數(shù)學(xué)模型初等模型

數(shù)學(xué)模型初等模型第一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日引論第二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日原型model指為了某個(gè)特定的目的將原型的某一部分信息簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)造的原型替代物。Prototype指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。在科技領(lǐng)域通常使用系統(tǒng)（system）、過(guò)程(process)等詞匯。模型與第三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日模型物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型、物理模型…思維模型、符號(hào)模型、數(shù)學(xué)模型…第四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型

“數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而作的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。”更簡(jiǎn)潔地，也可以認(rèn)為“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述?！薄镜拢‥.A.Bender）第五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以描述為：

對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界地一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型第六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行枰?0h，從乙到甲逆水航行需要50h，問(wèn)船速、水速各是多少？解方程組用x，y分別代表船速和水速，得方程第七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日描述性的數(shù)學(xué)模型解釋性的數(shù)學(xué)模型按照人們對(duì)原型的認(rèn)識(shí)過(guò)程分為類分第八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日人口模型交通模型電氣系統(tǒng)模型通信系統(tǒng)模型機(jī)電系統(tǒng)模型環(huán)境模型傳染病模型水資源模型再生資源利用模型污染模型…生態(tài)模型按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分為

類分第九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日幾何模型代數(shù)模型圖論模型規(guī)劃論模型微分方程模型最優(yōu)控制模型信息模型隨機(jī)模型決策與對(duì)策模型模擬模型…按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分為

類分第十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型……確定性模型和隨機(jī)模型離散模型和連續(xù)性模型線性模型和非線性模型按照模型的特征分為

類分第十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日白箱模型灰箱模型黑箱模型按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分為

類分第十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日作用預(yù)報(bào)與決策：

生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)、人口預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)報(bào)等等，都要有預(yù)報(bào)模型；使經(jīng)濟(jì)效益最大的價(jià)格策略、使費(fèi)用最少的設(shè)備維修方案，都是決策模型的例子。控制與優(yōu)化

電力、化工生產(chǎn)過(guò)程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。

分析與設(shè)計(jì)

例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型。規(guī)劃與管理

生產(chǎn)計(jì)劃、資源配置、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度，以及排隊(duì)策略、物資管理等，都可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型解決。第十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷逼真性和可行性

建模時(shí)往往需要在模型的逼真性和可行性，“費(fèi)用”與“效益”之間作出折衷和選擇。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日折衷局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近漸近性稍微復(fù)雜一些的實(shí)際問(wèn)題的建模通常不可能一次成功，要經(jīng)過(guò)建模過(guò)程的反復(fù)迭代，包括由簡(jiǎn)到繁，也包括刪繁就簡(jiǎn)，以獲得越來(lái)越滿意的模型。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日漸近折衷局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健強(qiáng)健性

一個(gè)好的模型應(yīng)該具有下述意義的強(qiáng)健性：當(dāng)模型假設(shè)改變時(shí)，可以導(dǎo)出模型結(jié)構(gòu)的相應(yīng)變化；當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)有微小改變時(shí)，模型參數(shù)也只有相應(yīng)的微小的變化。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日強(qiáng)健漸近折衷局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移可轉(zhuǎn)移性

一個(gè)模型時(shí)現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對(duì)象的所屬領(lǐng)域所獨(dú)有，可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域。在生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域內(nèi)建模就常常借用物理領(lǐng)域中的模型。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限技藝條理非預(yù)制非預(yù)制性

模型的非預(yù)制性使得建模本身常常是事先沒(méi)有答案的問(wèn)題（Open-end-problem）。在建立新的模型的過(guò)程中甚至?xí)殡S折新的數(shù)學(xué)方法或者概念的產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限技藝條理?xiàng)l理性

從建模的角度考慮問(wèn)題可以促使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析更全面、更深入、更具有條理性。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限技藝技藝性

從建模的方法無(wú)法歸納出若干條普遍適用的建模準(zhǔn)則和技巧。經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察力、判斷力以及直覺(jué)、靈感等在建模過(guò)程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更大。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第二十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限局限性

