數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)初等模型

數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)初等模型第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日一、數(shù)列建模數(shù)列是最基本的概念之一。

1805年，英國(guó)和法國(guó)進(jìn)行了一場(chǎng)慘烈的海戰(zhàn)。其中，尼爾森擔(dān)任英國(guó)統(tǒng)帥，他的對(duì)手則是大名鼎鼎的拿破侖。尼爾森的艦隊(duì)有27艘戰(zhàn)艦，而拿破侖的艦隊(duì)卻有33艘戰(zhàn)艦。根據(jù)以往的戰(zhàn)爭(zhēng)經(jīng)驗(yàn)，若兩軍相遇，一方損失兵力大約是對(duì)方兵力的10％。如果按照這一公式計(jì)算，顯然人多勢(shì)眾的法軍將獲勝，而且在第11次遭遇戰(zhàn)中全殲英軍，如表所示。n1234567891011Bri27.023.720.717.915.312.910.68.56.54.52.7Fra33.030.327.925.924.122.521.320.219.318.718.2模型1：誰(shuí)將是勝利者第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日但是，尼爾森將軍成功的運(yùn)用了逐個(gè)擊破的策略，扭轉(zhuǎn)劣勢(shì)轉(zhuǎn)敗為勝，還差一點(diǎn)全殲法軍。經(jīng)此一戰(zhàn)，英國(guó)大大鞏固了它在海上的霸權(quán)。當(dāng)時(shí)法軍艦隊(duì)分在三處，分別為A處（3艘）、B處（17艘）、

C處（13艘），彼此相距很遠(yuǎn)。尼爾森將軍收集了豐富的情報(bào)以后，當(dāng)機(jī)立斷，制定以下作戰(zhàn)方案：先派13艘戰(zhàn)艦進(jìn)攻法軍

A隊(duì)，勝利后盡快與留守港口的14艘戰(zhàn)艦匯合，一起進(jìn)攻法軍B

隊(duì)，最后，乘勝追擊，集中所有剩余兵力，圍攻法軍C隊(duì)?，F(xiàn)保守估計(jì)，每一場(chǎng)遭遇戰(zhàn)，法軍損失兵力大約是英軍的

5％，列表如下計(jì)算：第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日n1234Bri13.012.712.512.4Fra3.02.41.71.1戰(zhàn)役A情況戰(zhàn)役B情況（法軍在戰(zhàn)役A中逃脫的1艘戰(zhàn)艦加入戰(zhàn)斗）n1234…13141516Bri26.025.124.323.5…19.118.818.618.5Fra18.016.715.414.2…4.73.82.81.9第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日戰(zhàn)役C情況（法軍剩余兵力全部參加戰(zhàn)斗）n1234…14151617Bri19.018.317.617.0…13.213.012.812.7Fra14.013.112.111.3…3.83.12.41.8最后英軍戰(zhàn)勝了法軍，而且雙方傷亡情況與歷史事實(shí)也很相近。當(dāng)年，英軍在戰(zhàn)役A和戰(zhàn)役B中戰(zhàn)勝法軍，但法軍沒(méi)有增援C，而是選擇了撤退，大約有13艘戰(zhàn)艦退回法國(guó)海港。點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)建模以解決某現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為目的，從問(wèn)題中抽象并歸結(jié)出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。從現(xiàn)象到模型，數(shù)學(xué)建模必須反映現(xiàn)實(shí)，既然是一種模型，它就不是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的全部復(fù)制，常常會(huì)忽略一些次要因素，作一些必要的簡(jiǎn)化，但本質(zhì)上必須反映現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)量規(guī)律。第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型2：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的平衡點(diǎn)模型2.1：出租車的調(diào)配問(wèn)題一家出租車公司有出租車7000輛，在甲地和乙地各有一家分支機(jī)構(gòu)，專門負(fù)責(zé)為旅游公司提供出租車。由于甲地和乙地距離不遠(yuǎn)，出租車每天可以往返兩地。根據(jù)公司統(tǒng)計(jì)的歷史數(shù)據(jù)，每一天甲地的車輛有60%前往乙地后返回甲地，余下40%

