數(shù)學(xué)建模之決策分析

數(shù)學(xué)建模之決策分析第一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日決策分類確定性決策非確定性決策不確定性決策風(fēng)險(xiǎn)決策2第二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日（1）目標(biāo)（2）至少有2個(gè)以上的行動(dòng)方案（3）不同方案得失可計(jì)算（4）決策環(huán)境確定大致概率完全不確定3第三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例1、某石油公司計(jì)劃開發(fā)海底石油，有四種勘探方案A1,

A2,

A3,

A4可供選擇。勘探尚未進(jìn)行，只知可能有以下三種結(jié)果：S1:干井，

S2：油量中等，S3:油量豐富，對(duì)應(yīng)于各種結(jié)果各方案的損益情況已知，應(yīng)如何決策？

例2、某洗衣機(jī)廠，根據(jù)市場(chǎng)信息，認(rèn)為全自動(dòng)洗衣機(jī)應(yīng)發(fā)展?jié)L筒式，有兩種方案。A1:改造原生產(chǎn)線，

A2：新建生產(chǎn)線。市場(chǎng)調(diào)查知，滾筒式銷路好的概率為0.7，銷路不好為0.3。兩種方案下各種情況的損益情況已知，應(yīng)如何決策？4第四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)：不確定性決策例1、電視機(jī)廠，99年產(chǎn)品更新方案：A1：徹底改型

A2：只改機(jī)芯，不改外殼A3：只改外殼，不改機(jī)芯問(wèn)：如何決策？5第五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日收益矩陣：高中低

S1S2S3(萬(wàn)元)A1201-6A2980

A3654事件方案6第六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日(一)、樂(lè)觀準(zhǔn)則(最大最大法則)max[maxVij]ij選A1

S1S2S3Vi=max{Vij}A1201-620A29809A36546maxVi=20i7第七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日(二)、悲觀準(zhǔn)則(最大最小法則)max[minVij]ij選A3

S1S2S3Vi=min{Vij}A1201-6-6A29800A36544maxVi=4ij8第八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日選A1(三)、折衷準(zhǔn)則(樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則)

加權(quán)系數(shù)α(0α1)max{α(maxVij)+(1-α)(minVij)}α=0.6ijj

S1S2S3Vi1=maxVi2=min加權(quán)平均

A1201-620-69.6A2980905.4A3654645.2max=9.6i9第九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日選A2max{Vij}1nnj=1i(四)、等可能準(zhǔn)則

S1S2S3Vi=Vij

A1201-65A29805A36545max=523231310第十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日選A1(五)、后悔值準(zhǔn)則(最小機(jī)會(huì)損失){max{Vij}-Vij}i

S1S2S3S1S2S3maxA1201-6071010A2980110411A3654143014min=1011第十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例：產(chǎn)品，成本30元/件，批發(fā)價(jià)35元/件，當(dāng)月售不完－1元/件。每批10件，最大生產(chǎn)力40件/月(批量生產(chǎn)與銷售)，應(yīng)如何決策？

010203040Vi=Vij

000000010-1050505050190/520-2040100100100320/530-303090150150390/540-402080140200400/515SiAi12第十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)：風(fēng)險(xiǎn)決策(一)、期望值準(zhǔn)則(1)、矩陣法例1

S1S2S30.30.50.2A1201-65.3A29806.7A36545.1SiPjAjPjVij選A213第十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例2

S1S2P(S1)=0.70.3A1500-200290A2-1501000195PjVij分析當(dāng)α＝P(S1)為何值時(shí)，方案會(huì)從A1→A214第十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)P(S1)=0.8P(S2)=0.2時(shí)，E(A1)=0.8×500+(-200)×0.2=360E(A2)=0.8×(-150)+0.2×(1000)=80,仍A1P(S1)=0.6P(S2)=0.4時(shí)E(A1)=220E(A2)=310,選A215第十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日一般：E(A1)=α×500+(1-α)(-200)=700α-200E(A2)=α×(-150)+(1-α)(1000)=-1150α+1000令E1=E2得α=0.65稱α=0.65為轉(zhuǎn)折概率

α>0.65選A1α<0.65選A216第十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日(2)、決策樹法方案分枝概率分枝決策點(diǎn)

標(biāo)決策期望效益值方案點(diǎn)

標(biāo)本方案期望效益值

結(jié)果點(diǎn)

