數(shù)制與碼制邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)制與碼制邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第2頁第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

概述

-數(shù)制

-編碼三種基本運(yùn)算基本公式和常用公式邏輯函數(shù)及其表示方法公式化簡法卡諾圖化簡法具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/252數(shù)字信號和模擬信號模擬信號：表示模擬量的信號，如：熱電偶的電壓信號(溫度變化時，電壓隨之改變)。數(shù)字信號：表示數(shù)字量的電信號1.1概述數(shù)字量和模擬量模擬量：在時間上和數(shù)量上都是連續(xù)的物理量，如：溫度、壓力、距離和時間等。數(shù)字量：

在時間上和數(shù)量上都是離散的物理量，

如：自動生產(chǎn)線上的零件記錄量，臺階的階數(shù)第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/253第4頁1.1.2數(shù)制和編碼1.十進(jìn)制：日常生活和工作最常使用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制，在十進(jìn)制中，每一位有0∽9十個數(shù)碼，所以計(jì)數(shù)的基數(shù)是十。超過9的數(shù)必須用多位表示，其中低位與相鄰高位的關(guān)系是“逢十進(jìn)一”。例：十進(jìn)制數(shù)的一般形式：同樣可得,N進(jìn)制數(shù)的一般形式：Ni為第i位的權(quán)；ki為第i位的系數(shù)；N為計(jì)數(shù)基數(shù)。一、數(shù)制143.75=1×102＋4×101＋3×100＋7×10－1＋5×10－2第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/254第5頁

十六進(jìn)制中有16個數(shù)字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F；每位的權(quán)為16的冪

二進(jìn)制中有2個數(shù)字：0、1；每位的權(quán)為2的冪101.11=1×22＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－22.二進(jìn)制：

同一個數(shù)值的二進(jìn)制表示比十進(jìn)制位數(shù)多，故常采用八進(jìn)制和十六進(jìn)制。3.二進(jìn)制的縮寫形式：八進(jìn)制和十六進(jìn)制

八進(jìn)制中有8個數(shù)字：0、1、2、3、4、5、6、7；每位的權(quán)為8的冪第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/255第6頁1.非十進(jìn)制換成十進(jìn)制方法：展開相加即可2.十進(jìn)制換成其他進(jìn)制方法：整數(shù)部分采用基數(shù)除法，小數(shù)部分采用基數(shù)乘法。例1：

(1011.01)2=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=(11.25)10二、數(shù)制轉(zhuǎn)換：例2：

(463)8=4*82+6*81+3*80=(307)10例3：

(2FA.2)16=2*162+15*161+10*160+2*16-1=(762.125)10第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/256第7頁1731286低位高位余數(shù)0.8125×2(1).6250×2(1).2500×2(0).5000×2(1).0000高位低位(173)10=(10101101)2(0.8125)10=(0.1101)2例4：(173.8125)10=（？）2243211052222221200110101=(10101101.1101)2第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/257第8頁5433616160低位高位余數(shù)0.39×16(6).24×16(3).84×16(13).44×16(7).04高位低位(54)10=(36)16(0.39)10=(0.63D7)16例5：(54.39)10=(？)16=(36.63D7)16第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/258第9頁3.二進(jìn)制－八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法：3位二進(jìn)制數(shù)剛好等于1位八進(jìn)制數(shù)（一）二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制例6

二進(jìn)制：（110011101.011）2=（110011101.011）2=（635.3）8例7二進(jìn)制（10011101.01）2=（010011101.010）2

=

（235.2）8（二）八進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制例8八進(jìn)制：（345.1）8=（011100101.001）2第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/259第10頁4.二進(jìn)制－十六進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換方法：4位二進(jìn)制數(shù)剛好等于1位十六進(jìn)制數(shù)例9二進(jìn)制：（111101000.011）2=（000111101000.0110）2=（1E8.6）16（二）十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制例10十六進(jìn)制：（AF.26）16=（10101111.00100110）2（一）二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2510第11頁三、編碼3.編碼方法：方法很多，常用如下表所示。1.定義：用二進(jìn)制數(shù)表示文字、符號等信息的過程。2.BCD碼（二－十進(jìn)制編碼）：用4位二進(jìn)制數(shù)碼表示十進(jìn)制數(shù)的0～9十個數(shù)字的編碼方法。第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2511第12頁(1)8421BCD碼各位權(quán)值依次為8、4、2、1。特點(diǎn)：1010、1011、1100、1101、1110和1111為禁用碼組。每個碼組的二進(jìn)制值與所表示的十進(jìn)制一致。（直觀）第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2512第13頁(2)2421BCD碼特點(diǎn)：各位權(quán)值依次為2、4、2、1。第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2513第14頁(3)余3碼特點(diǎn)：例11：5+8便于加法（∵自動進(jìn)位）。無權(quán)碼；每個碼組的二進(jìn)制值與所表示的十進(jìn)制大3。8421BCD0101(5)+1000(8)1101(禁用碼）（1）0011+0110（修正）進(jìn)位結(jié)論：用電路實(shí)現(xiàn)時，余3碼加法速度快（∵進(jìn)位快)。(1)00111000（5）