1.當(dāng)結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，就回到的現(xiàn)實(shí)世界，那些被忽視、簡(jiǎn)化的因素必須考慮，所以結(jié)論的通用性和精確性只是相對(duì)的和近似的。2.由于人們認(rèn)識(shí)能力和科學(xué)技術(shù)發(fā)展水平的限制，還有不少實(shí)際問(wèn)題很難得到有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型。3.還有些領(lǐng)域中的問(wèn)題今天尚未發(fā)展到用建模的方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段，如中醫(yī)診斷過(guò)程。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第二十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日開(kāi)設(shè)目的對(duì)數(shù)學(xué)教育而言，既應(yīng)該讓學(xué)生掌握準(zhǔn)確快捷的計(jì)算方法和嚴(yán)密的邏輯推理，也需要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具分析解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容偏重于前者，開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程則是加強(qiáng)后者的一種嘗試。另外，開(kāi)設(shè)本課也是為了一年一度的“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽”做一些準(zhǔn)備工作。第二十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日商人過(guò)河

建模示例之

三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納兩人，由他們自己劃船。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)趺礃硬拍馨踩珊幽?第二十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日分析：

安全渡河問(wèn)題可以視為一個(gè)多步?jīng)Q策過(guò)程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對(duì)船上的人員（商人、隨從各幾人）作出決策，在保證安全的前提下（兩岸的隨從數(shù)都不比商人數(shù)多），在有限步內(nèi)使全部人員過(guò)河。用狀態(tài)（變量）表示某一岸的人員狀況，決策（變量）表示船上的人員狀況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安全渡河條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目的。第二十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日模型構(gòu)成

記第次渡河前此岸的商人數(shù)，隨從數(shù)為.將二維向量定義為狀態(tài)。安全渡河條件下的狀態(tài)集合成為允許狀態(tài)集合，記做.

第二十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日模型構(gòu)成

記第次渡河渡船上的商人數(shù)，隨從數(shù)為.將二維向量定義為決策。允許狀態(tài)集合，記做.由小船的容量可知

因?yàn)闉槠鏀?shù)時(shí)船從此岸駛向彼岸，為偶數(shù)時(shí)船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律是，稱之為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律。第二十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日這樣制訂安全渡河方案歸結(jié)為如下的多步?jīng)Q策模型：

求決策，使?fàn)顟B(tài) 按照轉(zhuǎn)移律，由初始狀態(tài)經(jīng)有限步到達(dá)狀態(tài)。模型構(gòu)成

第二十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日O123xy321模型求解

在商人和隨從人數(shù)不大的簡(jiǎn)單情況，用圖解法比較簡(jiǎn)便。第二十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

這里講述的是一種規(guī)格化的方法，所建立的多步?jīng)Q策模型可以用計(jì)算機(jī)求解，從而具有推廣的意義。譬如，當(dāng)商人和隨從人數(shù)增加或小船的容量加大時(shí)，靠邏輯思考就困難了，而用這種模型則仍可方便的求解。適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效地解決很廣泛的一類問(wèn)題的方法。評(píng)注第二十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)船速和水速為常數(shù)x，y表示船速和水速勻速運(yùn)動(dòng)中s=vt二元一次方程解出x＝20，y=5船速為20km/h水速為5km/h根據(jù)建模的目的和問(wèn)題的背景作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)用字母表示待求的未知量利用相應(yīng)的物理和其他規(guī)律求出數(shù)學(xué)上的解答用這個(gè)答案解釋原問(wèn)題列出數(shù)學(xué)式子驗(yàn)證合格第三十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日論文、上機(jī)指導(dǎo)概率統(tǒng)計(jì)模型應(yīng)用軟件微分方程模型優(yōu)化模型第三十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

某學(xué)校有3個(gè)系共200名學(xué)生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。現(xiàn)學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，公平而又簡(jiǎn)單的席位分配辦法是按學(xué)生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應(yīng)占有個(gè)席位。初等模型之

公平的席位分配10，6，4現(xiàn)在丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲乙兩系，有3人轉(zhuǎn)入甲系，3人轉(zhuǎn)入乙系。這時(shí)代表席位應(yīng)該怎樣分配呢？第三十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日表1按照比例并參照慣例的席位分配21個(gè)席位的分配比例分配席位參照慣例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021系別學(xué)生人數(shù)學(xué)生人數(shù)的比例(％)20個(gè)席位的分配比例分配席位參照慣例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.02020第三十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日建立數(shù)量指標(biāo)