前往乙地并留在乙地分支機(jī)構(gòu)；而每一天乙地的車輛有70%前往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支機(jī)構(gòu)?，F(xiàn)在公司擔(dān)心出現(xiàn)甲、乙兩地車輛分布越來(lái)越不平衡的情況，如果出現(xiàn)，公司就必須考慮是否對(duì)甲乙兩地車輛進(jìn)行調(diào)配，這就需要支付一定的調(diào)度費(fèi)用。試對(duì)上述問(wèn)題提出決策分析！第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日甲地乙地40%30%60%70%分析：設(shè)Jn為第n天在甲地的出租車數(shù)量，Yn為第n天在乙地的出租車數(shù)量，由歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律可知如果存在平衡狀態(tài)，即Jn=Jn＋1及Yn=Yn＋1，解得這就說(shuō)明，甲地分配3000輛車，乙地分配4000輛車，則此后兩地車輛數(shù)目不變，即達(dá)到平衡狀態(tài)。（如表1）第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日n1234...n...甲地3000300030003000...3000...乙地4000400040004000...4000...表1進(jìn)一步分析：如果甲地、乙地的車輛不是3000和4000時(shí)，甲地和乙地的車輛數(shù)量則每天都在變動(dòng)，是否會(huì)出現(xiàn)不平衡，是否需要進(jìn)行調(diào)配？n01234567甲地70004200336031083032.43009.723002.9163000.875乙地02800364038923967.63990.283997.0843999.125表2車輛數(shù)量模擬（一）第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日n01234567甲地50003600318030543016.23004.863001.4583000.437乙地20003400382039463983.83995.143998.5423999.563表3車輛數(shù)量模擬（二）n01234567甲地20002700291029732991.92997.572999.2712999.781乙地50004300409040274008.14002.434000.7294000.219表4車輛數(shù)量模擬（三）第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日n01234567甲地02100273029192975.72992.712997.8132999.344乙地70004900427040814024.34007.294002.1874000.656表5車輛數(shù)量模擬（四）經(jīng)過(guò)模擬（表2－表5），可以知道無(wú)論車輛如何分配，經(jīng)過(guò)有限天數(shù)后，最終都將達(dá)到平衡狀態(tài)。｛Jn｝的極限是3000，｛Yn｝的極限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）為該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，而且是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)（不動(dòng)電）！點(diǎn)評(píng)：上述問(wèn)題，如果沒(méi)有進(jìn)一步分析就略顯平庸！數(shù)學(xué)建模是一個(gè)迭代的過(guò)程，是一個(gè)螺旋上升的過(guò)程，通過(guò)不斷的迭代、不斷的修正，最終得到更好、更接近現(xiàn)實(shí)情況的結(jié)果！第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型2.2：競(jìng)爭(zhēng)的捕食者模型在非洲，有一個(gè)地方棲息著一種特別的斑點(diǎn)貓頭鷹。它們?cè)谀莾焊销椡幱谑澄镦湹淖罡邔?，本?yīng)無(wú)憂無(wú)慮，但是由于它們的捕食對(duì)象相同、相互競(jìng)爭(zhēng)，因此隨時(shí)有種群滅絕的危險(xiǎn)。試建立數(shù)學(xué)模型研究它們數(shù)量之間的關(guān)系！分析：首先，假定一個(gè)種群的數(shù)量增加跟其自身數(shù)量成正比，則在不考慮死亡的情況下。令On代表斑點(diǎn)貓頭鷹第n天的數(shù)量，Tn代表老鷹第第n天的數(shù)量，則有斑點(diǎn)貓頭鷹的增加量為老鷹的增加量為第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日現(xiàn)在考慮種群的死亡問(wèn)題，由于它們是那個(gè)地區(qū)的霸主，倒不擔(dān)心被別的動(dòng)物吞食。它們的死亡主要由于缺乏食物造成。