+1011（8）進(jìn)位余3碼第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2514第15頁(4)余3循環(huán)碼無權(quán)碼；每個碼組的循環(huán)碼值與所表示的十進(jìn)制（循環(huán)碼）大3。例12：分別用各種BCD碼表示（11011001）2（11011001）2=13×16+9=217=（1000010111）8421BCD=（1000011101）2421BCD=（010101001010）余3碼=（011101101111）余3循環(huán)碼特點(diǎn)：

相鄰碼組（包括0與9）只有一個碼元發(fā)生變化。第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2515第16頁四、格雷碼（循環(huán)碼）四位格雷碼如右表：1.特點(diǎn)：相鄰碼組（包括0與15）只有一個碼元發(fā)生變化2.構(gòu)成方法：鏡像法1位格雷碼

012位格雷碼

01鏡面100011（0）（1）（2）（3）3位格雷碼

00011110鏡面1011010000001111（0）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2516第17頁3.二進(jìn)制與格雷碼的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制Bn-1Bn-2…B0;格雷碼Rn-1Rn-2…R0.（1）二進(jìn)制---格雷碼例13：（1011）2=（？）G10111110（1011）2=（1110）G（2）格雷碼---二進(jìn)制例14：（1110）G=（？）211101011（1110）G=（1011）2第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2517第18頁1.2

邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算變量取值：命題正確1；命題錯誤0.二、邏輯函數(shù)定義：復(fù)雜的邏輯命題，邏輯函數(shù)取值受（多輸入）邏輯變量控制。即Y=F（A,B,C…).一、邏輯變量定義：簡單的邏輯命題,內(nèi)容可對可錯，但不能模棱兩可。設(shè)定變量：邏輯代數(shù)定義的變量，并用字母A、B、C、表示例：“開關(guān)S斷開”為邏輯命題?！伴_關(guān)S可能斷開”就不是邏輯命題第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2518第19頁三、邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算（與、或、非）1、邏輯與（邏輯乘）：AB+Y_定義：定義：只有決定事物結(jié)果的全部條件同時具備時，結(jié)果才發(fā)生。條件：開關(guān)A合上（變量A）、開關(guān)B合上（變量B）結(jié)果：燈Y亮（Y是A、B的函數(shù)）真值表表達(dá)式：“與”運(yùn)算規(guī)律與門ABY&國標(biāo)ABY國外常用第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2519第20頁2、邏輯或（邏輯加）：定義：定義：在決定事物結(jié)果的諸條件中只要有一個或一個以上滿足，結(jié)果就會發(fā)生。條件：開關(guān)A合上（變量A）、開關(guān)B合上（變量B）結(jié)果：燈Y亮（Y是A、B的函數(shù)）真值表表達(dá)式：“或”運(yùn)算規(guī)律或門+_ABYABY1國標(biāo)ABY國外常用第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2520第21頁3、邏輯非：定義：定義：只要條件具備了，結(jié)果便不會發(fā)生。而此條件不具備時，結(jié)果一定發(fā)生條件：開關(guān)A合上（變量A）結(jié)果：燈Y亮（Y是A的函數(shù)）真值表表達(dá)式：“非”運(yùn)算規(guī)律非門AY1國標(biāo)AY國外常用A+Y_E第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2521第22頁四、幾種常用的邏輯運(yùn)算2.“或非”運(yùn)算：1.“與非”運(yùn)算：3.“與或非”運(yùn)算：ABYABY1AB&CDY1ABY&國標(biāo)ABY國外常用第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2522第23頁AB&CDY1第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2523第24頁4.“異或”運(yùn)算：表達(dá)式：真值表：邏輯符號特性（1）奇校驗(yàn):變量值是1的變量個數(shù)為奇數(shù)ABY=1ABY第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2524第25頁5.“同或”運(yùn)算：表達(dá)式：真值表：邏輯符號特性（1）“0”的偶校驗(yàn)變量值是0的變量個數(shù)為偶數(shù)Y=A⊙BABY=ABYY=A⊙B⊙C第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2525第26頁1.3基本公式和常用公式1.3.1基本公式返回第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/25262023/2/25第27頁基本公式驗(yàn)證方法：真值表例：證明反演律結(jié)論：變量A、B的任意取值組合，等式兩邊均相等，所以等式成立。第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2527第28頁若干常用公式公式證明一、式21:=A二、式22：=A+B分配律三、式24:返回第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2528第29頁1.4邏輯代數(shù)的基本定理

