數(shù)學(xué)預(yù)備知識 微積分初步

數(shù)學(xué)預(yù)備知識微積分初步第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page2函數(shù)變量和常量或有兩個變量

和

，如果每當(dāng)變量

取定了某個數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定

的對應(yīng)值，則稱

是

的函數(shù)，記作為自變量，

為因變量，

為函數(shù)記號。例如絕對常量：在一切問題中數(shù)值都是確定不變的量，如任意常量：數(shù)值需要在具體問題中具體給定的量，如第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page3函數(shù)的圖形在物理學(xué)中經(jīng)常用二（三）維曲線來表示兩（三）個變量之間的函數(shù)關(guān)系，以直觀地了解一個函數(shù)的特征。第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page4物理學(xué)中函數(shù)的實例勻速直線運動公式勻加速直線運動公式每個物理公式都反映了一些物理量之間的函數(shù)關(guān)系第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page5物理學(xué)中函數(shù)的實例玻意耳定律點電荷的電場第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page6

極限無窮小量的性質(zhì)限個無窮小量的和是無窮小量；有限量與無窮小量的積是無窮小量。在自變量

與某一定值

的差為無窮小量時，函數(shù)

與數(shù)

的差也為無窮小量，則

是

在

趨于

時的極限。第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page7例如一個有限的函數(shù)與常數(shù)積的極限，等于該函數(shù)極限與常數(shù)之積有限個極限的函數(shù)的積（商）的極限，等于它們的極限的積（商）有限個有極限的函數(shù)的和（差）的極限等于它們極限的和（差）極限的運算法則第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page8物理學(xué)中的幾個實例直線運動的瞬時速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則從時刻到時刻間的平均速度為例如：勻加速直線運動第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page9例如：勻加速直線運動在時刻的瞬時速度應(yīng)為時平均速度的極限第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page10水渠的坡度設(shè)各處渠底的高度為則從到兩地水渠的平均坡度為在點的坡度應(yīng)為時平均坡度的極限，即第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page11函數(shù)的變化率——

導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)的自變量在點

處有增量相應(yīng)地函數(shù)有增量則定義函數(shù)在到區(qū)間內(nèi)的平均變化率為第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page12導(dǎo)數(shù)若當(dāng)

時的極限存在，則稱在處可導(dǎo)，該極限值稱為函數(shù)

對

的導(dǎo)數(shù)或微商，記作導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點的性質(zhì)，即在該點的變化率。導(dǎo)數(shù)還可以表示為第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page13函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

本身也是

的一個函數(shù)，因此我們可以再取它對

的導(dǎo)數(shù)，稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作

在物理學(xué)中，對空間和時間的導(dǎo)數(shù)習(xí)慣如下表示，不能混用表示對空間求導(dǎo)表示對時間求導(dǎo)第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page14導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，過曲線上兩點、的割線的斜率為當(dāng)時，割線成為過

點的切線故導(dǎo)數(shù)

表示曲線在

處切線的斜率。第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page15基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page16第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page17第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page18第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page19有關(guān)導(dǎo)數(shù)運算的幾個定理第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page20基本導(dǎo)數(shù)公式……第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page21微分自變量無限小的增量稱為

的微分為函數(shù)的微分。微分是對函數(shù)的局部變化率的一種線性描述

幾何意義第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page22泰勒級數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)的形式，在理論上和應(yīng)用中都是十分重要的。在處的階導(dǎo)數(shù)泰勒展開式

第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page23常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page24常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page25幾個物理中的實例

變速直線運動的路程物體的速率是時間的函數(shù)把

到

這段時間間隔分割成許多小段，當(dāng)小段足夠短時，每段可以近似地看成勻速運動，則有第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page26越短，把各小段里的運動看成勻速運動也就越接近實際情況，故應(yīng)對求和取時的極限，即幾何意義到區(qū)間內(nèi)

曲線下的面積第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page27變力的功考慮力是位置的函數(shù)，即物體由

運動到

的過程中，力對它所做的功為第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page28要精確求解，就需要對求和取時的極限，即幾何意義到區(qū)間內(nèi)

曲線下的面積第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page29定積分給定一個函數(shù)，用把自變量

在

區(qū)間內(nèi)的數(shù)值分成

小段，設(shè)每小段的大小為

，若當(dāng)時的極限存在，則將該極限稱為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)對的定積分，記作第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page30定積分的幾何意義曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page31如果被積函數(shù)

是某個函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，即則在

到

區(qū)間內(nèi)

對

的定積分等于

在這區(qū)間內(nèi)的增量，即第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page32不定積分原函數(shù)如果

是的導(dǎo)數(shù)，則稱

是

的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)求的定積分就可以歸結(jié)為求它的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)。第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page33不定積分一般說來，在函數(shù)

的某個逆導(dǎo)數(shù)

上加一任意常量

，仍舊是

的逆導(dǎo)數(shù)。通常把一個函數(shù)

的逆導(dǎo)數(shù)的通式稱為它的不定積分，并記作，即不定積分代表一組函數(shù)。第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日Page34幾個有關(guān)積分運算的定理定理一

如果