這里假定一個(gè)種群數(shù)量的減少跟它的數(shù)量與其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手?jǐn)?shù)量的乘積成正比，則有斑點(diǎn)貓頭鷹的變化量為老鷹的變化量為則該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為現(xiàn)在，取k1=0.2、k2=0.3、k3=0.001、k4=0.002，解得平衡點(diǎn)（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)一步分析：考查該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。現(xiàn)在考慮以下四種初始情況下斑點(diǎn)貓頭鷹和老鷹的變化。情況1情況2情況3情況4斑點(diǎn)貓頭鷹20019920110下面四個(gè)圖分別對(duì)應(yīng)四種情況。情況1：兩個(gè)種群數(shù)量始終保持不變，永遠(yuǎn)相互共存下去。但這僅僅是最理想化的情況。天數(shù)數(shù)量200150老鷹斑點(diǎn)貓頭鷹第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日情況2：斑點(diǎn)貓頭鷹成為勝利者，老鷹最后滅絕了。盡管斑點(diǎn)貓頭鷹的數(shù)量?jī)H比情況1多一只，老鷹的數(shù)量比情況1少一只，老鷹種群在爭(zhēng)奪食物的大戰(zhàn)中不敵對(duì)手，甚至滅絕。天數(shù)數(shù)量199151老鷹斑點(diǎn)貓頭鷹情況3：老鷹成為勝利者，斑點(diǎn)貓頭鷹最后滅絕了。盡管斑點(diǎn)貓頭鷹的數(shù)量?jī)H比情況1少一只，老鷹的數(shù)量比情況1多一只，老鷹種群在爭(zhēng)奪食物的大戰(zhàn)中成為勝利者，斑點(diǎn)貓頭鷹慘遭滅絕。天數(shù)數(shù)量201149老鷹斑點(diǎn)貓頭鷹第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日情況4：老鷹仍然成為勝利者，斑點(diǎn)貓頭鷹最后還是滅絕了。與前面三種情況相比，兩個(gè)種群的初始數(shù)量相同，可以說(shuō)是站在同一條起跑線上。但是，老鷹種群以絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)贏得勝利，而斑點(diǎn)貓頭鷹種群慘遭滅絕。天數(shù)數(shù)量10老鷹斑點(diǎn)貓頭鷹情況1是最理想化的情況。情況2和情況3表明，即使系統(tǒng)只有細(xì)微偏差，但最后結(jié)果卻截然不同。情況1、情況2和情況3盡管在初始數(shù)量相差不多，但最終結(jié)果相差懸殊。模型評(píng)價(jià)：綜合上述討論，可以看出競(jìng)爭(zhēng)捕食者模型是一個(gè)對(duì)初始值非常敏感的模型。平衡點(diǎn)（150，200）是一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，即使初值非常接近它，最后發(fā)展的結(jié)果始終不能達(dá)到這個(gè)平衡點(diǎn)，甚至偏離很遠(yuǎn)。要得到更好的分析結(jié)果，必須修正原來(lái)的假設(shè)，添加更多的因素，考慮用更好的建模方法。第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日月份12345678910111213幼兔101123581321345589成年兔01123581321345589144兔子數(shù)（對(duì)）1123581321345589144233幼兔比率1.00.00.50.333330.400000.375000.384620.380950.382350.381820.382020.381940.38197成兔比率0.01.00.50.666670.600000.625000.615380.619050.617650.618180.617980.618060.61803練習(xí)：兔子的繁殖問(wèn)題。由一對(duì)幼兔開(kāi)始，一年后可以繁殖多少對(duì)兔子？假設(shè)兔子的生殖能力是這樣的：每一對(duì)兔子每一個(gè)月可以生一對(duì)兔子，并且兔子在出生滿一個(gè)月以后就具有生殖能力。試用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)討論上述問(wèn)題，并分析兔群的增長(zhǎng)規(guī)律。第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日二、圖解法建模圖象分析是一種十分直觀的數(shù)學(xué)方法，在簡(jiǎn)單的定性分析中很實(shí)用。難以量化的研究對(duì)象，不容易用解析法處理，這時(shí)可以根據(jù)數(shù)與形的關(guān)系，利用圖象中曲線的關(guān)系推斷結(jié)論，借助圖象來(lái)描述研究對(duì)象。圖解法可以取得一目了然的效果，但也有自身的缺點(diǎn)（例如，量化不徹底，不易表示三個(gè)以上變量之間的關(guān)系，要深入研究還要利用其他的數(shù)學(xué)工具，比如概率統(tǒng)計(jì)、線性規(guī)劃等）。模型：核軍備競(jìng)賽