標(biāo)每個(gè)方案在相應(yīng)狀態(tài)下面的效益值概率分枝標(biāo)自然狀態(tài)的概率17第十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例1

S1S20.40.6A1100-20

A27510A35030電視機(jī)廠試生產(chǎn)三種電視機(jī)Ai(i=1,2,3)。市場(chǎng)大、小Sj(j=1,2)。生產(chǎn)哪種？18第十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解：100-207510503012340.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.419第十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解：100-20751050303812823633840.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4多級(jí)決策問(wèn)題20第二十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例2、化工原料廠，由于某項(xiàng)工藝不好，影響效益，現(xiàn)廠方欲改革工藝，可自行研究(成功可能為0.6)，買專利(成功可能為0.8)。若成功，則有2種生產(chǎn)方案可選，1是產(chǎn)量不變，2是增產(chǎn)；若失敗，則按原方案生產(chǎn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下。試求最優(yōu)方案。21第二十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日按原工藝方案生產(chǎn)價(jià)低0.1-100-200-300-200-300

中0.5050500-250價(jià)高0.4100150250200600買專利(0.8)自研(0.6)產(chǎn)量不變?cè)霎a(chǎn)產(chǎn)量不變?cè)霎a(chǎn)(萬(wàn)元)22第二十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解：0.123第二十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解：0.124第二十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日最優(yōu)決策

買入專利，成功則增產(chǎn)，失敗則保持原產(chǎn)量。25第二十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日(3)、貝葉斯法(后驗(yàn)概率法)(Bayes法)處理風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題時(shí)，需要知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率：P(1)，P(2)，…，P(n)，這些概率稱為先驗(yàn)概率。風(fēng)險(xiǎn)是由于信息不充分造成的，決策過(guò)程還可以不斷收集信息，如果收集到進(jìn)一步信息S，對(duì)原有各種狀態(tài)出現(xiàn)概率估計(jì)可能會(huì)有變化，變化后的概率為P(jS)，此條件概率表示在追加信息S后對(duì)原概率的一個(gè)修正，所以稱為后驗(yàn)概率。Bayes法就是一種后驗(yàn)概率方法26第二十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日P(jSi)通過(guò)概率論中Bayes公式計(jì)算得出Bayes公式：

P(j)P(Sij)P(jSi)＝P(Si)其中

p(Si):預(yù)報(bào)為Si的概率，P(Si/j):狀態(tài)j被調(diào)查預(yù)報(bào)為Si的概率27第二十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例1某鉆井大隊(duì)在某地進(jìn)行石油勘探，主觀估計(jì)該地區(qū)為有油(1)地區(qū)的概率為

P(1)＝0.5,沒(méi)油(2)的概率為

P(2)＝0.5，為提高勘探效果，先做地震試驗(yàn)，根據(jù)積累資料得知：28第二十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日有油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果好(F)的概率P(F1)＝0.9有油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果不好(U)的概率P(U1)＝0.1無(wú)油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果好(F)的概率P(F2)＝0.2有油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果不好(U)的概率P(U2)＝0.8求：在該地區(qū)做試驗(yàn)后，有油和無(wú)油的概率各為多少？29第二十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解：做地震試驗(yàn)結(jié)果好的概率P(F)＝P(1)P(F1)＋P(2)P(F2)

＝0.5×0.9+0.5×0.2=0.55做地震試驗(yàn)結(jié)果不好的概率P(U)＝P(1)P(U1)＋P(2)P(U2)

＝0.5×0.8+0.5×0.1=0.4530第三十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗(yàn)概率：做地震試驗(yàn)結(jié)果好的條件下有油的概率

P(1)P(F1)0.459P(1F

)＝==P(F

)0.5511做地震試驗(yàn)結(jié)果好的條件下無(wú)油的概率

P(2)P(F2)0.102P(2F

)＝==P(F

)0.551131第三十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗(yàn)概率：做地震試驗(yàn)結(jié)果不好的條件下有油的概率