討論A,B兩方公平席位分配的情況。

設(shè)兩方人數(shù)分別為和，占有席位分別為和，則每個(gè)席位代表的人數(shù)為和。公平的條件：但是，通常情況下，即不公平，并且數(shù)值較大的一方吃虧，即對(duì)這一方不公平。第三十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日則。不妨假設(shè)不公平程度可用數(shù)值衡量。分析：設(shè)(1)則；又設(shè)(2)

為了改進(jìn)上述絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，故采用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)。第三十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日若，則定義為對(duì)A的相對(duì)不公平度。若，則定義為對(duì)A的相對(duì)不公平度。原則：使盡可能小。第三十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

不失一般性可設(shè)，即對(duì)A不公平。當(dāng)再增加1席時(shí)，關(guān)于的不等式有以下可能：確定分配方案

利用和討論，當(dāng)增加1席時(shí)，應(yīng)該分配給A還是B。1.，1.，這說(shuō)明即使A方增加1席仍然對(duì)A不公平，所以這一席顯然應(yīng)該分給A方；第三十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日2.，這說(shuō)明A方增加一席時(shí)將變?yōu)閷?duì)B不公平，參照可計(jì)算出對(duì)B的相對(duì)不公平度為3.，即當(dāng)B方增加一席時(shí)將對(duì)A不公平，參照可計(jì)算出對(duì)B的相對(duì)不公平度為第三十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日所以如果則這1席應(yīng)分給A方；反之則分給B方。由得第三十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日記則增加的1席應(yīng)分給Q值較大的一方。這種席位分配方法稱為Q值法。第20席：第四十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日記則增加的1席應(yīng)分給Q值較大的一方。這種席位分配方法稱為Q值法。第21席：第四十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

尋求公平分配席位的方法的關(guān)鍵，是建立衡量公平程度的既簡(jiǎn)單又簡(jiǎn)明的數(shù)量指標(biāo)，本模型提出的的指標(biāo)是相對(duì)不公平度，在這個(gè)前提下得到的Q值方法應(yīng)該是公平的。但是如果跳出這個(gè)前提，公平席位問(wèn)題還遠(yuǎn)未解決。評(píng)注第四十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日練：學(xué)校共有1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試著用以下方法分配各宿舍的委員數(shù)：(1)Q值法。(2)d’Hondt方法：將A,B,C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,…相除，其商數(shù)如表：12345A235117.578.358.7547B333166.511183.2566.6C43221614410886.4第四十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日初等模型之

雙層玻璃窗的功效

如圖所示，兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣。據(jù)說(shuō)這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。墻墻墻墻第四十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日模型假設(shè)

1.熱量的傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流。即假定窗戶密封性能很好，兩層玻璃之間的空氣是不流動(dòng)的。2.室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量是常數(shù)。3.玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。第四十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日在上述假設(shè)下熱傳導(dǎo)過(guò)程遵從下面的物理定律：厚度為的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為，則單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量與成正比，與成反比，即為熱傳導(dǎo)系數(shù)。模型構(gòu)成

第四十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日記雙層窗內(nèi)玻璃的外側(cè)溫度是，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度是，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，由式單位時(shí)間單位面積的熱量傳導(dǎo)(即熱量流失)為從上式中消去，可得墻墻第四十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于厚度為的單層玻璃窗，容易寫出其熱量傳導(dǎo)為墻墻那么，二者之比為從有關(guān)資料可知，常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為第四十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日取，由，式可得熱量損失比與的關(guān)系第四十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日模型應(yīng)用

這個(gè)模型具有一定應(yīng)用價(jià)值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復(fù)雜會(huì)增加一些費(fèi)用，但它減少的熱量損失卻是相當(dāng)可觀的。通常，建筑規(guī)范要求。按照這個(gè)模型，3％，即雙層窗比用同樣多的玻璃材料制成的單層窗節(jié)約熱量97％左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效主要是由于層間空氣的極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)，而這要求空氣是干燥、不流通的，這當(dāng)然不能完全滿足，所以功效實(shí)際上會(huì)差一些。另外，房間熱量的散失，通過(guò)玻璃窗的實(shí)際上只占一小部分。第五十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日初等模型之劃艇比賽的成績(jī)