【資料】二十世紀(jì)六七十年代的冷戰(zhàn)時(shí)期，美蘇實(shí)行所謂核威懾戰(zhàn)略，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)了一系列的核裁軍協(xié)議，2001年7月美俄兩國(guó)總統(tǒng)同意進(jìn)行進(jìn)一步裁減核武器，俄羅斯總統(tǒng)普京建議兩國(guó)各自裁減1500枚戰(zhàn)略核武器。第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日蘑菇云第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日二戰(zhàn)中美國(guó)投放日本長(zhǎng)崎的原子彈——“胖子”第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日世界核武器分布圖第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日核武器（nuclearweapon）利用能自持進(jìn)行核裂變或聚變反應(yīng)釋放的能量，產(chǎn)生爆炸作用，并具有大規(guī)模殺傷破壞效應(yīng)的武器的總稱。其中主要利用鈾235(U-235)或钚239(239Pu)等重原子核的裂變鏈?zhǔn)椒磻?yīng)原理制成的裂變武器,通常稱為原子彈;主要利用重氫(D，氘{dāo})

或超重氫(T，氚{chuān})等輕原子核的熱核反應(yīng)原理制成的熱核武器或聚變武器，通常稱為氫彈。在什么情況下雙方的核軍備精神才不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)，處于這種平衡狀態(tài)下雙方擁有最少的核武器數(shù)量是多大，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響，當(dāng)一方采取諸如加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化？試建立數(shù)學(xué)模型，在給核威懾戰(zhàn)略做出一些合理、簡(jiǎn)化的假設(shè)下，定性的分析、回答上述問(wèn)題。第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型分析：核軍備競(jìng)賽的基本想法是當(dāng)自己在遭到對(duì)發(fā)的突然襲擊后能有足夠的核武器幸存下來(lái)，以便給予對(duì)方“致命打擊”。核軍備競(jìng)賽的方法有：（1）努力增加自己的核武器。從數(shù)量上壓倒對(duì)方，但這樣作戰(zhàn)下去雙方都感到負(fù)擔(dān)過(guò)重。（2）引進(jìn)多彈道導(dǎo)彈和多彈頭導(dǎo)彈。（3）加固導(dǎo)彈庫(kù)或者建造核潛艇來(lái)保護(hù)導(dǎo)彈，使之不易受到攻擊。模型假設(shè)：以雙方的（戰(zhàn)略）核導(dǎo)彈數(shù)量為對(duì)象，描述雙方核軍備的大小，假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略。（1）認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地。（2）己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存有足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方以毀滅性的打擊（工業(yè)、交通中心等）。第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日（3）在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地，且摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力說(shuō)決定。（4）假定雙方擁有的核導(dǎo)彈相同，具備相同的攻擊精度和防御能力。模型建立：（圖的模型）記y=f(x)為甲方擁有x枚核導(dǎo)彈時(shí)，乙方采取核威懾戰(zhàn)略所需的最小核導(dǎo)彈數(shù)，x=g(y)為乙方擁有y枚核導(dǎo)彈時(shí)，甲方采取核威懾戰(zhàn)略所需的最小核導(dǎo)彈數(shù)。對(duì)于y=f(x)，當(dāng)x=0時(shí)y=y0，y0是甲方在實(shí)施第一次核打擊后已經(jīng)沒(méi)有核導(dǎo)彈時(shí)，乙方對(duì)甲方以毀滅性打擊所需的核導(dǎo)彈數(shù)，簡(jiǎn)稱乙方的威懾值；對(duì)于x=g(y)，當(dāng)y=0時(shí)x=x0，x0是乙方在實(shí)施第一次核打擊后已經(jīng)沒(méi)有核導(dǎo)彈時(shí)，甲方對(duì)乙方以毀滅性打擊所需的核導(dǎo)彈數(shù)，簡(jiǎn)稱甲方的威懾值。第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)y=f(x)的定義，當(dāng)y≥f(x)時(shí)乙方是安全的（在核威懾戰(zhàn)略意義下），不妨稱該區(qū)域?yàn)橐野踩珔^(qū)，曲線y=f(x)為乙安全線。類似的，x≥g(y)的區(qū)域?yàn)榧装踩珔^(qū)，x=g(y)為甲安全線。兩個(gè)安全區(qū)的公共部分即為雙方安全區(qū)，是核軍備競(jìng)賽的穩(wěn)定區(qū)域。兩條安全線的交點(diǎn)P(xm，ym)是核軍備競(jìng)賽的平衡點(diǎn)，xm