代入定理:1、含有變量A的等式所有變量A，用函數(shù)Y代替新的等式成立2、應(yīng)用：反演律的擴(kuò)展用Y=B+C代替結(jié)論：第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2529第30頁

反演定理:求反函數(shù)函數(shù)Y反函數(shù)原變量反變量，反變量原變量用反演律：用反演定理：注意運(yùn)算次序：如上例，若不注意，會得到錯誤結(jié)果避免方法：加括號原變量：A,B,C…反變量：概念：第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2530第31頁

對偶定理函數(shù)Y變量名不變新函數(shù)等式的對偶等式成立注意運(yùn)算次序一、對偶函數(shù)Y與互為對偶函數(shù)例：Y=A+BC=A（B+C）二、

對偶定理：乘對加分配律：加對乘分配律：互為對偶等式前面介紹的基本公式和常用公式都是成雙成對：對偶第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2531第32頁四種表示方法：真值表，函數(shù)式，邏輯圖，卡諾圖1.5邏輯函數(shù)及其表示方法+－ABCY等效電路圖1.5.1邏輯函數(shù)

例舉重裁判電路，規(guī)則：在一名主裁判和兩名副裁判中，必須有兩人以上（而且必須包括主裁判）認(rèn)定運(yùn)動員動作合格，試舉才算成功。邏輯抽象：

輸出：指示燈Y，Y=1表示燈亮，Y=0表示燈亮.

輸入：主裁判開關(guān)A、兩名副裁判開關(guān)分別B、C；開關(guān)閉合變量取1，開關(guān)斷開變量取0.顯然，Y是A、B、C的函數(shù)：Y=F(A,B,C)第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2532第33頁邏輯函數(shù)式：Y=A(B+C)三、邏輯圖

邏輯函數(shù)及其表示方法一、真值表輸入輸出

YABC00000010010001101000101111011111二、表達(dá)式燈亮兩個條件：1、B和C至少有一個合上：B+C2、A合上：AABCY≥1&“或”關(guān)系必須同時滿足“與”關(guān)系第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2533第34頁四、各種方法間的相互轉(zhuǎn)換1、從真值表寫出函數(shù)式：輸入輸出

YABC000000100100011010001011…1101…1111…方法：找出真值表中使Y＝1的變量輸入組合（Y＝1的條件）寫出表達(dá)式：上述條件只要一個滿足，Y＝1。“或”關(guān)系A(chǔ)=1、B=0、C=1：A=1、B=1、C=0：A=1、B=1、C=1：其它的方式的轉(zhuǎn)換呢第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2534第35頁1.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：最小項(xiàng)之和與最大項(xiàng)之積(1)定義：一、最小項(xiàng)與最大項(xiàng)1.最小項(xiàng)

設(shè)有n個邏輯變量，由它們組成具有n個變量的與項(xiàng)中，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，則稱這個與項(xiàng)為最小項(xiàng)。例：三變量A、B、C，八個與項(xiàng)為三變量的八個最小項(xiàng)。而不是三變量的最小項(xiàng)。(2)表示方法：最小項(xiàng)記作mi,其中i=0～(2n-1)。i取值：最小項(xiàng)取值為1時，各輸入變量的取值看成二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)i作為最小項(xiàng)的編號。對于n個變量來說，可有2n個最小項(xiàng)；ABC取值為101，例：使為1時，記為m5所以第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2535第36頁任意兩個最小項(xiàng)之積為0；即：(3)真值表：以三變量為例ABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001(4)性質(zhì)：只有一種變量取值使mi=1；全體最小項(xiàng)之和為1；第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2536第37頁（5）用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)(邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式)輸入輸出

