數(shù)值分析分段低次插值

數(shù)值分析分段低次插值第一頁，共十四頁，2022年，8月28日一、多項(xiàng)式插值的問題思考：對函數(shù)與求插值多項(xiàng)式，是否多項(xiàng)式的次數(shù)越高逼近精度越好？答案：否！對次數(shù)越高逼近精度越好對次數(shù)越高逼近精度越差(龍格現(xiàn)象)第二頁，共十四頁，2022年，8月28日如果在區(qū)間[-5，5]上取11個(gè)等距節(jié)點(diǎn)下圖對由拉格朗日插值公式可得到f(x)的10次插值多項(xiàng)式P10(x)第三頁，共十四頁，2022年，8月28日第四頁，共十四頁，2022年，8月28日從圖中可以看出，P10(x)僅在區(qū)間中部能較好地逼近函數(shù)f(x)，在其它部位差異較大，而且越接近端點(diǎn)，逼近效果越差。可以證明：當(dāng)插值基點(diǎn)無限加密時(shí)，Pn(x)也只能在很小范圍內(nèi)收斂，這一現(xiàn)象稱為龍格(Runge)現(xiàn)象，它表明通過增加基點(diǎn)來提高逼近程度是不宜的。第五頁，共十四頁，2022年，8月28日怎么辦?為提高插值精度增加節(jié)點(diǎn)多項(xiàng)式次數(shù)增加龍格現(xiàn)象擬合效果變差矛盾！解決辦法：采用分段低次插值第六頁，共十四頁，2022年，8月28日二、分段線性插值1.數(shù)學(xué)描述設(shè)在[a,b]上給出插值條件：xix0x1…xnf(xi)f0f1…fn求一個(gè)折線插值函數(shù)Ih(x)滿足1°Ih(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)2°Ih(xk)=fk，k=0,1,…,n3°Ih(x)在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]上是線性函數(shù)則稱Ih(x)為分段線性插值函數(shù)可否省略？第七頁，共十四頁，2022年，8月28日2.表示方法分段表示第八頁，共十四頁，2022年，8月28日3.分段線性插值法舉例在[-5,5]區(qū)間上取5個(gè)等分點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)。解：分段表示……第九頁，共十四頁，2022年，8月28日幾點(diǎn)說明：2°可以預(yù)見，但n充分大時(shí)，Ih(x)能很好逼近f(x)。1°分段線性插值多項(xiàng)式是分段函數(shù)；3°Ih(x)有一個(gè)缺點(diǎn)：在插值點(diǎn)處有尖點(diǎn)，即一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，不夠光滑。下面的分段三次Hermite插值將克服這一缺點(diǎn)。第十頁，共十四頁，2022年，8月28日三、分段三次Hermite插值1.數(shù)學(xué)描述設(shè)在[a,b]上給出插值條件：xix0x1…xnf(xi)f0f1……fn求一個(gè)分段插值函數(shù)Ih(x)滿足2°Ih(x)在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]上是三次多項(xiàng)式則稱Ih(x)為分段三次Hermite插值多項(xiàng)式1°第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日2.兩種表示方法分段表示3.分段三次插值法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1°n充分大時(shí)，Ih(x)能很好逼近f(x)。2°因?yàn)橐浑A導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故光滑性較好。缺點(diǎn)：需提供插值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，這在實(shí)際工作中較困難。第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日用較少的導(dǎo)數(shù)條件

構(gòu)造較光滑的分段多項(xiàng)式？樣條函數(shù)