和ym則為穩(wěn)定狀態(tài)下甲乙雙方分別擁有的最小核導(dǎo)彈數(shù)。平衡點(diǎn)如何達(dá)到的呢？（如圖1-1、1-2）xyx0y0甲安全區(qū)乙安全區(qū)雙方安全區(qū)y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖1-1xyx0y0甲安全區(qū)乙安全區(qū)雙方安全區(qū)y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖1-2x1y1第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日不妨假設(shè)甲方最初只有x0枚核導(dǎo)彈（威懾值），乙方為了自己的安全至少要擁有y1枚核導(dǎo)彈；而甲方為了安全需要將核導(dǎo)彈數(shù)量增加到x1，如此循環(huán)下去，雙方的核導(dǎo)彈數(shù)量就會(huì)趨向xm和ym。模型的精細(xì)化：現(xiàn)實(shí)中，平衡點(diǎn)P(xm，ym)并不是固定的，如果一方使用加固導(dǎo)彈庫(kù)、反彈道導(dǎo)彈或其它手段，兩條安全線和穩(wěn)定點(diǎn)將發(fā)生變化。xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖2-1情況1：若甲方加強(qiáng)防御能力，則乙方的威懾值y0將變大，其它因素不變，那么乙安全線

y=f(x)的上移會(huì)使平衡點(diǎn)變?yōu)椋@然說(shuō)明雖然甲方的防御是被動(dòng)的，但也會(huì)使雙方的核軍備競(jìng)賽升級(jí)。（如圖2-1）第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖2-2乙方仿效甲方做法，同樣加強(qiáng)防御能力，則甲方的威懾值x0也將變大，那么甲安全線

y=f(x)的右移會(huì)使平衡點(diǎn)變?yōu)椋@然說(shuō)明雙方的被動(dòng)防御，使雙方的核軍備競(jìng)賽進(jìn)一步升級(jí)。（如圖2-2）第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日情況2：若甲方改進(jìn)核導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性（固定發(fā)射改進(jìn)為移動(dòng)發(fā)射），則甲方的殘存率增大，于是x減少，甲安全線x=g(y)向y

軸靠近（如圖3-1、3-2），平衡點(diǎn)變?yōu)椋@然說(shuō)明甲方的這種單獨(dú)行為，使雙方的核導(dǎo)彈數(shù)量有所減少。xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-1xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-2第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日同時(shí)，乙方也改進(jìn)核導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性，則乙方的殘存率也增大，于是y減少，乙安全線y=f(x)向x軸靠近（如圖3-3、3-4），平衡點(diǎn)變?yōu)椋@然說(shuō)明雙方的這種行為，使雙方的核導(dǎo)彈數(shù)量進(jìn)一步減少。xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-3xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-4第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日情況3：若雙方都發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立的摧毀目標(biāo)，則雙方的威懾值x0、

y0均減少，雙方安全線有類似變化，二者的綜合影響則可能使平衡點(diǎn)變?yōu)榛?，究竟?huì)使雙方的核導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析。（如圖4）xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖4點(diǎn)評(píng)：核軍備競(jìng)賽問(wèn)題初看起來(lái)似乎與數(shù)學(xué)無(wú)緣，但是如果把所謂核威懾戰(zhàn)略作一些合理、簡(jiǎn)化的假設(shè)，就能夠用一個(gè)簡(jiǎn)單的圖的模型，來(lái)描述雙方核武器數(shù)量相互制約、達(dá)到平衡的過(guò)程，并由此對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出解釋，這種定性分析的建模方法是值得借鑒的。第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：核軍備競(jìng)賽模型中，討論以下因素引起的平衡點(diǎn)變化。（1）甲方提高導(dǎo)彈導(dǎo)航系統(tǒng)的性能。（2）甲方增加導(dǎo)彈爆破的威力。（3）甲方發(fā)展電子干擾系統(tǒng)。（4）雙方建立反導(dǎo)彈系統(tǒng)。第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日三、比例、類比關(guān)系建模比例是最基本、最初等的數(shù)學(xué)概念之一，很多實(shí)際對(duì)象蘊(yùn)含著比例關(guān)系。通常，如果y與x成正比，可以記為y∝x或者y=kx（其中k稱為比例因子）等等。例如，一個(gè)均勻物體的重量M和它的體積V成正比，