YABC0000f(0)0010f(1)0101f(2)0111f(3)1001f(4)1010f(5)1100f(6)1111f(7)（6）邏輯函數(shù)的通式：n個輸入變量X=i時的函數(shù)值最小項(xiàng)例對應(yīng)左邊的真值表：最小項(xiàng)之和與真值表關(guān)系第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2537第38頁2.最大項(xiàng)(1)定義：

設(shè)有n個邏輯變量，由它們組成具有n個變量的或項(xiàng)中，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，則稱這個或項(xiàng)為最大項(xiàng)。例：三變量A、B、C，共有而不是三變量的最大項(xiàng)。(2)表示方法：最大項(xiàng)記作Mi,其中i=0～(2n-1)。i取值：最大項(xiàng)取值為0時，各輸入變量的取值看成二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)i作為最大項(xiàng)的編號。對于n個變量來說，可有2n個最大項(xiàng)；例：使為0時，ABC取值為010，所以記為M2八個與項(xiàng)為最大項(xiàng)。第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2538第39頁任意兩個最大項(xiàng)之和為1；即：(3)真值表：以三變量為例ABC0000111111100110111111010110111110111110111110011110111101111110111101111110111111111110(4)性質(zhì)：只有一種變量取值使Mi=0；全體最大項(xiàng)之積為0；第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2539第40頁（5）用最大項(xiàng)表示邏輯函數(shù)(邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式)輸入輸出

YABC0000f(0)0010f(1)0101f(2)0111f(3)1000f(4)1011f(5)1101f(6)1111f(7)（6）邏輯函數(shù)的通式n個輸入變量X=i時的函數(shù)值最大項(xiàng)例對應(yīng)左邊的真值表：最大項(xiàng)之積與真值表關(guān)系第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2540第41頁例23.最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的關(guān)系Mi與mi互補(bǔ)關(guān)系4.邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的相互轉(zhuǎn)換，

例3例1第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2541第42頁1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的最簡形式一.化簡目的：簡化電路。例：與是同一邏輯函數(shù)。顯然實(shí)現(xiàn)后者電器簡單得多。二.邏輯函數(shù)的最簡“與或”形式與項(xiàng)最少，而且與項(xiàng)中的因子最少。三.邏輯函數(shù)的最簡“或與”形式或項(xiàng)最少，而且或項(xiàng)中的因子最少。第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2542第43頁常用的公式化簡方法例：例：公式法化簡的缺點(diǎn)：1.難；2.難以判斷是否最簡。解決方法：卡諾圖法。第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2543第44頁圖2三變量的卡諾圖圖3四變量的卡諾圖圖1二變量的卡諾圖1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法一、卡諾圖1.結(jié)構(gòu)：正方形或矩形格雷碼坐標(biāo)每個小方格代表1個mi或Mi。第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2544第45頁2.卡諾圖特點(diǎn)：（1）優(yōu)點(diǎn)：幾何相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰：兩個mi或Mi只有一個變量發(fā)生變化。

發(fā)生變化的變量是互補(bǔ)，因此邏輯相鄰的mi或Mi是可合并，例：ABC與是邏輯相鄰，可合并AC.幾何相鄰：相接：相對:相重:五變量和六變量卡諾圖時介紹。（2）缺點(diǎn)：最多只能適用六變量。和m15（ABCD）例m13和m10例m8第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2545第46頁二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例：最小項(xiàng)卡諾圖最大項(xiàng)卡諾圖10xx=（8，9，10，11）01x0=（4，6）1x11=（11，15）m1第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2546第47頁1.7.2用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)一、合并最小項(xiàng)的規(guī)則1.若兩個最小項(xiàng)相鄰，則可合并為一項(xiàng)并消去一個因子。2.若四個最小項(xiàng)相鄰并排成矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去二個因子。第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日2023/2/2547第48頁3.若八個最小項(xiàng)相鄰并排成矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去三個因子。1總結(jié)：若2n個最小項(xiàng)相鄰并排成矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去n個因子。二、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)步驟：函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式卡諾圖合并最小項(xiàng)最簡式合并最小項(xiàng)（畫圈）原則：1、乘積項(xiàng)個數(shù)最少（圈的個數(shù)最少）檢查方法：每個圈