P(1)P(U1)0.051P(1U)＝==P(U

)0.459做地震試驗(yàn)結(jié)果不好的條件下無(wú)油的概率

P(2)P(U2)0.408P(2U

)＝==P(U)0.45932第三十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例2某公司有資金500萬(wàn)元，如用于某項(xiàng)開發(fā)事業(yè)，估計(jì)成功率為96%，一年可獲利潤(rùn)12％；若失敗則喪失全部資金；若把資金全存在銀行，可獲得年利率6%，為輔助決策可求助于咨詢公司，費(fèi)用為5萬(wàn)元，根據(jù)咨詢過(guò)去公司類似200例咨詢工作，有下表：33第三十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)施結(jié)果投資投資合計(jì)咨詢意見成功失敗可以投資1542156次不宜投資38644次合計(jì)1928200次試用決策樹方法分析該公司是否應(yīng)該咨詢？資金該如何使用？34第三十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日T1：咨詢公司意見：可以投資T2：咨詢公司意見：不宜投資E1：投資成功E2：投資失敗35第三十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日

156P(T1)=×100%=0.78200

44P(T2)=×100%=0.22200P(E1)=0.96P(E2)=0.0436第三十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日

154P(E1/

T1)==0.987156

2P(E2/

T1)==0.013156

38P(E1/

T2)==0.86544

6P(E2/

T2)==0.1354437第三十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日P(T1)P(T2)42.72投資投資存銀行存銀行47.7238第三十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日答：求助于咨詢公司如果投資公司給出可以投資意見則投資如果投資公司給出不宜投資意見則存入銀行39第三十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)：效用理論(1)、什么是效用值例：工廠價(jià)值200萬(wàn)元，發(fā)生火災(zāi)可能性0.001(千分之一)。廠長(zhǎng)上保險(xiǎn)：2500元不上保險(xiǎn)：2000000×0.001=2000(元)例：廠長(zhǎng)上：2500元(大病保險(xiǎn)費(fèi))發(fā)：2000元(醫(yī)藥費(fèi))40第四十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例：?jiǎn)挝?1)、直接1萬(wàn)元(2)、抽獎(jiǎng)3萬(wàn)元(0.5)0(0.5)1.5萬(wàn)元老王：(1)小李：(2)貨幣的主觀價(jià)值——“效用值”衡量人們對(duì)貨幣的主觀認(rèn)識(shí)。41第四十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日①同樣貨幣在不同的風(fēng)險(xiǎn)場(chǎng)合，其價(jià)值在同一個(gè)人感覺(jué)不一樣。②同樣貨幣，在不同的人來(lái)看，有不同的價(jià)值觀。42第四十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日(2)、效用值計(jì)算及效用曲線表明決策者對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度的變化曲線效用函數(shù)u(x),

0≤u(x)≤1x：貨幣值

u(x)：效用值求效用曲線方法：對(duì)比提問(wèn)法43第四十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)比提問(wèn)法：設(shè)計(jì)兩種方案A1，A2A1：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)可得一筆金額X2A2：以概率P得一筆金額X3，以概率(1-P)損失一筆金額X1X1<X2<X3，u(xi)表示金額xi的效用值。44第四十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日在某種條件下，決策者認(rèn)為A1，A2兩方案等效。P·U(x1)+(1-P)U(x3)=U(x2)(

)P,x1,

x2,

x3為4個(gè)未知數(shù)。已知其中3個(gè)可定第4個(gè)。45第四十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日可以設(shè)已知x1,

x2,

x3，提問(wèn)確定P。一般用改進(jìn)的V－M法，即固定P=0.5,每次給出x1,

x3，通過(guò)提問(wèn)定x2，用(*)求出U(x2)5點(diǎn)法，定5個(gè)點(diǎn)作圖46第四十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例1、在某次交易中，決策者認(rèn)為：可承擔(dān)的最大損失是-1000萬(wàn)元可獲得的最大收益是2000萬(wàn)元

U(2000)=1U(-1000)=0提問(wèn)(1)A1:無(wú)風(fēng)險(xiǎn)得？你覺(jué)得A1，A2等效？A2:以0.5可能得2000萬(wàn)，0.5可能損失1000萬(wàn)?；卮?200萬(wàn)，0.5U(2000)+0.5U(-1000)=U(1200)

則U(1200)=0.547第四十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日提問(wèn)(2)A1:無(wú)風(fēng)險(xiǎn)得？你覺(jué)得A1，A2等效？A2:以0.5可能得1200萬(wàn)，0.5可能損失-1000萬(wàn)?；卮?00萬(wàn)，0.5U(1200)+0.5U(-1000)=U(800)0.5×0.5=U(800)=0.25提問(wèn)(3)A1:無(wú)風(fēng)險(xiǎn)得？你覺(jué)得A1，A2等效？A2:以0.5可能得800萬(wàn)，0.5可能損失-1000萬(wàn)。回答200萬(wàn)，U(20