M∝V；對(duì)于形狀相似的物體，它的表面積S和它的特征長(zhǎng)度L2

成正比，S∝L2，它的體積V和特征長(zhǎng)度L3成正比，V∝L3，則它的體積V和表面積S的比例關(guān)系為利用這種關(guān)系轉(zhuǎn)換，可以簡(jiǎn)單的構(gòu)造有關(guān)問(wèn)題的輪廓模型。類比分析建模方法就是根據(jù)兩個(gè)（或者兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似性去猜測(cè)兩者的其它屬性或關(guān)系。其中，物理系統(tǒng)的類比分析使用已經(jīng)很廣泛，例如人的肌肉跟彈簧的類比等。第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型一：如何估計(jì)動(dòng)物的體重問(wèn)題的提出：生豬收購(gòu)站或屠宰場(chǎng)的工作人員都希望能從生豬的身長(zhǎng)估計(jì)出它的體重，以便提高工作效率。因此研究四足動(dòng)物軀干（不含頭尾）的長(zhǎng)度與它的體重的關(guān)系有著現(xiàn)實(shí)的意義。分析：動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的的有使用價(jià)值的模型。因此為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，我們僅在十分粗略的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比的方法，借助力學(xué)彈性梁理論的某些結(jié)果，建立四足動(dòng)物身長(zhǎng)和體重的比例關(guān)系，從而可以根據(jù)豬的長(zhǎng)度大約估計(jì)出豬的體重。模型的應(yīng)用：利用這個(gè)結(jié)果，對(duì)于某一種四足動(dòng)物，比如生豬、羊、牛等，就可根據(jù)大量試驗(yàn)，從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中找出這個(gè)比例常數(shù)，從它的軀體長(zhǎng)度估算出它的體重。第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型二：劃艇比賽的成績(jī)劃艇是一種靠漿手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似。現(xiàn)比較各種劃艇1964-1970年4次2000m比賽的最好成績(jī)（包括1964

年和1968年的兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世錦賽），發(fā)現(xiàn)他們之間有相當(dāng)一致的差別，似乎成績(jī)與漿手?jǐn)?shù)量之間存在某種聯(lián)系，試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解釋這種關(guān)系。艇種2000m成績(jī)t（min）艇長(zhǎng)l（m）艇寬b（m）l/b艇重/漿手?jǐn)?shù)1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型分析：在這個(gè)問(wèn)題中，由于劃艇的速度、阻力、漿手的輸出功率等變量之間的精確關(guān)系不易找出，各時(shí)刻劃艇的絕對(duì)速度也很難得到，建立精確的模型來(lái)描述劃艇的運(yùn)動(dòng)是困難的，而我們現(xiàn)在關(guān)心的只是劃完全程的時(shí)間，因此我們可以在不太精確的假設(shè)下用比例分析的方法組建模型來(lái)描述它。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以看出，漿手?jǐn)?shù)n增加時(shí)，艇的尺寸l、b

及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w0/n變化不大。若假設(shè)l/b是常數(shù)，即各種艇的形狀相同，則可得到艇浸沒(méi)面積和排水體積之間的關(guān)系。若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和漿手總重量與漿手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對(duì)漿手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡(jiǎn)化且合理的假定，才能運(yùn)用合適的物理定律建立需要的模型。模型假設(shè)：（1）艇速v是常數(shù)，根據(jù)流體力學(xué)，所受阻力f與浸沒(méi)部分表面積s成正比，與v2成正比。第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日（2）各種艇的規(guī)格相同，l/b是常數(shù)；艇重w0

與漿手?jǐn)?shù)n成正比。（3）所有漿手的體重w都相同；在比賽中每個(gè)漿手的輸出功率p保持不變，且p與w成正比（p與肌肉體積、肺體積成正比，對(duì)于身材勻稱的運(yùn)動(dòng)員，肌肉、肺的體積與w成正比）。符號(hào)說(shuō)明：

v：艇速

f：艇在前進(jìn)中受水的阻力

s：艇浸沒(méi)部分的表面積

l：艇長(zhǎng)

