個(gè)等腰直角三角形的面積4＝22，∵A4（10，4），∴第3個(gè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為10﹣6＝4，∴第3個(gè)等腰直角三角形的面積8＝23，…則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是22020；故答案為：22020（形式可以不同，正確即得分）．21.（2022衢州模擬）如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的長(zhǎng)方形組成“7”字圖形。（1）將一個(gè)“7”字圖形按如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，記為“7”字圖形ABCDEF，其中頂點(diǎn)A位于x軸上，頂點(diǎn)B，D位于y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_(kāi)___________.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)擺放第二個(gè)“7“字圖形得頂點(diǎn)F1，擺放第三個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)F2.依此類推，……擺放第n個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)Fn-1……則頂點(diǎn)F2019的坐標(biāo)為_(kāi)____.【答案】（1） （2）（，405）【解析】（1）因?yàn)椤螪BC+∠BDC=90°，∠DBC+∠OBA=90°,∠DCB=∠BOA=90°,所以∠BDC=∠OBA所以△CDB∽△OBA，所以O(shè)B:OA=CD:CB=.（2）因?yàn)镺B:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得OB=,OA=.因?yàn)椤螩DH=∠ABO，∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB,所以△DHC≌△BOA,所以四邊形OACH為矩形，DH=,HC=,同理△MAF∽△OBA，由AF=3得，AM=，F(xiàn)M=,在直角三角形NCF中，CN=AM=,CF=,NF==,在直角三角形ABC中，AC=,F點(diǎn)的坐標(biāo)為（+，+）;根據(jù)規(guī)律F1比F的橫坐標(biāo)增加單位、縱坐標(biāo)增加，F(xiàn)，F(xiàn)1點(diǎn)的坐標(biāo)為（+×2，+×2）;F2比F1的橫坐標(biāo)增加單位，縱坐標(biāo)增加單位，F(xiàn)2點(diǎn)的坐標(biāo)為（+×3，+×3）;……所以F2019的坐標(biāo)為（+×2020，+×2020），即（，405）.22．（2022山東濟(jì)南模擬）如圖，直線l：y＝﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)B1，以O(shè)B1為邊向上作等邊△AOB1過(guò)點(diǎn)A1作A1B2平行于x軸，交直線1于點(diǎn)B2以A1B2為邊向上作等邊△A2A1B2，過(guò)點(diǎn)A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B3，以A2B3為邊向上作等邊△A3A2B3，…，則An的坐標(biāo)是（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）【答案】An（﹣，×）．【解析】根據(jù)題意可得直線l與x軸成30°，OB1＝1，可得OA1＝1，A1A2＝2，A3A2＝4，可推出AnAn﹣1的長(zhǎng)，可求OAn，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求An坐標(biāo)．如圖∵y＝﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)B1∴當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x﹣，∴x＝﹣1∴B1（﹣1，0）即B1O＝1∵y＝﹣x﹣與y軸交于D當(dāng)x＝0，y＝﹣，∴D（0，﹣）∵tan∠OB1D＝，∴∠OB1D＝30°∵等邊三角形A1OB1，∴A1O＝1，∠A1OB1＝60°＝∠A1B1O∴∠B2B1A1＝90°，∠A1OC1＝30°∵A1B2∥x軸,∴A1B2＝2A1B1＝2＝21．同理A3A2＝4＝（2）2．∴等邊三角形AnAn﹣1Bn的邊長(zhǎng)為2n﹣1．延長(zhǎng)B2A1交y軸于C1，延長(zhǎng)B2A1交y軸于C1，延長(zhǎng)B2A1交y軸于C1，…∴A1C1⊥y軸，A2C2⊥y軸，…A2018C2018⊥y軸∵OAn＝OA1+A1A2+A2A3+…+AnAn﹣1＝1+2+22+23+…+2n﹣1．∴2OAn＝2+22+23+…+2n﹣1+2n．∴OAn＝2n﹣1∵∠A1OC1＝30°∴An?n＝＝，O?n＝An?n＝×，∴An（﹣，×）故答案為An（﹣，×）．三、解答題1．（2022濟(jì)寧模擬）觀察下面的變形規(guī)律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的問(wèn)題：（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想=；（2）證明你猜想的結(jié)論；（3）求和：+++…+．【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）；（2）證明：右邊=﹣=﹣===左邊，所以猜想成立．（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．2．（2022蘇州模擬）有若干個(gè)數(shù)，第1個(gè)數(shù)記為a1，第2個(gè)數(shù)記為a2，第3個(gè)數(shù)記為a3，…第n個(gè)數(shù)記為an，若a1=﹣，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于1與前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)．（1）分別求出a2，a3，a4的值；（2）計(jì)算a1+a2+a3+…a36的值．【答案】見(jiàn)解析。【解析】（1）根據(jù)從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于1與前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)．依次計(jì)算a2，a3，a4的值．．（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)3個(gè)一循環(huán)，從而只需計(jì)算出前3個(gè)數(shù)的和，根據(jù)規(guī)律即可求得最后結(jié)果．a(chǎn)1+a2+a3+…a36=（﹣+4+）×12=53．3．（2022無(wú)錫模擬）圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面﹣層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上﹣層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+n=．如果圖1中的圓圈共有12層，（1）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是________；（2）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)﹣23，﹣22，﹣21，…，求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和