賽艇是一種靠槳手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似。T.A.McMahon比較了各種賽艇1964～1970年四次2000m比賽的最好成績(jī)(包括64年和68年的兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世界錦標(biāo)賽)，發(fā)現(xiàn)他們之間有相當(dāng)一致的差別，他認(rèn)為比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個(gè)模型來(lái)解釋這種關(guān)系。第五十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日艇種2000m成績(jī)t(min)艇長(zhǎng)(m)艇寬(m)1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7各種艇的比賽成績(jī)和規(guī)格第五十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題分析賽艇前進(jìn)時(shí)受到的阻力主要是艇浸沒(méi)部分與水之間的摩擦力。艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進(jìn)。槳手越多劃艇前進(jìn)的動(dòng)力越大。但是艇和槳手總重量的增加會(huì)使艇浸沒(méi)面積加大，于是阻力便會(huì)加大，增加的阻力將抵消一部分增加的動(dòng)力。建模目的是尋求槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績(jī)的關(guān)系之間的數(shù)量規(guī)律。如果假設(shè)艇速在整個(gè)賽程中保持不變，那么只需要構(gòu)造一個(gè)靜態(tài)模型，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為建立槳手?jǐn)?shù)量與艇速之間的關(guān)系。第五十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日為了分析所受阻力的情況，調(diào)查各種艇的幾何尺寸和重量，可以看出，槳手?jǐn)?shù)增加時(shí)，及艇重都隨之增加，但是比值和變化不大。若假定是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得艇浸沒(méi)面積與排水體積之間的關(guān)系。若假定是常數(shù)，則可得到艇與槳手總重量與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對(duì)槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡(jiǎn)化且合理的假定，才能用合適的物理定律建立需要的模型。第五十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日模型假設(shè)1.各種艇的幾何形狀相同，為常數(shù)；艇重槳手?jǐn)?shù)成正比。這是艇的靜態(tài)特性。2.艇速是常數(shù)，前進(jìn)時(shí)受的阻力與成正比(其中是艇浸沒(méi)部分的面積)。這是艇的動(dòng)態(tài)特性。3.所有槳手的體重都相同，記作；在比賽中每個(gè)槳手的劃槳功率保持不變，且與成正比。第五十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日由假設(shè)1，各種艇幾何形狀相同。若艇浸沒(méi)面積與某特征尺寸的平方成正比，則艇排水體積必與的立方成正比其中，代入得模型構(gòu)成有名槳手的艇的總功率與阻力和速度的乘積成正比，即由假設(shè)1，各種艇幾何形狀相同第五十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日而由阿基米德定律，艇排水體積與總重量成正比，即又根據(jù)艇重與槳手?jǐn)?shù)成正比，所以艇和槳手?jǐn)?shù)的總重量也與成正比，即式代入式，當(dāng)是常數(shù)時(shí)得到第五十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日初等模型之動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重四足動(dòng)物的軀干長(zhǎng)度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系，這個(gè)問(wèn)題有一定實(shí)際意義。比如，在生豬收購(gòu)站或屠宰場(chǎng)工作的人們，往往希望能從生豬的身長(zhǎng)估計(jì)出它的體重。動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對(duì)生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的的有使用價(jià)值的模型。第五十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日把四足動(dòng)物的軀干看作圓柱體，長(zhǎng)度、直徑、斷面面積。將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁。設(shè)動(dòng)物在自身體重作用下軀干的最大下垂度為(即梁的最大彎曲),根據(jù)對(duì)彈性梁的研究因?yàn)椋缘谖迨彭?yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日類比法是建模中常用的一種方法。在這個(gè)模型中將動(dòng)物軀干類比作彈性梁實(shí)屬一個(gè)大膽的假設(shè)，其可信程度自然應(yīng)該用實(shí)際數(shù)據(jù)仔細(xì)檢驗(yàn)。但是這種充分發(fā)揮想象力，把動(dòng)物軀干長(zhǎng)度和體重的關(guān)系這樣一個(gè)看來(lái)無(wú)從下手的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)有確切成果的彈性梁在自重下?lián)锨鷨?wèn)題的作法，是值得借鑒的。評(píng)注第六十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日初等模型之實(shí)物交換

甲有面包一斤，乙