b：艇寬

w0：艇重

w：漿手的體重

V：艇的排水體積

W：艇和漿手的總重量第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

p：漿手的輸出功率

t：劃艇的比賽時(shí)間模型構(gòu)成：有n名漿手的艇的總功率np與阻力f和速度v的乘積成正比，即由假設(shè)（1）、（3）因此由假設(shè)（2），艇的排水體積V與浸沒(méi)面積s的關(guān)系是第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日又根據(jù)艇重艇重w0與漿手?jǐn)?shù)n成正比，所以艇和漿手的總重量W=w0+nw也與n成正比，即而由阿基米德定律，艇的排水體積V與總重量W成正比，即故所以，因?yàn)楸荣惓煽?jī)t（時(shí)間）與艇速v成反比，于是這就是根據(jù)模型假設(shè)和幾條物理規(guī)律得到的劃艇比賽成績(jī)與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系。第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型檢驗(yàn)：為了檢驗(yàn)上述關(guān)系，令利用數(shù)據(jù)擬合（最小二乘法、計(jì)算機(jī)擬合），得到模型評(píng)價(jià)：這個(gè)模型建立在一些不太精確的假設(shè)基礎(chǔ)上，因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心各種艇之間的相對(duì)速度，所以數(shù)學(xué)工具只用到了比例方法。用這種方法建模雖然不能得到關(guān)于艇速的完整的表達(dá)式，但對(duì)于我們的建模目的來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠了。最后結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合的如此只好，恐怕有很大巧合的成分。練習(xí)：毛毛細(xì)雨和傾盆大雨落在手上的感覺(jué)截然不同，即速度不同。試?yán)妙惐鹊姆椒ㄓ懻撚挈c(diǎn)速度與質(zhì)量的關(guān)系模型。第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型三：商品包裝的規(guī)律我們知道許多商品都是包裝出售的，同一種商品的包裝也有大小不同的規(guī)格。而且我們也注意到，同一種商品大包裝的單位價(jià)格比小包裝的單位價(jià)格低。試建立數(shù)學(xué)模型，分析商品包裝的內(nèi)在規(guī)律。模型假設(shè)：面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的生產(chǎn)過(guò)程和包裝形式，為簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論，現(xiàn)給出如下假設(shè)（1）商品的生產(chǎn)和包裝的工作效率是固定不變的。（2）商品包裝的成本只由包裝的勞動(dòng)力投入和包裝材料的成本構(gòu)成。（3）商品包裝的形狀是相似的，包裝材料相似。符號(hào)說(shuō)明：

a：生產(chǎn)一件商品的成本

b：包裝一件商品的成本（b1、b2分別表示勞動(dòng)力和包裝材料的成本）

w：每件商品的重量第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

s：每件商品的表面積

v：每件商品的體積

c：每件商品的單位成本模型構(gòu)成：由假設(shè)（1），我們可以認(rèn)為商品的生產(chǎn)成本a

正比于商品的貨物量w，即顯然，包裝的勞動(dòng)力成本b1正比于商品的貨物量，即由假設(shè)（3）商品包裝材料的成本b2正比于貨物的表面積s，而商品的表面積s與體積有如下的比率關(guān)系第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日商品的體積又正比于貨物量，于是我們有每件商品的單位成本c為這就是包裝貨物量為w時(shí)單位商品總成本c的數(shù)學(xué)模型！不難看出，c是w的減函數(shù)，表明當(dāng)包裝增大時(shí)每件商品的單位成本將下降，這與我們平時(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)是一致的。如果這個(gè)模型只是告訴我們上面的事實(shí)，它就顯得十分平庸，因?yàn)樗鼪](méi)有超出我們經(jīng)驗(yàn)上的認(rèn)識(shí)。僅這一點(diǎn)，這個(gè)模型的價(jià)值就很有限。我們看能否從模型得出其它更深入的結(jié)論？第四十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日我們從定性分析的角度進(jìn)一步討論模型的性質(zhì)。我們看商品單位成本c隨貨物量w增加的下降速率它也是貨物量w的減函數(shù)，表明當(dāng)包裝比較大時(shí)商品單位成本的降低越來(lái)越慢。因此，當(dāng)我們購(gòu)買商品時(shí)，并不一定是越大的包裝越合算。一般人不一定了解這一點(diǎn)！第四十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日四、其它的初等模型模型一：雙層玻璃的功效問(wèn)題北方城鎮(zhèn)的窗戶玻璃是雙層的,這樣做主要是為室內(nèi)保溫目的,試用數(shù)學(xué)建模的方法給出雙層玻璃能減少熱量損失的定量分析結(jié)果。分析：本問(wèn)題與熱量的傳播形式、溫度有關(guān)。熱量傳播的途徑有傳導(dǎo)、對(duì)流、輻射。檢索有關(guān)的資料得到與熱量傳播有關(guān)的一個(gè)結(jié)果，它就是熱傳導(dǎo)物理定律：厚度為d的均勻